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  • 2021-05-11 发布

一元二次方程中考章节复习(知识点+典型题型分析总结

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一元二次方程知识点 一、 一元二次方程定义:‎ ‎ 只含有一个未知数(一元),并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)‎ 一元二次方程必须同时满足三个条件:‎ ‎①是整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果有分母;且未知数在分母上,那么这个方程就是分式方程,不是一元二次方程,方程中如果有根号,且未知数在根号内,那么这个方程也不是一元二次方程(是无理方程),这点请注意!‎ ‎②只含有一个未知数;‎ ‎③未知数项的最高次数是2。‎ 二、 一元二次方程根的定义 使方程两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根 三、 一元二次方程的解法:‎ 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法(十字交叉法)‎ 直接开平方法 形如  或  (  )的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。如果方程化成 的形式,那么可得  。如果方程能化成 的形式,那么 ,进而得出方程的根。‎ 注意:‎ ‎①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。   ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。   ③方法是根据平方根的意义开平方。[4] ‎ 配方法 步骤将一元二次方程配成  的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法。‎ 用配方法解一元二次方程的步骤:‎ ‎①把原方程化为一般形式;‎ ‎②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;‎ ‎③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;‎ ‎④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;‎ ‎⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解,如果右边是非负数,则方程有两个实根;如果右边是一个负数,则方程有一对共轭虚根。‎ 配方法的理论依据是完全平方公式 ‎ ‎ 配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。‎ 求根公式法 步骤 用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为:‎ ‎①把方程化成一般形式 ,确定a,b,c的值(注意符号);‎ ‎②求出判别式  的值,判断根的情况;‎ ‎③在  (注:此处△读“德尔塔”)的前提下,把a、b、c的值代入公式 ‎ ‎ 进行计算,求出方程的根。‎ 因式分解法 因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。‎ 因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题(数学化归思想)。‎ 因式分解法解一元二次方程的一般步骤:‎ ‎①移项,使方程的右边化为零;‎ ‎②将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积;‎ ‎③令每个因式分别为零 ‎④括号中x,它们的解就都是原方程的解。‎ 一、 一元一次方程跟的判别式及韦达定理 判别式 利用一元二次方程根的判别式(  )可以判断方程的根的情况。一元二次方程  的根与根的判别式 有如下关系: ‎ ‎①当  时,方程有两个不相等的实数根;‎ ‎②当  时,方程有两个相等的实数根;‎ ‎③当  时,方程无实数根,但有2个共轭复根。‎ 上述结论反过来也成立。‎ 韦达定理 设一元二次方程   中,两根x₁、x₂有如下关系:‎ ‎ ‎ 数学推导由一元二次方程求根公式知 ‎ 五、用一元二次方程解应用题的一般步骤:‎ ‎①、弄清题意和题目中的已知数、未知数,用字母表示题目中的一个未知数;‎ ‎②、找出能够表示应用题全部含义的等量关系;‎ ‎③、根据相等关系列出需要的代数式(简称关系式),从而列出一元二次方程;‎ ‎④、解这个一元二次方程,求出未知数的值;‎ ‎⑤、在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后,写出答案 一元一次方程题型复习 一:知识点回顾 ‎1、一元二次方程必须满足哪三个条件:①、 ‎ ‎②、 ③、 ‎ ‎2、解一元二次方程常用的四种方法: ‎ ‎3、一元二次方程的根的判别式是什么? ‎ 它与根的情况之间的关系:‎ 当 时,方程有两个不相等的实数根 当 时,方程有两个相等的实数根 当 时,方程有无实数根 二、 一元二次方程定义考核 类型1判断一个方程是不是一元二次方程 1. 下列方程中,关于x的一元二次方程是( )   A. B. C.   D.‎ ‎2.关于x2=-2的说法,正确的是 A.由于x2≥0,故x2不可能等于-2,因此这不是一个方程 B.x2=-2是一个方程,但它没有一次项,因此不是一元二次方程 C.x2=-2是一个一元二次方程 D.x2=-2是一个一元二次方程,但不能解 ‎3.下列方程中,一元二次方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.当 时,方程不是一元二次方程,当 时,上述方程是一元二次方程。‎ 类型2化简方程为一般形式并写出一元二次方程中的二次项系数、一次项系数及常数项 1. 把一元二次方程化为一般形式是________________,其中二次项为: ______,一次项系数为:______,常数项为:______. 2.将方程-5x2+1=6x化为一般形式为__________.其二次项是__________,一次项系数为__________,常数项为__________.‎ ‎3.若ab≠0,则x2+x=0的常数项是__________.‎ ‎4.将方程2=3(6)化为一般形式后,二次项系数、一次项系数和常数项分别为( )‎ ‎ A.2、3、6 B.2、3、18 C.2、3、6 D.2、3、6‎ 类型3根据定义求解一元二次方程中未知字母的值 ‎1.若关于x的方程a(x-1)2=2x2-2是一元二次方程,则a的值是( )‎ A.2 B.-2 C.0 D.不等于2‎ ‎2.关于x的方程是一元二次方程,m应满足什么条件?‎ ‎3.如果方程ax2+5=(x+2)(x-1)是关于x的一元二次方程,则a__________.‎ ‎4.若关于x的方程(k1)x24x+5=0是一元二次方程,则是的取值范围是________.‎ 三、一元二次方程根的定义的应用 ‎1.一元二次方程3x2=2x的根是 ( )‎ ‎ A.x1=0,x2= B.x1=0,x2= C.x=0 D.x1=0,x2=‎ ‎2.关于x的一元二次方程(m1)x2+x+m2+2m3=0有一个根是0,则m的值为( )‎ ‎ A.3或1 B.3或1 C.1 D.3‎ 3. 已知m是方程x2-x-1=0的一个根,则代数式m2-m的值等于( )‎ ‎ A. -1 B.0 C.1 D.2‎ ‎4.若x=1是方程ax2+bx+c=0的解,则 A.a+b+c=1 B.a-b+c=0 C.a+b+c=0 D.a-b-c=0‎ ‎5. 若a是方程x2+x1=0的一个根。则代数式3a2+3a5的值为________.‎ ‎6.若( )‎ ‎ A.12 B.6 C.9 D.16‎ ‎7.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2,x2=1,那么3p+2q的值是________.‎ ‎8. 已知x=1是关于x的方程2x2+axa2=0的一个根,则a=________.‎ ‎9.若一元二次方程x2(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b,则a+b=________.‎ 四、根的判别式的应用 ‎1.若关于x的方程2x2ax+a2=0有两个相等的实数根,则a的值为 ( ) ‎ ‎ A.4 B.4 C.4或4 D.2‎ ‎2.关于x的一元二次方程x2mx+(m2)=0的根的情况是 ( )‎ ‎ A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 ‎3.方程的解的情况是( )‎ A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.有一个实数根 ‎4.已知关于x的一元二次方程x2mx+m1=0有两个相等的实数根,求m的值 ‎ ‎5.若方程有两个相等的实数根,则= ,两个根分别为 。‎ ‎6.关于x一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,则k的最小整数值是______。‎ ‎7.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围 五、 韦达定理的应用 ‎1.如果是方程的两个根,那么= ,= 。‎ ‎2.如果一元二次方程的两个根是互为相反数,那么有( )‎ A.=0 B.=-1 C.=1 D.以上结论都不对 ‎3.不解方程,的两个根的符号为( )‎ A.同号 B.异号 C.两根都为正 D.不能确定 ‎ ‎4.已知一元二次方程,若方程有解,则必须( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知α2+α-1=0,β2+β-1=0,且α≠β,则αβ+α+β的值为( ).‎ ‎ A.2 B.-2 C.-1 D.0‎ ‎6.已知α,β,满足α+β=5且αβ=6,以α,β为两根的一元二次方程是( ).‎ ‎ A.x2+5x+6=0 B.x2-5x+6=0; C.x2-5x-6=0 D.x2+5x-6=0‎ ‎7.已知x1,x2是关于x的方程(a-1)x2+x+a2-1=0的两个实数根,且x1+x2=,则x1·x2=_______.‎ ‎8.已知关于x的一元二次方程8x2+(m+1)x+m-7=0有两个负数根,那么实数m的取值范围是__________.‎ ‎9.已知关于x的方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7,那么m的值是 ‎ ‎10.已知 是方程的两根,则+等于 。‎ ‎11.已知方程有两个实数根,且这两个实数根的平方和比两根的积大21,求的值。‎ 五、 一元二次方程的求解 配方法:‎ ‎1.用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时,此方程可变形为( ) A.   B. C.  D.‎ ‎2.用配方法解方程,则,所以。‎ ‎3.用配方法解下列方程 ‎(1)2x2+3x-2=0 (2)x2+x-2=0 (3)x2+5x-1=0 (4)2x2-4x-1=04‎ 公式法:‎ 用公式法解下列各方程 ‎(1)5x2+2x-1=0 (2)6y2+13y+6=0 (3)x2+6x+9=7 (4)2x2+7x=-14‎ 分解因式法 ‎1.如果是一个完全平方公式,则 。‎ ‎2.解因式分解法解一元二次方程 (1) x 2-x-6=0 (2)(x+2)2=2x+4 (3)4.x2=4x (4)(2x-1)2=(3-x)‎ 综合练习 ‎1.用适当的方法解下列方程:‎ ‎(1)   (2) ( 3) (4)x2+4x=2 (5)4x2+3x1=0‎ ‎ (6)x23x2=0 (7)x2+2x143=0 (8)(x+1)(x+8)=12 (9) ‎ ‎2.已知方程x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.‎ ‎3.已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0.‎ ‎(1)当m取什么值时,原方程没有实数根.(2)对m选取一个合适的非零整数,使原方程有两个实数根,并求这两个实数根的平方和.‎ 4. 已知关于x的一元二次方程x2-(m-2)x--=0.求证:无论m取何实数值,这个方程总有两相异实根.‎ ‎5.已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-2m-3=0的两个不相等实数根中有一个根为0.是否存在实数k,使关于x的方程x2-(k-m)x-k-m2+5m-2=0,②的两个实数根x1,x2之差的绝对值为1?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.‎