一元二次方程中考章节复习(知识点+典型题型分析总结 9页

一元二次方程知识点 一、 一元二次方程定义：‎ ‎ 只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。标准形式:ax²+bx+c=0（a≠0）‎ 一元二次方程必须同时满足三个条件：‎ ‎①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程），这点请注意！‎ ‎②只含有一个未知数；‎ ‎③未知数项的最高次数是2。‎ 二、 一元二次方程根的定义 使方程两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 三、 一元二次方程的解法：‎ 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法（十字交叉法）‎ 直接开平方法 形如  或  (  )的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。如果方程化成 的形式，那么可得  。如果方程能化成 的形式，那么 ，进而得出方程的根。‎ 注意：‎ ‎①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。 　　②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 　　③方法是根据平方根的意义开平方。[4] ‎ 配方法 步骤将一元二次方程配成  的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。‎ 用配方法解一元二次方程的步骤：‎ ‎①把原方程化为一般形式；‎ ‎②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；‎ ‎③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；‎ ‎④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；‎ ‎⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。‎ 配方法的理论依据是完全平方公式 ‎ ‎ 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。‎ 求根公式法 步骤 用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：‎ ‎①把方程化成一般形式 ，确定a，b，c的值（注意符号）；‎ ‎②求出判别式  的值，判断根的情况；‎ ‎③在  （注：此处△读“德尔塔”）的前提下，把a、b、c的值代入公式 ‎ ‎ 进行计算，求出方程的根。‎ 因式分解法 因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。‎ 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）。‎ 因式分解法解一元二次方程的一般步骤：‎ ‎①移项，使方程的右边化为零；‎ ‎②将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积；‎ ‎③令每个因式分别为零 ‎④括号中x，它们的解就都是原方程的解。‎ 一、 一元一次方程跟的判别式及韦达定理 判别式 利用一元二次方程根的判别式（  ）可以判断方程的根的情况。一元二次方程  的根与根的判别式 有如下关系： ‎ ‎①当  时，方程有两个不相等的实数根；‎ ‎②当  时，方程有两个相等的实数根；‎ ‎③当  时，方程无实数根，但有2个共轭复根。‎ 上述结论反过来也成立。‎ 韦达定理 设一元二次方程   中，两根x₁、x₂有如下关系：‎ ‎ ‎ 数学推导由一元二次方程求根公式知 ‎ 五、用一元二次方程解应用题的一般步骤：‎ ‎①、弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；‎ ‎②、找出能够表示应用题全部含义的等量关系；‎ ‎③、根据相等关系列出需要的代数式(简称关系式)，从而列出一元二次方程；‎ ‎④、解这个一元二次方程，求出未知数的值；‎ ‎⑤、在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案 一元一次方程题型复习 一：知识点回顾 ‎1、一元二次方程必须满足哪三个条件：①、 ‎ ‎②、 ③、 ‎ ‎2、解一元二次方程常用的四种方法: ‎ ‎3、一元二次方程的根的判别式是什么？ ‎ 它与根的情况之间的关系：‎ 当 时，方程有两个不相等的实数根 当 时，方程有两个相等的实数根 当 时，方程有无实数根 二、 一元二次方程定义考核 类型1判断一个方程是不是一元二次方程 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是( ) 　　A. B. C. 　　D.‎ ‎2.关于x2=－2的说法，正确的是 A.由于x2≥0，故x2不可能等于－2，因此这不是一个方程 B.x2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程 C.x2=－2是一个一元二次方程 D.x2=－2是一个一元二次方程，但不能解 ‎3.下列方程中，一元二次方程是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.当 时，方程不是一元二次方程，当 时，上述方程是一元二次方程。‎ 类型2化简方程为一般形式并写出一元二次方程中的二次项系数、一次项系数及常数项 1. 把一元二次方程化为一般形式是________________，其中二次项为： ______，一次项系数为：______，常数项为：______. 2.将方程－5x2+1=6x化为一般形式为__________.其二次项是__________，一次项系数为__________，常数项为__________.‎ ‎3.若ab≠0，则x2+x=0的常数项是__________.‎ ‎4.将方程2=3(6)化为一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为( )‎ ‎ A．2、3、6 B．2、3、18 C．2、3、6 D．2、3、6‎ 类型3根据定义求解一元二次方程中未知字母的值 ‎1.若关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是( )‎ A.2 B.－2 C.0 D.不等于2‎ ‎2.关于x的方程是一元二次方程，m应满足什么条件？‎ ‎3.如果方程ax2+5=(x+2)(x－1)是关于x的一元二次方程，则a__________.‎ ‎4.若关于x的方程(k1)x24x+5=0是一元二次方程，则是的取值范围是________．‎ 三、一元二次方程根的定义的应用 ‎1．一元二次方程3x2=2x的根是 ( )‎ ‎ A．x1=0，x2= B．x1=0，x2= C．x=0 D．x1=0，x2=‎ ‎2．关于x的一元二次方程(m1)x2+x+m2+2m3=0有一个根是0，则m的值为( )‎ ‎ A．3或1 B．3或1 C．1 D．3‎ 3. 已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m的值等于（ ）‎ ‎ A. -1 B.0 C.1 D.2‎ ‎4.若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则 A.a+b+c=1 B.a－b+c=0 C.a+b+c=0 D.a－b－c=0‎ ‎5. 若a是方程x2+x1=0的一个根。则代数式3a2+3a5的值为________．‎ ‎6.若（ ）‎ ‎ A.12 B.6 C.9 D.16‎ ‎7．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么3p+2q的值是________．‎ ‎8. 已知x=1是关于x的方程2x2+axa2=0的一个根，则a=________．‎ ‎9．若一元二次方程x2(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b=________.‎ 四、根的判别式的应用 ‎1．若关于x的方程2x2ax+a2=0有两个相等的实数根，则a的值为 ( ) ‎ ‎ A．4 B．4 C．4或4 D．2‎ ‎2．关于x的一元二次方程x2mx+(m2)=0的根的情况是 ( )‎ ‎ A．有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 ‎3.方程的解的情况是（ ）‎ A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.有一个实数根 ‎4.已知关于x的一元二次方程x2mx+m1=0有两个相等的实数根，求m的值 ‎ ‎5.若方程有两个相等的实数根，则= ，两个根分别为 。‎ ‎6.关于x一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根，则k的最小整数值是______。‎ ‎7.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围 五、 韦达定理的应用 ‎1.如果是方程的两个根，那么= ，= 。‎ ‎2.如果一元二次方程的两个根是互为相反数，那么有（ ）‎ A.=0 B.=－1 C.=1 D.以上结论都不对 ‎3.不解方程，的两个根的符号为（ ）‎ A.同号 B.异号 C.两根都为正 D.不能确定 ‎ ‎4.已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知α2+α-1=0，β2+β-1=0，且α≠β，则αβ+α+β的值为（ ）．‎ ‎ A．2 B．-2 C．-1 D．0‎ ‎6.已知α,β，满足α+β=5且αβ=6，以α,β为两根的一元二次方程是（ ）．‎ ‎ A．x2+5x+6=0 B．x2-5x+6=0; C．x2-5x-6=0 D．x2+5x-6=0‎ ‎7．已知x1，x2是关于x的方程（a-1）x2+x+a2-1=0的两个实数根，且x1+x2=，则x1·x2=_______．‎ ‎8.已知关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m-7=0有两个负数根，那么实数m的取值范围是__________．‎ ‎9.已知关于x的方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是 ‎ ‎10.已知 是方程的两根，则+等于 。‎ ‎11.已知方程有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求的值。‎ 五、 一元二次方程的求解 配方法：‎ ‎1.用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为( ) A.　 　B. C.　　D.‎ ‎2.用配方法解方程，则，所以。‎ ‎3.用配方法解下列方程 ‎（1）2x2+3x－2=0 (2)x2+x－2=0 (3)x2+5x－1=0 (4)2x2－4x－1=04‎ 公式法：‎ 用公式法解下列各方程 ‎（1）5x2+2x－1=0 （2）6y2+13y+6=0 （3）x2+6x+9=7 （4）2x2+7x=-14‎ 分解因式法 ‎1.如果是一个完全平方公式，则 。‎ ‎2.解因式分解法解一元二次方程 （1） x 2-x-6=0 （2）（x+2）2=2x+4 （3）4.x2=4x （4）（2x-1）2=（3-x）‎ 综合练习 ‎1.用适当的方法解下列方程：‎ ‎(1) 　 (2) ( 3) (4）x2+4x=2 (5)4x2+3x1=0‎ ‎ (6)x23x2=0 (7)x2+2x143=0 (8)(x+1)(x+8)=12 (9) ‎ ‎2．已知方程x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．‎ ‎3．已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0．‎ ‎（1）当m取什么值时，原方程没有实数根．（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．‎ 4. 已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x--=0．求证：无论m取何实数值，这个方程总有两相异实根．‎ ‎5.已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2-2m-3=0的两个不相等实数根中有一个根为0．是否存在实数k，使关于x的方程x2-（k-m）x-k-m2+5m-2=0，②的两个实数根x1，x2之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎