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丰台区 2016 年初三统一练习(二)
数学试卷
2016. 06
考
生
须
知
1. 本试卷共 8 页,共三道大题,29 道小题,满分 120 分。考试时间 120 分钟。
2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考试号。
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分)
下列各题均有四个选项,其中只有一个..是符合题意的.
1. 截止到 2015 年底,我国已实现 31 个省市志愿服务组织区域全覆盖,志愿者总数已超 110 000 000 人. 将
110 000 000 用科学记数法表示应为
A. 610×110 B. 710×11 C. 810×1.1 D. 810×.110
2. 如图,数轴上有 A,B,C,D 四个点,其中表示绝对值相等的两个实数的点是
A. 点 A 与点 D B. 点 B 与点 D C. 点 B 与点 C D. 点 C 与点 D
3. 一枚质地均匀的正方体骰子,六个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 六个数字,投掷这个骰子一次,则
向上一面的数字大于 4 的概率是
A.
2
1 B.
3
1 C.
3
2 D.
6
1
4. 京剧是我国的国粹,是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介. 在下面的四个京剧脸谱中,不是..轴对
称图形的是
A B C D
5. 将一副三角板按图中方式叠放,则∠α等于
A. 90° B. 75°
C. 60° D. 45°
6. 如图所示,河堤横断面迎水坡 AB 的坡角是 30°,堤高 BC=5m,
则坡面 AB 的长度是
A. 10m B. 10 3 m
C. 15m D. 5 3 m
1 2 3 4 5-1-2-3-4 60
BA DC
7. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人 10 次射击的平均成绩恰好都是 9.6 环,方差分别是 2
甲S =0.96,
2
乙S =1.12, 2
丙S =0.56, 2
丁S =1.58. 在本次射击测试中,成绩最稳定的是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8. 如图,经过刨平的木板上的 A,B 两个点,能弹出一条笔直的墨线,而且只能弹出一条墨线,能解释这
一实际应用的数学知识是
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间线段最短
C. 垂线段最短
D. 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
9. 商户小李以每件 6 元的价格购进某商品若干件到市场去销
售,销售金额 y(元)与销售量 x (件)的函数关系的图象
如图所示,则降价后每件商品销售的价格为
A. 5元 B. 10 元
C. 5.12 元 D. 15 元
10. 一个观察员要到如图 1 所示的 A,B,C,D 四个观测点进行观测,行进路线由在同一平面上的 AB,
BC,CD,DA,AC,BD 组成. 为记录观察员的行进路线,在 AB 的中点 M 处放置了一台定位仪器,
设观察员行进的路程为 x,观察员与定位仪器之间的距离为 y,若观察员匀速行进,且表示 y 与 x 的函
数关系的图象大致如图 2 所示,则观察员的行进路线可能为
A. A→D→C →B B. A→B→C→D C. A→C→B→D D. A→C→D→B
二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分)
11. 分解因式:x3-4x2+4x = .
12. 已知射线 OM. 以 O 为圆心,任意长为半径画弧,与射线 OM 交
于点 A,再以点 A 为圆心,AO 长为半径画弧,两弧交于点 B,
画射线 OB,如图所示,则∠AOB= °.
13. 关于 x 的不等式 ax<b 的解集为 x>-1,写出一组满足条件的
实数 a,b 的值:a =______,b =______.
14. 我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》
里有一道著名算题:
图 1 图 2
AB
一百馒头一百僧,大僧三个更无争,
小僧三人分一个,大小和尚各几丁?
如果译成白话文,其意思是:有 100 个和尚分 100 个馒头,
正好分完. 如果大和尚一人分 3 个,小和尚 3 人分一个,试问大、小和尚各有几人?设大和尚 x 人,
小和尚 y 人,可列方程组为 .
15. 北京市 2010-2015 年机动车保有量统计如图所示.
根据统计图中提供的信息,预估 2016 年北京市
机动车的保有量约________万辆,
你的预估理由是______________.
16. 如图,在棋盘中建立直角坐标系 xOy ,三颗棋子 A,O,B 的位置分别是(-1,1),
(0,0)和(1,0).如果在其他格点位置添加一颗棋子 C,使 A,O,B,C 四颗棋
子成为一个轴对称图形,请写出所有满足条件的
棋子 C 的位置的坐标:
.
三、解答题(本题共 72 分,第 17-26 题,每小题 5 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,
第 29 题 8 分)
17. 计算: 1214.30sin322
1 02 )()( .
18. 已知 4 3x y ,求代数式 2 2( 2 ) ( )( ) 2x y x y x y y 的值.
19. 已知关于 x 的一元二次方程 0132 mxx 有两个不相等的实数根.
(1)求 m 的取值范围;
(2)若 m 为负.整数..,求此时方程的根.
20. 如图,△ABC 是等边三角形, ACBD ⊥ 于
点 D,E 为 BC 的中点,连接 DE.
求证:DE =DC.
21. 2016 年 5 月 29 日,北京园博园迎来了“挑战 100,一起跑”百公里接力路跑赛事,活动里程共 100 公里,
采用 10 人×10 公里的方式展开接力竞赛.王刚是一名长跑爱好者,原来每天从家匀速跑步到单位,共
12 公里.为参加此次活动,王刚计划加强训练,速度提高到原来的 1.2 倍,结果提前 10 分钟到单位.问
王刚原来每小时跑多少公里?
22. 如图,菱形 ABCD 的对角线交于 O 点,
A
B
O E
D
CB
A
D
C
A
EB
DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形 OCED 是矩形;
(2)若 AD =5,BD =8,计算 tan∠DCE 的值.
23. 已知反比例函数 y=
x
k (k≠0)的图象经过点 A(-1,6).
(1)求 k 的值;
(2)过点 A 作直线 AC 与函数 y=
x
k 的图象交于点 B,与 x 轴交于点 C,
且 AB=2BC,求点 B 的坐标.
24. 如图,AB 是⊙O 的直径,BD 交⊙O 于点 C,E 为
⌒
BC 的中点,连接 AE 交 BD 于点 F,作 ABFG ⊥ ,
垂足为 G,连接 AD,且 BAED ∠2=∠ .
(1)求证:AD 为⊙O 的切线;
(2)若 cosD =
5
3 ,AD = 6,求 FG 的长.
25. 阅读下列材料:
日前,微信发布《2016 微信春节大数据报告》显示,2016 年除夕当日,利用微信传递春节祝福的音
视频通话时长达 4.2 亿分钟,是 2015 年除夕的 4 倍,“红包不要停”成为春节期间最热门微信表情,其作
者共获得 124508 元的“赞赏”.
报告显示,除夕当日,微信红包的参与者达 4.2 亿人,收发总量达 80.8 亿个,是 2015 年除夕的 8 倍. 除
了通常的定额红包、拼手气红包,除夕到初一期间,微信还推出可以添加照片的拜年红包、引爆朋友圈的
红包照片,以及和诸多品牌商家联合推出的摇一摇红包. 其中,在除夕当日拼手气红包的收发量约为微信
红包收发总量的 20%.
作为一款“国民社交平台”,微信在春节通过红包激活了用户的使用热情,用音视频通话、朋友圈、
微信群等串联起了五湖四海的情感,实现了科技与人文的交汇,成为“过好春节”的标配.
根据以上材料回答下列问题:
(1)2016 年除夕当日,拼手气红包收发量约为 亿个;
(2)选择统计表或.统计图将 2015 年和 2016 年除夕当日微信红包收发总量和音视频的通话时长表示出来.
26. 有这样一个问题:探究函数 x
xy 12 的图象与性质.
小宏根据学习函数的经验,对函数 x
xy 12 的图象与性质进行了探究.
下面是小宏的探究过程,请补充完整:
(1)函数 x
xy 12 的自变量 x 的取值范围是___________;
GO
F
D
C
BA
E
(2)下表是 y 与 x 的几组对应值.
x … 3 2 1 1
2
1
3
1
3
1
2 1 2 3 …
y … 3
8
2
3 0 m 3
8
3
8
2
3 0 2
3 n …
求 m,n 的值;
(3)如下图,在平面直角坐标系 xOy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.
根据描出的点,画出该函数的图象;
(4)结合函数的图象,写出该函数的性质(一条即可):________________.
27. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 2 2 3( 0)y mx mx m 与 x 轴交于 A,B 两点,且点 A 的坐
标为(3,0).
(1)求点 B 的坐标及 m 的值;
(2)当 2 3x 时,结合函数图象直接写出 y 的取值范围;
(3)将抛物线在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象 M.若
)0(1 kkxy直线 与图象 M 在直线
2
1x 左侧的部分只有一个公共点,结合图象求 k 的取值
范围.
28. 在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°. 点 D 为 AC 的中点.将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到线段 DF,
连接 EF,CF.过点 F 作 FH FC ,交直线 AB 于点 H.
(1)若点 E 在线段 DC 上,如图 1,
x
y
1
1O
x
y
1
1O 2 3 4 5-5
1
-4
2
-3 -2 -1-1
2
3
4
5
-5
1
-4
2
-3
-2
①依题意补全图 1;
②判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明.
(2)若 E 为线段 DC 的延长线上一点,如图 2,且 CE= 的面积请求出∠ FCHCFE Δ,15=,2 0∠CFE=12°,请写出求△FCH 的面积的思
路.(可以不写....出计算...结果..)
29. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1),B(0,-1). 点 P 是平面内任意一点,直线 PA,
PB 与直线 4x 分别交于 M,N 两点.若以 MN 为直径的圆恰好经过点 C(2,0),则称此时的点 P
为理想点.
(1)请判断 P1(-4,0),P2(3,0)是否为理想点;
(2)若直线 3x 上存在理想点,求理想点的纵坐标;
(3)若动直线 ( 0)x m m 上存在理想点,直接写出 m 的取值范围.
丰台区 2016 年初三统一练习(二)
数学参考答案
一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
E
BC BC
E
BC BC
F
图 2图 1
F
E
BC
D
A
E
D
BC
A
答案 C C B A B A C A B D
二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分)
11. x (x-2)2. 12. 60. 13. 1, 1a b=- = (答案不唯一). 14.
100,
3 100.3
x y
yx
ì + =ïïïíï + =ïïî
15.预估理由需包含统计图提供的信息,且支撑预估的数据.
16. 1 2 3 4(2,1), ( 1,2), ( 1, 1), (0, 1).C C C C- - - -
三、解答题(本题共 72 分,第 17—26 题,每小题 5 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分)
17.解:原式 14 2 1 2 32
-------- 4 分
4+2 3 . -------- 5 分
18. 解:原式 2 2 2 2 24 4 ( ) 2x xy y x y y
23 4y xy -------- 3 分
(3 4 )y y x
∵ 4 3x y ,∴3 4 0y x .
∴原式=0. -------- 5 分
19. 解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,
∴ 9 4(1 )m 4 5 0m ,即 5
4m . -------- 3 分
(2)∵ m 为负整数,∴ 1m .
∴方程为 2 3 2 0x x ,即 ( 1)( 2) 0x x .
解得 1 21, 2x x . -------- 5 分
20.证明:∵△ABC 是等边三角形,∴∠C=60°. -------- 1 分
∵ BD AC 于点 D,
∴∠BDC=90°.
∵E 是 BC 中点,
∴ 1 .2DE BC CE -------- 3 分
∴△DEC 是等边三角形. -------- 4 分
∴ .DE DC -------- 5 分
21. 解:设王刚原来每小时跑 x 公里,
则现在每小时跑 1.2 x 公里. -------- 1 分
由题意,得12 12 1 .1.2 6x x
-------- 2 分
解得 12x . -------- 3 分
经检验, 12x 是所列方程的解,并且符合实际意义. -------- 4 分
答:王刚原来每小时跑 12 公里. -------- 5 分
22.(1)∵DE∥AC,CE∥BD
∴四边形OCED 是平行四边形. -------- 1 分
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴ AC BD .
∴ 90DOC .
∴平行四边形OCED 是矩形. -------- 2 分
(2) ∵四边形 ABCD 是菱形,BD=8,
∴ 1 42OD BD ,CD=AD=5. -------- 3 分
∴ 2 2 3CO CD OD .
∵四边形 OCED 是矩形,
∴DE=OC=3,CE=OD=4. -------- 4 分
∵ 90E ,
∴在 Rt△ DEC 中, 3tan 4
DEDCE EC
. -------- 5 分
23.解:(1)由题意,得 6.k 解得 6.k -------- 1 分
(2)①当点 B 在第二象限时,如图 1.
过点 A 作 AE⊥x 轴于 E, 过点 B 作 BF⊥x 轴于 F.
∴AE∥BF.
∴ BF CB
AE CA
.
∵AB=2BC,
∴ 1
3
CB
CA
.
∵AE=6,
∴BF=2.
当 y=2 时, 62 ,x
解得 x=-3.
∴B(-3,2). -------- 3 分
②当点 B 在第四象限时,如图 2,同①可求点 B(1,-6).
综上所述,点 B 的坐标为(-3,2)或(1,-6).
-------- 5 分
24.证明:连接 AC .
∵ AB 是 O 的直径
O E
D
CB
A
图 1
x
y
1 2 3 4 5–1–2–3–4–5
1
2
3
4
5
6
7
8
–1
–2
–3
–4
–5
–6
B
C
O
A
FE
x
y
1 2 3 4 5–1–2–3–4–5
1
2
3
4
5
6
7
8
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
B
C
O
A
F E
∴ 90ACB .
∴ 90CAB B .
∵E 为 BC 的中点,
∴ CAE EAB .
∴ 2CAB EAB .
∵ BAED ∠2=∠ ,
∴ CAB D . ------- 1 分
∴ 90B D .
∴ 90DAB .即 AB AD .
又∵ AB 是直径,
∴ AD 是 O 的切线. ------- 2 分
(2)∵在 Rt△ ACD 中,
3cos 5
DCD AD
, 6AD ,
18.5DC ------- 3 分
∵在 Rt△ ABD中,
3cos 5
ADD BD
, 6AD ,
∴ 10BD .
∵ CAF EAB , 90ACB , ABFG ⊥ ,
∴CF FG . ------- 4 分
设CF FG x .
∵ ABFG ⊥ ,
∴ GFB D .
∴ 3cos 5
FGGFB FB
.
∴ 5
3FB x .
∵ 10DC CF FB .
∴18 5 105 3x x .
解得 12
5x .∴ 12
5FG . ------- 5 分
25. 解:(1)16.16; ------- 1 分
(2)统计表如下:
2015 年和 2016 年除夕当日微信红包收发总量
和音视频的通话时长统计表
微信红包收发总量 音视频通话时长
2015 年 10.1 亿个 1.05 亿分钟
2016 年 80.8 亿个 4.2 亿分钟
GO
F
D
C
BA
E
------- 5 分
26. 解:(1) 0x . ------- 1 分
(2) 3 8,2 3m n . ------- 3 分
(3)该函数的图象如下图所示. ------- 4 分
(4)该函数的性质:
①当 x <0 时,y 随 x 的增大而增大;当 x >0 时,y 随 x 的增大而增大;
②函数的图象与 y 轴无交点,图象由两部分组成.
③关于原点成中心对称.
……
(写出一条即可) ------- 5 分
27.(1)将 3,0A 代入,得 1m . -------1 分
∴抛物线的表达式为 2 2 3y x x .
∴ B 点的坐标 1,0 . -------2 分
(2) y 的取值范围是 4 5y . -------5 分
(3) 当 x= 2
1 时,y= 4
15 .
代入 1y kx 得
2
19k .
当 x=-1 时,y=0,代入 1y kx 得 k=1.
结合图象可得, k 的取值范围是 1k 或 19
2k <- .
-------7 分
28.解:(1)①补全图形,如图 1 所示. ----1 分
②FH 与 FC 的数量关系是: FH FC .----2 分
证明:延长 DF 交 AB 于点 G.
∵ ABC△ 中,AC=BC, 90ACB ,
∴∠A=∠B=45°.
∵∠FDE=90°,
x
y
O
x
y
1
1O 2 3 4 5- -4 -3 -2 -1-1
2
3
4
5
-4
-3
-2
图 1
∴∠A=∠AGD=45°.
∴AD=DG.
∵点 D 为 AC 的中点,
∴AD=DC.
∴DC=DG.
∵DE=DF,
∴DC- DE =DG- DF,即 EC =FG.
∵∠EDF =90°, FH FC ,
∴∠1+∠CFD =90°,∠2+∠CFD=90°.
∴∠1 =∠2.
∵ DEF△ 等腰直角三角形,
∴∠DEF =∠DFE = 45°.
∴∠CEF =∠FGH = 135°.
∴△CEF ≌△FGH.
∴ CF=FH. ----5 分
(2)求解思路如下:
a.画出图形,如图 3 所示.
b.与②同理,可证△CEF ≌△FGH,可得 CF=FH;
从而得出 FCHD 是等腰直角三角形;
c. 作 PEFCP 于 ,由 2CE = 可得 CP 的长;
d.在 Rt△CPF 中,由sin12 CP
CF° = ,可求 CF 的长,进而求出 FCHD 的面积. ----7 分
29.(1) 1( 4,0)P 是理想点, 2 (3,0)P 不是理想点. ----2 分
(2)解法 1:
设 MN 与 x 轴交于点 F ,设理想点的纵坐标为 0y ,则 0( 3, )P y .
∵ (0,1)A ,∴ 01 13AP
yy x .
令 4x ,得 04(1 ) 13
yy ,即 04(1 )(4, 1)3
yM .
同理 04(1 )(4, 1)3
yN .
∵设G 是 MN 的中点,∴ 04(4, )3
yG . 1 7( )2 3M NMG y y , 2FC .
在 Rt GFC 中, 2 2 2GC FG FC ,
∴ 2 2047( ) ( ) 43 3
y .解得 0
13
4y ,即理想点的纵坐标为 13
4
.----6 分
图 2
图 3
A
F
C
E
P
D
H
B
G
解法 2:连接 PO 并延长交 MN 于点 G .
∵ MN ∥ y 轴,
∴ OA PO
GM PG
, OB PO
GN PG
,
即 OA OB
GM GN
.
∵OA OB ,∴GM GN ,即点G 是 MN 的中点.
设直线 3x 与 x 轴交于 E, MN 与 x 轴交于点 F .
∵ OA PO
GM PG
, EO PO
EF PG
,
∴ OA
GM
EO
EF
,即 1 3
7MG
.
∴ 7
3MG .
∴ 7
3CG MG .在 Rt△CFG 中,CF=2,由勾股定理得 13
3FG .∵ PE EO
FG FO
,∴ 13
4PE .
∴理想点的纵坐标为 13
4
.
(3) 44 0 0 3m m或 . ----8 分