2016中考数学专题复习——距离和差最值问题汇总 5页

‎2016中考数学专题复习：最短距离问题导读 ‎ 最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。‎ A B ‎′‎ P l 一、 “两点之间的连线中，线段最短”，凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。‎ 几何模型：“饮马问题”‎ 条件：如图，、是直线同旁的两个定点．‎ 问题：在直线上确定一点，使的值最小．‎ 方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，‎ 则的值最小（不必证明）．‎ 模型应用：‎ A B EE C P D 图1‎ 例1，如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是 ；‎ O A B C 图2‎ P ‎（1）如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值；‎ ‎ 图3‎ ‎（2）一次函数的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．‎ x y O x＝1‎ A C B ‎（3）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、B（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；‎ 例2，如图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.‎ 同类题训练：‎ O A B P R Q 图4‎ 如图4，，是内一点，，分别是上的动点，求周长的最小值．‎ 例3. 如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？‎ ‎ ‎ B O A ‎·‎ x y 二、归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 ‎ 如图，抛物线的顶点为A，与y 轴交于点B．‎ ‎(1)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB；‎ ‎(2)当PA-PB最大时，求点P的坐标.‎ 练习：1．如图，当四边形PABN的周长最小时，a=　　　　　　．‎ ‎2．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为　　　　　　．‎ ‎3. 如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是　 　．‎ ‎4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为　 　．‎ ‎ ‎ ‎　‎ ‎5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于　　　　　　．‎ ‎6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为　 　．‎ ‎7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是　 　．‎ ‎ ‎ ‎8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C 重合），分别过B、C、D 作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是　 ．‎ ‎10．E A D B C N M 2010宁德第25题：如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴ 求证：△AMB≌△ENB；‎ ‎⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；‎ ‎②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；‎ F E A D B C N M ‎⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.‎