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- 2021-05-11 发布
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2011 年中考数学试卷分类汇编:26 矩形菱形与正方形
一、选择题
1. (2011 浙江省舟山,10,3 分)如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含 30°内角
的菱形 EFGH(不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为 14cm2,四边
形 ABCD 面积是 11cm2,则①②③④四个平行四边形周长的总和为( )
(A)48cm (B)36cm
(C)24cm (D)18cm
【答案】A
2. (2011 山东德州 8,3 分)图 1 是一个边长为 1 的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱
形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图
形(如图 2),依此规律继续拼下去(如图 3),……,则第 n 个图形的周长是
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
3. (2011 山东泰安,17 ,3 分)如图,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,若两个小
正方形的面积分别为 S1,S2,则 S1+S2 的值为
(第 10 题)
F
A
B
C
D
HE
G
①
②
③
④
⑤
图 1 图 2 图 3
……
12n+ 22n+
A.17 B.17 C.18 D.19
【答案】B
4. (2011 山东泰安,19 ,3 分)如图,点 O 是矩形 ABCD 的中心,E 是 AB 上的点,沿 CE
折叠后,点 B 恰好与点 O 重合,若 BC=3,则折痕 CE 的长为
A.2 3 B. 3
2 C. 3 D.6
【答案】A
5. (2011 浙江杭州,10,3)在矩形 ABCD 中,有一个菱形 BFDE(点 E,F 分别在线段
AB,CD 上),记它们的面积分别为 .现给出下列命题:( )
①若 ,则 .②若 则 .
则:
A.①是真命题,②是真命题 B.①是真命题,②是假命题
C.①是假命题,②是真命题 D,①是假命题,②是假命题
【答案】A
6. (2011 浙江衢州,1,3 分)衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜,如图为一农村
民居侧面截图,屋坡 分别架在墙体的点、点处,且 ,侧面四边形
为矩形,若测得 ,则 ( )
A. 35° B. 40° C. 55° D. 70°
【答案】C
7. (2011 浙江温州,6,4 分)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O.已知∠AOB=
60°,AC=16,则图中长度为 8 的线段有( )
ABCD BFDES S和
2 3
2
ABCD
BFDE
S
S
+= 3tan 3EDF∠ = 2 ,DE BD EF= • 2DF AD=
AF AG、 AB AC= BDEC
100FAG∠ = ° FBD∠ =
E
A
B C
D
F G
(第 5 题)
A.2 条 B.4 条 C.5 条 D.6 条
【答案】D
8. 2011 四川重庆,10,4 分)如图,正方形 ABCD 中,AB=6,点 E 在边 CD 上,且 CD=
3DE.将△ADE 沿 AE 对折至△AFE,延长 EF 交边 BC 于点 G,连结 AG、CF.下列结
论:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正确结论的个数是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
9. (2011 浙江省嘉兴,10,4 分)如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含 30°内角
的菱形 EFGH(不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为 14cm2,四边
形 ABCD 面积是 11cm2,则①②③④四个平行四边形周长的总和为( )
(A)48cm (B)36cm
(C)24cm (D)18cm
【答案】A
10.(2011 台湾台北,29)如图(十二),长方形 ABCD 中,E 为 中点,作 的角
平分线交 于 F 点。
若 =6, =16,则 的长度为何?
(第 10 题)
F
A
B
C
D
HE
G
①
②
③
④
⑤
BC AEC∠
AD
AB AD FD
A.4B.5 C.6 D.8
【答案】C
11. (2011 湖南邵阳,7,3 分)如图(二)所示, 中,对角线 AC,BD 相交于点
O,且 AB≠AD,则下列式子不正确的是()
A.AC⊥BD B.AB=CD
C. BO=OD D.∠BAD=∠BCD
【答案】A.提示:当且仅当 为菱形时,AC⊥BD。
12. (2011 湖南益阳,7,4 分)如图 2,小聪在作线段 AB 的垂直平分线时,他是这样操作
的:分别以 A 和 B 为圆心,大于 AB 的长为半径画弧,两弧相交于 C、D,则直线 CD
即为所求.根据他的作图方法可知四边形 ADBC 一定是
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
【答案】B
13. (2011 山东聊城,7,3 分)已知一个菱形的周长是 20cm,两条对角线的比是 4∶3,则
这个菱形的面积是( )
A.12cm2 B. 24cm2 C. 48cm2 D. 96cm2
【答案】B
14. (2011 四川宜宾,7,3 分)如图,矩形纸片 ABCD 中,已知 AD=8,折叠纸片使 AB 边与
对角线 AC 重合,点 B 落在点 F 处,折痕为 AE,且 EF=3,则 AB 的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
ABCD
ABCD
1
2
BA
C
D
图 2
…
A1
A
A2
A3
B
B1 B2
B3
C
C2
C1
C3
D
D2 D1
D3
第 10 题图
【答案】D
15. ( 2011 重庆江津, 10,4 分)如图,四边形 ABCD 中,AC=a,BD=b,且 AC⊥BD,顺次连接四
边形 ABCD 各边中点,得到四边形 A1B1C1D1,再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点,得到四边形
A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形 AnBnCnDn.下列结论正确的有( )
①四边形 A2B2C2D2 是矩形; ②四边形 A4B4C4D4 是菱形;
③四边形 A5B5C5D5 的周长 ; ④四边形 AnBnCnDn 的面积是
A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④
【答案】C·
16. (2011 江苏淮安,5,3 分)在菱形 ABCD 中,AB=5cm,则此菱形的周长为( )
A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm
【答案】C
17. (2011 山东临沂,11,3 分)如图,△ABC 中,AC 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点
D、F,BE⊥DF 交 DF 的延长线于点 E,已知∩A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形 BCDE
的面积是()
A.2B.3C.4D.4
【答案】A
18. (2011 四川绵阳 7,3)下列关于矩形的说法中正确的是
A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.矩形的对角线互相垂直且平分 D.矩形的对角线相等且互相平分
(第 7 题图)
4
ba +
12 +n
ab
【答案】D
19. (2011 四川乐山 9,3 分)如图(5),在正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 BC、CD 的
中点,AE 交 BF 于点 H,CG∥AE 交 BF 于点 G。下列结论:①tan∠HBE=cot∠HEB ②
③BH=FG ④ .其中正确的序号是
A.①②③ B.②③④ C. ①③④ D.①②④
【答案】D
20.(2011 江苏无锡,5,3 分)菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角互补
【答案】A
21. (2011 湖北武汉市,12,3 分)如图,在菱形 ABCD 中,AB=BD,点 E,F 分别在 AB,
AD 上,且 AE=DF.连接 BF 与 DE 相交于点 G,连接 CG 与 BD 相交于点 H.下列结论:
①△AED≌△DFB; ②S 四边形 BCDG= CG2;
③若 AF=2DF,则 BG=6GF.其中正确的结论
A.只有①②. B.只有①③.C.只有②③. D.①②③.
【答案】D
22. (2011 广东茂名,5,3 分)如图,两条笔直的公路、相交于点 O,村庄 C 的村民在公
路的旁边建三个加工厂 A.B、D,已知 AB=BC=CD=DA=5 公里,村庄 C 到公路的
距离为 4 公里,则村庄 C 到公路的距离是
CG BF BC CF⋅ = ⋅
2
2
BC BG
CF GF
=
4
3
A B
CD
E
F
G
H
第 12 题图
A.3 公里 B.4 公里 C.5 公里 D.6 公里
【答案】B
23. (2011 湖北襄阳,10,3 分)顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是菱形,则
四边形 ABCD 一定是
A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边
形
【答案】D
24. (2011 湖南湘潭市,5,3 分)下列四边形中,对角线相等且互相垂直平分的是
A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形
【答案】B
25.
26.
27.
28.
二、填空题
1. (2011 山东滨州,17,4 分)将矩形 ABCD 沿 AE 折叠,得到如图所示图形。若∠CED′
=56°,则∠AED 的大小是_______.
【答案】62°
(第 17 题图)
ED
D′
C
BA
2. (2011 山东德州 16,4 分)长为 1,宽为 a 的矩形纸片( ),如图那样折一下,
剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,
剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去.若在第 n
此操作后,剩下的矩形为
正方形,则操作终止.当 n=3 时,
a 的值为_____________.
【答案】 或
3. (2011 湖北鄂州,5,3 分)如图:矩形 ABCD 的对角线 AC=10,BC=8,则图中五个小
矩形的周长之和为_______.
【答案】28
4. (2011 山东烟台,17,4 分)如图,三个边长均为 2 的正方形重叠在一起,O1、O2 是其中
两个正方形的中心,则阴影部分的面积是.
【答案】2
5. (2011 浙江湖州,16,4)如图,甲类纸片是边长为 2 的正方形,乙类纸片是边长为 1 的正
方形,丙类纸片是长、宽分别为 2 和 1 的长方形.现有甲类纸片 1 张,乙类纸片 4 张,
则应至少取丙类纸片张,才能用它们拼成一个新的正方形.
12
1 << a
第一次操作 第二次操作
3
5
3
4
A
B C
D
第 5 题图
【答案】4
6. (2011 浙江绍兴,15,5 分) 取一张矩形纸片按照图 1、图 2 中的方法对折,并沿图 3 中
过矩形顶点的斜线(虚线)剪开,那剪下的①这部分展开,平铺在桌面上,若平铺的这个图
形 是 正 六 边 形 , 则 这 张 矩 形 纸 片 的 宽 和 长 之 比 为 .
【答案】
7. (2011 甘肃兰州,20,4 分)如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再
依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为
1,则第 n 个矩形的面积为。
【答案】
8. (2011 江苏泰州,18,3 分)如图,平面内 4 条直线 L1、L2、L3、L4 是一组平行线,相
邻 2 条平行线间的距离都是 1 个单位长度,正方形 ABCD 的 4 个顶点 A、B、C、D 都在这
些平行线上,其中点A、C分别在直线 L1 和 L4 上,该正方形的面积是 平方单位.
【答案】5 或 9
9. (2011 山东潍坊,16,3 分)已知线段 AB 的长为 a,以 AB 为边在 AB 的下方作正方形
14
13
12
11
3 : 2
……
1
1
4n−
ACDB.取 AB 边上一点 E,以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM.过 E 作 EF⊥CD,
垂 足 为 F 点 . 若 正 方 形 AENM 与 四 边 形 EFDB 的 面 积 相 等 , 则 AE 的 长 为
_________________.
【答案】
10.(2011 山东潍坊,17,3 分)已知长方形 ABCD,AB=3cm,AD=4cm,过对角线 BD 的
中 点 O 做 BD 的 垂 直 平 分 线 EF , 分 别 交 AD 、 BC 于 点 E 、 F , 则 AE 的 长 为
_______________.
【答案】
11. (2011 四川内江,16,5 分)如图,点 E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD、
BD、BC、CA 的中点,当四边形 ABCD 的边至少满足条件时,四边形 EFGH 是菱形.
【答案】AB=CD
12. (2011 重庆綦江,14,4 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,且 AC=8,
5 1
2 a
−
7
8 cm
A
B
C
DE
F
G
H
BD=6,过点 O 作 OH⊥AB,垂足为 H,则点 O 到边 AB 的距离 OH=.
【答案】:
13. (2011 江苏淮安,17,3 分)在四边形 ABCD 中,AB=DC,AD=BC.请再添加一个条件,
使四边形 ABCD 是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)
【答案】∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或 AC=BD(答案不唯一,写出一种即可)
14. (2011 江苏南京,12,2 分)如图,菱形 ABCD 的连长是 2㎝,E 是 AB 中点,且
DE⊥AB,则菱形 ABCD 的面积为_________㎝2.
【答案】
15. (2011 江苏南通,15,3 分)如同,矩形纸片 ABCD 中,AB=2cm,点 E 在 BC 上,且
AE=EC.若将纸片沿 AE 折叠,点 B 恰好与 AC 上的点
重合,则 AC=▲cm.
【答案】4
16. (2011 四川绵阳 17,4)如图,将长 8cm,宽 4cm 的矩形纸片 ABCD 折叠,使点 A 与 C
重合,则折痕 EF 的长为_____cm.
5
12
(第 12 题)
B
A
D
C
E
2 3
【答案】2 5
17. (2011 四川凉山州,17,4 分)已知菱形 ABCD 的边长是 8,点 E 在直线 AD 上,若
DE=3,连接 BE 与对角线 AC 相交于点 M,则 的值是。
【答案】 或
18. (2011 湖北黄冈,5,3 分)如图:矩形 ABCD 的对角线 AC=10,BC=8,则图中五个
小矩形的周长之和为_______.
【答案】28
19. (2011 湖北黄石,13,3 分)有甲乙两张纸条,甲纸条的宽是乙纸条宽的 2 倍,如图
(4).将这两张纸条交叉重叠地放在一起,重合部分为四边形 ABCD,则 AB 与 BC 的
数量关系为。
【答案】AB=2BC
20.(2011 山东日照,16,4 分)正方形 ABCD 的边长为 4,M、N 分别是 BC、CD 上的两
个动点,且始终保持 AM⊥MN.当 BM=时,四边形 ABCN 的面积最大.
【答案】2;
21. (2011 河北,14,3 分)如图 6,已知菱形 ABCD,其顶点 A,B 在数轴对应的数分别为-4
MC
AM
8
5
8
11
A
B C
D
第 5 题图
和 1,则 BC=__.
【答案】5
22. (2010 湖北孝感,16,3 分)已知正方形 ABCD,以 CD 为边作等边△CDE,则∠AED 的度
数是.
【答案】15°或 75°
23.
24.
25.
26.
27.
28.
三、解答题
1. (2011 浙江省舟山,23,10 分)以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向
外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为 E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形
EFGH.
(1)如图 1,当四边形 ABCD 为正方形时,我们发现四边形 EFGH 是正方形;如图 2,
当四边形 ABCD 为矩形时,请判断:四边形 EFGH 的形状(不要求证明);
(2)如图 3,当四边形 ABCD 为一般平行四边形时,设∠ADC=(0°<<90°),
① 试用含的代数式表示∠HAE;
② 求证:HE=HG;
③ 四边形 EFGH 是什么四边形?并说明理由.
图6
0
D
A B
C
A
B C
D
H
E
F
G
(第 23 题图 2)
E
B
F
G
D
H
A
C
(第 23 题图 3)(第 23 题图 1)
A
B C
D
H
E
F
G
【答案】(1)四边形 EFGH 是正方形.
(2) ①∠HAE=90°+a.
在□ABCD 中,AB∥CD,∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-a;
∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形,∴∠HAD=∠EAB=45°,
∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-a)=90°+a.
②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形,∴AE= AB,DG= CD,
在□ABCD 中,AB=CD,∴AE=DG,∵△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形,
∴∠DHA=∠CDG= 45°,∴∠HDG=∠HAD+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE.
∵△HAD 是等腰直角三角形,∴HA=HD,∴△HAE≌△HDG,∴HE=HG.
③四边形 EFGH 是正方形.
由②同理可得:GH=GF,FG=FE,∵HE=HG(已证),∴GH=GF=FG=FE,∴四边形 EFGH
是菱形;∵△HAE≌△HDG(已证),∴∠DHG=∠AHE,又∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°,
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°,∴四边形 EFGH 是正方形.
2. (2011 安徽,23,14 分)如图,正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线、、、上,这
四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、(>0,>0,>0).
(1)求证:=;
(2)设正方形 ABCD 的面积为 S,求证:S= ;
(3)若 ,当变化时,说明正方形 ABCD 的面积 S 随的变化情况.
2
2
2
2
l1
l2
l3
l4
h1
h2
h3
A
B
C
D
2
1
2
21 )( hhh ++
12
3
21 =+ hh
【答案】(1)过 A 点作 AF⊥l3 分别交 l2、l3 于点 E、F,过 C 点作 CG⊥l3 交 l3 于点 G,
∵l2∥l3,∴∠2 =∠3,∵∠1+∠2=90°,∠4+∠3=90°,∴∠1=∠4,
又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC,∴△BEA≌△DGC,∴AE=CG,即
=;
(2)∵∠FAD+∠3=90°,∠4+∠3=90°,∴∠FAD =∠4,又∵∠AFD=
∠ DGC=90 ° , AD=DC , ∴ △ AFD ≌ △ DGC , ∴ DF=CG , ∵
AD2=AF2+FD2,∴S= ;
(3)由题意,得 , 所以
,
又 ,解得 0<h1<
∴当 0<h1< 时,S 随 h1 的增大而减小;
当 h1= 时,S 取得最小值 ;
当 <h1< 时,S 随 h1 的增大而增大.
3. (2011 福建福州,21,12 分)已知,矩形 中, , ,的垂直平分线
分别交、于点、,垂足为.
(1)如图 10-1,连接、.求证四边形 为菱形,并求的长;
(2)如图 10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿 和 各边匀速运动一周.即点
l1
l2
l3
l4
h1
h2
h3
A
B
C
D
E
F
G
1
4
2
3
2
1
2
21 )( hhh ++
12
3
2 1 hh −=
5
4
5
2
4
5
14
5
2
31
2
1
1
2
1
2
1
2
11
+
−=
+−=+
−+=
h
hhhhhS
〉−
〉
02
31
0
1
1
h
h
3
2
5
2
5
2
5
4
5
2
3
2
ABCD 4AB cm= 8BC cm=
AFCE
AFB∆ CDE∆
自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,
①已知点的速度为每秒 5,点的速度为每秒 4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边
形是平行四边形时,求的值.
②若点、的运动路程分别为、(单位:, ),已知、、、四点为顶点的四边形是平行
四边形,求与满足的数量关系式.
【答案】(1)证明:①∵四边形 是矩形
∴∥
∴ ,
∵垂直平分,垂足为
∴
∴ ≌
∴
∴四边形 为平行四边形
又∵
∴四边形 为菱形
②设菱形的边长 ,则
在 中,
由勾股定理得 ,解得
∴
(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点
在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边
形
0ab ≠
A
B C
DE
F
图 10-1
O
图 10-2
A
B C
DE
F
P Q
备用图
A
B C
DE
F
P Q
ABCD
CAD ACB∠ = ∠ AEF CFE∠ = ∠
OA OC=
AOE∆ COF∆
OE OF=
AFCE
EF AC⊥
AFCE
AF CF xcm= = (8 )BF x cm= −
Rt ABF∆ 4AB cm=
2 2 24 (8 )x x+ − = 5x =
5AF cm=
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,
∵点的速度为每秒 5,点的速度为每秒 4,运动时间为秒
∴ ,
∴ ,解得
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时, 秒.
②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边
上.
分三种情况:
i)如图 1,当点在上、点在上时, ,即 ,得
ii)如图 2,当点在上、点在上时, , 即 ,得
iii)如图 3,当点在上、点在上时, ,即 ,得
综上所述,与满足的数量关系式是
4. (2011 广东广州市,18,9 分)
如图 4,AC 是菱形 ABCD 的对角线,点 E、F 分别在边 AB、AD 上,且 AE=AF.
求证:△ACE≌△ACF.
PC QA=
5PC t= 12 4QA t= −
5 12 4t t= −
4
3t =
4
3t =
A
B C
DE
FP
Q
AP CQ= 12a b= − 12a b+ =
AQ CP= 12 b a− = 12a b+ =
AP CQ= 12 a b− = 12a b+ =
12a b+ = ( 0)ab ≠
A
B C
DE
F
P
Q
A
B
DE
FP
Q
C
A
B C
DE
F
P
Q
图 1 图 2 图 3
A
B C
D
E
F
图 4
【答案】∵四边形 ABCD 为菱形
∴∠BAC=∠DAC
又∵AE=AF,AC=AC
∴△ACE≌△ACF(SAS)
5. (2011 山东滨州,24,10 分)如图,在△ABC 中,点 O 是 AC 边上(端点除外)的一个
动点,过点 O 作直线 MN∥BC.设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E,交∠BCA 的外角平分线于
点 F,连接 AE、AF。那么当点 O 运动到何下时,四边形 AECF 是矩形?并证明你的结论。
【答案】
当点 O 运动到 AC 的中点(或 OA=OC)时,
四边形 AECF 是矩形………………2 分
证明:∵CE 平分∠BCA,∴∠1=∠2,………………3 分
又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,∴EO=CO. ………………5 分
同理,FO=CO………………6 分
∴EO=FO
又 OA=OC, ∴四边形 AECF 是平行四边形………………7 分
又∵∠1=∠2,∠4=∠5,
∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8 分
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°
∴∠2+∠4=90°………………9 分
(第 24 题图)
FE NM O
CB
A
∴四边形 AECF 是矩形………………10 分
6. (2011 山东济宁,22,8 分)数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图,正方形
的边长为,为边延长线上的一点,为的中点,的垂直平分线交边 于,交边的延长线
于.当 时, 与的比值是多少?
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过作直线平行于交 ,分别于,,如图,
则可得: ,因为 ,所以 .可求出和的值,进而可求得
与的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2)小东又对此题作了进一步探究,得出了 的结论.你认为小东的这个结论正
确吗?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.
(1)解:过作直线平行于交 ,分别于点,,
则 , , .
∵ ,∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
∴ , .
∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
(2)证明:作 ∥交于点, ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
则 , .
∵ ,
∴ .
ABCD
DC
6CP = EM
DC
DF DE
FC EP
= DE EP= DF FC= EM
DP MN=
(第 22 题)
DC
DF DE
FC EP
= EM EF
EN EG
= 12GF BC= =
DE EP= DF FC=
1 1 6 32 2EF CP= = × = 12 3 15EG GF EF= + = + =
3 1
15 5
EM EF
EN EG
= = =
MH
MH CB CD= = 90MHN∠ = °
180 90 90DCP∠ = ° − ° = °
DCP MHN∠ = ∠
∵ , ,
∴ .∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
7. (2011 山东威海,24,11 分)如图,ABCD 是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在
矩形 ABCD 的边 AB 上取一点 M,在 CD 上取一点 N,将纸片沿 MN 折叠,使 MB 与 DN 交
于点 K,得到△MNK.
(1)若∠1=70°,求∠MNK 的度数.
(2)△MNK 的面积能否小于 ?若能,求出此时∠1 的度数;若不能,试说明理由.
(3)如何折叠能够使△MNK 的面积最大?请你利用备用图探究可能出现的情况,求出最大
值.
(备用图)
【答案】 解:∵ABCD 是矩形,
∴AM∥DN,
∴∠KNM=∠1.
∵∠KMN=∠1,
∴∠KNM=∠KMN.
90MNH CMN DME CDP∠ = ∠ = ∠ = ° − ∠ 90DPC CDP∠ = ° − ∠
DPC MNH∠ = ∠ DPC MNH∆ ≅ ∆
DP MN=
(第 22 题)
1
2
∵∠1=70°,
∴∠KNM=∠KMN=70°.
∴∠MNK=40°.
(2)不能.
过 M 点作 ME⊥DN,垂足为点 E,则 ME=AD=1,
由(1)知∠KNM=∠KMN.
∴MK=NK.
又 MK≥ME,
∴NK≥1.
∴ .
∴△MNK 的面积最小值为 ,不可能小于 .
(3)分两种情况:
情况一:将矩形纸片对折,使点 B 与点 D 重合,此时点 K 也与点 D 重合.
设 MK=MD=x,则 AM=5-x,由勾股定理,得
,
解得, .
即 .
∴ . (情况一)
情况二:将矩形纸片沿对角线 AC 对折,此时折痕为 AC.
设 MK=AK=CK=x,则 DK=5-x,同理可得
即 .
∴ .
∴△MNK 的面积最大值为 1.3. (情况二)
8. (2011 山东烟台,24,10 分)已知:如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,
CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.
(1)求证:AB=BC;
(2)当 BE⊥AD 于 E 时,试证明:BE=AE+CD.
【答案】(1)证明:连接 AC,
1 1
2 2MNKS NK ME∆ = ⋅ ≥
1
2
1
2
2 2 21 (5 )x x+ − =
2.6x =
2.6MD ND= =
1 1 2.6 1.32MNK ACKS S∆ ∆= = × × =
2.6MK NK= =
1 1 2.6 1.32MNK ACKS S∆ ∆= = × × =
A
B
C
DE
∵∠ABC=90°,
∴AB2+BC2=AC2.
∵CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2.
∵AD2+CD2=2AB2,∴AB2+BC2=2AB2,
∴AB=BC.
(2)证明:过 C 作 CF⊥BE 于 F.
∵BE⊥AD,∴四边形 CDEF 是矩形.
∴CD=EF.
∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,
∴∠BAE=∠CBF,∴△BAE≌△CBF.
∴AE=BF.
∴BE=BF+EF=AE+CD.
9. (2011 浙江湖州,22,8) 如图已知 E、F 分别是 □ABCD 的边 BC、AD 上的点,且
BE=DF.
(1) 求证:四边形 AECF 是平行四边形;
(2) 若 BC=10,∠BAC=90°,且四边形 AECF 是菱形,求 BE 的长 .
【答案】(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,且 AD=BC,∴AF∥EC,∵
BE=DF,
∴AF=EC,∴四边形 AECF 是平行四边形.
(2)∵四边形 AECF 是,∴AE=CE,∴∠1=∠2,∵∠BAC=90°,∴∠3=∠90°-∠2,∠
4=∠90°-∠1,∴∠3=∠4,∴AE=BE,∴BE=AE=CE= BC=5.
10.(2011 宁波市,23,8 分)如图,在□ABCD 中,E、F 分别为边 ABCD 的中点,BD 是
对角线,过 A 点作 AGDB 交 CB 的延长线于点 G.
1
2
(第 22 题)
(1)求证:DE∥BF;
(2)若∠G=90,求证四边形 DEBF 是菱形.
解:(1)□ABCD 中,AB∥CD,AB=CD
∵E、F 分别为 AB、CD 的中点
∴DF=
1
2DC,BE=
1
2AB
∴DF∥BE,DF=BE
∴四边形 DEBF 为平行四边形
∴DE∥BF
(2)证明:∵AG∥BD
∴∠G=∠DBC=90°
∴DBC 为直角三角形
又∵F 为边 CD 的中点.
∴BF=
1
2DC=DF
又∵四边形 DEBF 为平行四边形
∴四边形 DEBF 是菱形
11. (2011 浙江衢州,22,10 分)如图, 中, 是边 上的中线,过点作 ,
过点作 与 分别交于点、点,连接
求证: ;
当 时,求证:四边形 是菱形;
在(2)的条件下,若 ,求 的值.
O
D
A E
B C
ABC∆ AD BC AE BC
,DE AB DE AC AE、 EC
AD EC=
RtBAC∠ = ∠ ADCE
AB AO= tan OAD∠
【答案】.证明:(1)
解法 1:因为 DE//AB,AE//BC,所以四边形 ABDE 是平行四边形,
所以 AE//BD 且 AE=BD,又因为 AD 是边 BC 上的中线,所以 BD=CD,所以 AE 平行且等于 CD,
所以四边形 ADCE 是平行四边形,所以 AD=EC.
解法 2:
又
(2)解法 1:
证明 是斜边 上的中线
又四边形 是平行四边形
四边形 是菱形
解法 2
证明:
又四边形 是平行四边形
四边形 是菱形
解法 3
证明:
四边形 是平行四边形
/ / , / / ,DE AB AE BC
ABDE B EDC∴ ∠ = ∠四边形 是平行四边形,
AB DE∴ =
AD BC 是边 上的中线
BD CD∴ =
( )ABD EDC SAS∴ ≅
AD ED∴ =
Rt ,BAC AD∠ = ∠ BC
AD BD CD∴ = =
ADCE
ADCE
/ / , RtDE AB BAC∠ = ∠
DE AC∴ ⊥
ADCE
ADCE
RtBAC AD BC∠ = ∠ , 是斜边 上的中线
AD BD CD∴ = =
ABDE
AE BD CD∴ = =
又
四边形 是菱形
解法 1
解:四边形 是菱形
的中位线,则
解法 2
解:四边形 是菱形
12. (2011 浙江省嘉兴,23,12 分)以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别
向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为 E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形
EFGH.
(1)如图 1,当四边形 ABCD 为正方形时,我们发现四边形 EFGH 是正方形;如图 2,
当四边形 ABCD 为矩形时,请判断:四边形 EFGH 的形状(不要求证明);
(2)如图 3,当四边形 ABCD 为一般平行四边形时,设∠ADC=(0°<<90°),
① 试用含的代数式表示∠HAE;
② 求证:HE=HG;
AD EC
AD CD CE AE
=
∴ = = =
ADCE
ADCE
, 90AO CO AOD
BD CD
∴ = ∠ = °
=又
OD ABC∴ ∆是 1
2OD AB=
1
2
AB AO
OD AO
=
∴ =
1Rt tan 2
ODABC OAD OA
∴ ∆ ∠ = =在 中,
ADCE
1 , , 902
1
2
AO CO AC AD CD AOD
AB AO
AB AC
∴ = = = ∠ = °
=
∴ =
1Rt tan 2
1tan tan 2
ABABC ACB AC
AD CD
DAC DCA
OAD ACB
∴ ∠ = =
=
∴∠ = ∠
∴ ∠ = ∠ =
在 中,
③ 四边形 EFGH 是什么四边形?并说明理由.
【答案】(1)四边形 EFGH 是正方形.
(2) ①∠HAE=90°+a.
在□ABCD 中,AB∥CD,∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-a;
∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形,∴∠HAD=∠EAB=45°,
∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-a)=90°+a.
②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形,∴AE= AB,DG= CD,
在□ABCD 中,AB=CD,∴AE=DG,∵△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形,
∴∠DHA=∠CDG= 45°,∴∠HDG=∠HAD+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE.
∵△HAD 是等腰直角三角形,∴HA=HD,∴△HAE≌△HDG,∴HE=HG.
③四边形 EFGH 是正方形.
由②同理可得:GH=GF,FG=FE,∵HE=HG(已证),∴GH=GF=FG=FE,∴四边形 EFGH
是菱形;∵△HAE≌△HDG(已证),∴∠DHG=∠AHE,又∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°,
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°,∴四边形 EFGH 是正方形.
13. (2011 福建泉州,21,9 分)如图,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开,再把△ACD 沿 CA
方向平移得到△A1C1D1.
(1)证明:△A1AD1≌△CC1B;
(2)若∠ACB=30°,试问当点 C1 在线段 AC 上的什么位置时,四边形 ABC1D1 是菱形. (直接
写出答案)
【答案】
∵矩形 ABCD
∴BC=AD,BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD 沿 CA 方向平移得到△A1C1D1.
∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1
A
B C
D
H
E
F
G
(第 23 题图 2)
E
B
F
G
D
H
A
C
(第 23 题图 3)(第 23 题图 1)
A
B C
D
H
E
F
G
2
2
2
2
∴∠A1=∠ACB,A1D1=CB。
∴△A1AD1≌△CC1B(SAS)。……………6 分
当 C1 在 AC 中点时四边形 ABC1D1 是菱形,……………9 分
14. (2011 甘肃兰州,27,12 分)已知:如图所示的一张矩形纸片 ABCD(AD>AB),将
纸片折叠一次,使点 A 与点 C 重合,再展开,折痕 EF 交 AD 边于点 E,交 BC 边于点 F,
分别连结 AF 和 CE。
(1)求证:四边形 AFCE 是菱形;
(2)若 AE=10cm,△ABF 的面积为 24cm2,求△ABF 的周长;
(3)在线段 AC 上是否存在一点 P,使得 2AE2=AC·AP?若存在,请说明点 P 的位置,并
予以证明;若不存在,请说明理由。
【答案】(1)由折叠可知 EF⊥AC,AO=CO
∵AD∥BC
∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO
∴△AOE≌△COF
∴EO=FO
∴四边形 AFCE 是菱形。
(2)由(1)得 AF=AE=10
设 AB=a,BF=b,得
a2+b2=100 ①,ab=48 ②
①+2×②得 (a+b)2=196,得 a+b=14(另一负值舍去)
C
B
A
D
A1 C1
D1
(第 21 题)
A
B C
DE
F
O
∴△ABF 的周长为 24cm
(3)存在,过点 E 作 AD 的垂线交 AC 于点 P,则点 P 符合题意。
证明:∵∠AEP=∠AOE=90°,∠EAP=∠OAE
∴△AOE∽△AEP
∴ ,得 AE2=AO·AP 即 2AE2=2AO·AP
又 AC=2AO
∴2AE2=AC·AP
15. (2011 广东株洲,23,8 分)如图,矩形 ABCD 中,点 P 是线段 AD 上一动点,O 为 BD 的
中点,PO 的延长线交 BC 于 Q.
(1)求证: OP=OQ;
(2)若 AD=8 厘米,AB=6 厘米,P 从点 A 出发,以 1 厘米/秒的速度向 D 运动(不与 D 重
合).设点 P 运动时间为 t 秒,请用 t 表示 PD 的长;并求 t 为何值时,四边形 PBQD 是菱
形.
【答案】(1)证明:四边形 ABCD 是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠PDO=∠QBO,又 OB=OD,∠POD=∠QOB,
∴△POD≌△QOB,
∴OP=OQ。
(2)解法一:PD=8-t
∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠A=90°,
∵AD=8cm,AB=6cm,∴BD=10cm,∴OD=5cm.
A
B C
DE
F
O
P
AO AE
AE AP
=
当四边形 PBQD 是菱形时,PQ⊥BD,∴∠POD=∠A,又∠ODP=∠ADB,
∴△ODP∽△ADB,
∴ ,即 ,
解得 ,即运动时间为 秒时,四边形 PBQD 是菱形.
解法二:PD=8-t
当四边形 PBQD 是菱形时,PB=PD=(8-t)cm,
∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠A=90°,在 RT△ABP 中,AB=6cm,
∴ , ∴ ,
解得 ,即运动时间为 秒时,四边形 PBQD 是菱形.
16. (2011 江苏苏州,28,9 分)(本题满分 9 分)如图①,小慧同学吧一个正三角形纸片
(即△OAB)放在直线 l1 上,OA 边与直线 l1 重合,然后将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时
针方向旋转 120°,此时点 O 运动到了点 O1 处,点 B 运动到了点 B1 处;小慧又将三角形纸
片 AO1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 120°,点 A 运动到了点 A1 处,点 O1 运动到了点 O2 处
(即顶点 O 经过上述两次旋转到达 O2 处).
小慧还发现:三角形纸片在上述两次旋转过程中,顶点 O 运动所形成的图形是两段圆
弧,即弧 OO1 和弧 O1O2,顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,并且这两端圆弧
与直线 l1 围成的图形面积等于扇形 AOO1 的面积、△AO1B1 的面积和扇形 B1O1O2 的面积之
和.
小慧进行类比研究:如图②,她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 l2 上,OA
边与直线 l2 重合,然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90°,此时点 O 运动到
了点 O1 处(即点 B 处),点 C 运动到了点 C1 处,点 B 运动到了点 B1 处;小慧又将正方形
纸片 AO1C1B1 绕 B1 点按顺时针方向旋转 90°,……,按上述方法经过若干次旋转后,她提
出了如下问题:
问题①:若正方形纸片 OABC 按上述方法经过 3 次旋转,求顶点 O 经过的路程,并求
顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积;若正方形 OABC 按上述方
法经过 5 次旋转,求顶点 O 经过的路程;
问题②:正方形纸片 OABC 按上述方法经过多少次旋转,顶点 O 经过的路程是
π?
OD AD
PD BD
= 5 8
8 10t
=−
7
4t = 7
4
2 2 2AP AB BP+ = 2 2 26 (8 )t t+ = −
7
4t = 7
4
2
22041+
请你解答上述两个问题.
【答案】解问题①:如图,正方形纸片 OABC 经过 3 次旋转,顶点 O 运动所形成的图形是
三段弧,即弧 OO1、弧 O1O2 以及弧 O2O3,
∴顶点 O 运动过程中经过的路程为
.
顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2 围成图形的面积为
=1+π.
正方形 OABC 经过 5 次旋转,顶点 O 经过的路程为
.
问题②:∵方形 OABC 经过 4 次旋转,顶点 O 经过的路程为
∴ π=20× π+ π.
∴正方形纸片 OABC 经过了 81 次旋转.
17. (2011 江苏泰州,24,10 分)如图,四边形 ABCD 是矩形,直线 L 垂直平分线段 AC,
垂足为 O,直线 L 分别与线段 AD、CB 的延长线交于点 E、F.
πππ
)2
21(180
2902180
190 +=⋅⋅+×⋅⋅
112
12360
)2(902360
190 22
×××+⋅⋅+×⋅⋅ ππ
πππ
)2
2
2
3(180
2903180
190 +=⋅⋅+×⋅⋅
πππ
)2
21(180
2902180
190 +=⋅⋅+×⋅⋅
2
22041+
)2
21( +
2
1
(1)△ABC 与△FOA 相似吗?为什么?
(2)试判定四边形 AFCE 的形状,并说明理由.
【答案】(1)相似.由直线 L 垂直平分线段 AC,所以 AF=FC,∴∠FAC=∠ACF,又∵∠
ABC=∠AOF=90°,∴△ABC∽FOA.
(2)四边形 AFCE 是菱形。理由:∵AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO,又∵AO=CO,∠AOE=
∠COF,∴△AOE≌△COF,∴AE=CF,又 AE∥CF,∴四边形 AFCE 为平行四边形,又
AF=FC,所以平行四边形 AFCE 为菱形.
18. (2011 江苏泰州,28,12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,边长为 a(a 为大于 0 的常数)
的正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 P,顶点 A 在 x 轴正半轴上运动,顶点 B 在 y
轴正半轴上运动(x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点 O),顶点 C、D 都在第一象
限.
(1)当∠BAO=45°时,求点 P 的坐标;
(2)求证:无论点 A 在 x 轴正半轴上、点 B 在 y 轴正半轴上怎样运动,点 P 都在∠AOB 的平
分线上;
(3)设点 P 到 x 轴的距离为 h,试确定 h 的取值范围,并说明理由.
【答案】解:(1)当∠BAO=45°时,∠PAO=90°,在 Rt ⊿AOB 中,OA= AB=
l
O
A
F
E
CB
D
y
O
P
D
C
x
B
A
2
2
,在 Rt⊿APB 中,PA= AB= 。∴点 P 的坐标为( , )
(2)过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线垂足分别为 M、N,则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠
BPA=90°,∴∠MPA=∠NPB,又 PA=PB,∴ △PAM≌△PBN,∴PM=PN,于是,点 P
都在∠AOB 的平分线上;
(3) <h≤ 。当点 B 与点 O 重合时,点 P 到 AB 的距离为 ,然后顶点 A 在 x
轴正半轴上向左运动,顶点 B 在 y 轴正半轴上向上运动时,点 P 到 AB 的距离逐渐增大,当∠
BAO=45°时,PA⊥x 轴,这时点 P 到 AB 的距离最大为 ,然后又逐渐减小到 ,∵x
轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点 O ,∴点 P 到 x 轴的距离的取值范围是 <h≤
。
19. (2011 山东济宁,17, 5 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于
点 O,过点 O 作直线 EF⊥BD,分别交 AD、BC 于点 E 和点 F,求证:四边形 BEDF 是菱
形.
【答案】证明:∵四边形 ABCD 是菱形,
y
O
P
D
C
x
B
A
N
M
a2
2
2
2 a2
2 a2
2 a2
2
2
a a2
2
2
a
a2
2
2
a
2
a
a2
2
O
F
E D
CB
A
第 17 题
∴AD∥BC,OB=OD,…………………………………………1 分
∴∠EDO=∠FBO,∠OED=∠OFB,…………………………2 分
∴△OED≌△OFB,
∴DE=BF,………………………………………………………3 分
又∵DE∥BF,
∴四边形 BEDF 是平行四边形,………………………………4 分
∵EF⊥BD,
∴四边形 BEDF 是菱形.………………………………………5 分
20.(2011 山东聊城,25,12 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=8cm,点 E、
F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点 E、G 的速
度均为 2cm/s,点 F 的速度为 4cm/s,当点 F 追上点 G(即点 F 与点 G 重合)时,三个
点随之停止移动.设移动开始后第 t 秒时,△EFG 的面积为 S(cm2).
(1)当 t=1 秒时,S 的值是多少?
(2)写出 S 和 t 之间的函数解析式,并指出自变量 t 的取值范围.
(3)若点 F 在矩形的边 BC 上移动,当 t 为何值时,以点 E、B、F 为顶点的三角形与
以 F、C、G 为顶点的三角形相似?请说明理由.
【答案】(1)如图甲,当 t=1 秒时,AE=2,EB=10,BF=4,FC=4,CG=2,由 S=
S 梯形 EGCG-SEBF-SFCG= (10+2)×8- ×10×4- ×4×2=24
2
1
2
1
2
1
(2)如图(甲),当 0≤t≤2 时,点 E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上移动,此时 AE=2t,
EB=12-2t,BF=4t,FC=8-4t,S=8t2-32t+48(0≤t≤2)
(3)如图乙,当点 F 追上点 G 时,4t=2t=8,解得 t=4,当 2<t≤4 时,CF=4t-8,
CG=2t,FG=CG-CF=8-2t,即 S=-8t+32(2<t≤4),
(3)如图(甲),当点 F 在矩形的边 BC 上移动时,0≤t≤2,在 EFF 和 FCG 中,B=C=90,,①
若 ,即 ,解得 t= ,又 t= 满足 0≤t≤2,所以当 t= 时△EBF∽△
GCF②若 ,即 ,解得 t= ,又 t= 满足 0≤t≤2,所以当 t=
时△EBF∽△GCF,综上知,当 t= 或 时,以点 E、B、F 为顶点的三角形与以 F、C、G
为顶点的三角形相似
21. (2011 山东潍坊,18,8 分)已知正方形 ABCD 的边长为 a,两条对角线 AC、BD 相交
于点 O,P 是射线 AB 上任意一点,过 P 点分别做直线 AC、BD 的垂线 PE、PF,垂足
为 E、F.
(1)如图 1,当 P 点在线段 AB 上时,求 PE+PF 的值;
(2)如图 2,当 P 点在线段 AB 的延长线上时,求 PE-PF 的值.
CG
BF
FC
EB =
t
t
t
t
2
4
48
212 =−
−
3
2
3
2
3
2
CF
BF
GC
EB =
t
t
t
t
48
4
2
212
−=−
2
3
2
3
2
3
3
2
2
3
【解】(1)∵四边形 ABCD 为正方形,∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD,∴PF//AC,同理 PE//BD.
∴四边形 PFOE 为矩形,故 PE=OF.
又∵∠PBF=45°,∴PF=BF.
∴PE+PF=OF+FB=OB= .
(2)∵四边形 ABCD 为正方形,∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD,∴PF//AC,同理 PE//BD.
∴四边形 PFOE 为矩形,故 PE=OF.
又∵∠PBF=45°,∴PF=BF.
∴PE-PF=OF-BF= OB= .
22. (2011 四川广安,23,8 分)如图 5 所示,在菱形 ABCD 中,∠ABC= 60°,DE∥AC
交 BC 的延长线于点 E.求证:DE= BE
【答案】证明:∵ABCD 是菱形,∠ABC= 60°
∴BC=AC=AD
又∵DE∥AC ∴ACED 为平行四边形
∴CE=AD=BC DE=AC
∴DE=CE=BC
E
D
CB
A
2cos 45
2
a a° =
2cos 45
2
a a° =
1
2
图 5
∴DE= BE
23. (2011 江苏南京,21,7 分)如图,将□ABCD 的边 DC 延长到点 E,使 CE=DC,连接
AE,交 BC 于点 F.
⑴求证:△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC=2∠D,连接 AC、BE.求证:四边形 ABEC 是矩形.
【答案】证明:⑴∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF.
∵EC=DC, ∴AB=EC.
在△ABF 和△ECF 中,∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC,
∴⊿ABF≌⊿ECF.
(2)解法一:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形 ABEC 是平行四边形.∴AF=EF,
BF=CF.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠ABC=∠D,又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC.
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB.
∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC.∴口 ABEC 是矩形.
解法二:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形 ABEC 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠BCE.
又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠BCE,
∵∠AFC=∠FCE+∠FEC,∴∠ FCE=∠FEC.∴∠D=∠FEC.∴AE=AD.
又∵CE=DC,∴AC⊥DE.即∠ACE=90°.
∴口 ABEC 是矩形.
24. (2011 江苏南通,26,10 分)(本体满分 10 分)
已知:如图 1,O 为正方形 ABCD 的中心,分别延长 OA 到点 F,OD 到点 E,使 OF=2OA,
OE=2OD,连结 EF,将△FOE 绕点 O 逆时针旋转α角得到△ (如图 2).
(1) 探究 AE′与 BF'的数量关系,并给予证明;
1
2
A
B C
D
E
F
(第 21 题)
' 'F OE
(2) 当α=30°时,求证:△AOE′为直角三角形.
【答案】(1)AE′=BF
证明:如图 2,
∵在正方形 ABCD 中, AC⊥BD
∴∠ =∠AOD=∠AOB=90°
即∠AOE′+∠AOF′=∠BOF′+∠AOF′
∴∠AOE′=∠BOF′
又∵OA=OB=OD,OE′=2OD,OF′=2OA
∴OE′=OF′
∴△OAE′≌△OBF′
∴AE′=BF
(2)作△AOE′的中线 AM,如图 3.
则 OE′=2OM=2OD=2OA
∴OA=OM
∵α=30°
∴∠AOM=60°
∴△AOM 为等边三角形
∴MA=MO=ME′,∠ =∠
又∵∠ +∠ =∠AMO
即 2∠ =60°
∴∠ =30°
∴∠ +∠AOE′=30°+60°=90°
∴△AOE′为直角三角形.
' 'F OE
'AE M 'E AM
'AE M 'E AM
'AE M
'AE M
'AE M
25. (2011 山东临沂,22,7 分)如图,△ABC 中,AB=AC,AD、CD 分别是△ABC 两
个外角的平分线.在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=90°,=2CD,对角线 AC
与 BD 相交于点 O,线段 OA,OB 的中点分别为点 E,F
(1)求证:AC=AD;
(2)若∠B=60°,求证:四边形 ABCD 是菱形;
【解】(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠BCA,
∴∠EAC=∠B+∠BCA=2∠B,
∵AD 平分∠FAC,
∴∠FAD=∠B,
∴AD∥BC,……………………………………………………………………(2 分)
∴∠D=∠DCE,
∵CD 平分∠ACE,
∴∠ACD=∠DCE,
∴∠D=∠ACD,………………………………………………………………(3 分)
∴AC=AD;……………………………………………………………………(4 分)
(2)证明:∵∠B=60°,
∴∠ACB=60°,∠FAC=∠ACE=120°,
∴∠DCE=∠B=60°,………………………………………………………(5 分)
∴DC∥AB,
∵AD∥BC,
∴四边形 ABCD 为平行四边形,……………………………………………(6 分)
又由(1)知 AC=AD,
∴AB=AD,
∴四边形 ABCD 是菱形.……………………………………………………(7 分)
26. (2011 山东临沂,25,11 分)如图 1,奖三角板放在正方形 ABCD 上,使三角板的直角
顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合,三角板的一边交 CD 于点 F,另一边交 CB 的延长
线于点 G.
(1)求证:EF=EG;
(2)如图 2,移动三角板,使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,其他条件不
变.(1)中的结论是否仍然成立?若成立,情给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图 3,将(2)中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”,且使三角板的一边
经过点 B,其他条件不变,若 AB=a,BC=b,求 的值.
图 1 图 2 图 3
(1)证明:∵∠GEB+∠BEF=90°,∠DEF+∠BEF=90°,
∴∠DEF=GEB,………………………………………………( 1 分)
又∵ED=BE,
∴Rt△FED≌Rt△GEB,…………………………………………( 2 分)
∴EF=EG.……………………………………………………( 3 分)
(2)成立.……………………………………………………………………( 4 分)
证明:如图,过点 E 分别作 BC、CD 的垂线,垂足分别为 H、I,
则 EH=EI,∠HEI=90°,…………………………………( 5 分)
∵∠GEH+∠HEF=90°,∠IEF+∠HEF=90°,
EG
EF
∴∠IEF=∠GEH,……………………………………………( 6 分)
∴Rt△FEI≌Rt△GEH,
∴EF=EG.………………………………………………………(7 分)
(3)解:如图,过点 E 分别作 BC、CD 的垂线,垂足分别为 M、N ,
则∠MEN=90°,EM∥AB,EN∥AD,………………………( 8 分)
∴ = = ,
∴ = = , …………………………………………(9 分)
∵∠GEM+∠MEF=90°,∠FEN+∠MEF=90°,
∴∠FEN=∠GEM,
∴Rt△FEN∽Rt△GEM, …………………………………………(10 分)
∴ = = .…………………………………………(11 分)
27. (2011 上海,23,12 分)如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=DC,过点 D 作 DE⊥
BC,垂足为 E,并延长 DE 至 F,使 EF=DE.联结 BF、CF、AC.
(1)求证:四边形 ABFC 是平行四边形;
(2)如果 DE2=BE·CE,求证四边形 ABFC 是矩形.
A
B
D
F
CE
AB
EM
CA
CE
AD
EN
EN
EM
AD
AB
b
a
EG
EF
EM
EN
a
b
【答案】(1)连接 BD.
∵DE⊥BC,EF=DE,
∴BD=BF,CD=CF.
∵在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=DC,
∴四边形 ABCD 是等腰梯形.
∴BD=AC.
∴AC=BF,AB=CF.
∴四边形 ABFC 是平行四边形.
(2)∵DE2 =BE·CE,EF=DE,
∴EF2 =BE·CE.
∴ .
又∵DE⊥BC,
∴∠CEF=∠FEB=90°.
∴△CEF∽△FEB.
∴∠CFE=∠FBE.
∵∠FBE+∠BFE=90°,
∴∠CFE +∠BFE=90°.
即∠BFC=90°.
由(1)知四边形 ABFC 是平行四边形,
∴证四边形 ABFC 是矩形.
20.28. (2011 四川乐山 20,10 分)如图,E、F 分别是矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 上
的点,且 AE=DF。求证:BE=CF
F
E
D
CB
A
EF CE
BE EF
=
【答案】
证明:∵四边形 ABCD 为矩形
∴OA=OB=OC=OD AB=CD
∵AE=DF
∴OE=OF
在 ΔBOE 与 ΔCOF 中,
∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS)
∴BE=CF
29. (2011 湖南衡阳,26,10 分)如图,在矩形 ABCD 中,AD=4,AB=m(m>4),点 P 是 AB
边上的任意一点(不与 A、B 重合),连结 PD,过点 P 作 PQ⊥PD,交直线 BC 于点 Q.
(1)当 m=10 时,是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合?若存在,求出此时 AP 的长;若
不存在,说明理由;
(2)连结 AC,若 PQ∥AC,求线段 BQ 的长(用含 m 的代数式表示)
(3)若△PQD 为等腰三角形,求以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函
数关系式,并写出 m 的取值范围.
【解】(1) 假设当 m=10 时,存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合(如下图),
=
∠=∠
=
OFOE
COFBOE
OCOB
∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°,∴∠APD+∠BPC=90°,
又∠ADP+∠APD=90°,∴∠BPC=∠ADP,
又∠B=∠A=90°,∴△PBC∽△DAP,∴ ,
∴ ,∴ 或 8,∴存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合,出此时 AP 的
长 2 或 8.
(2)如下图,∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠BPQ=∠ADP,∴∠BAC=∠ADP,又∠
B=∠DAP=90°,∴△ABC∽△DAP,∴ ,即 ,∴ .
∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠B=∠B,∴△PBQ∽△ABC, ,即
,∴ .
(3)由已知 PQ⊥PD,所以只有当 DP=PQ 时,△PQD 为等腰三角形(如图),
∴∠BPQ=∠ADP,又∠B=∠A=90°,∴△PBQ≌△DAP,
∴PB=DA=4,AP=BQ= ,
∴以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数关系式为:S 四边形 PQCD= S
矩形 ABCD-S△DAP-S△QBP=
= =16(4<≤8).
30. (2011 贵州贵阳,18,10 分)
如图,点 E 是正方形 ABCD 内一点,△CDE 是等边三角形,连接 EB、EA,延长 BE 交
边 AD 于点 F.
PB BC
DA AP
=
10 4
4
AP
AP
− = 2AP =
AB BC
DA AP
= 4
4
m
AP
= 16AP m
=
PB BQ
AB BC
=
16
4
m BQm
m
−
= 2
164BQ m
= −
4m −
1 1
2 2DA AB DA AP PB BQ× − × × − × ×
( ) ( )1 14 4 4 4 42 2m m m− × × − − × × −
(1)求证:△ADE≌△BCE;(5 分)
(2)求∠AFB 的度数.(5 分)
(第 18 题图)
【答案】解:(1)∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠ADC=∠BCD=90°,AD=BC.
∵△CDE 是等边三角形,
∴∠CDE=∠DCE=60°,DE=CE.
∵∠ADC=∠BCD=90°,∠CDE=∠DCE=60°,
∴∠ADE=∠BCE=30°.
∵AD=BC,∠ADE=∠BCE,DE=CE,
∴△ADE≌△BCE.
(2)∵△ADE≌△BCE,
∴AE=BE,
∴∠BAE=∠ABE.
∵∠BAE+∠DAE=90°,∠ABE+∠AFB=90°,∠BAE=∠ABE,
∴∠DAE=∠AFB.
∵AD=CD=DE,
∴∠DAE=∠DEA.
∵∠ADE=30°,
∴∠DAE=75°,
∴∠AFB=75°.
31. (2011 广东肇庆,20,7 分)如图,在正方形 ABCD 中,E 为对角线 AC 上一点,连接
EB、ED.
(1)求证:△BEC≌△DEC;
(2)延长 BE 交 AD 于点 F,若∠DEB = 140°,求∠AFE 的度数.
【答案】解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形 ∴CD=CB,
∵AC 是正方形的对角线 ∴∠DCA=∠BCA
又 CE =CE∴△BEC≌△DEC
(2)∵∠DEB = 140°
由△BEC≌△DEC 可得∠DEC =∠BEC=140°÷2=70°,
∴∠AEF =∠BEC=70°,
又∵AC 是正方形的对角线, ∠DAB=90°∴∠DAC =∠BAC=90°÷2=45°,
在△AEF 中,∠AFE=180°—70°—45°=65°
32. (2011 广东肇庆,22,8 分)如图,矩形 ABCD 的对角线相交于点 O,DE∥AC,CE∥
BD.
(1)求证:四边形 OCED 是菱形;
(2)若∠ACB=30°,菱形 OCED 的面积为 ,求 AC 的长.
【答案】解:(1)证明:∵DE∥OC,CE∥OD,∴四边形 OCED 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AO=OC=BO=OD
∴四边形 OCED 是菱形.
(2)∵∠ACB=30°∴∠DCO = 90°—30°= 60°
A
BC
D
E
F
38
A
B C
D
E
O
A
B C
D
E
O
图
8
F
又∵OD= OC, ∴△OCD 是等边三角形
过 D 作 DF⊥OC 于 F,则 CF= OC,设 CF=,则 OC= 2,AC=4
在 Rt△DFC 中,tan60°= ∴DF=FC⋅ tan60°
由已知菱形 OCED 的面积为 得 OC⋅ DF= ,即 ,
解得 =2, ∴AC=4×2=8
33. (2011 湖北襄阳,25,10 分)
如图 9,点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点(不与点 A,B 重合),连接 PD 并将线段 PD
绕点 P 顺时针方向旋转 90°得到线段 PE,PE 交边 BC 于点 F,连接 BE,DF.
(1)求证:∠ADP=∠EPB;
(2)求∠CBE 的度数;
(3)当 的值等于多少时,△PFD∽△BFP?并说明理由.
【答案】
(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形
∴∠A=∠PBC=90°,AB=AD,∴∠ADP+∠APD=90°∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
∵∠DPE=90°∴∠APD+∠EPB=90°
∴∠ADP=∠EPB.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
(2)过点 E 作 EG⊥AB 交 AB 的延长线于点 G,则∠EGP=∠A=90°∙∙∙∙∙∙3 分
又∵∠ADP=∠EPB,PD=PE,∴△PAD≌△EGP
GP
F E
D C
BA
2
1
FC
DF x3=
38 38 3832 =⋅ xx
AB
AP
P
F E
D C
BA
图 9
∴EG=AP,AD=AB=PG,∴AP=EG=BG ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
∴∠CBE=∠EBG=45°. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
(3)方法一:
当 时,△PFE∽△BFP.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
∵∠ADP=∠FPB,∠A=∠PBF,∴△ADP∽△BPF ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
设 AD=AB=a,则 AP=PB= ,∴BF=BP· ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
∴ ,
∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
又∵∠DPF=∠PBF=90°,∴△ADP∽△BFP∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
方法二:
假设△ADP∽△BFP,则 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
∵∠ADP=∠FPB,∠A=∠PBF,∴△ADP∽△BPF ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
∴ ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
∴ , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
∴PB=AP, ∴当 时,△PFE∽△BFP. 10 分
34. (2011 湖南永州,25,10 分)探究问题:
⑴方法感悟:
如图①,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别为 DC,BC 边上的点,且满足∠EAF=45°,连接
EF,求证 DE+BF=EF.
感悟解题方法,并完成下列填空:
将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG,此时 AB 与 AD 重合,由旋转可得:
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,
因此,点 G,B,F 在同一条直线上.
∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°.
∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3=45°.
即∠GAF=∠_________.
2
1=
AB
AP
a2
1 aAD
AP
4
1=
aAPADPD 2
522 =+= aBFPBPF 4
522 =+=
5
5==
PF
BF
PD
PB
PF
BF
PD
PB =
BF
AP
PF
PD =
BF
AP
BF
PB =
2
1=
AB
AP
又 AG=AE,AF=AF
∴△GAF≌_______.
∴_________=EF,故 DE+BF=EF.
⑵方法迁移:
如图②,将 沿斜边翻折得到△ADC,点 E,F 分别为 DC,BC 边上的点,且∠EAF=
∠DAB.试猜想 DE,BF,EF 之间有何数量关系,并证明你的猜想.
⑶问题拓展:
如 图 ③ , 在 四 边 形 ABCD 中 , AB=AD , E , F 分 别 为 DC,BC 上 的 点 , 满 足
,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时,可使得 DE+BF=EF.请直接写出你
的猜想(不必说明理由).
【答案】⑴EAF、△EAF、GF.
⑵DE+BF=EF,理由如下:
假设∠BAD 的度数为,将△ADE 绕点 A 顺时针旋转得到△ABG,此时 AB 与 AD 重合,由旋
3
2
1
G
E
F
D
C
B
A
(第 25 题)①
ABCRt∆
2
1
E
F
D
CB
A
(第 25 题)②
DABEAF ∠=∠
2
1
E
F
D
CB
A
(第 25 题)③
转可得:
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,
因此,点 G,B,F 在同一条直线上.
∵∠EAF= ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=
∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3= .
即∠GAF=∠EAF
又 AG=AE,AF=AF
∴△GAF≌△EAF.
∴GF=EF,
又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF.
⑶当∠B 与∠D 互补时,可使得 DE+BF=EF.
35. (2011 江苏盐城,27,12 分)
情境观察
将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开,得到△ABC 和△A′C′D,如图 1 所示.将
△A′C′D 的顶点 A′与点 A 重合,并绕点 A 按逆时针方向旋转,使点 D、A(A′)、B 在同一
条直线上,如图 2 所示.
观察图 2 可知:与 BC 相等的线段是▲,∠CAC′=▲°.
问题探究
°m2
1 °=°−° mmm 2
1
2
1
°m2
1
3
2
1
G
E
F
D
CB
A
(第 25 题)②解得图
图 1 图 2
C'
A'BA
D C
A B
CD
B
C
D A(A')
C'
如图 3,△ABC 中,AG⊥BC 于点 G,以 A 为直角顶点,分别以 AB、AC 为直角边,
向△ABC 外作等腰 Rt△ABE 和等腰 Rt△ACF,过点 E、F 作射线 GA 的垂线,垂足分别
为 P、Q. 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系,并证明你的结论.
拓展延伸
如图 4,△ABC 中,AG⊥BC 于点 G,分别以 AB、AC 为一边向△ABC 外作矩形 ABME
和矩形 ACNF,射线 GA 交 EF 于点 H.若 AB=kAE,AC=kAF,试探究 HE 与 HF 之间的
数量关系,并说明理由.
【答案】情境观察
AD(或 A′D),90
问题探究
结论:EP=FQ.
证明:∵△ABE 是等腰三角形,∴AB=AE,∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,∴∠ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG,∴∠AGB=∠EPA=90°,∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.
同理 AG=FQ. ∴EP=FQ.
拓展延伸
结论: HE=HF.
理由:过点 E 作 EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为 P、Q.
图 3
A
B C
E
F
G
P
Q
图 4
M
N
G
F
E
CB
A
H
∵四边形 ABME 是矩形,∴∠BAE=90°,
∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°,∴△ABG∽△EAP,∴
AG
EP =
AB
EA.
同理△ACG∽△FAQ,∴
AG
FP=
AC
FA.
∵AB=kAE,AC=kAF,∴
AB
EA=
AC
FA=k,∴
AG
EP=
AG
FP. ∴EP=FQ.
∵∠EHP=∠FHQ,∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF.
36. (20011 江苏镇江,23,7 分)已知:如图,在梯形 ABCD 中 AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E 为 AB 中
点,
求证:四边形 BCDE 是菱形.
答案:证明:∵AD⊥BD,
∴∠ADB=90°。
又 E 为 AB 中点,∴DE= AB,BE= AB, ∴DE=BE
∴∠ DBE =∠EDB
又 AB∥CD, ∴∠ BDC =∠EDB
Q
P
H
A
B C
E
F
G
N
M
1
2
1
2
∵BC=CD, ∴∠DBC =∠DBC
∴BC∥DE.
∵EB∥CD
∴四边形 BCDE 是平行四边形
∵BC=CD
∴四边形 BCDE 是菱形。
37. (20011 江苏镇江,25,6 分)已知:如图 1,图形①满足:AD=AB,MD=MB,∠A=72°, ∠M=144
°.图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图 2).记作 AB 的长度为 a,BM 的长度为 b.
(1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度.
(2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸片称为“风
筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为“飞镖一号”.
①小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为 b 的正十边形,需要这种纸片____张;
②小明用若干张“风筝一号”和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图 3),其中
∠P=72°, ∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕
迹.(本题中均为无重叠、无缝隙拼接)
【答案】(1)∠B=72°,∠E=36°
(2)5 个;
(3)图略
38. (2011贵州安顺,25,10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交
BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.
⑴说明四边形ACEF是平行四边形;
⑵当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由.
【答案】(1)证明:由题意知∠FDC=∠DCA=90°.∴EF∥CA∴∠AEF=∠EAC
∵AF=CE=AE∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA 又∵AE=EA
∴△AEC≌△EAF,∴EF=CA,∴四边形 ACEF 是平行四边形 .
(2)当∠B=30°时,四边形 ACEF 是菱形 .
理由是:∵∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC= ,∵DE 垂直平分 BC,∴BE=CE
又∵AE=CE,∴CE= ,∴AC=CE,∴四边形 ACEF 是菱形.
39. (2011 河北,23,9 分)如图 12,四边形 ABCD 是正方形,点 E,K 分别在 BC,AB 上,
点 G 在 BA 的延长线上,且 CE=BK=AG.
(1)求证:①DE=EG;
②DE⊥EG;
(2)尺规作图:以线段 DE,DG 为边作出正方形 DEFG(要求:只保留作图痕迹,不写作
法和证明);
(3)连接(2)中的 KF,猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想;
(4)当 时,请直接写出 的值.
第 25 题图
AB2
1
AB2
1
n
1=
CB
CE
DEFG
ABCD
S
S
正方形
正方形
【答案】(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴DC=DA,∠DCE=∠DAG=90°,又∵CE=AG,∴△
DCE≌△DAG,∴∠EDC=∠GDA,DE=DG.又∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE+∠GDA=90°,∴DE⊥DG.
(2)如图
(3)四边形 CEFK 为平行四边形。
证明:设 CK,DE 相交于 M 点,∵四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形,∴AB∥
CD,AB=CD,EF=DG,EF ∥ DG; ∵ BK=AG, ∴ KG=AB=CD, ∴ 四 边 形 CKGD 为 平 行 四 边 形 。 ∴
CK=DG=EF,CK∥DG.∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°.∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形
CKEF 为平行四边形。
(4) =
40. (2011 湖南湘潭市,24,8 分)(本题满分 8 分)
两个全等的直角三角形重叠放在直线上,如图⑴,AB=6cm,BC=8cm,
∠ABC=90°,将 Rt△ABC 在直线上左右平移,如图⑵所示.
⑴ 求证:四边形 ACFD 是平行四边形;
⑵ 怎样移动 Rt△ABC,使得四边形 ACFD 为菱形;
⑶ 将 Rt△ABC 向左平移 ,求四边形 DHCF 的面积.
图12
B C
A D
G
E
K
MF
B C
A D
G
E
K
DEFG
ABCD
S
S
正方形
正方形
1n
n
2
2
+
cm4
【答案】 (1)证明:∵△ABC≌△DEF,∴AC=DF,∠ACB=∠DFE,∴AC∥DF,
∴四边形 ACFD 是平行四边形;
(2)在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 AC=10cm,要使四边形 ACFD 为菱形,则 AC=CF,
∴可将 Rt△ABC 向左平移 10cm 或向右平移 10cm;
(3)在 Rt△ABC 中, .
∴当 Rt△ABC 向左平移 时,EC=BC-BE=8-4=4(cm),
在 Rt△HEC 中, .
∴四边形 DHCF 的面积为: cm2.
41. (2011 湖北荆州,19,7 分)(本题满分 7 分)如图,P 是矩形 ABCD 下方一点,将△PCD
绕 P 点顺时针旋转 60°后恰好 D 点与 A 点重合,得到△PEA,连接 EB,问△ABE 是什么
特殊三角形?请说明理由.
【答案】△ABE 是等边三角形,理由如下:
因为△PEA 是将△PCD 绕 P 点顺时针旋转 60°后得到的
所以△PEA≌△PCD,且 AE 与 DC 所夹的锐角为 60°
所以 AE=DC
又因为四边形 ABCD 是矩形
所以 DC=AB 且 DC∥AB
所以 AE=AB 且∠EAB=60°
所以△ABE 是等边三角形.
D
C B
A
P
E
图(1)
A(D)
B(E) C(F)
D
图(2)
FE CB
A
H
6 3tan 8 4
ABACB BC
∠ = = =
cm4
3tan 4 34HE EC ACB= ∠ = × =
1 18 6 4 3 182 2
× × − × × =