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- 2021-05-11 发布
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中考数学试题分类汇编:考点 29 与圆有关的位置关系
一.选择题(共 9 小题)
1.(2018•宜宾)在△ABC 中,若 O 为 BC 边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2
成立.依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形 DEFG 中,已知 DE=4,EF=3,
点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动,则 PF2+PG2 的最小值为( )
A. B. C.34 D.10
【分析】设点 M 为 DE 的中点,点 N 为 FG 的中点,连接 MN,则 MN、PM 的长
度 是 定 值 , 利 用 三 角 形 的 三 边 关 系 可 得 出 NP 的 最 小 值 , 再 利 用
PF2+PG2=2PN2+2FN2 即可求出结论.
【解答】解:设点 M 为 DE 的中点,点 N 为 FG 的中点,连接 MN 交半圆于点 P,
此时 PN 取最小值.
∵DE=4,四边形 DEFG 为矩形,
∴GF=DE,MN=EF,
∴MP=FN= DE=2,
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1,
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10.
故选:D.
2.(2018•泰安)如图,⊙M 的半径为 2,圆心 M 的坐标为(3,4),点 P 是
⊙M 上的任意一点,PA⊥PB,且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点,若点 A、
点 B 关于原点 O 对称,则 AB 的最小值为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
【分析】由 Rt△APB 中 AB=2OP 知要使 AB 取得最小值,则 PO 需取得最小值,
连接 OM,交⊙M 于点 P′,当点 P 位于 P′位置时,OP′取得最小值,据此求解可
得.
【解答】解:∵PA⊥PB,
∴∠APB=90°,
∵AO=BO,
∴AB=2PO,
若要使 AB 取得最小值,则 PO 需取得最小值,
连接 OM,交⊙M 于点 P′,当点 P 位于 P′位置时,OP′取得最小值,
过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q,
则 OQ=3、MQ=4,
∴OM=5,
又∵MP′=2,
∴OP′=3,
∴AB=2OP′=6,
故选:C.
3.(2018•滨州)已知半径为 5 的⊙O 是△ABC 的外接圆,若∠ABC=25°,则劣
弧 的长为( )
A. B. C. D.
【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可.
【解答】解:如图:连接 AO,CO,
∵∠ABC=25°,
∴∠AOC=50°,
∴劣弧 的长= ,
故选:C.
4.(2018•自贡)如图,若△ABC 内接于半径为 R 的⊙O,且∠A=60°,连接 OB、
OC,则边 BC 的长为( )
A. B. C. D.
【分析】延长 BO 交圆于 D,连接 CD,则∠BCD=90°,∠D=∠A=60°;又 BD=2R,
根据锐角三角函数的定义得 BC= R.
【解答】解:延长 BO 交⊙O 于 D,连接 CD,
则∠BCD=90°,∠D=∠A=60°,
∴∠CBD=30°,
∵BD=2R,
∴DC=R,
∴BC= R,
故选:D.
5.(2018•湘西州)已知⊙O 的半径为 5cm,圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm,则
直线 l 与⊙O 的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
【分析】根据圆心到直线的距离 5 等于圆的半径 5,则直线和圆相切.
【解答】解:∵圆心到直线的距离 5cm=5cm,
∴直线和圆相切.
故选:B.
6.(2018•徐州)⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 5 和 2,O1O2=3,则⊙O1 和⊙O2 的
位置关系是( )
A.内含 B.内切 C.相交 D.外切
【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1 与⊙O2 的位置关系.
【解答】解:∵⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 5 和 2,O1O2=3,
则 5﹣2=3,
∴⊙O1 和⊙O2 内切.
故选:B.
7.(2018•台湾)如图,两圆外切于 P 点,且通过 P 点的公切线为 L,过 P 点作
两直线,两直线与两圆的交点为 A、B、C、D,其位置如图所示,若 AP=10,CP=9,
则下列角度关系何者正确?( )
A.∠PBD>∠PAC B.∠PBD<∠PAC C.∠PBD>∠PDB D.∠PBD<∠PDB
【分析】根据大边对大角,平行线的判定和性质即可判断;
【解答】解:如图,∵直线 l 是公切线
∴∠1=∠B,∠2=∠A,
∵∠1=∠2,
∴∠A=∠B,
∴AC∥BD,
∴∠C=∠D,
∵PA=10,PC=9,
∴PA>PC,
∴∠C>∠A,
∴∠D>∠B.
故选:D.
8.(2018•内江)已知⊙O1 的半径为 3cm,⊙O2 的半径为 2cm,圆心距 O1O2=4cm,
则⊙O1 与⊙O2 的位置关系是( )
A.外高 B.外切 C.相交 D.内切
【分析】由⊙O1 的半径为 3cm,⊙O2 的半径为 2cm,圆心距 O1O2 为 4cm,根据
两圆位置关系与圆心距 d,两圆半径 R,r 的数量关系间的联系即可得出两圆位
置关系.
【解答】解:∵⊙O1 的半径为 3cm,⊙O2 的半径为 2cm,圆心距 O1O2 为 4cm,
又∵2+3=5,3﹣2=1,1<4<5,
∴⊙O1 与⊙O2 的位置关系是相交.
故选:C.
9.(2018•上海)如图,已知∠POQ=30°,点 A、B 在射线 OQ 上(点 A 在点 O、
B 之间),半径长为 2 的⊙A 与直线 OP 相切,半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交,那
么 OB 的取值范围是( )
A.5<OB<9 B.4<OB<9 C.3<OB<7 D.2<OB<7
【分析】作半径 AD,根据直角三角形 30 度角的性质得:OA=4,再确认⊙B 与⊙
A 相切时,OB 的长,可得结论.
【解答】解:设⊙A 与直线 OP 相切时切点为 D,连接 AD,
∴AD⊥OP,
∵∠O=30°,AD=2,
∴OA=4,
当⊙B 与⊙A 相内切时,设切点为 C,如图 1,
∵BC=3,
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5;
当⊙A 与⊙B 相外切时,设切点为 E,如图 2,
∴OB=OA+AB=4+2+3=9,
∴半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交,那么 OB 的取值范围是:5<OB<9,
故选:A.
二.填空题(共 7 小题)
10.(2018•临沂)如图.在△ABC 中,∠A=60°,BC=5cm.能够将△ABC 完全覆
盖的最小圆形纸片的直径是 cm.
【分析】根据题意作出合适的辅助线,然后根据圆的相关知识即可求得△ABC 外
接圆的直径,本题得以解决.
【解答】解:设圆的圆心为点 O,能够将△ABC 完全覆盖的最小圆是△ABC 的外
接圆,
∵在△ABC 中,∠A=60°,BC=5cm,
∴∠BOC=120°,
作 OD⊥BC 于点 D,则∠ODB=90°,∠BOD=60°,
∴BD= ,∠OBD=30°,
∴OB= ,得 OB= ,
∴2OB= ,
即△ABC 外接圆的直径是 cm,
故答案为: .
11.(2018•内江)已知△ABC 的三边 a,b,c,满足 a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b,
则△ABC 的外接圆半径= .
【分析】根据题目中的式子可以求得 a、b、c 的值,从而可以求得△ABC 的外接
圆半径的长.
【解答】解:∵a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b,
∴(a﹣1﹣4 +4)+(b2﹣10b+25)+|c﹣6|=0,
∴( ﹣2)2+(b﹣5)2+|c﹣6|=0,
∴ ,b﹣5=0,c﹣6=0,
解得,a=5,b=5,c=6,
∴AC=BC=5,AB=6,
作 CD⊥AB 于点 D,
则 AD=3,CD=4,
设△ABC 的外接圆的半径为 r,
则 OC=r,OD=4﹣r,OA=r,
∴32+(4﹣r)2=r2,
解得,r= ,
故答案为: .
12.(2018•黄冈)如图,△ABC 内接于⊙O,AB 为⊙O 的直径,∠CAB=60°,弦
AD 平分∠CAB,若 AD=6,则 AC= 2 .
【分析】连接 BD.在 Rt△ADB 中,求出 AB,再在 Rt△ACB 中求出 AC 即可解决
问题;
【解答】解:连接 BD.
∵AB 是直径,
∴∠C=∠D=90°,
∵∠CAB=60°,AD 平分∠CAB,
∴∠DAB=30°,
∴AB=AD÷cos30°=4 ,
∴AC=AB•cos60°=2 ,
故答案为 2 .
13.(2018•新疆)如图,△ABC 是⊙O 的内接正三角形,⊙O 的半径为 2,则图
中阴影部的面积是 .
【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数,再根据
扇形面积公式计算即可.
【解答】解:∵△ABC 是等边三角形,
∴∠C=60°,
根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°,
∴阴影部分的面积是 = π,
故答案为:
14.(2018•扬州)如图,已知⊙O 的半径为 2,△ABC 内接于⊙O,∠ACB=135°,
则 AB= 2 .
【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍,可以
求得∠AOB 的度数,然后根据勾股定理即可求得 AB 的长.
【解答】解:连接 AD、AE、OA、OB,
∵⊙O 的半径为 2,△ABC 内接于⊙O,∠ACB=135°,
∴∠ADB=45°,
∴∠AOB=90°,
∵OA=OB=2,
∴AB=2 ,
故答案为:2 .
15.(2018•泰安)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠A=45°,BC=4,则⊙O 的直
径为 4 .
【 分 析 】 连 接 OB , OC , 依 据 △ BOC 是 等 腰 直 角 三 角 形 , 即 可 得 到
BO=CO=BC•cos45°=2 ,进而得出⊙O 的直径为 4 .
【解答】解:如图,连接 OB,OC,
∵∠A=45°,
∴∠BOC=90°,
∴△BOC 是等腰直角三角形,
又∵BC=4,
∴BO=CO=BC•cos45°=2 ,
∴⊙O 的直径为 4 ,
故答案为:4 .
16.(2018•大庆)已知直线 y=kx(k≠0)经过点(12,﹣5),将直线向上平移
m(m>0)个单位,若平移后得到的直线与半径为 6 的⊙O 相交(点 O 为坐标
原点),则 m 的取值范围为 m< .
【分析】利用待定系数法得出直线解析式,再得出平移后得到的直线,求与坐标
轴交点的坐标,转化为直角三角形中的问题,再由直线与圆的位置关系的判定解
答.
【解答】解:把点(12,﹣5)代入直线 y=kx 得,
﹣5=12k,
∴k=﹣ ;
由 y=﹣ x 平移平移 m(m>0)个单位后得到的直线 l 所对应的函数关系式为
y=﹣ x+m(m>0),
设直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,(如下图所示)
当 x=0 时,y=m;当 y=0 时,x= m,
∴A( m,0),B(0,m),
即 OA= m,OB=m;
在 Rt△OAB 中,
AB= ,
过点 O 作 OD⊥AB 于 D,
∵S△ABO= OD•AB= OA•OB,
∴ OD• = × ,
∵m>0,解得 OD= ,
由直线与圆的位置关系可知 <6,解得 m< .
故答案为:m< .
三.解答题(共 4 小题)
17.(2018•福建)如图,D 是△ABC 外接圆上的动点,且 B,D 位于 AC 的两侧,
DE⊥AB,垂足为 E,DE 的延长线交此圆于点 F.BG⊥AD,垂足为 G,BG 交 DE
于点 H,DC,FB 的延长线交于点 P,且 PC=PB.
(1)求证:BG∥CD;
(2)设△ABC 外接圆的圆心为 O,若 AB= DH,∠OHD=80°,求∠BDE 的大小.
【分析】(1)根据等边对等角得:∠PCB=∠PBC,由四点共圆的性质得:∠BAD+
∠BCD=180°,从而得:∠BFD=∠PCB=∠PBC,根据平行线的判定得:BC∥DF,可
得∠ABC=90°,AC 是⊙O 的直径,从而得:∠ADC=∠AGB=90°,根据同位角相等
可得结论;
(2)先证明四边形 BCDH 是平行四边形,得 BC=DH,根据特殊的三角函数值得:
∠ACB=60°,∠BAC=30°,所以 DH= AC,分两种情况:
①当点 O 在 DE 的左侧时,如图 2,作辅助线,构建直角三角形,由同弧所对的
圆周角相等和互余的性质得:∠AMD=∠ABD,则∠ADM=∠BDE,并由 DH=OD,
可得结论;
②当点 O 在 DE 的右侧时,如图 3,同理作辅助线,同理有∠ADE=∠BDN=20°,
∠ODH=20°,得结论.
【解答】(1)证明:如图 1,∵PC=PB,
∴∠PCB=∠PBC,
∵四边形 ABCD 内接于圆,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∵∠BCD+∠PCB=180°,
∴∠BAD=∠PCB,
∵∠BAD=∠BFD,
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC,
∴BC∥DF,
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∴∠ABC=90°,
∴AC 是⊙O 的直径,
∴∠ADC=90°,
∵BG⊥AD,
∴∠AGB=90°,
∴∠ADC=∠AGB,
∴BG∥CD;
(2)由(1)得:BC∥DF,BG∥CD,
∴四边形 BCDH 是平行四边形,
∴BC=DH,
在 Rt△ABC 中,∵AB= DH,
∴tan∠ACB= = ,
∴∠ACB=60°,∠BAC=30°,
∴∠ADB=60°,BC= AC,
∴DH= AC,
①当点 O 在 DE 的左侧时,如图 2,作直径 DM,连接 AM、OH,则∠DAM=90°,
∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB,
∴∠BED=90°,
∴∠BDE+∠ABD=90°,
∵∠AMD=∠ABD,
∴∠ADM=∠BDE,
∵DH= AC,
∴DH=OD,
∴∠DOH=∠OHD=80°,
∴∠ODH=20°
∵∠AOB=60°,
∴∠ADM+∠BDE=40°,
∴∠BDE=∠ADM=20°,
②当点 O 在 DE 的右侧时,如图 3,作直径 DN,连接 BN,
由①得:∠ADE=∠BDN=20°,∠ODH=20°,
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°,
综上所述,∠BDE 的度数为 20°或 40°.
18.(2018•温州)如图,D 是△ABC 的 BC 边上一点,连接 AD,作△ABD 的外
接圆,将△ADC 沿直线 AD 折叠,点 C 的对应点 E 落在 BD 上.
(1)求证:AE=AB.
(2)若∠CAB=90°,cos∠ADB= ,BE=2,求 BC 的长.
【分析】(1)由折叠得出∠AED=∠ACD、AE=AC,结合∠ABD=∠AED 知∠ABD=
∠ACD,从而得出 AB=AC,据此得证;
(2)作 AH⊥BE,由 AB=AE 且 BE=2 知 BH=EH=1,根据∠ABE=∠AEB=∠ADB 知
cos∠ABE=cos∠ADB= = ,据此得 AC=AB=3,利用勾股定理可得答案.
【解答】解:(1)由折叠的性质可知,△ADE≌△ADC,
∴∠AED=∠ACD,AE=AC,
∵∠ABD=∠AED,
∴∠ABD=∠ACD,
∴AB=AC,
∴AE=AB;
(2)如图,过 A 作 AH⊥BE 于点 H,
∵AB=AE,BE=2,
∴BH=EH=1,
∵∠ABE=∠AEB=∠ADB,cos∠ADB= ,
∴cos∠ABE=cos∠ADB= ,
∴ = .
∴AC=AB=3,
∵∠BAC=90°,AC=AB,
∴BC=3 .
19.(2018•天门)如图,在⊙O 中,AB 为直径,AC 为弦.过 BC 延长线上一点
G,作 GD⊥AO 于点 D,交 AC 于点 E,交⊙O 于点 F,M 是 GE 的中点,连接 CF,
CM.
(1)判断 CM 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
(2)若∠ECF=2∠A,CM=6,CF=4,求 MF 的长.
【分析】(1)连接 OC,如图,利用圆周角定理得到∠ACB=90°,再根据斜边上
的中线性质得 MC=MG=ME,所以∠G=∠1,接着证明∠1+∠2=90°,从而得到∠
OCM=90°,然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断 CM 为⊙O 的切线;
(2)先证明∠G=∠A,再证明∠EMC=∠4,则可判定△EFC∽△ECM,利用相似
比先计算出 CE,再计算出 EF,然后计算 ME﹣EF 即可.
【解答】解:(1)CM 与⊙O 相切.理由如下:
连接 OC,如图,
∵GD⊥AO 于点 D,
∴∠G+∠GBD=90°,
∵AB 为直径,
∴∠ACB=90°,
∵M 点为 GE 的中点,
∴MC=MG=ME,
∴∠G=∠1,
∵OB=OC,
∴∠B=∠2,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠OCM=90°,
∴OC⊥CM,
∴CM 为⊙O 的切线;
(2)∵∠1+∠3+∠4=90°,∠5+∠3+∠4=90°,
∴∠1=∠5,
而∠1=∠G,∠5=∠A,
∴∠G=∠A,
∵∠4=2∠A,
∴∠4=2∠G,
而∠EMC=∠G+∠1=2∠G,
∴∠EMC=∠4,
而∠FEC=∠CEM,
∴△EFC∽△ECM,
∴ = = ,即 = = ,
∴CE=4,EF= ,
∴MF=ME﹣EF=6﹣ = .
20.(2018•泰州)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,∠ABC 的平分线
交⊙O 于点 D,DE⊥BC 于点 E.
(1)试判断 DE 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
(2)过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,若 BE=3 ,DF=3,求图中阴影部分的面积.
【分析】(1)直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠
EDO=90°,进而得出答案;
(2)利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案.
【解答】解:(1)DE 与⊙O 相切,
理由:连接 DO,
∵DO=BO,
∴∠ODB=∠OBD,
∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D,
∴∠EBD=∠DBO,
∴∠EBD=∠BDO,
∴DO∥BE,
∵DE⊥BC,
∴∠DEB=∠EDO=90°,
∴DE 与⊙O 相切;
(2)∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D,DE⊥BE,DF⊥AB,
∴DE=DF=3,
∵BE=3 ,
∴BD= =6,
∵sin∠DBF= = ,
∴∠DBA=30°,
∴∠DOF=60°,
∴sin60°= = = ,
∴DO=2 ,
则 FO= ,
故图中阴影部分的面积为: ﹣ × ×3=2π﹣ .