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  • 2021-05-11 发布

勾股定理中考十三大考点

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‎《勾股定理》典型例题分析 一、知识要点:‎ ‎1、勾股定理 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c ,那么 a2 + b2= c2。‎ 公式的变形:a2 = c2- b2, b2= c2-a2 。‎ ‎2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.‎ 该定理在应用时,要注意处理好如下几个要点:‎ ① 已知的条件:某三角形的三条边的长度.‎ ‎②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.‎ ‎③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角.‎ ‎④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。‎ ‎3、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数,称为勾股数。注意:①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。常见勾股数有:‎ ‎(3,4,5 )(5,12,13 ) ( 6,8,10 ) ( 7,24,25 )( 8,15,17 )‎ ‎(9,12,15 ) ‎ 4、 最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。 ‎ ‎ ‎ 二、考点剖析 考点一:利用勾股定理求面积 ‎1、求阴影部分面积:(1)阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆.‎ ‎2. 如图,以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系.‎ ‎3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S1、S2、S3,则它们之间的关系是( )‎ A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3< S1 D. S2- S3=S1‎ ‎4、四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。‎ ‎ ‎ 考点二:在直角三角形中,已知两边求第三边 ‎ ‎1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm ,则斜边长为 .‎ ‎2.(易错题、注意分类的思想)已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是 ‎ ‎ ‎3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12, 求斜边上的高. ‎ ‎4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的( )‎ A. 2倍 B. 4倍 C. 6倍 D. 8倍 ‎5、在Rt△ABC中,∠C=90°‎ ‎①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;‎ ‎ 6、如果直角三角形的两直角边长分别为,2n(n>1),那么它的斜边长是(  )‎ ‎ A、2n B、n+1 C、n2-1 D、‎ ‎7、在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是( )‎ A. B. C. D.以上都有可能 ‎8、已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是(  )‎ ‎ A、24 B、36 C、48 D、60‎ ‎9、已知x、y为正数,且│x2-4│+(y2-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( ) ‎ A、5 B、25 C、7 D、15 ‎ 考点三:应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、如图1所示,等腰中,,是底边上的高,若,求 ①AD的长;②ΔABC的面积.‎ 考点四:勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 ‎1、下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是( )‎ A. 4,5,6 B. 2,3,4 C. 11,12,13 D. 8,15,17‎ ‎2、若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为(  )‎ ‎ A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7‎ ‎3、下面的三角形中:‎ ‎①△ABC中,∠C=∠A-∠B; ②△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3;‎ ‎③△ABC中,a:b:c=3:4:5; ④△ABC中,三边长分别为8,15,17.‎ 其中是直角三角形的个数有( ).‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎4、若三角形的三边之比为,则这个三角形一定是( )‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 ‎ C.等腰直角三角形 D.不等边三角形 ‎5、已知a,b,c为△ABC三边,且满足(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则它的形状为(  )‎ A.直角三角形 B.等腰三角形 ‎ C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ‎6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )‎ A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 ‎7、若△ABC的三边长a,b,c满足试判断△ABC的形状。‎ ‎8、△ABC的两边分别为5,12,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为 ,此三角形为 。‎ 例3:求 ‎(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度。‎ ‎(2)已知三角形三边的比为1::2,则其最小角为 。‎ 考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 某楼梯的侧面视图如图3所示,其中米,,,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为        .‎ 考点七:折叠问题 ‎1、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于N,若AC=4,MB=2MC,求AB的长.‎ 3、 折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。‎ A B C E F D ‎4、如图,在长方形ABCD中,将ABC沿AC对折至AEC位置,CE与AD交于点F。‎ ‎(1)试说明:AF=FC;(2)如果AB=3,BC=4,求AF的长 ‎5、 如图2-3,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠,使点C落在C ‎′的位置上,已知AB=3,BC=7,重合部分△EBD的面积为________.‎ ‎ ‎ ‎ 2-5‎ ‎12、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。 ‎ ‎ ‎ 考点八:应用勾股定理解决勾股树问题 已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是 .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点九、图形问题 ‎1、如图2,已知,在△ABC中,∠A = 45°,AC = ,AB = +1,则边BC的长为 .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2、某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD是长方形,上部是以AD为直径的半圆,其中AB=2.3m,BC=2m,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5m,宽为1.6m,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 ‎. ‎ 考点十:其他图形与直角三角形 如图是一块地,已知AD=8m,CD=6m,∠D=90°,AB=26m,BC=24m,求这块地的面积。‎ 考点十一:与展开图有关的计算 ‎1、如图,在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上,求从顶点A到顶点C’的最短距离.‎ ‎2、如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行 cm 考点十二、航海问题 ‎1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行,另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行,经过1.5小时后,它们相距________海里.‎ ‎2、如图,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处,在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处,此时又测得该岛在北偏东30°的方向上,已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁,若继续向正东方向航行,该货船有无暗礁危险?试说明理由。‎ ‎ ‎ 考点十三、网格问题 ‎1、如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数是( )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎2、如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是 ( )‎ A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 ‎3、如图,小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )‎ A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5‎ ‎ ‎ ‎ (图1) (图2) (图3)‎ ‎4、如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形:‎ ‎①使三角形的三边长分别为3、、(在图甲中画一个即可);‎ ‎②使三角形为钝角三角形且面积为4(在图乙中画一个即可).‎ ‎ ‎ 单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善 ‎ 教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。‎