- 610.50 KB
- 2021-05-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2016年天津市东丽区中考数学二模试卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.计算(﹣5)×(﹣2)的结果等于( )
A.7 B.﹣10 C.10 D.﹣3
2.tan30°的结果等于( )
A. B. C. D.
3.下列图形中,属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.在第三届中小学生运动会上,我市共有1330名学生参赛,创造了比赛组别、人数、项目之最,将1330用科学记数法表示为( )
A.133×10 B.1.33×103 C.133×104 D.133×105
5.如图所示,几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
6.已知反比例函数y=,当1<x<2时,y的取值范围是( )
A.0<y<5 B.1<y<2 C.5<y<10 D.y>10
7.正六边形的边心距是,则它的边长是( )
A. B.2 C. D.
8.若=0,则x的值等于( )
A.3或﹣2 B.﹣3 C.2 D.无法确定
9.化简的结果是( )
A.x+1 B. C.x﹣1 D.
10.如图,平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°,得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点,点C′与点C是对应点,点D′与点D是对应点),点B′恰好落在BC边上,则∠C的度数等于( )
A.100° B.105° C.115° D.120°
11.为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,随机抽取部分学生进行调查,并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图.根据统计图提供的信息,可估算出该校喜爱体育节目的学生共有( )
A.1200名 B.450名 C.400名 D.300名
12.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(﹣2,0)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方.下列结论:①4a﹣2b+c=0;②a﹣b+c<0;③2a+c>0;④2a﹣b+1>0.其中正确结论的个数是( )个.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(本大题共6小题,共18分)
13.计算(﹣2y3)2的结果等于 .
14.一次函数y=﹣x+3的图象上有两点(x1,y1)和(x2,y2),且x1<x2,则y1与y2的大小关系为 .
15.在五张完全相同的卡片上,分别写有数字0,﹣3,﹣2,1,﹣,现从中随机抽取一张,抽到写有非负数的卡片的概率是 .
16.四边形ABCD为圆O的内接四边形,已知∠BOD=100°,则∠BCD= .
17.已知,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,若线段CD=2,且CD∥AB,则AD的长度等于 .
18.如图,是由每个边长都是1的小正方形构成的网格,点O,A,B,M均为格点,P为线段OM上的一个动点.
(1)点B到OM的距离等于 ;
(2)当点P在线段OM上运动,且使PA2+PB2取得最小值时,请借助网格和无刻度的直尺,在给定的网格中画出点P的位置,并简要说明你是怎么画的.
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
19.解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
20.为了倡导“节约用水,从我做起”,黄冈市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查,市政府调查小组随机抽查了其中100户家庭一年的月平均用水量(单位:吨).并将调查结果制成了如图所示的条形统计图.
(1)请将条形统计图补充完整;
(2)求这100个样本数据的平均数,众数和中位数;
(3)根据样本数据,估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户?
21.已知四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,∠DAB=45°.
(Ⅰ)如图①,判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(Ⅱ)如图②,E是⊙O上一点,且点E在AB的下方,若⊙O的半径为3cm,AE=5cm,求点E到AB的距离.
22.如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图,椅子高为AC,椅面宽为BE,椅脚高为ED,且AC⊥BE,AC⊥CD,AC∥ED.从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°.已知ED=35cm,求椅子高AC约为多少?
(参考数据:tan53°≈,sin53°≈,tan64°≈2,sin64°≈)
23.甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购物超过1000元后,超出1000元的部分按90%收费;在乙商场累计购物超过500元后,超出500元的部分按95%收费,设小红在同一商场累计购物x元,其中x>1000.
(1)根据题题意,填写下表(单位:元)
累计购物
1300
2900
…
x
在甲商场实际花费
…
在乙商场实际花费
…
(2)当x取何值时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同?
(3)当小红在同一商场累计购物超过1000元时,在哪家商场的实际花费少?
24.如图,有一张直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=3,直角边AC在x轴上,B点在第二象限,A(,0),AB交y轴于E,将纸片过E点折叠使BE与EA所在的直线上,得到折痕EF(F在x轴上),再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE,然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA方向平行移动,至B点到达A点停止(记平移后的四边形为B1C1F1E1).在平移过程中,设平移的距离BB1=x,四边形B1C1F1E1与△AEF重叠的面积为S.
(1)求折痕EF的长;
(2)平移过程中是否存在点F1落在y轴上?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由;
(3)直接写出S与x的函数关系式及自变量x的取值范围 .
25.如图,点A(﹣2,0)、B(4,0)、C(3,3)在抛物线y=ax2+bx+c上,点D在y轴上,且DC⊥BC,∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)CF能否经过抛物线的顶点?若能,求出此时点E的坐标;若不能,说明理由;
(3)若△FDC是等腰三角形,求点F的坐标.
2016年天津市东丽区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.计算(﹣5)×(﹣2)的结果等于( )
A.7 B.﹣10 C.10 D.﹣3
【考点】有理数的乘法.
【分析】有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,依此计算即可求解.
【解答】解:(﹣5)×(﹣2)=10.
故选:C.
2.tan30°的结果等于( )
A. B. C. D.
【考点】特殊角的三角函数值.
【分析】根据特殊角三角函数值,可得答案.
【解答】解:tan30°=,
故选:C.
3.下列图形中,属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解:A、是轴对称图形,故本选项正确;
B、不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、不是轴对称图形,故本选项错误.
故选A.
4.在第三届中小学生运动会上,我市共有1330名学生参赛,创造了比赛组别、人数、项目之最,将1330用科学记数法表示为( )
A.133×10 B.1.33×103 C.133×104 D.133×105
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:1330用科学记数法表示为1.33×103.
故选B.
5.如图所示,几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案.
【解答】解:从正面看第一层是一个矩形,第二层左边一个矩形,
故选:A.
6.已知反比例函数y=,当1<x<2时,y的取值范围是( )
A.0<y<5 B.1<y<2 C.5<y<10 D.y>10
【考点】反比例函数的性质.
【分析】将x=1和x=2分别代入反比例函数即可确定函数值的取值范围.
【解答】解:∵反比例函数y=中当x=1时y=10,当x=2时,y=5,
∴当1<x<2时,y的取值范围是5<y<10,
故选:C.
7.正六边形的边心距是,则它的边长是( )
A. B.2 C. D.
【考点】正多边形和圆.
【分析】运用正六边形的性质,正六边形边长等于外接圆的半径,再利用勾股定理解决.
【解答】解:∵正六边形的边心距为,
∴OB=,AB=OA,
∵OA2=AB2+OB2,
∴OA2=(OA)2+()2,
解得:OA=2.
故选B.
8.若=0,则x的值等于( )
A.3或﹣2 B.﹣3 C.2 D.无法确定
【考点】分式的值为零的条件.
【分析】根据分式有意义的条件可得:(x+3)(x﹣2)=0,且x﹣2≠0,再解即可.
【解答】解:由题意得:(x+3)(x﹣2)=0,且x﹣2≠0,
解得:x=﹣3,
故选:B.
9.化简的结果是( )
A.x+1 B. C.x﹣1 D.
【考点】分式的加减法.
【分析】原式变形后,利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.
【解答】解:原式=﹣===x+1.
故选A
10.如图,平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°,得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点,点C′与点C是对应点,点D′与点D是对应点),点B′恰好落在BC边上,则∠C的度数等于( )
A.100° B.105° C.115° D.120°
【考点】旋转的性质;平行四边形的性质.
【分析】根据旋转的性质得出AB=AB′,∠BAB′=30°,进而得出∠B的度数,再利用平行四边形的性质得出∠C的度数即可.
【解答】解:∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°,得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点,点C′与点C是对应点,点D′与点D是对应点),
∴AB=AB′,∠BAB′=30°,
∴∠B=∠AB′B=÷2=75°,
∴∠C=180°﹣75°=105°.
故选B.
11.为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,随机抽取部分学生进行调查,并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图.根据统计图提供的信息,可估算出该校喜爱体育节目的学生共有( )
A.1200名 B.450名 C.400名 D.300名
【考点】用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】先求出喜爱体育节目的学生占总人数百分比,再乘以总人数即可.
【解答】解;∵喜爱体育节目的学生占1﹣10%﹣5%﹣35%﹣30%=20%,该校共1500名学生,
∴该校喜爱体育节目的学生共有1500×20%=300(名),
故选:D.
12.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(﹣2,0)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方.下列结论:①4a﹣2b+c=0;②a﹣b+c<0;③2a+c>0;④2a﹣b+1>0.其中正确结论的个数是( )个.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【考点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象上点的坐标特征;抛物线与x轴的交点.
【分析】根据已知画出图象,把x=﹣2代入得:4a﹣2b+c=0,2a+c=2b﹣2a;把x=﹣1代入得到a﹣b+c>0;根据﹣<0,推出a<0,b<0,a+c>b,计算2a+c=2b﹣2a>0;代入得到2a﹣b+1=﹣c+1>0,根据结论判断即可.
【解答】解:根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(﹣2,0)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方,画出图象为:如图
把x=﹣2代入得:4a﹣2b+c=0,∴①正确;
把x=﹣1代入得:y=a﹣b+c>0,如图A点,∴②错误;
∵(﹣2,0)、(x1,0),且1<x1,
∴取符合条件1<x1<2的任何一个x1,﹣2•x1<﹣2,
∴由一元二次方程根与系数的关系知 x1•x2=<﹣2,
∴不等式的两边都乘以a(a<0)得:c>﹣2a,
∴2a+c>0,∴③正确;
④由4a﹣2b+c=0得 2a﹣b=﹣,
而0<c<2,∴﹣1<﹣<0
∴﹣1<2a﹣b<0
∴2a﹣b+1>0,
∴④正确.
所以①③④三项正确.
故选B.
二、填空题(本大题共6小题,共18分)
13.计算(﹣2y3)2的结果等于 4y6 .
【考点】幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可.
【解答】解:(﹣2y3)2=(﹣2y3)•(﹣2y3)
=4y6.
故答案为:4y6.
14.一次函数y=﹣x+3的图象上有两点(x1,y1)和(x2,y2),且x1<x2,则y1与y2的大小关系为 y1>y2 .
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】先根据从一次函数的解析式判断出函数的增减性,再由x1<x2即可得出结论.
【解答】解:∵一次函数y=﹣x+3中,k=﹣1<0,
∴y随x的增大而减小.
∵x1<x2,
∴y1>y2.
故答案为:y1>y2.
15.在五张完全相同的卡片上,分别写有数字0,﹣3,﹣2,1,﹣,现从中随机抽取一张,抽到写有非负数的卡片的概率是 .
【考点】概率公式.
【分析】先求出非负数的个数,再根据概率公式计算可得.
【解答】解:∵0,﹣3,﹣2,1,﹣这5个数中,非负数有0,1这2个,
∴从中随机抽取一张,抽到写有非负数的卡片的概率是,
故答案为:.
16.四边形ABCD为圆O的内接四边形,已知∠BOD=100°,则∠BCD= 130°或50° .
【考点】圆内接四边形的性质;圆周角定理.
【分析】先根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到∠BOD=100°,再根据圆周角定理得∠BCD=∠BOD=50°,然后根据圆内接四边形的性质求解.
【解答】解:如图
∵弧BAD的度数为140°,
∴∠BOD=140°,
∴∠BCD=∠BOD=50°,
∴∠BAD=180°﹣∠ACD=130°.
同理,当点A是优弧上时,∠BAD=50°
故答案为:130°或50°.
17.已知,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,若线段CD=2,且CD∥
AB,则AD的长度等于 或3 .
【考点】勾股定理.
【分析】分两种情况:①延长BC、AD交于点M,由平行线证出△DCM∽△ABN,得出=,得出CN=BC=3,AD=DN=AN,求出BN=6,由勾股定理求出AN,即可得出AD的长度;
②设AD交BC于O,由平行线证明△COD∽△BOA,得出=,求出OC=1,OB=2,由勾股定理求出OD和OA,即可得出AD的长度.
【解答】解:分两种情况:
①如图1所示:延长BC、AD交于点M,
∵CD∥AB,
∴△DCM∽△ABN,
∴==,
∴CN=BC=3,AD═AN,
∴BN=6,
∵∠ABC=90°,
∴AN===2,
∴AD=;
②如图2所示:
设AD交BC于O,
∵CD∥AB,∠ABC=90°,
∴△COD∽△BOA,
∴=,
∵BC=3,
∴OC=1,OB=2,
∴OD==,OA==2,
∴AD=OA+OD=3;
综上所述:AD的长度等于或3;
故答案为:或3.
18.如图,是由每个边长都是1的小正方形构成的网格,点O,A,B,M均为格点,P为线段OM上的一个动点.
(1)点B到OM的距离等于 2 ;
(2)当点P在线段OM上运动,且使PA2+PB2取得最小值时,请借助网格和无刻度的直尺,在给定的网格中画出点P的位置,并简要说明你是怎么画的.
【考点】作图—应用与设计作图;轴对称﹣最短路线问题.
【分析】(1)根据勾股定理即可得到结论;
(2)取格点F,E,连接EF,得到点N,取格点S,T,连接ST,得到点R,连接NR即可得到结果.
【解答】解:(1)点B到OM的距离==2,
故答案为:2;
(2)取格点F,E,连接EF,得到点N,取格点S,T,连接ST,得到点R,连接NR交OM于P,
则点P即为所求.
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
19.解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
【考点】解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集.
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:大小小大中间找,确定不等式组的解集,再根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来.
【解答】解:解不等式①,得:x>﹣3,
解不等式②,得:x≤2,
∴不等式组的解集为:﹣3<x≤2,
在数轴上表示不等式组的解集为:
20.为了倡导“节约用水,从我做起”,黄冈市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查,市政府调查小组随机抽查了其中100户家庭一年的月平均用水量(单位:吨).并将调查结果制成了如图所示的条形统计图.
(1)请将条形统计图补充完整;
(2)求这100个样本数据的平均数,众数和中位数;
(3)根据样本数据,估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户?
【考点】条形统计图;用样本估计总体;加权平均数;中位数;众数.
【分析】(1)根据条形图中数据得出平均用水11吨的户数,进而画出条形图即可;
(2)根据平均数、中位数、众的定义分别求解即可;
(3)根据样本估计总体得出答案即可.
【解答】解:(1)根据条形图可得出:
平均用水11吨的用户为:100﹣20﹣10﹣20﹣10=40(户),
如图所示:
(2)平均数为:(20×10+40×11+12×10+13×20+10×14)=11.6(吨),
根据11出现次数最多,故众数为:11,
根据100个数据的最中间为第50和第51个数据,
按大小排列后第50,51个数据是11,故中位数为:11;
答:这100个样本数据的平均数,众数和中位数分别是11.6,11,11;
(3)样本中不超过12吨的有20+40+10=70(户),
答:黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有:500×=350(户).
21.已知四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,∠DAB=45°.
(Ⅰ)如图①,判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(Ⅱ)如图②,E是⊙O上一点,且点E在AB的下方,若⊙O的半径为3cm,AE=5cm,求点E到AB的距离.
【考点】切线的判定;勾股定理.
【分析】(1)连接OD,则∠AOD为直角,由四边形ABCD是平行四边形,则AB∥DC.从而得出∠CDO=90°,即可证出答案.
(2)作EF⊥AB于F,连接BE,根据圆周角定理得∠AEB=90°,然后根据勾股定理求得BE,然后根据sin∠BAE==求得EF即可.
【解答】解:(1)CD与圆O相切.
证明:如图①,连接OD,则∠AOD=2∠DAB=2×45°=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC.
∴∠CDO=∠AOD=90°.
∴OD⊥CD.
∴CD与圆O相切.
(2)如图②,作EF⊥AB于F,连接BE,
∵AB是圆O的直径,
∴∠AEB=90°,AB=2×3=6.
∵AE=5,
∴BE==,
∵sin∠BAE==.
∴=
∴EF=.
22.如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图,椅子高为AC,椅面宽为BE,椅脚高为ED,且AC⊥BE,AC⊥CD,AC∥ED.从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°.已知ED=35cm,求椅子高AC约为多少?
(参考数据:tan53°≈,sin53°≈,tan64°≈2,sin64°≈)
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】根据正切函数的定义,可得方程①②,根据代入消元法,可得答案.
【解答】解:在Rt△ACD中,tan∠ADC=tan64°==2,
CD=①.
在Rt△ABE中tan∠ABE=tan53°==,
BE=AB ②.
BE=CD,得===AB,
解得AB=70cm,
AC=AB+BC=AB+DE=70+35=105cm.
23.甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购物超过1000元后,超出1000元的部分按90%收费;在乙商场累计购物超过500元后,超出500元的部分按95%收费,设小红在同一商场累计购物x元,其中x>1000.
(1)根据题题意,填写下表(单位:元)
累计购物
1300
2900
…
x
在甲商场实际花费
1270
2710
…
0.9x+100
在乙商场实际花费
1260
2780
…
0.95x+25
(2)当x取何值时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同?
(3)当小红在同一商场累计购物超过1000元时,在哪家商场的实际花费少?
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】(1)根据已知得出甲商场1000+×0.9以及500+×0.95进而得出答案,同理可得出在乙商场累计购物2900元、x元的实际花费;
(2)根据题中已知条件,求出0.95x+2.5,0.9x+100相等,从而得出正确结论;
(3)根据0.95x+25与0.9x+100相比较,从而得出正确结论.
【解答】解:(1)在甲商场:1000+×0.9=1270,
1000+×0.9=2710,
1000+(x﹣1000)×0.9=0.9x+100;
在乙商场:500+×0.95=1260,
500+×0.95=2780,
500+(x﹣500)×0.95=0.95x+25;
填表如下:
累计购物
1300
2900
…
x
在甲商场实际花费
1270
2710
…
0.9x+100
在乙商场实际花费
1260
2780
…
0.95x+25
(2)根据题意得出:
0.9x+100=0.95x+25,
解得:x=1500,
答:当x为1500时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同;
(3)由0.9x+100<0.95x+25,
解得:x>1500,
0.9x+100>0.95x+25,
解得:x<1500,
∴当小红累计购物大于1500时,选择甲商场实际花费少;
当累计购物正好为1500元时,两商场花费相同;
当小红累计购物超过1000元而不到1500元时,在乙商场实际花费少.
答:当小红累计购物超过1000元而不到1500元时,在乙商场实际花费少;正好为1500元时,两商场花费相同;大于1500时,选择甲商场实际花费少.
24.如图,有一张直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=3,直角边AC在x轴上,B点在第二象限,A(,0),AB交y轴于E,将纸片过E点折叠使BE与EA所在的直线上,得到折痕EF(F在x轴上),再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE,然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA方向平行移动,至B点到达A点停止(记平移后的四边形为B1C1F1E1).在平移过程中,设平移的距离BB1=x,四边形B1C1F1E1与△AEF重叠的面积为S.
(1)求折痕EF的长;
(2)平移过程中是否存在点F1落在y轴上?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由;
(3)直接写出S与x的函数关系式及自变量x的取值范围 S= .
【考点】几何变换综合题.
【分析】(1)运用30°的角的直角三角形求解即可求出折痕EF的长.
(2)存在,作B1D⊥BC,由(1)可得FO的长,进而可求出B1D的长度,在直角三角形中可求出BB1,即x的值.
(3)分4种情况讨论①当0≤x≤2时,即点E到A时经过的面积,②当2<x≤时,S为△AEF的面积,③当<x≤4时,④当4<x≤6时,根据四边形B1C1F1E1与△AEF重叠的面积为S与x关系求出表达式及自变量x的取值范围.
【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,∠B=60°,
∴∠BAC=30°,
∵A(,0),
∴EO=1,
∵∠EFO=60°,∠EOF=90°,
∴EF==,
(2)存在,理由如下:
如图1,作B1D⊥BC,
∵FO=,
∴B1D=,∠B=60°
∴BB1==,即x=,
(3)①当0≤x≤2时,即点E到A时经过的面积,如图2,
∵AO=,∠ACB=90°,∠B=60°,
∴AE=2,
∵BB1=EE1=x,
∴E1A=2﹣x,
∴E1M=(2﹣x),
∴S=(EF+E1M)•E1E= [+(2﹣x)]•x=﹣x2+x
②当2<x≤时,S为△AEF的面积,
所以S=EF•AE=××2=,
③当<x≤4时,如图3
∵∠ACB=90°,∠B=60°,BC=3,
∴AC=3,
∵AO=,OF=,
∴CF=3﹣﹣=,
∴此时BB1=,即当B1C1过点F时x=,
当x>时,FM=(x﹣),在RT△NMF中,NM=FM=(x﹣),
∴△NMF的面积为: FM•MN=×(x﹣)×(x﹣),
∴S=S△AEF﹣S△NMF=﹣×(x﹣)×(x﹣)=﹣x2+x﹣,
④当4<x≤6时,如图4,
∵∠ACB=90°,∠B=60°,BC=3,
∴AB=6,
AB1=6﹣x,
∴DB1=(6﹣x),AD=(6﹣x),
∴S=DA•DB1=×(6﹣x)×(6﹣x)=x2﹣x+,
综上可知S与x的函数关系式为:S=,
故答案为:S=.
25.如图,点A(﹣2,0)、B(4,0)、C(3,3)在抛物线y=ax2+bx+c上,点D在y轴上,且DC⊥BC,∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)CF能否经过抛物线的顶点?若能,求出此时点E的坐标;若不能,说明理由;
(3)若△FDC是等腰三角形,求点F的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】
(1)由抛物线与X轴的两个交点A、B的坐标,可以由两根式设抛物线解析式为:y=a(x+2)(x﹣4),求出a的值即可;
(2)由C、B两点坐标利用待定系数法可以求得CB直线方程为:y=﹣3x+12,设CD直线方程可以设为:y=x+m,求出m的值,进而求出D点的值,由抛物线解析式可以顶点公式或对称轴x=1解得顶点M坐标,由C、M两点坐标可以求得CM即CF直线方程,CE直线方程可以设为:y=x+n,求出n的值,进而求出E点的坐标;
(3)由C、D两点坐标可以求得CD=,△FDC是等腰△可以有三种情形:①当FD=CD;②FC=CD;③FD=FC,分别求出F点的坐标即可;
【解答】解:(1)由抛物线与X轴的两个交点A、B的坐标,
可以由两根式设抛物线解析式为:y=a(x+2)(x﹣4),
然后将C点坐标代入得:a(3+2)(3﹣4)=3,
解得:a=﹣,
故抛物线解析式是:y=﹣(x+2)(x﹣4);
(2)由C、B两点坐标利用待定系数法可以求得CB直线方程为:y=﹣3x+12,
∵CD⊥CB,
∴CD直线方程可以设为:
y=x+m,
将C点坐标代入得:m=2,
∴CD直线方程为:y=x+2,
∴D点坐标为:D(0,2),
由抛物线解析式可以顶点公式或对称轴x=1解得顶点M坐标为M(1,),
∴由C、M两点坐标可以求得CM即CF直线方程为:y=﹣x+,
∴F点坐标为:F(0,),
∴CE直线方程可以设为:y=x+n,
将C点坐标代入得:n=,
∴CE直线方程为:y=x+,
令y=0,解得:x=﹣,
∴E点坐标为E(﹣,0),
∴能;
(3)由C、D两点坐标可以求得CD=,
则△FDC是等腰△可以有三种情形:
①FD=CD=,
则F点坐标为F(0,2+),
②FC=CD=,过C点作y轴垂线,垂足为H点,
则DH=1,
则FH=1,
则F点坐标为F(0,4),
③FD=FC,作DC的中垂线FG,交y轴于F点,交DC于G点,
由中点公式得G点坐标为G(,),
由DC两点可以求得DC直线方程为:y=x+2,
则FG直线方程可以设为:y=﹣3x+p,
将G点坐标代入解得:p=7,
故F点坐标为(0,7).