2013中考数学模拟精选全等三角形 24页

30°A ＢＯ Ｃ lD 第 1 题图 C A P B D 三角形全等 一、选择题 1、(2013 年安徽省模拟六)在△ABC 与△A′B′C′中，已知 AB = A′B′，∠A =∠A′，要使△ABC ≌△A′B′C′，还需要增加一个条件，这个条件不正确的是…………【 】 A．AC = A′C′ B.BC = B′C′ C.∠B =∠B′ D.∠C =∠C′． 答案：B 2、(2013 年江苏南京一模)如图，直线上有三个正方形 a b c， ， ，若 a c， 的面积分别为 3 和 4，则 b 的面积为（ ） A．3 B．4 C．5 D．7 答案：D 3．（2013 郑州外国语预测卷）如图，两个等圆⊙A、⊙B 分别与直线 l 相切于点 C、D，连 接 AB 与直线 l 相交于点 O，∠AOB=30°，连接 AC、BD，若 AB=4，则这两个等圆的半径 为（ ） A． 2 1 B．1 C． 3 D．2 答案：B 4、（2013 河南沁阳市九年级第一次质量检测） 如图，把△ABC 绕着点 C 顺时针旋转 30°， 得 到 △ A ′ B ′ C ， A ′ B ′ 交 AC 于 点 D ， 若 ∠ A ′ DC ＝ 90 ° ， 则 ∠ A 的 度 数 是 【 】 A.30° B.50° C.60° D.80° C 5、（2013 年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，等腰△ABC 中，AB=AC，P 为其底角平分 线的交点，将△BCP 沿 CP 折叠，使 B 点恰好落在 AC 边上的点 D 处，若 DA=DP，则∠A 的 度数为( ). A.20° B.30° C.32° D.36° D 6、 （2013 年湖北宜昌调研）如图，AC，BD 交于点 E，AE=CE，添加以下四个条件中的 一个，其中不能使△ABE≌△CDE 的条件是（ ） （A）BE=DE （B）AB∥CD （C）∠A=∠C （D）AB=CD a b c l 答案：D 7、（2013 年唐山市二模）在锐角△ABC 中，∠BAC=60°，BN、CM 为高，P 为 BC 的中点， 连接 MN、MP、NP，则结论：①NP=MP ②当∠ABC=60°时，MN∥BC ③ BN=2AN ④AN ︰AB=AM︰AC，一定正确的有 （ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 答案：C 8.（2013 年上海闵行区二摸）在△ABC 与△A′B′C′中，已知 AB = A′B′，∠A =∠A′，要使△ ABC≌△A′B′C′，还需要增加一个条件，这个条件不正确的是 （A）AC = A′C′； （B）BC = B′C′； （C）∠B =∠B′； （D）∠C =∠C′． 答案：B 二、填空题 1、（2013 云南勐捧中学二模）如图， AB CD， 相交于点 O ，AO=CO，试添加一个条件使得 AOD COB△ ≌△ ，你添加的条件是 （只需写一个）． 【答案】∠A= ∠C、∠D= ∠B、 OD=OB （答案不唯一） 2．（2013 年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图， ABC 为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS， PR⊥AB 于 R，PS⊥AC 于 S，则四个结论正确的是 ．（把所有正确答 案的序号都填写在横线上） ①AP 平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④ BRP ≌△QSP． 答案：①②③④ 三、解答题 1、(2013 年湖北荆州模拟 5)（本题满分 8 分）将两块斜边长度相等的等腰直角三角纸板如 图(1)摆放，若把图(1)中的△BCN 逆时针旋转 90°，得到图(2)，图(2)中除△ABC≌△CED、 △BCN≌△ACF 外，你还能找到一对全等的三角形吗?写出你的结论并说明理由． A C BD O 第 1 题 答案：解：△FCM≌△NCM，理由如下： ∵把图中的△BCN 逆时针旋转 90°， ∴∠FCN=90°，CN=CF， ∵∠MCN=45°， ∴∠FCM=90°-45°=45°， 在△FCM 和△NCM 中 ∵CM=CM，∠FCM=∠NCM， FC=CN ∴△FCM≌△NCM（SAS）． 2、(2013 年湖北荆州模拟 6)（本题满分 8 分）如图，正方形 ABCD 和 BEFG 在直线 AB 的 同侧，连接 AG、EC,易证 AG=EC，现在将正方形 BEFG 顺时针旋转 30°，那么 AG=EC 还 成立吗？请作出旋转后的图形，并证明你的结论. 答案： 解：成立. 理由如下：在ΔABG 与ΔCBE 中， 0120 AB CB ABG CBE BG BE        ∴ ΔABG≌ΔCBE ∴ AG=CE 3、(2013 年江苏南京一模)（7 分）如图， AB=AC，CD⊥AB 于 D，BE⊥ AC 于 E，BE 与 CD 相交于点 O． (1) 求证：AD=AE； (2) 连接 BC，DE，试判断 BC 与 DE 的位置关系并说明理由． 答案：（1）证明：在△ACD 与△ABE 中， ∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC， ∴ △ACD≌△ABE．…………………… 2 分 ∴ AD=AE． ……………………3 分 (2) 互相平行 ……………………4 分 在△ADE 与△ABC 中， ∵AD=AE，AB=AC， ∴ ∠ADE=∠AED ,∠ABC=∠ACB ……………6 分 且 ∠ADE=180－∠A=∠ABC. ∴ DE∥BC． ……………7 分 第 1 题图 第 2 题图 第 2 题解答 第 2 题图 1 4．（2013 年北京房山区一模）如图，点 C、B、E 在同一条直线上， AB∥DE，∠ACB=∠ CDE，AC=CD． 求证：AB=CD ． 答案： 证明：∵AB∥DE ∴∠ABC=∠E ------------------------------1 分 ∵∠ACB=∠CDE，AC=CD --------------------- --------3 分 ∴△ABC≌△CED -------------------------4 分 ∴AB=CD --------------------------5 分 5．（2013 年北京房山区一模）（1）如图 1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且 B、C、 D 三点共线，联结 AD、BE 相交于点 P，求证： BE = AD. （2）如图 2，在△BCD 中，∠BCD＜120°，分别以 BC、CD 和 BD 为边在△BCD 外部 作等边三角形 ABC、等边三角形 CDE 和等边三角形 BDF，联结 AD、BE 和 CF 交于点 P， 下列结论中正确的是 （只填序号即可） ①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°； （3）如图 2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE. 答案：(1)证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60° ∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD（SAS） ∴BE=AD --------------1 分 （2）①②③都正确 --------------4 分 （3）证明：在 PE 上截取 PM=PC，联结 CM 由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS） ∴∠1=∠2 E D C B A 第 1 题图 第 2 题图 2 设 CD 与 BE 交于点 G,,在△CGE 和△PGD 中 ∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD ∴∠DPG=∠ECG=60°同理∠CPE=60° ∴△CPM 是等边三角形--------------5 分 ∴CP=CM，∠PMC=60° ∴∠CPD=∠CME=120° ∵∠1=∠2,∴△CPD≌△CME（AAS）---6 分 ∴PD=ME ∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD. -------7 分 即 PB+PC+PD=BE. 6．（2013 年北京龙文教育一模）已知：如图，AB∥CD，AB=CD， 点 E、F 在线段 AD 上，且 AF=DE．求证：BE=CF． 答案：证明: AF=DE，  AF-EF=DE –EF． 即 AE=DF．………………1 分  AB∥CD，∠A=∠D．……2 分 在△ABE 和△DCF 中 ， AB=CD， ∠A=∠D， AE=DF． △ABE ≌△DCF．……….4 分  BE=CF．…………….5 分 7. （2013 年北京龙文教育一模）阅读下面材料： 问题：如图①，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求 BD 的长． 小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题得到 解决． （1）请你回答：图中 BD 的长为 ； （2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点， 若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求 BD 和 AB 的长． 第 3 题图 图① 图② 第 4 题图 答案：解：（1） 22BD . ……………………………… ………………………1 分 （2）把△ADC 沿 AC 翻折，得△AEC，连接 DE， ∴△ADC≌△AEC. ∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA， DC＝EC. ∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°， ∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°. ∴△CDE 为等边三角形. ……………………2 分 ∴DC＝DE. 在 AE 上截取 AF＝AB，连接 DF， ∴△ABD≌△AFD. ∴BD＝DF. 在△ABD 中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°， ∴∠ADE=∠AED =75°，∠ABD =105°. ∴∠AFD =105°. ∴∠DFE=75°. ∴∠DFE=∠DEF. ∴DF＝DE. ∴BD＝DC＝2. …………………………………………………………………3 分 作 BG⊥AD 于点 G， ∴在 Rt△BDG 中， 2BG . ……………………………………………4 分 ∴在 Rt△ABG 中， 22AB . ……………………………………………5 分 8．（2013 年北京平谷区一模）已知：如图，AB∥CD，AB=EC，BC=CD. 求证：AC=ED. 答案：证明：∵ AB //CD， ∴ B DCE   ．………………… ………………………1 分 在△ABC 和△ECD 中， = = B DCE AB EC BC CD      ， ， ， ∴ △ABC≌△ECD． …………………… ………………4 分 ∴ AC=ED．………………………… ……………………5 分 C B A E D 第 5 题图 E P M B C A N 9．（2013 年北京顺义区一模）已知：如图，CA 平分 BCD , 点 E 在 AC 上，BC EC ， AC DC ． 求证： A D   ． 答案：证明：∵CA 平分 BCD ∴ ACB DCE   ……………1 分 在 ABC 和 DEC 中 ∵ BC EC ACB DCE AC DC       ……………3 分 ∴ ABC ≌ DEC …………………………………………… 4 分 ∴ A D   ……………………………………………5 分 10．（2013 年北京平谷区一模）（1）如图(1)，△ABC 是等边三角形，D、E 分别是 AB、BC 上的点，且 BD CE ，连接 AE、CD 相交于点 P. 请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数；= （2）如图（2）,Rt△ABC 中，∠B=90°，M、N 分别是 AB、BC 上的点，且 ,AM BC BM CN ，连接 AN、CM 相 交于点 P. 请你猜想∠APM= °，并写出你的推理过程. 答案：解：（1）60°………………………………..1 分 （2）45° ………………………………..2 分 证明：作 AE⊥AB 且 AE CN BM  . 可证 EAM MBC   . ……………………………..3 分 ∴ , .ME MC AME BCM    ∵ 90 ,CMB MCB     ∴ 90 .CMB AME     ∴ 90 .EMC   ∴ EMC 是等腰直角三角形, 45 .MCE   ……………….5 分 又△AEC≌△CAN（s， a， s）…………………………………………………………..6 分 ∴ .ECA NAC   ∴ EC∥AN. ∴ 45 .APM ECM     …………………………………………………………………..7 分 11.（2013 浙江东阳吴宇模拟题）(本题 12 分) 如图，平面直角坐标系中，点 A（0，4）， 图 2 第 6 题图 B C A 图 1 P M B C A N 图 2第 7 题图 B（3，0），D、E 在 x 轴上，F 为平面上一点，且 EF⊥x 轴，直线 DF 与直线 AB 互相垂 直，垂足为 H，△AOB≌△DEF，设 BD＝h。 （1）若 F 坐标（7，3），则 h＝ ，若 F 坐标（－10，－3），则 DH＝ ； （2）如 h ＝ 7 37 ，则 相对应 的 F 点存 在 个， 并请求 出恰 好在抛 物线 y ＝ 412 5 12 7 2  xx 上的点 F 的坐标； （3）请求出 4 个 h 值，满足以 A、H、F、E 为顶点的四边 形是梯形。 答案：（1） 0 5 36 （2） 4 求抛物线与 x 轴、y 轴交点坐标，刚好过 A、B、 D 三点，可求得 F（ 7 12 ，3）在抛物线上。 （3） 6 13525  6 251095  3 37 3 13 12.（2013 浙江东阳吴宇模拟题）(本题 6 分) ) 如图，一次函数 y＝x＋6 与反比例函数 )0( '  xx ky 的图象相交于 A，B 两点，与 x 轴、y 轴交于 E、F，点 B 的横坐标为 4 。 （1）试确定反比例函数的解析式； （2）求证：△OBE≌△OAF。 答案：（1） xy 8 （2）证明略 13、（2013 浙江锦绣·育才教育集团一模）（本小题满分 8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°， AC=2AB，点 D 是 AC 的中点，将一块锐角为 45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边 的两个端点分别与 A、D 重合，连结 BE、EC．试猜想线段 BE 和 EC 的关系，并证明你 的猜想． y xO A B E F O A BD E F H x y A B C D E 答案：解：数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC．－－－－－－－－－－1 分 证明：∵△AED 是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是 45°， ∴∠EAD=∠EDA=45°， ∴AE=DE， ∵∠BAC=90°， ∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=90°+45°=135°， ∠EDC=∠ADC－∠EDA=180°－45°=135°， ∴∠EAB=∠EDC， ∵D 是 AC 的中点， ∴AD= AB， ∵AC=2AB， ∴AB=DC， ∴△EAB≌△EDC， ∴EB=EC，且∠AEB=∠AED=90°， ∴∠DEC+∠BED=∠AED=∠BED=90°， ∴BE⊥ED．－－－－－－－－－－－－－－－8 分（中间过程酌情给分） 14、(2013 年惠州市惠城区模拟)如图，点 E 为正方形 ABCD的边 CD 上一点. （1）在 AB 的下方，作射线 AF 交 CB 延长线于点 F ，使 DAEBAF  ．（要求： 用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）在（1）的条件下，求证： BAFDAE ≌△△ . （1）解：作图：（略）………………………（4 分） （2）证明： ABADABFADE ABCD  ,90 是正方形四边形 BAFDAE BAFDAE ABAD ABFADE BAFDAE         ≌ 中和在 ………………………………………………（8 分） 15、（2013 年广东省珠海市一模）已知：如图△ABC 是等边三角形，过 AB 边上的点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，在 GD 的延长线上取点 E，使 DE=DB，连接 AE、CD． （1）求证：△AGE≌△DAC； （2） 过点 E 作 EF∥DC，交 BC 于点 F，请你连接 AF，并判断△AEF 是怎样的三角形， 试证明你的结论． （1）证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ ACB=60°． ∵EG∥BC， ∴∠ADG=∠ABC=60°∠AGD=∠ACB=60°． ∴△ADG 是等边三角形． ∴AD=DG=AG． ∵DE=DB， ∴EG=AB． ∴GE=AC． ∵EG=AB=CA， ∴∠AGE=∠DAC=60°， 在△AGE 和△DAC 中， ∴△AGE≌△DAC． （2）解：△AEF 为等边三角形． 证明：如图，连接 AF， ∵DG∥BC，EF∥DC， ∴四边形 EFCD 是平行四边形， ∴EF=CD，∠DEF=∠DCF， 由（1）知△AGE≌△DAC， ∴AE=CD，∠AED=∠ACD． ∵EF=CD=AE，∠AED+∠DEF=∠ACD+∠DCB=60°， ∴△AEF 为等边三角形． 题 24 图 16、（2013 温州模拟）18．(本题 8 分)如图，矩形 ABCD 中，M 是 CD 的中点. 求证：（1）△ADM≌△BCM； （2）∠MAB=∠MBA 【答案】证明：（1）在矩形 ABCD 中 ∵M 是 CD 的中点 ∴DM=MC …………………1 分 ∵∠D=∠C=90° AD=BC …………………2 分 ∴△ADM≌△BCM …………1 分 （2）∵△ADM≌△BCM ∴AM=MB ………………2 分 ∴∠MAB=∠MBA …………………2 分 证明：（1）在矩形 ABCD 中 ∵M 是 CD 的中点 ∴DM=MC …………………1 分 ∵∠D=∠C=90° AD=BC …………………2 分 ∴△ADM≌△BCM …………1 分 （2）∵△ADM≌△BCM ∴AM=MB ………………2 分 ∴∠MAB=∠MBA …………………2 分 17、(2013 浙江永嘉一模)18．（本题 8 分）如图，E，F 是平行四边形 ABCD 的 对角线 AC 上的点，CE＝AF，请你猜想：BE 与 DF 有怎样的位置关系和数 量关系？对你的猜想加以证明． 猜想： 证明： 【答案】解：猜想 BE∥DF，BE=DF…………2 分 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD，∠1=∠2 又 CE=AF，∴⊿BCE≌⊿DAF……3 分 ∴BE=DF，∠3=∠4 …………2 分 ∴BE∥DF……………………1 分 18、（2013 重庆一中一模）24．已知正方形 ABCD如图所示，连接其对角线 AC ， BCA 的平分线 CF 交 AB 于点 F , 过点 B 作 CFBM  于点 N ，交 AC 于点 M ，过点C 作 CFCP  ,交 AD 延长线 于点 P ． （1）若正方形 ABCD的边长为 4，求 ACP 的面积； （第 2 题图） （2）求证： FNBMCP 2 ． 【答案】 解  5.2221 CFCP 又  9013 FCDFCD  5.2213  5.67P 又四边形 ABCD 为正方形，  5.675.2245ACP ACPP  ACAP  242  ABAC又 4 2AP  ............5 分 FBCPDCBCCD  ,2 ）（ , 31  FBCPDC  CFCP  在 CN 上截取 NH=FN，连接 BH FHBNNHFN  且, BFBH  54  又  9014 BFCBFC  45BAMHBC 又 AB=BC BMCHBHCAMB  , FNBMCF 2 FNBMCP 2 .................10 分 19．（2013 郑州外国语预测卷）如图，等边△ABC 中，AO 是∠BAC 的角平分线，D 为 AO 上一点，以 CD 为一边且在 CD 下方作等边△CDE,连结 BE. (1) 求证：△ACD≌△BCE； (2) 延长 BE 至 Q, P 为 BQ 上一点，连结 CP、CQ 使 CP=CQ=5, 若 BC=8 时，求 PQ 的长. 为正方形又四边形ABCD 282 424 2   CDAPS APC BCACF 平分  5.22514 1 2 3 H 4 5 A B C D O E P Q 答案： 证明：△ABC 和△CDE 均为等边三角形， ∴AC=BC , CD=CE 且∠ACB=∠DCE=60° ∵∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=60° ∴∠ACD=∠BCE ∴△ACD≌△BCE （2）解：作 CH⊥BQ 交 BQ 于 H, 则 PQ=2HQ 在 Rt△BHC 中 ，由已知和（1）得 ∠CBH=∠CAO=30° ∴ CH=4， 在 Rt△CHQ 中， HQ= 345CHCQ 2222  ∴PQ=2HQ=6 20. （2013 江西饶鹰中考模拟）某校九年级（1）班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如 下： 如图 1，在等腰直角△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小明将一块直角三角板的直角顶点 放在斜边 BC 边的中点O 上，从 BC 边开始绕点 A 顺时针旋转，其中三角板两条直角边所在 的直线分别 AB、AC 于点 E、F． （1）小明在旋转中发现：在图 1 中，线段 AE 与CF 相等。请你证明小明发现的结论； （2）小明将一块三角板中含 45°角的顶点放在点 A 上，从 BC 边开始绕点 A 顺时针旋转 一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线 BC 于点 D，直角边所在的直线交直线 BC 于点 E． 当 0°＜α≤45°时，小明在旋转中还发现线段 BD、CE、DE 之间存在如下等量关系： BD 2＋CE 2＝DE 2． 同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决： 小颖的方法：将△ABD 沿 AD 所在的直线对折得到△ADF，连接 EF（如图 2）； 小亮的方法：将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ACG，连接 EG（如图 3）． 请你从中任选一种方法进行证明； （3）小明继续旋转三角板，在探究中得出：当 45°＜α ＜135°且α≠90°时，等量关系 BD 2 ＋CE 2＝DE 2 仍然成立．现请你继续探究：当 135°＜α ＜180°时（如图 4），等量关系 BD 2 ＋CE 2＝DE 2 是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 答案： （1）连接 AO. ∵ ∠ABC=90°,AB=AC 且 O 是 BC 的中点， ∴AO=BO, ∠OAE=∠C=45° ∵ ∠AOE+∠AOF=∠AOF+∠COF =90°, ∴∠AOE= ∠COF, ∴△AOE≌△COF, ∴AE=CF （2）证明小颖的方法： ∵将△ABD 沿 AD 所在的直线对折得到△ADF， A B CD E F 图 2 A B CD E G 图 3 A B C 图 4 A OB E F ∴AF＝AB，∠AFD＝∠B＝45º，∠BAD＝∠FAD。 又∵AC=AB， ∴AF＝AC。 由（1）知，∠FAE＝∠CAE。 在△AEF 和△AEC 中， ∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEC（SAS）。 ∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。 ∴∠DFE＝∠AFD ＋∠AFE＝90º。 在 Rt△OCE 中，DE2＋FE2＝DE2， ∴BD2＋CE2＝DE2。 （3）当 135º＜ ＜180º时，等量关系 BD2＋CE2＝DE2 仍然成立。证明如下： 如图，按小颖的方法作图，设 AB 与 EF 相交于点 G。 ∵将△ABD 沿 AD 所在的直线对折得到△ADF， ∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45º，∠BAD＝∠FAD。 又∵AC=AB， ∴AF＝AC。 又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD＝45º＋∠FAD＝∠FAE。 在△AEF 和△AEC 中， ∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEC（SAS）。 ∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。 又∵在△AGF 和△BGE 中，∠ABC＝∠AFE＝45º，∠AGF＝∠BGE， ∴∠FAG＝∠BEG。 又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝ 2 1 （∠ADB＋∠DAB）＝ 2 1 ∠ABC＝90º。 ∴∠DFE＝90º。 在 Rt△OCE 中，DE2＋FE2＝DE2， ∴BD2＋CE2＝DE2。 21、（2013 山东德州特长展示）（本题满分 10 分）（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF＝BE．求证：CE＝CF； （2）如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，G 是 AD 上一点，如果∠ECG＝45°， 请你利用（1）的结论证明： ECG BCE CDGs s s    ． （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图 3，在直角梯形 ABCG 中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC=6，E 是 AB 上一点，且∠ECG＝45°，BE＝2．求△ECG 的面积． 解答：（1）证明：在正方形 ABCD 中， ∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF． ∴CE＝CF． …………………………2 分 （2）证明： 如图 2，延长 AD 至 F，使 DF=BE．连接 CF． 由（1）知△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF． 又∠GCE＝45°， ∴∠BCE+∠GCD＝45°． ∴∠DCF＋∠GCD＝∠GCF＝45° 即∠ECG＝∠GCF． 又∵CE＝CF， GC＝GC， A B C D E F A B C G E A B C D E 图 1 图 2 图 3 G A B C D E F 图 1 A B C D E F 图 2 G ∴△ECG≌△FCG．…………………………5 分 ∴ ECG CFGS S  = CDG CDFS S  ． ∴ ECG BCE CDGS S S    ． ……………6 分 （3）解：如图 3，过 C 作 CD⊥AG，交 AG 延长线于 D． 在直角梯形 ABCG 中， ∵AG∥BC，∴∠A＝∠B＝90°， 又∠CDA＝90°，AB＝BC， ∴四边形 ABCD 为正方形． 已知∠ECG＝45°． 由（2）中△ECG≌△FCG，∴ GE＝GF． ∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD． 设 DG＝x， ∵BE=2，AB=6， ∴AE=4，AG＝6—x，EG=2+ x． 在 Rt△AEG 中， 解得：x＝3．………。 ∴△CEG 的面积为 15．…………………………10 分 22、（2013 凤阳县县直义教教研中心）如图 1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，D、F 分别在 AB、AC 边上，此时 BD＝CF，BD⊥CF 成立. （1）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转θ（ 0 90   ）时，如图 2，BD＝CF 成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由. （2）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45°时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 G. ① 求证：BD⊥CF； ② 当 AB＝4，AD＝ 2 时，求线段 BG 的长. B C A G E D （第 23 题答案图 3） 图 1 图 2 图 3 解（1）BD＝CF 成立. 理由：∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形， ∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°, ∵∠BAD= DACBAC  ，∠CAF= DACDAF  ， ∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF. ∴BD＝CF.……………………………………………………………………（4 分） （2）①证明：设 BG 交 AC 于点 M. ∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM＝∠GCM. ∵∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG. ∴∠BGC＝∠BAC ＝90°.∴BD⊥CF.……………………………………（7 分） ②过点 F 作 FN⊥AC 于点 N. ∵在正方形 ADEF 中，AD＝ 2 ， ∴AN＝FN＝ 12 1 AE . ∵在等腰直角△ABC 中，AB＝4， ∴CN＝AC－AN＝3，BC＝ 2422  ACAB . Rt△FCN∽Rt△ABM，∴ AB CN AM FN  ∴AM＝  AB3 1 3 4 . ∴CM＝AC－AM＝4－ 3 4 ＝ 3 8 ， 3 10422  AMABBM .…… （9 分） ∵△BMA ∽△CMG，∴ CG CM BA BM  . ∴ CG 3 8 4 3 104  . ∴CG＝ 5 104 .…………………………………… （11 分） ∴在 Rt△BGC 中，  22 CGBCBG 5 108 . …………………….. （12 分） 23、(2013 年福州市初中毕业班质量检查) (12 分)如图，半径为 2 的⊙E 交 x 轴于 A、B， 交 y 轴于点 C、D，直线 CF 交 x 轴负半轴于点 F，连接 EB、EC．已知点 E 的坐标为(1， 1)，∠OFC＝30°． (1) 求证：直线 CF 是⊙E 的切线； (2) 求证：AB＝CD； (3) 求图中阴影部分的面积． 解：(1) 过点 E 作 EG⊥y 轴于点 G， ∵点 E 的坐标为(1，1)，∴EG＝1． 在 Rt△CEG 中，sin∠ECG＝EG CE ＝1 2 ， ∴∠ECG＝30°． ………………1 分 ∵∠OFC＝30°，∠FOC＝90°， ∴∠OCF＝180°－∠FOC－∠OFC＝60°． ………………2 分 ∴∠FCE＝∠OCF＋∠ECG＝90°． 即 CF⊥CE． ∴直线 CF 是⊙E 的切线． ………………3 分 (2) 过点 E 作 EH⊥x 轴于点 H， ∵点 E 的坐标为(1，1)， ∴EG＝EH＝1． ………………4 分 在 Rt△CEG 与 Rt△BEH 中， ∵ CE＝BE EG＝EH ，∴Rt△CEG≌Rt△BEH． ∴CG＝BH． ………………6 分 ∵EH⊥AB，EG⊥CD，∴AB＝2BH，CD＝2CG． ∴AB＝CD． ………………7 分 (3) 连接 OE， 在 Rt△CEG 中，CG＝ CE2－EG2＝ 3， ∴OC＝ 3＋1． ………………8 分 同理：OB＝ 3＋1． ………………9 分 ∵OG＝EG，∠OGE＝90°，∴∠EOG＝∠OEG＝45°． A B C D E O x y F 第 3 题图 又∵∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°－∠EOG－∠OCE＝105°． 同理：∠OEB＝105°． ………………10 分 ∴∠OEB＋∠OEC＝210°． ∴S 阴影＝210×π×22 360 －1 2 ×( 3＋1)×1×2＝7π 3 － 3－1． ……………… 12 分 24、（2013 年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分 6 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°， BE⊥AC 于点 E，点 F 在线段 BE 上，∠1=∠2，点 D 在线段 EC 上，给出两个条件：①DF ∥BC；②BF=DF.请你从中选择一个作为条件，证明：△AFD≌△AFB． 解：选①DF//BC.证明略 25、（2013 年湖北省武汉市中考全真模拟）(本题满分 10 分) 如图 1，在长方形纸片 ABCD 中， AB mAD ，其中 m ≥1，将它沿 EF 折叠（点 E、F 分别在边 AB、CD 上），使点 B 落在 AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 相交于点 P，连接 EP.设 nAD AM  ， 其中 0＜n≤1． (1) 如图 2，当 1n  （即 M 点与 D 点重合）， m =2 时，则 BE AE = ； （2）如图 3，当 1 2n  （M 为 AD 的中点）， m 的值发生变化时，求证：EP=AE+DP； (3) 如图 1，当 2m  （AB=2AD）， n 的值发生变化时， BE CF AM  的值是否发生变化？ 说明理由． A B C D E x y F O G H 2 1 F A B C D E 解：⑴ 3 5 ⑵延长 PM 交 EA 延长线于 G，则△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG.∴EP=EG=EA+AG=EA+DP. ⑶设 AD=1,AB=2,过 E 作 EH⊥CD 于 H,∵∠EFP=∠FPN=∠MPD=∠EMA.∴△EFH∽ΔEMA ∴ AEAE EH AM FH AM CFBE 1 ∵AE 的长度发生变化,∴ AM CFBE  的值将发生变化. 26、（2013 年湖北武汉模拟）（本题满分 6 分）已知：如图点 C、E、B、F 在同一直线上， AC∥DF，AC=DF，CE=BF． 求证：AB∥DE ． 答案：略 27 、 （ 2013 年 广 西 钦 州 市 四 模 ） 如 图 10 ， 已 知 ABC ADERt△ ≌Rt△ ， 90ABC ADE    °， BC 与 DE 相交于点 F ，连接CD，EB． （1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举. （2）求证： .CF EF ．（1） ADC ABE CDF EBF   ≌ ， ≌ ．…………………………………………（2 分） （2）证法一：连接CE …………………………………（3 分） Rt ABC ADE  ≌Rt AC AE  …………………………………（4 分） ACE AEC   …………………………………（5 分） 又 Rt RtABC ADE△ ≌ △ ACB AED   …………………………………（6 分） ACE ACB AEC AED     即 BCE DEC  ………………………………………………………………（7 分） CF EF  ．………………………………………………………………………（8 分） 证法二： Rt RtABC ADE△ ≌ △ AC AE AD AB CAB EAD     ， ， AA C E BD F 图 10 AA C E BD F AA C E BD F CAB DAB EAD DAB     即 CAD EAB  ……………………（3 分）  ACD AEB SAS△ ≌△ ． ………………………………（4 分） CD EB ADC ABE    ， ………………………………（5 分） 又 ADE ABC   CDF EBF   ………………………………（6 分） 又 DFC BFE    CDF EBF AAS△ ≌△ ．……………………………………………………（7 分） CF EF  ．………………………………………………………………………（8 分） 证法三：连接 AF．………………………………………………………………（3 分） Rt RtABC ADE△ ≌ △ ， 90AB AD BC DE ABC ADE      ， ， °． 又 AF AF ．  Rt RtABF ADF HL △ ≌ △ ． ……………………………（5 分） BF DF  ． ……………………………（6 分） 又 BC DE ． BC BF DE DF    , ………………………………（7 分） 即CF EF ． ……………………………（8 分） 28. （2013 上海黄浦二摸）（本题满分 12 分，第（1）、（2）小题满分各 6 分） 如图，在梯形 ABCD 中，AD‖BC，AB=CD，对角线 AC 与 BD 交于点 O，OE⊥BC ， 垂足是 E. （1）求证：E 是 BC 的中点； （2）若在线段 BO 上存在点 P，使得四边形 AOEP 为平行四边形，求证：四边形 ABED 是平行四边形. 答案：证：（1）∵在梯形 ABCD 中，AD‖BC，AB=CD， ∴AC=BD，又 BC=CB， ∴△ABC≌△DCB，--------------------------------------------------------------------（3 分） AA C E BD F ∴∠ACB=∠DBC， ∵OE⊥BC ，E 是垂足. ∴E 是 BC 的中点. ---------------------------------------------------------------------（3 分） （2）∵四边形 AOEP 为平行四边形， ∴AO‖EP, AO=EP，-------------------------------------------------------------------（1 分） ∵E 是 BC 的中点. ∴ 1 2PE OC .-------------------------------------------------------------------------- （ 2 分） ∵AD‖BC， ∴ 1 2 AD AO PE BC OC OC    .-------------------------------------------------------------（2 分） ∴AD=BE，又 AD‖BE， ∴四边形 ABED 是平行四边形. -------------------------------------------------------（1 分） 29.．（2013 年上海静安区二摸）（本题满分 12 分，每小题满分 6 分） 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别在边 AC、AB 上， DA=DB，BD 与 CE 相交于点 F，∠AFD=∠BEC． 求证：（1）AF=CE； （2） AFEFBF 2 ． 答案： ．证明：（1）∵DA=DB，∴∠FBA=∠EAC，………………………………………（2 分） ∵∠AFD=∠BEC，∴180º–∠AFD =180º–∠BEC，即∠BFA=∠AEC．……（2 分） ∵BA=AC，∴△BFA≌△AEC．……………………………………………（1 分） ∴AF=CE．……………………………………………………………………（1 分） （2）∵△BFA≌△AEC，∴BF = AE．……………………………………………（1 分） ∵∠EAF=∠ECA，∠FEA=∠AEC，∴△EFA∽△EAC．…………………（2 分） （第 23 题图） A B C D E F ∴ EA EF EC EA  ．………………………………………………………………（1 分） ∴ CEEFEA 2 ．…………………………………………………………（1 分） ∵EA=BF，CE=AF，∴ AFEFBF 2 ．…………………………………（1 分）