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- 2021-05-13 发布
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圆的垂径定理
1、(2013 年潍坊市)如图,⊙O 的直径 AB=12,CD 是⊙O 的弦,CD⊥AB,垂足为 P,
且 BP:AP=1:5,则 CD 的长为( ).
A. B. C. D.
3、(2013 河南省)如图,CD 是 的直径,弦 于点 G,直线 与 相切与
点 D,则下列结论中不一定正确的是【】
(A) (B) ∥
(C)AD∥BC (D)
【解析】由垂径定理可知:(A)一定正确。由题可知: ,又因为 ,
所以 ∥ ,即(B)一定正确。因为 所对的弧是劣弧 ,根据同
弧所对的圆周角相等可知(D)一定正确。
4、(2013•泸州)已知⊙O 的直径 CD=10cm,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为 M,且
AB=8cm,则 AC 的长为( )
A. cm B. cm C. cm 或 cm D
.
cm 或 cm
分析:先根据题意画出图形,由于点 C 的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论.
解答:解:连接 AC,AO,
∵⊙O 的直径 CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,
∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,
当 C 点位置如图 1 所示时,
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,
∴OM= = =3cm,
∴CM=OC+OM=5+3=8cm,
24 28 52 54
O AB CD⊥ EF O
AG BG= AB EF
ABC ADC∠ = ∠
EF CD⊥ AB CD⊥
AB EF ABC ADC∠ ∠和 AC
∴AC= = =4 cm;
当 C 点位置如图 2 所示时,同理可得 OM=3cm,
∵OC=5cm,
∴MC=5﹣3=2cm,
在 Rt△AMC 中,AC= = =2 cm.
故选 C.
5、(2013•广安)如图,已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直,垂足为点 C,若 AB=8cm,
CD=3cm,则圆 O 的半径为( )
A. cm B.5cm C.4cm D
.
cm
解答:解:连接 AO,
∵半径 OD 与弦 AB 互相垂直,∴AC= AB=4cm,
设半径为 x,则 OC=x﹣3,
在 Rt△ACO 中,AO2=AC2+OC2,
即 x2=42+(x﹣3)2,
解得:x= ,
故半径为 cm.
故选 A.
8、(2013•嘉兴)如图,⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C,连结 AO 并延长交⊙O 于点 E,连
结 EC.若 AB=8,CD=2,则 EC 的长为( )
A.2 B.8 C.2 D
.
2
解答:解:∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C,AB=8,∴AC=AB=4,
设⊙O 的半径为 r,则 OC=r﹣2,
在 Rt△AOC 中,
∵AC=4,OC=r﹣2,∴OA2=AC2+OC2,即 r2=42+(r﹣2)2,解得 r=5,
∴AE=2r=10,
连接 BE,
∵AE 是⊙O 的直径,∴∠ABE=90°,
在 Rt△ABE 中,
∵AE=10,AB=8,∴BE= = =6,
在 Rt△BCE 中,
∵BE=6,BC=4,
∴CE= = =2 .
故选 D.
点评:本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答
此题的关键.
12、(2013•宜昌)如图,DC 是⊙O 直径,弦 AB⊥CD 于 F,连接 BC,DB,则下列结论错
误的是( )
A. B.AF=BF C.OF=CF D
.
∠DBC=90°
解答:解:∵DC 是⊙O 直径,弦 AB⊥CD 于 F,
∴点 D 是优弧 AB 的中点,点 C 是劣弧 AB 的中点,
A、 = ,正确,故本选项错误;
B、AF=BF,正确,故本选项错误;
C、OF=CF,不能得出,错误,故本选项错误;X Kb1. Co m
D、∠DBC=90°,正确,故本选项错误;
故选 C.
点评:本题考查了垂径定理及圆周角定理,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定
理的内容,难度一般.
14、(2013•南宁)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 E,且 AE=CD=8,∠BAC=
∠BOD,则⊙O 的半径为( )
A.4 B.5 C.4 D
.
3
解答: 解:∵∠BAC= ∠BOD,
∴ = ,∴AB⊥CD,
∵AE=CD=8,∴DE= CD=4,
设 OD=r,则 OE=AE﹣r=8﹣r,
在 RtODE 中,OD=r,DE=4,OE=8﹣r,
∵OD2=DE2+OE2,即 r2=42+(8﹣r)2,解得 r=5.
故选 B.
17、(2013•内江)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为圆心的圆过点 A(13,0),直线
y=kx﹣3k+4 与⊙O 交于 B、C 两点,则弦 BC 的长的最小值为 .
解答:解:∵直线 y=kx﹣3k+4 必过点 D(3,4),
∴最短的弦 CD 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦,
∵点 D 的坐标是(3,4),
∴OD=5,
∵以原点 O 为圆心的圆过点 A(13,0),
∴圆的半径为 13,
∴OB=13,
∴BD=12,
∴BC 的长的最小值为 24;
故答案为:24.
20、(2013•宁夏)如图,将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心 O,则折痕 AB
的长为 cm.
解答:解:过点 O 作 OD⊥AB 交 AB 于点 D,
∵OA=2OD=2cm,
∴AD= = = cm,
∵OD⊥AB,
∴AB=2AD= cm.
点评:本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用.
21、(2013•包头)如图,点 A、B、C、D 在⊙O 上,OB⊥AC,若∠BOC=56°,则∠ADB=
度.
解答:解:∵OB⊥AC,
∴ = ,
∴∠ADB= ∠BOC=28°.
故答案为:28.
点评:此题考查了圆周角定理,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这
条弧所对的圆心角的一半.
22、(2013•株洲)如图 AB 是⊙O 的直径,∠BAC=42°,点 D 是弦 AC 的中点,则∠DOC 的
度数是 48 度.
解答:解:∵AB 是⊙O 的直径,
∴OA=OC
∵∠A=42°
∴∠ACO=∠A=42°
∵D 为 AC 的中点,
∴OD⊥AC,
∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°.
故答案为:48.
点评:本题考查了垂径定理的知识,解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线.
23、(2013•黄冈)如图,M 是 CD 的中点,EM⊥CD,若 CD=4,EM=8,则 所在圆的半
径为
.
解答:解:连接 OC,
∵M 是 CD 的中点,EM⊥CD,∴EM 过⊙O 的圆心点 O,
设半径为 x,
∵CD=4,EM=8,∴CM= CD=2,OM=8﹣OE=8﹣x,
在 Rt△OEM 中,OM2+CM2=OC2,
即(8﹣x)2+22=x2,
解得:x= .
∴ 所在圆的半径为: .
故答案为: .
28、(2013 陕西)如图,AB 是⊙O 的一条弦,点 C 是⊙O 上一动点,
C
A B
CG HE F
第 16 题图
且∠ACB=30°,点 E、F 分别是 AC、BC 的中点,
直线 EF 与⊙O 交于 G、H 两点,若⊙O 的半径为 7,
则 GE+FH 的最大值为 .
解析:本题考查圆心角与圆周角的关系应用,中位线及最值问题。连接 OA,OB,
因为∠ACB=30°,所以∠AOB=60°,所以 OA=OB=AB=7,因为 E、F 中 AC、BC 的中点,
所以 EF= =3.5,因为 GE+FH=GH-EF,要使 GE+FH 最大,而 EF 为定值,所以 GH 取最
大值时 GE+FH 有最大值,所以当 GH 为直径时,GE+FH 的最大值为 14-3.5=10.5
33、(2013•资阳)在⊙O 中,AB 为直径,点 C 为圆上一点,将劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于
点 D,连结 CD.
(1)如图 1,若点 D 与圆心 O 重合,AC=2,求⊙O 的半径 r;
(2)如图 2,若点 D 与圆心 O 不重合,∠BAC=25°,请直接写出∠DCA 的度数.
分析:(1)过点 O 作 OE⊥AC 于 E,根据垂径定理可得 AE= AC,再根据翻折的性质可得
OE= r,然后在 Rt△AOE 中,利用勾股定理列式计算即可得解;
(2)连接 BC,根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB,根据直角三角形两锐角互
余求出∠B,再根据翻折的性质得到 所对的圆周角,然后根据∠ACD 等于 所对
的圆周角减去 所对的圆周角,计算即可得解.
解答:解:(1)如图,过点 O 作 OE⊥AC 于 E,
则 AE= AC= ×2=1,
∵翻折后点 D 与圆心 O 重合,
∴OE= r,
在 Rt△AOE 中,AO2=AE2+OE2,
即 r2=12+( r)2,
解得 r= ;
AB2
1
(2)连接 BC,
∵AB 是直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°,
根据翻折的性质, 所对的圆周角等于 所对的圆周角,
∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°.
点评:本题考查了垂径定理,勾股定理的应用,翻折的变换的性质,以及圆周角定理,(1)
作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键,(2)根据同弧
所对的圆周角相等求解是解题的关键.