辽宁省营口市中中考数学试卷含答案解析 28页

‎2017年辽宁省营口市中考 数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个正确的，每小题3分，共30分.）‎ ‎1．（3分）﹣5的相反数是（　　）‎ A．﹣5 B．±5 C． D．5‎ ‎2．（3分）下列几何体中，同一个几何体的三视图完全相同的是（　　）‎ A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．三棱柱 ‎3．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．（﹣2xy）2=﹣4x2y2 B．x6÷x3=x2 C．（x﹣y）2=x2﹣y2 D．2x+3x=5x ‎4．（3分）为了解居民用水情况，小明在某小区随机抽查了30户家庭的月用水量，结果如下表：‎ 月用水量/m3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 户数 ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ 则这30户家庭的月用水量的众数和中位数分别是（　　）‎ A．6，6 B．9，6 C．9，6 D．6，7‎ ‎5．（3分）若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．＜0‎ ‎6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2=115°，则∠1的度数是（　　）‎ A．75° B．85° C．60° D．65°‎ ‎7．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（　　）‎ A．∠ECD=112.5° B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30° D．AB=CD ‎8．（3分）如图，在菱形ABOC中，∠A=60°，它的一个顶点C在反比例函数y=的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（　　）‎ A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=‎ ‎9．（3分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎10．（3分）如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（每小题3分，共24分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11．（3分）随着“互联网+”在各领域的延伸与融合，互联网移动医疗发展迅速，预计到2018年我国移动医疗市场规模将达到29150000000元，将29150000000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎12．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎13．（3分）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是　 　个．‎ ‎14．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．‎ ‎15．（3分）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为　 　．‎ ‎16．（3分）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为　 　．‎ ‎17．（3分）在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为　 　．‎ ‎18．（3分）如图，点A1（1，）在直线l1：y=x上，过点A1作A1B1⊥l1交直线l2：y=x于点B1，A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2，B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，…按此规律进行下去，则第n个等边三角形AnBnCn的面积为　 　．（用含n的代数式表示）‎ 三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分.）‎ ‎19．（10分）先化简，再求值：（﹣）÷（1﹣），其中x=（）﹣1﹣（2017﹣）0，y=sin60°．‎ ‎20．（10分）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．‎ ‎（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；‎ ‎（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用A、B、C、D表示）．‎ ‎　‎ 四、解答题（21题12分，22小题12分，共24分）‎ ‎21．（12分）某中学开展“汉字听写大赛”活动，为了解学生的参与情况，在该校随机抽取了四个班级学生进行调查，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）这四个班参与大赛的学生共　 　人；‎ ‎（2）请你补全两幅统计图；‎ ‎（3）求图1中甲班所对应的扇形圆心角的度数；‎ ‎（4）若四个班级的学生总数是160人，全校共2000人，请你估计全校的学生中参与这次活动的大约有多少人．‎ ‎22．（12分）如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点A处测得码头C在船的东北方向，航行40分钟后到达B处，这时码头C恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头C的最近距离．（结果精确的0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73）‎ 五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）‎ ‎23．（12分）如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若cos∠CAD=，BF=15，求AC的长．‎ ‎24．（12分）夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元．‎ ‎（1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．‎ ‎（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少．‎ 六、解答题（本题满分14分）‎ ‎25．（14分）在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．‎ ‎（1）若四边形ABCD为正方形．‎ ‎①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系　 　；‎ ‎②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；‎ ‎（3）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，连接AE'，DF'，请在图3中画出草图，并直接写出AE'与DF'的数量关系．‎ 七、解答题（本题满分14分）‎ ‎26．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．‎ ‎（1）求抛物线解析式；‎ ‎（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】‎ 第一部分（客观题）‎ 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个正确的,每小题3分,共30分.）‎ ‎1.-5的相反数是（ ）‎ A． -5 B． C． D．5‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据相反数的定义直接求得结果．‎ 因为只有符号不同的两个数互为相反数，所以﹣5的相反数是5．故选D．‎ 考点：相反数.‎ ‎2. 下列几何体中，同一个几何体的三视图完全相同的是（ ）‎ A． 球 B．圆锥 C．圆柱 D．三棱柱 ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 确．‎ 故选A．‎ 考点：简单几何体的三视图.‎ ‎3. 下列计算正确的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式和合并同类项的运算法则分别进行计算即可得出答案．‎ A、（﹣2xy）2=4x2y2，故本选项错误；‎ B、x6÷x3=x3，故本选项错误；‎ C、（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故本选项错误；‎ D、2x+3x=5x，故本选项正确；‎ 故选D．‎ 考点：同底数幂的除法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式.‎ ‎4. 为了解居民用水情况，小明在某小区随机抽查了30户家庭的月用水量，结果如下表：‎ 月用水量/‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 户数 ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ 则这30户家庭的月用水量的众数和中位数分别是（ ）‎ A． 6，6 B． 9，6 C. 9，6 D．6，7‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 考点：众数；中位数.‎ ‎5. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，由此可以确定a＜0，b＞0，然后一一判断各选项即可解决问题．‎ ‎∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，‎ ‎∴a＜0，b＞0，∴a+b不一定大于0，故A错误，‎ a﹣b＜0，故B错误，‎ ab＜0，故C错误，‎ ‎＜0，故D正确．‎ 故选D．‎ 考点：一次函数图象与系数的关系.‎ ‎6. 如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，，则的度数是（ ）‎ A．75° B． 85° C. 60° D．65°‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 考点：平行线的性质.‎ ‎7. 如图，在中，分别是的中点，以为斜边作，若，则下列结论不正确的是（ ）‎ A． B．平分 C. D．‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错误；‎ 在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC=CD，又AB=AC，等量代换得到AB=CD，从而判断D正确．‎ ‎∵AB=AC，∠CAB=45°，∴∠B=∠ACB=67.5°．‎ ‎∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，∴∠ACD=45°，AD=DC，‎ ‎∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，故A正确，学.科*网不符合题意；‎ ‎∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE=AB，FE∥AB，‎ ‎∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．‎ ‎∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC，∴FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，‎ ‎∵AB=AC，∴FE=FD，‎ ‎∴∠FDE=∠FED=（180°﹣∠EFD）=（180°﹣135°）=22.5°，‎ ‎∴∠FDE=∠FDC，∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意；‎ ‎∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，‎ ‎∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；‎ ‎∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，‎ ‎∴AC=CD，∵AB=AC，‎ ‎∴AB=CD，故D正确，不符合题意．‎ 故选C．‎ 考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质；勾股定理.‎ ‎8. 如图，在菱形中，，它的一个顶点在反比例函数的图像上，若将菱形向下平移2个单位，点恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 点A向下平移2个单位的点为（﹣a﹣a，a﹣2），即（﹣a，a﹣2），‎ 则，解得．‎ 故反比例函数解析式为．‎ 故选A．‎ ‎ ‎ 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移．‎ ‎9. 如图，在中，，点在上，，点是上的动点，则的最小值为（ ）‎ A． 4 B．5 C. 6 D．7‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ ‎∵DC=1，BC=4，∴BD=3，‎ 连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，‎ ‎∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，‎ 根据勾股定理可得DC′=．‎ 故选B．‎ ‎ ‎ 考点：轴对称﹣最短路线问题；等腰直角三角形.‎ ‎10. 如图，直线的解析式为，它与轴和轴分别相交于两点，平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与轴和轴分别相交于两点，运动时间为秒（），以为斜边作等腰直角三角形（两点分别在两侧），若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系的图角大致是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第二部分（主观题）‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 故答案为C．‎ 考点：动点问题的函数图象；分类讨论.‎ 二、填空题（每小题3分，共24分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11. 随着“互联网+”在各领域的延伸与融合，互联网移动医疗发展迅速，预计到2018年我国移动医疗市场规模将达到29150000000元，将29150000000用科学记数法表示为_____________．‎ ‎【答案】2.915×1010.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ ‎29150000000=2.915×1010．故答案为：2.915×1010．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数.‎ ‎12.函数中，自变量的取值范围是___________．‎ ‎【答案】x≥1.‎ ‎【解析】‎ 考点：函数自变量的取值范围.‎ ‎13.在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是 个.‎ ‎【答案】15.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，则摸到蓝球的概率为75%，然后根据概率公式可计算出口袋中蓝色球的个数．‎ 根据题意得摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，‎ 所以摸到蓝球的概率为75%，‎ 因为20×75%=15（个），所以可估计袋中蓝色球的个数为15个．‎ 故答案为15．‎ 考点：利用频率估计概率.‎ ‎14.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】k＞且k≠1.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．‎ 根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，‎ 解得：k＞且k≠1．‎ 故答案为：k＞且k≠1．‎ 考点：根的判别式；一元二次方程的定义.‎ ‎15.如图，将矩形绕点沿顺时针方向旋转90°到矩形的位置，，则阴影部分的面积为 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 故答案为：．‎ ‎ 考点：扇形面积的计算；旋转的性质.‎ ‎16.某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务.若设原计划每天植树棵，则根据题意可列方程为 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，根据“原计划所用时间﹣实际所用时间=8”列方程即可．‎ 设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x=1.2x，‎ 根据题意可得：，‎ 故答案为：．‎ 考点：由实际问题抽象出分式方程.‎ ‎17. 在矩形纸片中，是边上的点，将纸片沿折叠，使点落在点处，连接，学&科网当为直角三角形时，的长为___________．‎ ‎【答案】3或6.‎ ‎【解析】‎ ‎△EFC为直角三角形分两种情况：‎ ‎①当∠EFC=90°时，如图1所示．‎ ‎∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴点F在对角线AC上，‎ ‎∴AE平分∠BAC，∴，即，∴BE=3；‎ ‎②当∠FEC=90°时，如图2所示．‎ ‎∵∠FEC=90°，∴∠FEB=90°，∴∠AEF=∠BEA=45°，‎ ‎∴四边形ABEF为正方形，∴BE=AB=6．‎ 综上所述：BE的长为3或6．‎ 故答案为：3或6．‎ ‎ ‎ 考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；正方形的判定与性质；矩形的性质.‎ ‎18. 如图，点在直线上，过点作交直线于点，为边在外侧作等边三角形，再过点作，分别交直线和于两点，以为边在外侧作等边三角形按此规律进行下去，则第个等边三角形的面积为__________.（用含的代数式表示）‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 在Rt△OA1B1中，OA1=2，∠A1OB1=30°，∠OA1B1=90°，‎ ‎∴A1B1=OB1，∴A1B1=．‎ ‎∵△A1B1C1为等边三角形，∴A1A2=A1B1=1，‎ ‎∴OA2=3，A2B2=．‎ 同理，可得出：A3B3=，A4B4=，…，AnBn=，‎ ‎∴第n个等边三角形AnBnCn的面积为．‎ 故答案为：．‎ 考点：一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；探索规律.‎ 三、解答题 （19小题10分，20小题10分，共20分.） ‎ ‎19. 先化简，再求值：，其中.‎ ‎【答案】-4.‎ ‎【解析】‎ 原式==﹣4．‎ 考点：分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值.‎ ‎20. 如图，有四张背面完全相同的纸牌，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀.‎ ‎（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；‎ ‎（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用表示）.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎ （2）列表得：‎ A B C D A ‎（A，B）‎ ‎（A，C）‎ ‎（A，D）‎ B ‎（B，A）‎ ‎（B，C）‎ ‎（B，D）‎ C ‎（C，A）‎ ‎（C，B）‎ ‎（C，D）‎ D ‎（D，A）‎ ‎（D，B）‎ ‎（D，C）‎ 共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有6种，‎ ‎∴P（两张都是轴对称图形）=，因此这个游戏公平．‎ 考点：游戏公平性；轴对称图形；中心对称图形；概率公式；列表法与树状图法.‎ 四、解答题 （21题12分，22小题12分，共24分）‎ ‎21. 某中学开展“汉字听写大赛”活动，为了解学生的参与情况，在该校随机抽取了四个班级学生进行调查，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）这四个班参与大赛的学生共__________人；‎ ‎（2）请你补全两幅统计图；‎ ‎（3）求图1中甲班所对应的扇形圆心角的度数；‎ ‎（4）若四个班级的学生总数是160人，全校共2000人，请你估计全校的学生中参与这次活动的大约有多少人.‎ ‎【答案】（1）100；（2）见解析；（3）108°；（4）1250.‎ ‎【解析】‎ ‎30÷30%=100（人）；‎ 故答案为100；‎ ‎（2）丁所占的百分比是：×100%=35%，‎ 丙所占的百分比是：1﹣30%﹣20%﹣35%=15%，‎ 则丙班得人数是：100×15%=15（人）；‎ 如图：‎ ‎ ‎ 考点：条形统计图；扇形统计图；样本估计总体.‎ ‎22.如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点 处测得码头 的船的东北方向，航行40分钟后到达处，这时码头恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头的最近距离.（结果精确的0．1海里，参考数据 ）‎ ‎【答案】船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，根据∠DAB=30°，AB=20，从而可求出BD、AD的长度，进而可求出CE的长度．‎ 答：船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里 ‎ ‎ 考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用.‎ 五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）‎ ‎23. 如图，点在以为直径的上，学*科网点是的中点，过点作垂直于，交的延长线于点，连接交于点.‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）若，求的长.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）16.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）证明：连接OC，如图1所示．‎ ‎∵点C是的中点，∴，∴OC⊥BE．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BE，∴AD∥OC．‎ ‎∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，‎ ‎∴CD是⊙O的切线．‎ ‎（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，如图2所示．‎ ‎∵点C是的中点，∴，∠BAC=∠CAE，‎ ‎∴．‎ ‎∵cos∠CAD=，∴，∴AB=BF=20．‎ 在Rt△AOM中，∠AMO=90°，AO=AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD=，‎ ‎∴AM=AO•cos∠OAM=8，∴AC=2AM=16．‎ ‎ ‎ 考点：切线的判定与性质；解直角三角形；平行线的性质；垂径定理；圆周角定理角平分线的性质.‎ ‎24.夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元.‎ ‎（1）设第天生产空调台，直接写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围.‎ ‎（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第天的利润为元，试求与之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少.‎ ‎【答案】（1）y=40+2x（1≤x≤10）；（2），第5天，46000元.‎ ‎【解析】‎ 台，‎ ‎∴由题意可得出，第x天生产空调y台，y与x之间的函数解析式为：y=40+2x（1≤x≤10）；‎ ‎ （2）当1≤x≤5时，W=（2920﹣2000）×（40+2x）=1840x+36800，‎ ‎∵1840＞0，∴W随x的增大而增大，‎ ‎∴当x=5时，W最大值=1840×5+36800=46000；‎ 当5＜x≤10时，‎ W=[2920﹣2000﹣20（40+2x﹣50）]×（40+2x）=﹣80（x﹣4）2+46080，‎ 考点：二次函数的应用；分段函数.‎ 六、解答题（本题满分14分）‎ ‎25.在四边形中，点为边上的一点，点为对角线上的一点，且.‎ ‎（1）若四边形为正方形.‎ ‎①如图1，请直接写出与的数量关系___________；‎ ‎②将绕点逆时针旋转到图2所示的位置，连接，猜想与的数量关系并说明理由；‎ ‎（2）如图3，若四边形为矩形，，学&科.网其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，请在图3中画出草图，并直接写出与的数量关系.‎ ‎【答案】（1）①DF=AE，②DF=AE，理由见解析；（2）DF′=AE′.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）①利用正方形的性质得△ABD为等腰直角三角形，则BF=AB，再证明△BEF为等腰直角三角形得到BF=BE，所以BD﹣BF=AB﹣BE，从而得到DF=AE；‎ ‎②利用旋转的性质得∠ABE=∠DBF，加上=，则根据相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF，所以=；‎ ‎（2）先画出图形得到图3，利用勾股定理得到BD=AB，再证明△BEF∽△BAD得到，则=，接着利用旋转的性质得∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所以=，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性质可得=．‎ 试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴△ABD为等腰直角三角形，‎ ‎∴BF=AB，‎ ‎∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形，BF=BE，‎ ‎∴BD﹣BF=AB﹣BE，即DF=AE；‎ 故答案为DF=AE；‎ ‎②DF=AE．理由如下：‎ ‎∴AD=BC=mAB，∴BD==AB，‎ ‎∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，‎ ‎∴，∴=，‎ ‎∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，‎ ‎∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴△ABE′∽△DBF′，‎ ‎∴=，‎ 即DF′=AE′．‎ ‎ ‎ 考点：旋转的性质；矩形和正方形的性质；相似三角形的判定和性质.‎ 七、解答题（本题满分14分）‎ ‎26.如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点.‎ ‎（1）求抛物线解析式；‎ ‎（2）若点在第一象限内，当时，求四边形的面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】‎ ‎【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）；（3）y=x2﹣x﹣2；（2）；（3）N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；‎ ‎（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y=x﹣2，设D（m，0），得到E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，），根据三角形的面积公式即可得到结论；‎ ‎（3）设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+，于是得到N（，﹣）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，设D（m，0），‎ ‎∵DP∥y轴，∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），‎ ‎∵OD=4PE，∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2），‎ ‎∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5，），E（5，），‎ ‎∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣×1×=；‎ ‎（3）存在，设M（n，n﹣2），‎ ‎①以BD为对角线，如图1，‎ ‎∵四边形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，‎ ‎∴n=4+，∴M（，），‎ ‎∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；‎ ‎②以BD为边，如图2，‎ ‎∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，‎ ‎∴N（5﹣，），‎ ‎③以BD为边，如图3，‎ 过M作MH⊥x轴于H，‎ ‎∴MH2+BH2=BM2，即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12，‎ ‎ ‎ ‎ 考点：二次函数的图象的性质；待定系数法求一次函数；二次函数的解析式；勾股定理；三角形的面积公式；菱形的性质.‎