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- 2021-05-13 发布
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“圆”来如此简单
——“四点共圆”在中考解题中的应用赏析
2012年8月,在暑假集体备课之际,新浙教版数学教材以焕然一新的面貌出现在大家眼前。与老版相比,新版教材增加了一些传授内容。其中,九年级上册的《圆内接四边形》就是一节新增内容。而且与之配套的《数学教学参考书》在3.6《圆内接四边形》这一课时末尾,颇有用意地在第103页“相关资源”中对于如何判定四点共圆作了批注。原文如下:
如何判定四点共圆。对于四点共圆的判定一般有以下两种方法:
1.如图,四边形中同一边所对的两个边与对角线所成的角相等(如),则这个四边形为圆内接四边形,也就是四边形的四个顶点共圆。
2.如果四边形的两个对角互补,那么这个四边形为圆内接四边形,也就是四边形的四个顶点共圆。
判定四点共圆会给许多几何问题的解决带来方便。
近年来,经过笔者的收集整理和实践探究,发现很多地方的中考试题,都能通过妙用四点共圆达到事半功倍的效果。现就四点共圆问题在中考解题中的应用,采撷几例,剖析解法,供大家分享。
一、四点共圆与线段问题结合的应用举例
例1.(2013•绍兴)在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.
(1)如图1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求证:EF=CD.
(2)如图2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值.
原方法分析:第(2)小题作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,先证明四边形EQDH是矩形,得出∠QEH=90°,则∠FEQ=∠GEH,再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH,得出EF:EG=EQ:EH,然后在△BEQ中,根据正弦函数的定义得出EQ= BE,在△AEH中,根据余弦函数的定义得出EH=AE,又BE=AE,进而求出EF:EG的值.
原方法解答:(1)略
(2)解:如图,作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,
∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC,
∴四边形EQDH是矩形,
∴∠QEH=90°,
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG,
又∵∠EQF=∠EHG=90°,
∴△EFQ∽△EGH,
∴EF:EG=EQ:EH.
∵AC:AB=1:,∠CAB=90°,
∴∠B=30°.
在△BEQ中,∵∠BQE=90°,
∴sin∠B=,
∴EQ=BE.
在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,
∴cos∠AEH=,
∴EH=AE.
∵点E为AB的中点,∴BE=AE,
∴EF:EG=EQ:EH=BE:AE=1:.
该方法采用
了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质,解直角三角形,综合性较强,有一定难度.解题的关键是作辅助线,构造相似三角形,并且证明四边形EQDH是矩形.
下面赏析四点共圆方法解(2):
解:连结GF,DE
∵在△ABC中,∠CAB=90°AC:AB=1:∴∠CBA=300
∵AD⊥BC∴△BAD是直角三角形
∵点E为AB的中点∴DE=BE ∴∠EDB=∠CBA=300
∵EF⊥CE,AD⊥BC,
∴四边形DGEF对角互补
∴D、G、E、F四点共圆
∴∠FGE=∠FDE=300
∴EF:EG=tan∠FGE=1:
例2(2013•呼和浩特)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F,
(1)的值为;
(2)求证:AE=EP;
(3)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
原方法分析:第(2)题
在BA边上截取BK=NE,连接KE,根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP,由AB=CB,BK=BE,得AK=EC,结合∠KAE=∠CEP,证明△AKE≌△ECP,于是结论得出;
原方法解答:(1)(3)略
(2)证明:在BA边上截取BK=NE,连接KE,
∵∠B=90°,BK=BE,
∴∠BKE=45°,
∴∠AKE=135°,
∵CP平分外角,
∴∠DCP=45°,
∴∠ECP=135°,
∴∠AKE=∠ECP,
∵AB=CB,BK=BE,
∴AB﹣BK=BC﹣BE,
即:AK=EC,
易得∠KAE=∠CEP,
∵在△AKE和△ECP中,
,
∴△AKE≌△ECP(ASA),
∴AE=EP;
该方法采用了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识.此方法综合性很强,图形比较复杂,解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择.
下面赏析四点共圆方法解(2):
解:连结AC、AP
∵在正方形ABCD中∠BCD=900
CP是正方形外角的平分线
∴∠ACD=450∠PCD=450
∴∠ACP=900
∵∠AEP=90°
∴A、E、C、P四点共圆
∴∠APE=∠ACE=450
∴△EAP是等腰直角三角形
∴AE=EP
二、四点共圆与函数问题结合的应用举例
例3如图(1),直线交坐标轴于A、B两点,交双曲线于点C,且
(1)求k的值.
(2)如图(2),A,G关于y轴对称,P为双曲线上一点,过P作PD⊥x轴于D,分别交BG,AB于F,E,求证:DE+DF=4
(3)Q为双曲线上另一动点,连OQ,过C作CM⊥OQ,CN⊥y轴于N,如图(3),当Q点运动时,∠OMN是否是定值?说明你的理由。
图(1) 图(2) 图(3)
解:(1)(2)略
下面赏析四点共圆方法解(3):
解:连结OC,由(1)可知C(-4,4)
∴∠OCN=450
∵CM⊥OQ,CN⊥y轴
∴∠CMO=∠CNO=90°
∴四边形CMON对角互补
∴C、M、O、N四点共圆
∴∠OMN=∠OCN=450
例4(2011•绍兴)抛物线与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于点C.
(1)如图1.求点A的坐标及线段OC的长;
(2)点P在抛物线上,直线PQ∥BC交x轴于点Q,连接BQ.
①若含45°角的直角三角板如图2所示放置.其中,一个顶点与点C重合,直角顶点D在BQ上,另一 个顶点E在PQ上.求直线BQ的函数解析式;
②若含30.角的直角三角板一个顶点与点C重合,直角顶点D在直线BQ上,另一个顶点E在PQ上,求点P的坐标.
原方法分析:(2)①由△CDE是等腰直角三角形,分别过点D作x轴和PQ的垂线,通过三角形全等得到∠DQO=45°,求出点Q的坐标,然后用待定系数法求出BQ的解析式.②分点P在对称轴的左右两边讨论,根据相似三角形先求出点Q的坐标,然后代入抛物线求出点P的坐标.
原方法解答:解:(1)略
(2)①如图:
B(1,3)
分别过点D作DM⊥x轴于M,DN⊥PQ于点N,
∵PQ∥BC,∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°,
∴DMQN是矩形.
∵△CDE是等腰直角三角形,
∴DC=DE,∠CDM=∠EDN
∴△CDM≌△EDN
∴DM=DN,
∴DMQN是正方形,
∴∠BQC=45°
∴CQ=CB=3
∴Q(4,0)
设BQ的解析式为:y=kx+b,
把B(1,3),Q(4,0)代入解析式得:k=﹣1,b=4.
所以直线BQ的解析式为:y=﹣x+4.
②当点P在对称轴右侧,如图:
过点D作DM⊥x轴于M,DN⊥PQ于N,
∵∠CDE=90°,∴∠CDM=∠EDN
∴△CDM∽△EDN
当∠DCE=30°,
又DN=MQ
∴
∴,BC=3,CQ=
∴Q(1+,0)
∴P1(1+,)
当∠DCE=60°,点P2(1+,﹣).
当点P在对称轴的左边时,由对称性知:
P3(1﹣,),P4(1﹣,﹣)
综上所述:P1(1+,),P2(1+,﹣),P3(1﹣,),P4(1﹣,﹣)
下面赏析四点共圆方法解(2):
∵∠CDE=90°∠CQE=90°
∴四边形CDEQ对角互补
∴C、D、E、Q四点共圆
∴∠DEC=∠DQC
由于(2)中两问∠DEC都是特殊角,并且BC=4,所以都可以由特殊角的三角函数值求出CQ的长,从而得到Q的坐标,接下来直线BQ的解析式,P点的坐标都可迎刃而解。
三、四点共圆与轨迹问题结合的应用举例
例5、(2013鄂尔多斯)如图6,直线y=-x+4与两坐标轴交A、B两点,点P为线段OA上的动点,连接BP,过点A作AM垂直于直线BP,垂足为M,当点P从点O运动到点A时,则点M运动的长为 .
下面赏析四点共圆方法:
解:∵AM垂直于直线BP
∴∠AOB=∠AMB=900
∴A、M、O、B四点共圆
∴M点运动轨迹是以AB的中点N为圆心,AB长的一半为半径的弧OA,
连结ON,
∵直线y=-x+4与两坐标轴交于AB两点,
∴OA=OB=4
∴ON⊥OB
∴∠ONA=900
∵AB=
∴ON=
∴M点运动轨迹长为
例6(2011 浙江湖州)如图1.已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.
(1) 求点D的坐标(用含m的代数式表示);
(2) 当△APD是等腰三角形时,求m的值;
(3) 设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2).当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路径长.(不必写解答过程)
解:(1)(2)略
下面赏析四点共圆方法解(3):
∵∠OCB=900
∴无论P在何处,四边形OCMH对角互补
∴O、C、M、H四点共圆,且该圆就是△CMO的外接圆
∴随着P点的运动,H点的运动轨迹是弧,且弧的起点和终点关键看P的起点和终点
∵P(0,m)是线段OC上的一动点(C点除外),
∴
当O与P重合时,H点才开始运动,此时过O、M、B三点的抛物线为
此时ME的解析式为y=-x+3,则,
∵
∴OHE为等腰直角三角形
∴∠COH=450OM=
∵P与C无限靠近时H也将与C无限靠近
∴H点运动的路径终点与C无限靠近
∴H点运动的弧长=
纵观近年各地中考试题,虽然四点共圆问题在中考卷中的考查,直接意图并不是很明显。就如上述几道试题颇有难度,用我们经常提及的基本图形、基本思想、基本技能也能解决,但较为繁琐,而构造四点共圆将所求各类问题转化为圆的常见问题,并用圆的基本性质将问题进行解决,一切都变得顺风顺水,有助于学生初步形成“模型思想”、积累数学活动经验。波利亚曾经说过:“解题是一种实践性的技能,就好像游泳一样。在学习解题时,你必须观察和模仿别人在解题时的做法,最后你通过解题学会解题”。所以在平时的解题中善于模仿、总结和积累,就能独具慧眼,用敏锐的视角发现四点共圆,其解决问题的快速直接会让人不由感叹:解题“圆”来如此简单。
参考文献:
【1】 中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准(修订稿)[S].北京师范大学出版社,2011.
【2】 九年级上册数学教学参考书[M]浙江教育出版社.
【3】 波利亚.《怎样解题》[M]上海科技教育出版社.