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- 2021-05-13 发布
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中考复习:切线的判定与性质
知识考点:
1、掌握切线的判定及其性质的综合运用,在涉及切线问题时,常连结过切点的半径,切线的判定常用以下两种方法:一是连半径证垂直,二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用,掌握三角形和多边形的内切圆,三角形的内心。
精典例题:
【例1】如图,AC为⊙O的直径,B是⊙O外一点,AB交⊙O于E点,过E点作⊙O的切线,交BC于D点,DE=DC,作EF⊥AC于F点,交AD于M点。
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)EM=FM。
【例2】如图,△ABC中,AB=AC,O是BC的中点,以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证:AC是⊙O的切线。
【例3】如图,已知AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,OA=。
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求的值;
(3)若AD+OC=,求CD的长。
探索与创新:
【问题一】如图,以正方形ABCD的边AB为直径,在正方形内部作半圆,圆心为O,CG切半圆于E,交AD于F,交BA的延长线于G,GA=8。
(1)求∠G的余弦值;
(2)求AE的长。
【问题二】如图,已知△ABC中,AC=BC,∠CAB=(定值),⊙O的圆心O在AB上,并分别与AC、BC相切于点P、Q。
(1)求∠POQ;
(2)设D是CA延长线上的一个动点,DE与⊙O相切于点M,点E在CB的延长线上,试判断∠DOE的大小是否保持不变,并说明理由。
答案
精典例题:
【例1】如图,AC为⊙O的直径,B是⊙O外一点,AB交⊙O于E点,过E点作⊙O的切线,交BC于D点,DE=DC,作EF⊥AC于F点,交AD于M点。
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)EM=FM。
分析:(1)由于AC为直径,可考虑连结EC,构造直角三角形来解题,要证BC是⊙O的切线,证到∠1+∠3=900即可;(2)可证到EF∥BC,考虑用比例线段证线段相等。
证明:(1)连结EC,∵DE=CD,∴∠1=∠2
∵DE切⊙O于E,∴∠2=∠BAC
∵AC为直径,∴∠BAC+∠3=900
∴∠1+∠3=900,故BC是⊙O的切线。
(2)∵∠1+∠3=900,∴BC⊥AC
又∵EF⊥AC,∴EF∥BC
∴
∵BD=CD,∴EM=FM
【例2】如图,△ABC中,AB=AC,O是BC的中点,以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证:AC是⊙O的切线。
分析:由于⊙O与AC有无公共点未知,因此我们从圆心O向AC作垂线段OE,证OE就是⊙O的半径即可。
证明:连结OD、OA,作OE⊥AC于E
∵AB=AC,OB=OC,∴AO是∠BAC的平分线
∵AB是⊙O的切线,∴OD⊥AB
又∵OE⊥AC,∴OE=OD
∴AC是⊙O的切线。
【例3】如图,已知AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,OA=。
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求的值;
(3)若AD+OC=,求CD的长。
分析:(1)要证CD是⊙O的切线,由于D在⊙O上,所以只须连结OD,证OD⊥DC即可;(2)求的值,一般是利用相似把转化为其它线段长的乘积,若其它两条线段长的乘积能求出来,则可完成;(3)由,AD+OC=可求出AD、OC,根据勾股定理即可求出CD。
证明:(1)连结OD,证∠ODC=900即可;
(2)连结BD
∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=900
∵∠OBC=900,∴∠ADB=∠OBC
又∠A=∠3,∴△ADB∽△OBC
∴
∴
(3)由(2)知,又知AD+OC=
∴AD、OC是关于的方程的两根
解此方程得,
∵OC>,∴OC=
∴CD=
探索与创新:
【问题一】如图,以正方形ABCD的边AB为直径,在正方形内部作半圆,圆心为O,CG切半圆于E,交AD于F,交BA的延长线于G,GA=8。
(1)求∠G的余弦值;
(2)求AE的长。
略解:(1)设正方形ABCD的边长为,FA=FE=6,在Rt△FCD中,,,解得。
∴
∵AB∥CD,∴∠G=∠FCD,∴
(2)连结BE,∵CG切半圆于E,∴∠AEG=∠GBE
∵∠G为公共角,∴△AEG∽△EBG
∴
在Rt△AEB中,可求得
【问题二】如图,已知△ABC中,AC=BC,∠CAB=(定值),⊙O的圆心O在AB上,并分别与AC、BC相切于点P、Q。
(1)求∠POQ;
(2)设D是CA延长线上的一个动点,DE与⊙O相切于点M,点E在CB的延长线上,试判断∠DOE的大小是否保持不变,并说明理由。
分析:(1)连结OC,利用直角三角形的性质易求∠POQ;(2)试将∠DOE用含的式子表示出来,由于为定值,则∠DOE为定值。
解:(1)连结OC
∵BC切⊙O于P、Q,∴∠1=∠2,OP⊥CA,OQ⊥CB
∵CA=CB,∴CO⊥AB
∴∠COP=∠CAB,∠COQ=∠CBA
∵∠CAB=,∴∠POQ=∠COP+∠COQ=
(2)由CD、DE、CE都与⊙O相切得:
∠ODE=∠CDE,∠OED=∠CED
∴∠DOE=1800-(∠ODE+∠OED)
=1800-(∠CDE+∠CED)
=1800-(1800-∠ACB)
=1800-[1800-(1800-)]
=
∴∠DOE为定值。
跟踪训练:
一、选择题:
1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是( )
A、经过半径外端点的直线是圆的切线;
B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线;
C、垂直于半径的直线是圆的切线;
D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、在Rt△ABC中,∠A=900,点O在BC上,以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、F,若AB=,AC=,则⊙O的半径为( )
A、 B、 C、 D、
3、正方形ABCD中,AE切以BC为直径的半圆于E,交CD于F,则CF∶FD=( )
A、1∶2 B、1∶3 C、1∶4 D、2∶5
4、如图,过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,连结AB,在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F,使AD=BE,BD=AF,连结DE、DF、EF,则∠EDF=( )
A、900-∠P B、900-∠P C、1800-∠P D、450-∠P
二、填空题:
5、已知PA、PB是⊙O的切线,A、B是切点,∠APB=780,点C是⊙O上异于A、B的任一点,则∠ACB= 。
6、如图,AB⊥BC,DC⊥BC,BC与以AD为直径的⊙O相切于点E,AB=9,CD=4,则四边形ABCD的面积为 。
7、如图,⊙O为Rt△ABC的内切圆,点D、E、F为切点,若AD=6,BD=4,则△ABC的面积为 。
8、如图,已知AB是⊙O的直径,BC是和⊙O相切于点B的切线,过⊙O上A点的直线AD∥OC,若OA=2且AD+OC=6,则CD= 。
9、如图,已知⊙O的直径为AB,BD=OB,∠CAB=300,请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论(除OA=OB=BD外):① ;② ;③ ;④ 。
10、若圆外切等腰梯形ABCD的面积为20,AD与BC之和为10,则圆的半径为 。
三、计算或证明题:
11、如图,AB是半⊙O的直径,点M是半径OA的中点,点P在线段AM上运动(不与点M重合),点Q在半⊙O上运动,且总保持PQ=PO,过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C。
(1)当∠QPA=600时,请你对△QCP的形状做出猜想,并给予证明;
(2)当QP⊥AB时,△QCP的形状是 三角形;
(3)则(1)(2)得出的结论,请进一步猜想,当点P在线段AM上运动到任何位置时,△QCP一定是 三角形。
12、如图,割线ABC与⊙O相交于B、C两点,D为⊙O上一点,E为的中点,OE交BC于F,DE交AC于G,∠ADG=∠AGD。
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)如果AB=2,AD=4,EG=2,求⊙O的半径。
13、如图,在△ABC中,∠ABC=900,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D,AD=2,AE=1,求。
14、如图,AB是半圆(圆心为O)的直径,OD是半径,BM切半圆于B,OC与弦AD平行且交BM于C。
(1)求证:CD是半圆的切线;
(2)若AB长为4,点D在半圆上运动,设AD长为,点A到直线CD的距离为
,试求出与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围。
15、如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O的半径AO上运动, PC⊥AB交⊙O于E,PT切⊙O于T,PC=2.5。
(1)当CE正好是⊙O的半径时,PT=2,求⊙O的半径;
(2)设,,求出与之间的函数关系式;
(3)△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形?若能,请求出△PTC的面积;若不能,请说明理由。
参考答案
一、选择题:DCBB
二、填空题:
5、51或129;6、78;7、24;8、;
9、∠ACB=900,AB=2BC,DC是⊙O的切线,BD=BC等;10、2
三、计算或证明题:
11、(1)△QCP是等边三角形;(2)等腰直角三角形;(3)等腰三角形
12、(1)证OD⊥AD;(2);
13、过D作DF⊥BC于F,;
14、(1)证∠ODC=900;(2)连结BD,过A作AE⊥CD于E,证△ADB∽△AED,则有,即,
15、(1)⊙O的半径为1.5;(2)连结OP、OT,由勾股定理得化简得(0≤≤1.5);(3)△PTC不可能变为以PC为斜边的等腰直角三角形。理由如下:
当PT⊥CT时,由于PT切⊙O于T,所以CT过圆心,即CT就是⊙O的半径,由(1)知,CT=1.5,PT=2,即PT≠CT,故△PTC不可能变为以PC为斜边的等腰直角三角形。
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