5.2圆的有关计算五年中考荟萃 11页

‎§5.2　圆的有关计算 A组　2015年全国中考题组 一、选择题 ‎1．(2015·浙江绍兴，8，4分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长 (　　)‎ A．2π B．π C. D. 解析　连结OA，OC，∵∠B＝135°，∴∠D＝180°－135°＝45°，∴∠AOC＝90°，则的长＝＝π.‎ 答案　B ‎2．(2015·浙江杭州，9，3分)如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连结任意两点均可得到一条线段．在连结两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为 (　　)‎ A. B. C. D. 解析　连结AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N.‎ ‎∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，∴AF＝EF＝1，∠AFE＝120°，∴∠FAE＝30°，∴AN＝，∴AE＝，同理可得：AC＝，故从任意一点，连结两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况，则在连结两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为.‎ 答案　B ‎3．(2015·浙江金华，10，3分)如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值是 (　　)‎ A. B. C. D．2‎ 解析　如图，连结AC，BD，OF.设⊙O的半径是r，则OF＝r，∵AO是∠EAF的平分线．∴∠OAF＝60°÷2＝30°.∵OA＝OF，∴∠OFA＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°＋30°＝60°，∴FI＝r·sin 60°＝r，∴EF＝r×2＝r.∵AO＝2OI，∴OI＝r，CI＝r－r＝r，∴＝＝，∴GH＝BD＝×2r＝r，∴＝＝.‎ 答案　C ‎4．(2015·广东广州，9，3分)已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是 (　　)‎ A．3 B．9 C．18 D．36 解析　连结正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积＝18.‎ 答案　C ‎5．(2015·广东东莞，9，3分)如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为 (　　)‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ 解析　∵正方形的边长为3，∴弧BD的弧长＝6，∴S扇形DAB＝lr＝×6×3＝9.‎ 答案　D ‎6．(2015·浙江宁波，9，4分)如图，用一个半径为30 cm，面积为300π cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为 (　　)‎ A．5 cm B．10 cm C．20 cm D．5π cm 解析　设铁皮扇形的半径和弧长分别为R，l，圆锥形容器底面半径为r，‎ 则由题意得R＝30，由Rl＝300π得l＝20π；‎ 由2πr＝l得r＝10 cm.故选B.‎ 答案　B 二、填空题 ‎7．(2015·浙江湖州，14，4分)如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA＝2，∠COD＝120°，则图中阴影部分的面积等于________．‎ 解析　利用化零为整的方法，把两个小扇形看成一个大扇形，圆心角为60°，再利用扇形的面积公式即可．‎ 答案　π ‎8．(2015·安徽，12，5分)如图，点A，B，C在半径为9的⊙O上，的长为2π，则∠ACB的大小是________．‎ 解析　连结OA，OB.先由的长为2π，‎ 利用弧长计算公式求出∠AOB＝40°，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得到∠ACB＝∠AOB＝20°.‎ 答案　20°‎ ‎9．(2015·湖北孝感，13，3分)已知圆锥的侧面积等于60π cm2，母线长10 cm，则圆锥的高是________cm.‎ 解析　设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得·2π·r·10＝60π，解得r＝6，所以圆锥的高＝＝8(cm)．‎ 答案　8‎ ‎10．(2015·山东烟台，16，3分)如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合(粘连部分忽略不计)则圆锥形纸帽的高是________．‎ 解析　∵弧长为6π，∴底面半径为6π÷2π＝3.∵圆心角为120°，∴＝6π，解得R＝9，∴圆锥的高为＝6.‎ 答案　6 三、解答题 ‎11．(2015·浙江丽水，21，8分)如图，在△ABC中，AB ＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O 的切线DF，交AC于点F.‎ ‎(1)求证：DF⊥AC；‎ ‎(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．‎ ‎(1)证明　连结OD.∵OB＝OD，‎ ‎∴∠ABC＝∠ODB.‎ ‎∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.‎ ‎∴∠ODB＝∠ACB，‎ ‎∴OD∥AC.‎ ‎∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD.‎ ‎∴DF⊥AC.‎ ‎(2)解　连结OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACD＝67.5°，‎ ‎∴∠BAC＝45°.‎ ‎∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°.‎ ‎∵⊙O的半径为4，‎ ‎∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8，‎ ‎∴S阴影＝S扇形AOE－S△AOE＝4π－8.‎ B组　2014～2011年全国中考题组 一、选择题 ‎1．(2013·浙江义乌，8，3分)已知圆锥的底面半径为6 cm，高为8 cm，则这个圆锥的母线长为 (　　)‎ A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm 解析　∵r2＋h2＝l2，∴ 62＋82＝l2，∴l＝10 cm，故选B.‎ 答案　B ‎2．(2013·浙江湖州，7，3分)在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积是(　　)‎ A．4π B．3π C．2π D．2π 解析　∵圆锥的底面半径为r＝1，高为2，∴圆锥的母线长l＝＝3，∴圆锥的侧面积＝πrl＝π×1×3＝3π，故选B.‎ 答案　B ‎3．(2014·浙江绍兴，7，4分)如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为 (　　)‎ A.π B.π C. D. 解析　根据题意可知：扇形的弧长＝＝，∴圆锥的底面周长就是.故选B.‎ 答案　B ‎4．(2013·浙江温州，10，4分)在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧，如图所示，若AB＝4，AC＝2，S1－S2＝，则S3－S4的值是 (　　)‎ A. B. C. D. 解析　∵S1＋S3＝πAB2＝2π　①，S2＋S4＝πAC2＝π　②，∴①－②得：(S1－S2)＋(S3－S4)＝π.∵S1－S2＝，∴S3－S4＝π－＝π.‎ 答案　D ‎5．(2013·浙江嘉兴，6，4分)如图，某厂生产横截面直径为7 cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为 (　　)‎ A. cm B. cm C. cm D．7π cm ‎ 解析　∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°.由题意可得，R＝ cm，‎ 则“蘑菇罐头”字样的长＝＝π.故选B.‎ 答案　B ‎6．(2014·浙江金华，10，3分)一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪得一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是(　　)‎ A．5∶4 B．5∶2‎ C.∶2 D.∶ 解析　如图，在扇形纸板中，连结OF，在Rt△OCD中，因为∠AOB＝45°，所以△OCD是等腰直角三角形，所以OD＝CD＝1.所以OE＝OD＋DE＝2.在Rt△OEF中，因为OF2＝OE2＋EF2＝22＋12＝5，所以扇形的面积＝＝＝.在圆形纸板中，连结AC，根据勾股定理有AC＝，所以OA＝，所以圆的面积＝π＝π.所以扇形纸板与圆形纸板的面积比＝∶π＝5∶4.故选A.‎ 答案　A 二、填空题 ‎7．★(2013·山东济宁，12，3分)如图，△ABC和△A′B′C 是两个完全重合的直角三角板，∠B＝30°，斜边长为10 cm.三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，C A′旋转所构成的扇形的弧长为________ cm.‎ 解析　因为∠B＝30°，AB＝A′B′＝10 cm，则∠A＝60°，AC＝A′C＝5 cm.当A′落在AB边上时，∴△ACA′是等边三角形，∴CA′旋转所构成的扇形的弧长为＝.‎ 答案　 ‎8．(2013·浙江宁波，17，3分)如图，AE是半圆O的直径，弦AB＝BC＝4，弦CD＝DE＝4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为________．‎ 解析　∵弦AB＝BC，弦CD＝DE，∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，∴∠BOD＝90°.‎ 过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，则BF＝FC＝2，CG＝GD＝2，∠FOG＝45°.‎ 在四边形OFCG中，∠FCD＝135°，‎ 过点C作CN∥OF，交OG于点N，‎ 则∠FCN＝90°，∠NCG＝135°－90°＝45°，‎ ‎∴△CNG为等腰三角形，‎ ‎∴CG＝NG＝2.‎ 过点N作NM⊥OF于点M，‎ 则MN＝FC＝2，‎ 在等腰直角三角形MNO中，NO＝MN＝4，‎ ‎∴OG＝ON＋NG＝6.‎ 在Rt△OGD中，OD＝＝＝2，‎ 即圆O的半径为2，‎ 故S阴影＝S扇形BOD＝＝10π.‎ 答案　10π ‎9．(2013·浙江衢州，14，4分) 如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧()对应的圆心角(∠AOB)为120°，OC的长为2 cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为________．‎ 解析　∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝60°.‎ 在Rt△OBC中，OC＝2 cm，∠BOC＝60°，∴∠OBC＝30°，∴OB＝4 cm，BC＝2 cm，‎ 则S扇形OAB＝＝(cm2)，S△OBC＝OC×BC＝2(cm2)，故S重叠＝S扇形OAB＋S△OBC＝＋2(cm2)．‎ 答案　＋2(cm2)‎ ‎10．(2013·浙江杭州，15，4分)四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC＝CD＝2，AB＝3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则| S1－S2|＝________(平方单位)．‎ 解析　绕AB旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：2π×2×2＝8π；绕CD旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：2π×2×3＝12π，则|S1－S2|＝4π.‎ 答案　4π 三、解答题 ‎11．(2012·浙江宁波，23，8分)如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C＝90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC 于点F.‎ ‎(1)求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎(2)已知sin A＝，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．‎ ‎(1)证明　连结OE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.∵BE是△ABC的角平分线，∴∠OBE＝∠EBC.∴∠OEB＝∠EBC.∴OE∥BC.∵∠C＝90°，∴∠AEO＝∠C＝90°.∴OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线．‎ ‎ (2)解　连结OF.‎ ‎∵sin A＝，∴∠A＝30°.‎ ‎∵⊙O的半径为4，∴AO＝2OE＝8.∴AB＝12.‎ ‎∴AE＝4，∠AOE＝60°，‎ ‎∴BC＝AB＝6，AC＝6.‎ ‎∴CE＝AC－AE＝2.‎ ‎∵OB＝OF，∠ABC＝60°，‎ ‎∴△OBF是正三角形．‎ ‎∴∠FOB＝60°，CF＝6－4＝2.‎ ‎∴∠EOF＝60°.‎ ‎∴S梯形OECF＝(2＋4)×2＝6，‎ S扇形EOF＝＝π.‎ ‎∴S阴影部分＝S梯形OECF－S扇形EOF＝6－π.‎ ‎12．(2013·浙江丽水，21，8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.‎ ‎(1)求证：BE＝CE；‎ ‎(2)求∠CBF的度数；‎ ‎(3)若AB＝6，求的长．‎ ‎(1)证明　连结AE，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC.‎ 又∵AB＝AC，‎ ‎∴BE＝CE.‎ ‎(2)解　∵∠BAC＝54°，AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝63°.‎ 又∵BF是⊙O的切线，‎ ‎∴∠ABF＝90°，‎ ‎∴∠CBF＝∠ABF－∠ABC＝27°.‎ ‎(3)解　连结OD，则OA＝OD.‎ ‎∵∠BAC＝54°，‎ ‎∴∠AOD＝72°.‎ 又∵AB＝6，‎ ‎∴OA＝3.‎ ‎∴的长＝＝.‎