数学中考复习专题解析及测试 98页

目录 专题一《数与式》 2‎ ●专题一《数与式》习题答案 10‎ 专题二《方程与不等式》 12‎ ●专题二《方程与不等式》习题答案 20‎ 专题三《函数》 22‎ ●专题三《函数》习题答案 31‎ 专题四《统计与概率》 34‎ ●专题四《统计与概率》习题答案 42‎ 专题五《线段、角与三角形》 44‎ ●专题五《线段、角与三角形》习题答案 50‎ 专题六《四边形》 52‎ ●专题六《四边形》习题答案 58‎ 专题七《圆》 60‎ ●专题七《圆》习题答案 67‎ 专题八《锐角三角函数与解直角三角形》 69‎ ●专题八《锐角三角函数与解直角三角形》习题答案 76‎ 专题九《图形与变换》 78‎ ●专题九《图形与变换》习题答案 84‎ 专题十 中考数学各种题型的突破方法 86‎ ●专题十 《中考数学各种题型的突破方法》习题答案 97‎ 专题一《数与式》‎ ‎●中考点击 考点分析：‎ 内容 要求 ‎1、平方根，算术平方根、立方根的概念及表示，乘方的意义 Ⅰ ‎2、无理数和实数的概念，近似数和有效数字 Ⅰ ‎3、二次根式的概念及加、减、乘、除运算法则 Ⅱ ‎4、实数的大小比较，实数的混合运算 Ⅱ ‎5、单项式、多项式有整式概念 Ⅰ ‎6、整数指数幂的意义和基本性质，整式的加、减、乘、除运算，乘法公式 Ⅱ ‎7、提公因式法、公式法分解因式 Ⅱ ‎8、分式的概念，分式的基本性质，约分和通分 Ⅱ ‎9、简单的分式加、减、乘、除 Ⅱ 要求Ⅰ：理解掌握 要求Ⅱ：灵活运用 命题预测：实数是初中数学的基础知识，也是其他学科的重要工具．因此在近年来各地的中考试题中一直占有重要的地位．这部分试题大多数十分重视基础知识的考察，试题的呈现形式多以贴近生活实际的形式，试题的难度不大．多数来源于教材的习题或稍加变通．题型主要是填空题、选择题也有计算题，但是，计算题的难度不大，没有繁杂的计算．近几年来，部分地区还设计了开放性探索题．预计今后的中考对实数的考察难度将依然控制在2006年的基础上．这部分的试题量一般占试题总量的2%——6%，分值占总分的3%——5%．‎ 代数式的知识在历年全国各地的中考试卷中始终占有一定的地位，并且与实数部分一样，试题多数为题型小、难度低、思维量少、一捂即得的填空题和选择题，基本上没有难题和怪题，虽然近年部分省、市出现了一些开放、猜想题、规律探索题、阅读理解题等创新题型，但是，多数都来源于教材，考生依然会感到得心应手．这部分考题一般在6%左右，分值占7%左右．‎ 综上所述，预计今年中考对本专题的内容除继承以往的优点外，还会继续加强源于教材而又活于教材的题型，考察学生灵活应用知识的能力．促进课堂教学对创新能力的培养，从而全面提高素质教育．‎ ‎●难题透视 例1 根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是 ‎000‎ ‎110‎ ‎010‎ ‎111‎ ‎001‎ ‎111‎ A．100，011 B．011，‎100 C．011，101 D．101，110‎ ‎【考点要求】本题考查以计算机语言为背景，用符号来表示数字的问题．利用符号来表示数字0和1，要求能实现符号与数字的相互转化．‎ ‎【思路点拨】通过观察，不难发现两个并排的短横表示0，而一条长横表示1，所表示的数是从上往下看，因而表格中的两个空格中所填的数这011和100 ．‎ ‎【答案】选B．‎ ‎【方法点拨】部分学生不能够读懂题意，无法做出正确选择，往往会随便猜出一个答案．突破方法：根据表格中所提供的信息，找出规律，容易发现短横与长横所表示的不同意义．然后对照分析出两个安全空格中所应填写的数字．‎ 解题关键：对题目中提供的信息要仔细观察分析，理解其表示的意义．‎ 例2用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按图1-1方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块（用含的代数式表示）．‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎……‎ ‎ 图1-1‎ ‎【考点要求】本题考查数形结合、整理信息，将图形转化为数据，猜想规律、探求结论．‎ ‎【思路点拨】根据图形可得出以下数据：第1个图形，黑色瓷砖4块；第2个图形，黑色瓷砖7块；第3个图形，黑色瓷砖10块……不难看出，每幅图形中的黑色瓷砖依次增加3块，如果把第一个图形中的黑色瓷砖表示为1＋3，则第2个图形中的黑色瓷砖可表示为1＋3×2……所以第n个图形中的黑色瓷砖为1+3n．‎ ‎【答案】黑色瓷砖10块，第n个图形中的黑色瓷砖为1+3n．‎ ‎【方法点拨】部分学生缺乏一定的图形鉴别能力，不知如何分析．突破方法：抓住其中的黑色瓷砖数目的变化规律，结合图形，观察其变化规律．‎ 例3下列运算中，计算结果正确的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【考点要求】本题考查整式运算公式．‎ ‎【思路点拨】同底数幂的乘法法则是底数，不变指数相加，而除法可能转化为乘法进行，幂的乘方是底数不变，指数相乘．A项结果应等于，C项结果应等于，而D项无法运算．‎ ‎【答案】选B．‎ ‎【方法点拨】部分学生对幂运算公式掌握不够熟练，容易前生计算错误．突破方法：加强相关练习，熟悉乘法公式．‎ 例4我国自行研制的“神舟6号飞船”载人飞船于‎2005年10月12日成功发射，并以每秒约‎7.820185公里的速度，在距地面‎343公里的轨道上绕地球一圈只需90分钟，飞行距离约‎42229000km．请将这一数字用科学记数法表示为________km．(要求保留两位有效数字)．‎ ‎【考点要求】本题考查了学生科学记数法以及有效数字的知识．‎ ‎【思路点拨】用科学记数法表示绝对值较大的数时，关键是10的指数，可归纳为指数n等于原数整数部分的位数减一．所以这一数字可表示为4.2×107．‎ ‎【答案】4.2×107．‎ ‎【方法点拨】部分学生在用科学记数法表声学家较大或者较小的数时，对于10的指数容易弄错．突破方法：掌握规律，记住幂的指数的确定方法．‎ 解题关键：科学记数法中，a是整数数位只有一位的数，10的指数是由小数点移动的位数决定的，也可以简单的记作用原数的数位减去1所得到的数值．‎ 例5分解因式：= ．‎ ‎【考点要求】本题考查多项式的因式分解．‎ ‎【思路点拨】本题是四项，应采用分组分解法，分组分解法主要有两种，一是二二分组，另一种是一三分组，本题应采用一三分组法进行分解．原式．‎ ‎【答案】填 ‎【规律总结】部分学生含四项的多项式分解感到有一些困难．突破方法：在无法用提公因式或者直接运用公式进行因式分解时，往往还会进行分组分解．‎ 解题关键：分组分解一般是对含四项的多项式而言的，常见的有两种分组方法：二二分组，一三分组，有时还需要对原式的各项进行必要的交换．‎ 例6有一道题“先化简，再求值：，其中．”小玲做题时把“”‎ 错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？‎ ‎【考点要求】本题考查的是分式的化简求值，同时也考查了学生辨析正误的学习能力．‎ ‎【思路点拨】把原式化简，可得．因为，所以无论是“”或“”，代入化简后的式子中，所求得的值都是相等的．因而即使代错数值，结果仍然是正确的．‎ ‎【方法点拨】部分学生不熟悉这种题型，因而不知如何下手，举棋不定．突破方法：平时要注意多加积累，熟悉各种不同形式的问题，同时要能有一定创新思维，能应对新问题．‎ 解题关键：解这类问题时，先按常规方法正确求解，再比较分析为什么会出现值代错了但结果正确的原因．‎ 例7已知，化简的结果是（ ）‎ A．6 B．‎2m－‎8 C．‎2m D．－‎‎2m ‎【考点要求】本题考查多项式的求值运算，不仅考查了学生整式乘法运算，同时还要求具备整体思想，这也是数学解题中常用的一种技巧．‎ ‎【思路点拨】原式按多项式乘法运算后为，再将代入，可得－‎2m．‎ ‎【答案】选D．‎ 图1-2‎ ‎【方法点拨】部分学生想通过由已知条件求出a、b的值，然后再代入求值，一种情况是无法解得结果，另一种是会用含m的式子表示a、b，但解题过程较繁琐，且容易出错．突破方法：运用整体思想解题，能发现原式乘开后可用含和的式子表示，再将已知条件代入即可．‎ 解题关键：许多类似的求代数式值的问题，往往不是直接将字母的值代入，而是利用整体代入求值．‎ 例8如图1-2，时钟的钟面上标有1，2，3…12共计12个数，一条直线把钟面分成了两部分，请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的两个部分所包含的几个数分别是 ‎ ‎【考点要求】本题考查对数字的观察及推理能力．‎ ‎【思路点拨】钟面上的数字之和为78，依题意，三部分之和相等，则每部分之和只能为78÷3=26，而图中钟面上的1、2、11、12之和已经为26，所以所画的这条线只能在图中这条直线的下方，即过4和5，8和9之间画直线．‎ ‎【答案】3、4、9、10，5、6、7、8．‎ ‎【误区警示】本题部分学生不知从何处入手，或者漫无目标的尝试去画，这样费时较多，而且容易达到目标．突破方法：仔细阅读，认真分析，理清题意可减少尝试分割的次数．‎ 例9我们把分子为1的分数叫做单位分数．如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，，…‎ ‎（1）根据对上述式子的观察，你会发现，请写出□，○所表示的数；‎ ‎（2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）＝，请写出△，⊙所表示的式，并加以验证．‎ ‎【考点要求】本题考查学生对新信息的理解与运用．‎ ‎【思路点拨】通过对三组式子的观察，不难找出规律．等式右边的第一个分母是左边的分母加1，第二 个分母是前两个分母的乘积，如果设左边的分母为n，则右边第一个分母为（n＋1），第二个分母为n（n＋1）．所以问题（1）中，□表示的数为6，○表示的数为30；问题（2）中，△表示的式为，⊙表示的式为．‎ 验证：，所以上述结论成立．‎ ‎【答案】（1）□表示的数为6，○表示的数为30；（2）△表示的式为，⊙表示的式为．‎ ‎【方法点拨】部分学生不能看出题目已知条件中所反映出的规律．突破方法：对比已知的三个式子，进行比较分析，可以看出每个等式中的各个分子都是1，而分母也特殊关系，得到这些信息后，完成解题不再困难．‎ 解题关键：当题中有一组并列条件时，往往将它们放在一起进行观察、比较、分析，从中发现重要信息．‎ 例10阅读下面的材料，回答问题：‎ 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-3，；当A、B两点都不在原点时：‎ ‎（1）如图1-4，点A、B都在原点的右边，；‎ O（A）‎ ‎0‎ b B 图1-3‎ O ‎0‎ b B 图1-4‎ ‎ a A ‎（2）如图1-5，点A、B都在原点的左边， ；‎ ‎（3）如图1-6，点A、B在原点的两边，．‎ B b a A 图1-5‎ O ‎0‎ B b a A 图1-6‎ O ‎0‎ 综上，数轴上A、B两点之间的距离．‎ 回答下列问题：‎ ‎（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ．‎ ‎（2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是 ．如果，那么x= ．‎ ‎【考点要求】本题通过阅读材料，引出数轴上两点A、B的距离公式，再引出相关问题，考查学生阅读材料，获取新的信息和结论，然后应用所得结论，解答新问题的能力．‎ ‎【思路点拨】依据阅读材料，所获得的结论为，结合各问题分别代入求解．（1）；（2）；因为，所以，所以或．所以或．‎ ‎【答案】（1）3，3，4；（2）或．‎ ‎【误区警示】部分学生因为题目较长，阅读能力稍差的同学不易找出正确结论解题．突破方法：反复阅读材料，从中获取重要结论，帮助解题．‎ ‎●难点突破方法总结 实数是初中数学基础知识，中考试题中的实数问题各种题型都会涉及到，在解决实数问题时，要注意以下几点：‎ ‎1.要准确掌握各个概念．概念是组成数学知识的基本元素．实数一章中的概念较多，基础性强，对后续学习影响大，不少概念还含有运算性质．如相反数、倒数、绝对值、算术平方根、负整数指数幂、科学记数法等，所以必须要弄清各个概念的区别或者联系，防止应考过程中出现混淆．‎ ‎2.要熟练各种运算．明白各种运算法则和运算性质，要通过一定量的练习使实数的有关运算形成一定的运算技能．‎ ‎3.在解答有关实数的选择题、填空题和计算题时，一般采用直接求解法．对于体现创新意识的探索规律型问题，可采用图示、猜想、归纳、计算验证等各种方法．‎ 整式和分式是代数中的重要内容，填空、选择题以基本概念为主，而解答题则以化简、求值为主．一般要注意如下内容：‎ ‎1.要准确理解和辨析单项式次数、系数、同类项，分式的通分和约分、最简分式等概念的内涵．特别要关注简单整式和分式的运算．‎ ‎2.运用公式或法则进行计算，首先要判断题目是否具备某一公式或者法则的结构特征，在此基础上正确选用公式或法则进行计算．‎ ‎3.灵活运用分式的基本性质、变号法则、因式分解、整体变换等解题技能进行分式的约分和通分运算．‎ ‎4.充分关注数形结合思想、整体思想、分类讨论思想，在整式和分式变换求值中的应用．‎ ‎5.此外，试题呈现的背景贴近生活，贴近社会，而不再是拘泥于抽象的纯数学问题，因而要求学生要学会观察、分析、猜想、验证、表达等基本的解决辨别及解决问题的能力和策略．‎ ‎●拓展演练 一、填空题 ‎1． （）2007·（－2）2008＝ ．‎ ‎2． 如果数轴上不同的两点A、B所表示的数的绝对值相等，那么A、B两点所表示的数可以是 ‎ （只写出一组即可）．‎ 3． 若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则（a＋b）－cd＝ ．‎ 4． 已知分式，当x＝ 时，分式的值为0．‎ ‎5． 德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数）：‎ 第一行 ‎ 第二行 ‎ 第三行 ‎ 第四行 ‎ ‎ 第五行 ‎ ‎ … …… …‎ 根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是： 　　　　　　 ．‎ A B ‎6． 在方格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角 形．如图，在4×4的方格纸上，以AB为边的格点三角形ABC的面积为2个平方单位，则符合条件的C点共有 个． ‎ ‎7. 观察按下列顺序排列的等式:‎ ‎ 9×0+1=1‎ ‎ 9×1+2=11‎ ‎ 9×2+3=21‎ ‎ 9×3+4=31‎ ‎ 9×4+5=41‎ ‎ ……‎ ‎ 猜想:第n个等式(n为正整数)用n表示,可以表示成_________________________.‎ ‎8. 若非零实数a，b满足，则= ．‎ ‎9． 有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出‎1米长的电线，称出它的质量为a，再称其余的电线总质量为b，则这捆电线的总长度是 ．‎ ‎10．已知二次三项式分解因式为，则b、c的值为 ．‎ 二、选择题 ‎11．按一定的规律排列的一列数依次为：┅┅，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．当x＜1时,化简的结果为( )‎ A. x－1 B. －x－‎1 C. 1－x D. x＋1 ‎ ‎13．如图所示,图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2),(3)是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,至第八个叠放的图形中,小正方体木块总数应是 ( ) ‎ A. 66 B. ‎91 C. 120 D.153‎ ‎14．用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是 （ ）‎ n=1‎ n=2‎ n=3‎ ‎……‎ A． B． C． D． ‎ ‎15．将一张长方形纸片对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，那么对折n次后折痕的条数是 （ ）‎ A．2n－1　 　B．2n＋‎1　‎ 　C．2n－1　 　D．2n＋1‎ ‎16．把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎17．计算的正确结果是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎18．在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝半径增大‎1米，需增加m米长的铁丝．假设地球赤道上也有一个铁箍，同样半径增大‎1米，需增加n米长的铁丝，则m与n的大小关系是 （ ）‎ A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定 三、解答题 ‎19．观察下列各式及其验证过程:‎ 验证: =.‎ 验证：= = = ；‎ 验证: =．验证：== = ．‎ ‎ (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4的变形结果并进行验证；‎ ‎(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并给出证明．‎ ‎20．阅读下列题目的计算过程：‎ ‎＝　　　　　　（A）‎ ‎＝（x－3）－2（x－1）　　　　　　　　　 （B）‎ ‎＝x－3－2x＋1　　　　　　　　　　　　　 （C）‎ ‎＝－x－1　　　　　　　　　　　　　　　 （D）‎ ‎（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ．‎ ‎（2）错误的原因 ．‎ ‎（3）本题目正确的结论为 ．‎ ‎●专题一《数与式》习题答案 一、 填空题 ‎1. 【答案】2（点拨：原式=．）‎ ‎2. 【答案】（答案不唯一）‎ ‎3. 【答案】－1（点拨：a，b互为相反数，所a＋b=0，c，d互为倒数，所cd=1．）‎ ‎4. 【答案】－1（点拨：由题意且，所以x=－1．）‎ ‎5. 【答案】、、、、、 （点拨：每行中相邻两个数相加等于上一行中间的数值．）‎ ‎6. 【答案】3个 ‎7. 【答案】‎ ‎8. 【答案】2（点拨：将原式改写为，所以，可求出b=‎2a．）‎ ‎9. 【答案】（点拨：先取‎1米长的电线，称出它的质量为a，其余电线质量为b，则其余电线的长度为米，这捆电线的总长度为（）米．）‎ ‎10. 【答案】－4，－6（点拨：将分解后的因式乘开，各项系数应与已知的二次三项式相等．）‎ 二、选择题 ‎11. 【答案】D（点拨：每个分数的分子均为1，分母为或（当n为奇数时加1，当n为偶数时减1），7为奇数，因而其分母为．）‎ ‎12. 【答案】C（点拨：开方的结果必须为非负数．）‎ ‎13. 【答案】C（点拨：每增加一层所多出的个数为原来最下面一层个数加4，列出前面几组数据，第一层：1，第二层：1＋（1＋4） ，第三层：1 ＋（1＋4）＋（1＋4×2）＋…＋[1＋4(n－ 1)]=（n表示第几个叠放的图形），当n=8时，共有.）‎ ‎14. 【答案】C（点拨：n=1，有3个正方形；n=2，有7个正方形；n=3，有11个正方形…，规律：n每增加1，就多出4个正方形．）‎ ‎15. 【答案】C（点拨：除了第一次对折得到1条折痕，其后，每次对折所得折痕都是上次多出来的折痕的两倍．）‎ ‎16. 【答案】A（点拨：．）‎ ‎17. 【答案】B（点拨：将括号内的式子分别通分．）‎ ‎18. 【答案】C（点拨：设地球仪赤道半径为r，则；设地球赤道半径为R，则，所以相等．）‎ 三、解答题 ‎19．【答案】(1)4=． ‎ 验证:4==== ‎ ‎(2)由题设及(1)的验证结果,可猜想对任意自然数n(n≥2)都有:‎ n=．‎ 证明：∵n = ==，‎ ‎∴n=．‎ ‎20．【答案】（1）B ；‎ ‎（2）去分母； ‎ ‎（3）；‎ ‎．‎ 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 专题二《方程与不等式》‎ ‎●中考点击 考点分析：‎ 内容 要求 ‎1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念 Ⅰ ‎2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用 Ⅱ ‎3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程 Ⅱ ‎4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用 Ⅱ ‎5、一元二次方程根的判别式及应用 Ⅰ ‎6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集 Ⅰ ‎7、不等式的基本性质 Ⅱ ‎8、一元一次不等式（组）的解法及应用 Ⅱ 命题预测：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2005－2006年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查．‎ 不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题．‎ 由此可见，在方程（组）与不等式（组）这一专题中，命题趋势将会是弱化纯知识性的考题，而更加热衷于数学知识在生活中的应用问题．‎ ‎●难点透视 例1解方程： ．‎ ‎【考点要求】本题考查了分式方程的解法．‎ ‎【思路点拨】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可．‎ 原方程变形为方程两边都乘以，去分母并整理得，解这个方程得．经检验，是原方程的根，是原方程的增根．∴原方程的根是．‎ ‎【答案】．‎ ‎【方法点拨】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少．‎ 例2 ‎ ‎【考点要求】本题考查用消元法解二元二次方程组．‎ ‎【思路点拨】解方程组的基本思路就是消元和降次，要根据方程组的特点选取适当方法．‎ 由方程①可得，‎ ‎∴.它们与方程②分别组成两个方程组：‎ ‎ ‎ 解方程组可知，此方程组无解；‎ 解方程组得 所以原方程组的解是 ‎【答案】‎ ‎【规律总结】少数学生未能掌握二元二次方程组的基本解题思路，不知如何处理．突破方法：将第一个方程通过因式分解，得到两个一次方程，再分别与第二个方程组成两个新的方程组，求解．‎ 解题关键：解二元二次方程组的基本解题思想是消元，即化二元为一元．常用的方法就是通过因式分解进行降次，再重新组成新的方程组求解，所求得的结果即为原方程组的解．‎ 例3下列一元方程中，没有实数根的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【考点要求】本题考查一元二次方程根的判别式．‎ ‎【思路点拨】根据，确定好选项方程中的各项的系数及常数项，代入根的判别式进行计算，如果所求结果非负，则有实数根；否则没有实数根．‎ C选项中＜0，方程无实数根．‎ ‎【答案】选C．‎ ‎【错解分析】出现错误的学生主要是两原因：一是根的判断式未能记牢，出现使用错误，二是在确定各项系数和常数项时，弄错符号，导致计算错误．突破方法：将一元二次方程化为一般式后，再确定系数及常数项．‎ 解题关键：根据可知，若二次项系数与常数项异号，则方程必有实数根，从而缩小解题范围．‎ 例4用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是 ． ‎ ‎【考点要求】本题考查利用换元法将分式方程转化为整式方程．‎ ‎【思路点拨】整体代换（换元法）也是我们解方程常用的方法之一，它在解方程中起到消元、降次简化运算的作用．‎ 把代入原方程得，，即，故答案应填写．‎ ‎【答案】．‎ ‎【方法点拨】整体换元要求原方程具备一定结构特点，如果不具备，必须设法通过变形化出相同或者相关的形式再进行换元．‎ 例5若不等式组的正整数解只有2，求的整数值．‎ ‎【考点要求】本题考查解不等式组及不等式组的解集等知识的综合运用．‎ 要求的值，可先求出不等式组中的各不等式的解集，再根据不等式组的正整数解只有2，列出关于的不等式组，进而求出的值．‎ ‎，解得．‎ 又∵原不等式组只有正整数解2．‎ 由右图，应有．‎ ‎∴∴‎ ‎【答案】‎ ‎【误区警示】部分学生解出不等式组的解集后，不知如何运用“正整数解只有‎2”‎这一条件．突破方法：用含a的代数式表示不等式组的解集，结合数轴表示出不等式组的解集，再转化为关于a的不等式组，求出a的值．‎ 例6如图甲是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图乙是车棚顶部截面的示意图，弧AB所在圆的圆心为O．‎ 车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留）．‎ O B A 图乙 图甲 A B ‎2米 ‎4米 ‎60米 ‎【考点要求】本题考查用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现．‎ ‎【思路点拨】连结OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交弧AB于F，如图．‎ ‎·‎ E F O B A 由垂径定理，可知：E是AB中点，F是弧AB中点，‎ ‎∴EF是弓形高 ∴AE=2，EF=2．‎ 设半径为R米，则OE=(R－2)米． ‎ 在Rt△AOE中，由勾股定理，得 R 2=． 解得R =4．‎ ‎∵sin∠AOE=， ∴ ∠AOE=60°，‎ ‎∴∠AOB=120°． ∴弧AB的长为=．‎ ‎∴帆布的面积为×60=160（平方米）．‎ ‎【答案】160（平方米）．‎ ‎【方法点拨】部分学生遇此问题，不能将实际问题抽象为数学问题．突破方法：联系实际，将车棚顶部展开得长方形，其长为车棚长，宽为弧AB长．‎ 解题关键：在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．‎ 例7已知方程组的解x、y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（ ）‎ A．m≥－ B．m≥ C．m≥1 D．－≤m≤1‎ ‎【考点要求】本题考查方程（组）与不等式的综合问题，此类题型常用的方法是可把看作已知数，用它来表示其余未知数．‎ ‎【思路点拨】由题意，可求出，代入2x+y≥0，解得m≥－．或者也可整体求值，把第(2)式乘以4减去第(1)式直接得，得，解得m≥－．‎ ‎【答案】选A．‎ ‎【方法点拨】本题一般做法是把m看作是已知系数，用含m的代数式表示x、y，解出方程组的解，然后再把所求的x、y的值入题目中的不等式，从而得到只含m的不等式，求出解集．或者也可以依据题目条件的特点，从整体考虑，直接进行整理得到与不等式相关的代数式，进行求解．‎ 例8根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？‎ 一盒饼干的标价可是整数元哦！‎ 小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干是够的，但要再买一袋牛奶就不够了！今天是儿童节，我给你买的饼干打9折，两样东西请拿好！还有找你的8角钱．‎ ‎ ‎ 阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱）‎ ‎【考点要求】本题考查方程在实际情境中的运用，结合现实问题情景,需把方程和不等式有关内容有机结合起来,求出整数解.‎ ‎【思路点拨】设饼干的标价每盒x元，牛奶的标价为每袋y元，‎ ‎① ② ③‎ 则 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 由②得y=9.2－0.9x ④‎ 把④代入①，得x+9.2－0.9x＞10 ∴ x ＞8‎ 由③得8＜x＜10 ∵x是整数 ∴x=9‎ 将x=9代入④，得y=9.2－0.9×9=1.1 ‎ ‎【答案】饼干一盒标价9元，一袋牛奶标价1.1元．‎ ‎【方法点拨】部分学生不习惯这种情境题，不能很好地从情景对话中找出有用的信息来．突破方法：因为题目中的条件只是两人对话，因此要紧紧围绕两人的对话进行分析，综合各数据列出不等式组求解．‎ 解题关键：情境题中的条件一般不会很多，但每一句话都可能给出重要信息，因此要仔细阅读分析．‎ 例9某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．‎ ‎(1)若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；‎ ‎(2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？‎ ‎【考点要求】本题考查方程（组）在实际生活中的应用．‎ ‎【思路点拨】在市场经济大环境背景下,用数学知识确定价格,预计利润,是中考应用性问题的常见题型.我们通过运用数学知识能够避免盲目的投资,创造最大的经济.‎ ‎（1）(Ⅰ)设甲种电视机台,乙种电视机台.‎ 则,解得 ‎(Ⅱ)设甲种电视机台,丙种电视机台.‎ 则,解得 ‎（Ⅲ)设乙种电视机台,丙种电视机台.‎ 则,解得 (舍去)‎ ‎(2)设甲种电视机台,乙种电视机台,丙种电视机台.‎ 由题意得 解得: ∴‎ ‎∴ 进货方案有:①甲、乙、丙各为34台、12台和4台；‎ ‎②甲、乙、丙各为30台、15台和5台；‎ 商场的利润为①（元）‎ ‎②（元）‎ ‎∴ 要是商场获利最大，则进货方案为甲、乙、丙各为30台、15台和5台；‎ ‎【答案】（1）方案一：甲种电视机25台，乙种电视机25台，方案二：甲种电视机35台，乙种电视机15台；（2）要是商场获利最大，则进货方案为甲、乙、丙各为30台、15台和5台．‎ ‎【方法点拨】部分学生完成此题时，解题不能完整．突破方法：本题以现实问题为背景，以方案设计为主题，体现分类讨论的数学思想.‎ 例10某工厂现有甲种原料‎360千克，乙种原料‎290千克，计划利用这两种原料生产、两种产品，共50件．已知生产一件种产品，需用甲种原料‎9千克，乙种原料‎3千克；生产一件种产品，需用甲种原料‎4千克，乙种原料‎10千克．‎ 一、 据现有条件安排、两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来．‎ 二、 若甲种原料每千克80元，乙种原料每千克120元，怎样设计成本最低．‎ ‎【考点要求】本题考查运用不等式知识解决实际生活和生产中的问题，不仅考查学生对知识的掌握，灵活运用知识的解题的能力，同时考查学生数学建模的能力．‎ ‎【思路点拨】（1）设生产种产品件，种产品件．按这样生产需甲种的原料，∴即：．∵为整数，∴∴有三种生产方案．‎ 第一种方案：生产种产品30件，种产品20件；‎ 第二种方案：生产种产品31件，种产品19件；‎ 第三种方案：生产种产品32件，种产品18件．‎ ‎（2）第一种方案的成本：（元）．‎ 第二种方案的成本：（元）．‎ 第三种方案的成本：（元）．‎ ‎∴第三种方案成本最低．‎ ‎【答案】（1）第一种方案：生产种产品30件，种产品20件；‎ 第二种方案：生产种产品31件，种产品19件；‎ 第三种方案：生产种产品32件，种产品18件．‎ ‎（2）第三种方案成本最低．‎ ‎【方法点拨】解决本题的关键在于找出生产种产品和种产品分别甲种原料和乙种原料的数量，再根据厂里现有甲乙两种原料的数量列出不等式组，解不等式组得出结果可得三种生产方案．再根据三种不同方案，求出最低成本．‎ ‎●难点突破方法总结 方程（组）及方程（组）的应用问题是中考命题的重点，主要考查学生的应用能力，题型内容贴近生活实际，考查学生的分析问题和解决问题的能力，在解题时应注意以下问题：‎ ‎1.正确理解和掌握方程与方程组的相关概念，性质，结论和方法，这是解决有关方程与方程组问题的前提．‎ ‎2.用化归思想求解二元一次方程组，可化为一元一次方程和一元二次方程的分式方程．‎ ‎3.熟练掌握用换元法解方程及方程组．‎ ‎4.关注社会，积累生活经验，通过阅读、观察、比较、分析、归纳、综合等方法解决与生产、生活密切相关的社会热点问题．‎ ‎●拓展演练 一、填空题 ‎1．“某数与 6 的和的一半等于 ‎12”‎，设某数为 x，则可列方程_________．‎ ‎2．方程 2x＋y＝5 的所有正整数解为_________．‎ ‎3．当 x＝______时，代数式 3x＋2 与 6－5x 的值相等．0‎ ‎4．方程组的解是_________．‎ ‎5. 已知方程组的一组解是，则其另外一组解是　　　　　　　．‎ ‎6. 3 名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要______场比赛，则 5 名同学一共需要______比赛．‎ ‎7．不等式的解集是__________________．‎ ‎8．当x_________时，代数代的值是正数．‎ ‎9．不等式组的解集是__________________．‎ ‎10．不等式的正整数解是_______________________．‎ ‎11．的最小值是a，的最大值是b，则 ‎12．生产某种产品，原需a小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，若现在所需要的时间为b小时，则____________< b <_____________．‎ 二、选择题 ‎13．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为 （ ）‎ A. 1 B. －l C. 1 或－1　 　 D. 　‎ ‎14. 使分式 的值等于零的x是( )‎ A.6 B.-1或‎6 C.-1 D.-6‎ ‎15. 若两个连续整数的积是56,则它们的和是( )‎ A.11 B‎.15 C.-15 D.±15‎ ‎16. 若方程组的解、 的值相等，则a 的值为 ( ）‎ A. －4 B. ‎4 C . 2 D. 1‎ ‎17. 不解方程判断下列方程中无实数根的是( )‎ A.-x2=2x-1 B.4x2+4x+=0; C. D.(x+2)(x-3)==-5‎ ‎18. 若是方程的两个实数根，则的值 （ ）‎ A．2007 B．‎2005 C．－2007 D．4010‎ ‎19．某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )‎ A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000‎ C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000‎ ‎20.一元一次不等式组的解集是 （ ） ‎ A．-2＜x＜3 B．-3＜x＜‎2 C．x＜-3 D．x＜2‎ ‎21．如图1，在数轴上所表示的是哪一个不等式的解集 （ ） ‎ ‎　　‎ A． B． 　C．x+1≥-1 D．-2x＞4‎ ‎22．关于x的方程的解是非负数，那么a满足的条件是( ) ‎ A．a＞3 B．a≤‎3 C．a＜3 D．a≥3‎ 三、解答题 ‎23．已知关于x、y的方程组．‎ ‎（1）求这个方程组的解；‎ ‎（2）当m取何值时，这个方程组的解中，x大于1，y不小于－1．‎ ‎24．已知方程组的解为负数，求k的取值范围．‎ ‎25．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．‎ ‎①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？‎ ‎　　②下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：‎ 月份 用电量（度）‎ 交电费总数（元）‎ ‎3月 ‎80‎ ‎25‎ ‎4月 ‎45‎ ‎10‎ ‎　　根据上表数据，求电厂规定A度为多少？‎ ‎26．艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.‎ ‎（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？‎ ‎（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?‎ ‎27．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作24天可以完成，需费用120万元，若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元．问：（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要多少天？（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元？ ‎ ‎●习题答案 ‎●专题二《方程与不等式》习题答案 一、填空题 ‎1.‎ ‎2.（提示：将原方程化为，x从1取起，求出相应的y的值，要求均为正）‎ ‎3.（提示：列方程）‎ ‎4.（提示：用代入消元或加减消元法）‎ ‎5. （将代入原方程然后所得解方程即可）‎ ‎6. 3，10（提示：设x名学生参加比赛，每人需参赛（x－1）场，因为甲跟乙比赛时，也是乙跟甲比，所以总共比赛场次为 ‎7. x≤5（利用不等式的基本性质）‎ ‎8. x＜（提示：由题意，2－3 x＞0，解得x＜）‎ ‎9.－2≤x＜1（提示：求两不等式解集的公共部分）‎ ‎10.1，2，3（提示：先求出不等式的解集为x≤，再取其中的正整数）‎ ‎11.－4（提示：x≥2最小值a=2，x≤－6，最大值b=－6，a＋b=2＋(－6)=－4）‎ ‎12.85%a＜b＜92% a（提示：由题意可列不等式（1－15%）a＜b＜（1－8%）a）‎ 二 、选择题 ‎13.B（提示：把x=0代入原方程，解得a=±1，考虑到一元二次方程二次项系数不能为0，所以a=－1）‎ ‎14.A（提示：分式值为0，即分子为0且分母不为0，所以，∴x=6.‎ ‎15.D（提示：设较小数为x，则较大数(x+1),x(x+1)=56，解得，故两数为7、8或－7、－8）‎ ‎16.C（提示：因为x，y值相等地，则原方程组可化为，解之得）‎ ‎17．B（提示：先将各方程整理为一般式，再利用根的判别式进行判断，B项中＜0，所以B项方程无实数根）‎ ‎18．B（提示：因为是方程的两个实数根，则，把它代入原式得，再利用根与系数的关系得，所以原式=2005）‎ ‎19．D（提示：第一季度1000万元营业额为一、二、三三个月的总额，应把三个月营业额相加）‎ ‎20．C（提示：不等式①的解集为x＜2，不等式②的解集为x＜－3，共公部分为x＜－3）‎ ‎21. C（提示：解四个不等式，得解集分别为x＞－2，x≥－9，x≥－2，x＜－2，数轴上表示的范围是x≥－2）‎ ‎22. D（提示：解关于x的方程得，因为解非负，所以≥0，解得a≥3）‎ 三、解答题 ‎23. 解（1）‎ ‎(2)由题意得即，解得1＜x≤5.‎ ‎24. 解方程组，得，因为方程组的解是负数，所以即，解得k＜－8)‎ ‎25．解：①10＋(90－A)　　②由表中数据可得25＝10＋(80－A)　　解得：A＝50‎ ‎26．解：(1)设该工艺品每件的进价为元，则标价为.‎ 由题意得: 解得 ‎（2）工艺品应降价元.‎ 则时,获得的利润最大为.‎ ‎27．解：（1）设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x天，y 天．‎ 根据题意得 ‎ 解这个方程组得x=30,y=120 .‎ 经检验x=30,y=120是方程组的解．‎ ‎（2）设单独完成此项工程，甲需费用m万元，乙需费用n万元，‎ 根据题意，得 ‎ 解这个方程组得m=135,n=60 .‎ 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 专题三《函数》‎ ‎●中考点击 ‎ 考点分析：‎ 内容 要求 ‎1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点 Ⅰ ‎2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系 Ⅰ ‎3、一次函数的概念和图像 Ⅰ ‎4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图 Ⅱ ‎5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用 Ⅱ ‎6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题 Ⅱ 命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题．会求一元二次方程的近似值．‎ 分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计2007年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解．同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用．‎ ‎●难点透视 例1反比例函数的图象经过点（2，5），若点（1，n）在反比例函数的图象上，则n的值是 ．‎ ‎【考点要求】本题考查用反比例函数图象上的点确定其解析式，并会用解析式确定点的坐标．‎ ‎【思路点拨】因为反比例函数的图象经过点（2，5），所以可将点（2，5）的坐标代入，求k就可确定解析式，再将点（1，n）代入解析式中求n的值．或直接根据反比例函数性质即图象上点的横、纵坐标之积为常数k来求n，由题意得2×5=1×n，所以n=10．‎ ‎【答案】填10.‎ ‎【方法点拨】由反比例函数解析式经过变形，可以得到，因为k是一个常数，所以在反比例函数图象上的所在的点的横、纵坐标的乘积是一个定值，根据这个结论，很容易求出这类问题的结果．‎ 图3-1‎ 例2如图3-1，已知点A的坐标为（1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 A. (0，0) B. C. D. ‎ ‎【考点要求】本题考查一次函数、线段、直角三角形等知识，数形结合是重要的数学方法之一．‎ 当线段AB最短时AB⊥BO，又由点B在直线上可知∠AOB=45°，且OA=1，过点B作x轴的垂线，根据等腰“三线合一”及直角三角形“斜边的中线等于斜边的一半”容易求得点B坐标为，‎ ‎【答案】选B．‎ ‎【误区警示】部分学生能找出B点运动到何处线段AB最短，但却无法求出具体坐标。突破方法：已知直线BO解析式，求点的坐标是根据两直线相交，再求出AB直线的解析式，利用方程组求出交点坐标。‎ 解题关键：互相垂直的两直线解析式中，一次项系数互为倒数，据此再结合点A的坐标可求出直线AB的解析式。‎ 例3某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：‎ 印数x（册）‎ ‎5000‎ ‎8000‎ ‎10000‎ ‎15000‎ ‎…‎ 成绩y（元）‎ ‎28500‎ ‎36000‎ ‎41000‎ ‎53500‎ ‎…‎ ‎（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y（元）是印数x（册）的一次函数．求这个一次函数的解析式（不要求写出x的以值范围）；‎ ‎（2）如果出版社投入成绩48000元，那么能印读物多少册？‎ ‎【考点要求】本题考查一次函数解析式的确定及其应用．‎ ‎【思路点拨】（1）设所求一次函数解析式为，则，解得,所以所求函数的关系式为.‎ ‎（2）因为，所以x=12800‎ ‎【答案】能印该读物12800册．‎ ‎【方法点拨】关键要从题目所给表格中的数据选择合适的一对值代入所设解析式，求出解析式。‎ 例4若M、N、P三点都在函数（ｋ＜0）的图象上，则的大小关系为（　）‎ A、＞＞　　B、＞＞　　C、＞＞　D、＞＞　‎ ‎【考点要求】本题考查反比例函数的性质及用函数图象比较函数值大小．‎ ‎【思路点拨】反比例函数当k＜0时，其图象位于二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，结合图象可知，＞＞，‎ ‎【答案】选B．‎ ‎【误区警示】部分学生不能正确理解反比例函数图象的性质，容易错误的理解成“当 k＜0时，图象位于二、四象限，y随x的增大而增大”。突破方法：不单纯的根据性质进行判断，而是画出图象，结合草图进行判断。‎ 解题关键：反比例函数图象及性质在描述时，因为是双曲线，所以一定要说明“在每一象限内”这一前提。‎ y x ‎1‎ O ‎－1‎ F 图3-2‎ 例6已知抛物线的部分图象如图3-2所示，若y＜0，则x的取值范围是 A．－1＜x＜4 B．－1＜x＜3 ‎ C．x＜－1或 x＞4 D．x＜－1或 x＞3‎ ‎【考点要求】本题考查利用二次函数图象解不等式．‎ ‎【思路点拨】抛物线的图象上，当y=0时，对应的是抛物线与x轴的交点，坐标分别为（－1，0）、（3，0）．当y＜0时所对应的是x轴下方的部分，对应的x在－1与3之间，所以x的取值范围是－1＜x＜3 ，‎ ‎【答案】选B．‎ ‎【方法点拨】本题解题关键在于正确理解y＜0在图象上反映出来的是对应x轴下面的部分，而这一段图象对所应的自变量的取值范围是－1至3，其中3根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴左边的交点坐标来确定的。‎ 例7在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点C，如图3-3，点C的坐标为（0，－3），且BO＝CO （1） 求这个二次函数的解析式；‎ （2） 设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.‎ ‎【考点要求】本题考查二次函数解析式的确定。‎ ‎【思路点拨】由题目条件，可用待定系数法求解析式 ‎ 图3-3‎ ‎（1），‎ ‎，，‎ ‎。‎ ‎。‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎【答案】（1）；（2）。‎ ‎【方法点拨】部分学生因为题目中没有直接给出两个点的坐标，因此在求待定系数时遇到困难。突破方法：由BO＝CO且点C的坐标为（0，－3）可推知点B的坐标为（3，0），然后代入求解。‎ 例8小明在银行存入一笔零花钱，已知这种储蓄的年利率为n%．若设到期后的本息和（本金+利息）为y(元)，存入的时间为x（年），那么（1）下列那个图像更能反映y与x之间的函数关系？从图中你能看出存入的本金是多少元？一年后的本息和是多少元？‎ ‎（2）根据（1）的图象，求出y于x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围），并求出两年后的本息和．‎ ‎【考点要求】本题考查用函数图象表示实际生活问题及根据图象求解析式．‎ ‎【思路点拨】（1）图乙反映y与x之间的函数关系从图中可以看出存入的本金是100元一年后的本息和是102.25元 ‎（2）设y与x的关系式为：y=100 n%x+100‎ 把（1，102.25）代入上式，得n=2.25‎ ‎∴y=2.25x+100‎ 当x=2时，y=2.25×2+100=104.5(元)‎ ‎【答案】（1）图乙，存入的本金是100元，一年后的本息和是102.25元。（2）两年后的和是104.5元。‎ ‎【方法点拨】在选择图象时，应抓住起始钱数为100元，然后随着时间推移逐步增加，到1年时总钱数变为102.25元。确定好图象后，根据图象中的数据，利用待定系数法，容易求一次函数解析式。‎ 例9一次函数y=x+b与反比例函数 图像的交点为A(m，n)，且m，n(mb）．若EF//AB，EF到CD与AB的距离之比为m:n，则可推算出：.‎ A B C D E F O 图6-5‎ 试运用类比的方法，推想下述问题的结果.‎ 在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD、BC相交于O点，设△OAB、△OCD的面积分别是S1、S2, EF//AB且EF到CD与AB的距离之比为m:n，则△OEF的面积S0与S1、S2的关系是（ ）‎ A．S0 = B．S0 = C． = D． = ‎【考点要求】本题考查梯形中位线性质的应用。‎ ‎【思路点拨】题目中给出的是梯形中位线定理的推广公式，‎ 由DC//EF//AB，得 = ， = ‎∴a = ，b = 代入题目所给公式，化简得 = 。‎ ‎【答案】选C。‎ ‎【方法点拨】解题关键：观察四个选项，容易看出各选项结构与题目条件所给公式相同，但都不含字母a和b。根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，分别求出a、b，然后代入题目中所提供的公式，整理后可得出结果。‎ 例7如图6-7，在梯形中，，过对角线的中点作，分别交边于点，连接．‎ 图6-7‎ ‎（1）求证：四边形是菱形；‎ ‎（2）若，，求四边形的面积．‎ ‎【考点要求】本题考查菱形的判定及简单的三角函数知识。‎ ‎【思路点拨】（1）证明：方法1：，∴．‎ 在和中，‎ ‎∴，∴，‎ 又，∴四边形是平行四边形．‎ ‎，∴四边形是菱形．‎ 方法2：证同方法1，‎ ‎∴，，∴四边形是平行四边形．，‎ ‎∴是的垂直平分线，，‎ ‎∴四边形是菱形．‎ ‎（2）解：四边形是菱形，，∴．‎ 在中，，∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎【答案】（2）‎ ‎【误区警示】少数学生未能掌握菱形的判定方法，证明（1）时遇到困难。突破方法：因为菱形是特殊的平行四边形，结合本题所给条件，应先证明四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直或一组邻边相等证明其为菱形。‎ 例8如图6-10中图1，矩形纸片的边长分别为．将纸片任意翻折（如图2），折痕为（在上），使顶点落在四边形内一点，的延长线交直线于，再将纸片的另一部分翻折，使落在直线PM上一点，且所在直线与所在直线重合（如图3）折痕为．‎ ‎（1）猜想两折痕之间的位置关系，并加以证明．‎ 图6-10‎ ‎（2）若的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕间的距离有何变化？请说明理由．‎ ‎（3）若的角度在每次翻折的过程中都为 （如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形，及四边形的周长与有何关系，为什么？‎ ‎【考点要求】本题考查学生对探索题型的思维能力水平，解题时关键要正确理解题意。‎ ‎【思路点拨】（1）．因为四边形是矩形，所以，且M在直线上，则有 ‎，‎ ‎∴，由翻折可得：，，‎ ‎∴，故．‎ ‎（2）两折痕间的距离不变。‎ 过作，则，因为的角度不变，所以的角度也不变，则所有的都是平行的．‎ 又因为，所以所有的PM都是相等的，又因为，故PH的长不变．‎ ‎（3）当时，四边形是正方形，四边形是矩形．因为，，所以矩形的周长为‎2a。‎ 同理可得矩形的周长为‎2a，所以两个四边形的周长都为‎2a，与无关．‎ ‎【答案】（1）；（2）两折痕间的距离不变；（3）矩形的周长为‎2a，矩形的周长为‎2a。‎ ‎【方法点拨】部分学生因为未能仔细阅读操作过程，所以难以理解题意，即使猜想出结论，也无法加以证明。突破方法：耐心研读题目条件，理解透彻。（1）问证明时，紧紧抓住翻折问题中存在的轴对称或者全等关系加以证明；（2）利用三角函数，将角的不变量转化为边的不变量；（3）将矩形的面积用已知条件表示出来，再作判断。‎ ● 难点突破方法总结 分析近年数学中考试题可以发现，四边形在中考试题中占有很重要的地位，是中考的重点内容之一。本部分试题形式，题型丰富，考查面广。因而学生在复习时应从以下几个方面注意强化。‎ ‎1.准确掌握多边形的内角和公式，正多边形的性质，平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和判定，平面镶嵌的条件和镶嵌设计等，这些都是应考的重要前提。‎ ‎2.用转化思想求解数形结合题、方案设计题，以及一些综合题。‎ ‎3.用综合法、归纳法、比较法、类比法等数学方法，解答开放性、综合合性的阅读理解、归纳探索等试题。‎ ‎4.运用理论联系实际的方法，动手操作，实践探究，解决操作题、开放题、创新题。‎ ‎●拓展演练 一、填空题 ‎1．□ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB＝ 。‎ ‎2．如图：在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAD＝60°，AE＝2，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为 。‎ 第3题图 ‎ ‎ F E C D A B 第5题图 第4题图 第 ‎2‎ 题图 ‎ ‎ E O D C B A 第6题图 ‎3．如图所示，□ABCD的周长为30，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE∶AF＝2∶3，∠C＝1200，则平行四边形ABCD的面积为 。‎ ‎4．已知：如图，在ABCD中，∠1=∠B=50°，则∠2=_________。‎ ‎5．已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如果ΔAOB的面积是3，那么ABCD的面积等于_______。‎ ‎6．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，‎ 将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是 ．‎ ‎7．已知菱形的周长为‎40cm，两条对角线之比为3∶4，则菱形面积为__ ____。‎ 第8题图 ‎8．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形，请写出其中两个不同的四边形的名称： 。‎ ‎9．若梯形的面积为6㎝2，高为2㎝，则此梯形地中位线长为 ㎝。‎ ‎10．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的五种图形中，既是轴对称、又是中心对称的图形是 。‎ 二、选择题 ‎11．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C＇处，BC＇交AD于E，则下列结论不一定成立的是（　　）‎ A．AD＝BC＇　　B．∠EBD＝∠EDB　　C．△ABE∽△CBD　　D．‎ ‎12．已知：如图1，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点。若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）‎ A E B F C G D H 第12题图 第11题图 F如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD的长为 ‎ A． B．8 C．10 D．16‎ E D如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD的长为 ‎ A． B．8 C．10 D．16‎ C B A 第14题图 A．3 B．‎4 C．6 D．8‎ ‎13．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）‎ A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 ‎14．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD的长为（ ）‎ A． B．‎8 ‎ C．10 D．16‎ ‎15．如图，梯形ABCD中，AD//BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO－EO=3，则BC－AD等于（ ）‎ A．4 B．‎6 C．8 D．10‎ ‎16．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）‎ C A E B D F O 第16题图 A B C D 第17题图 O 第15题图 A．AE=CF B．DE= BF C．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB ‎17．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是 （ ）‎ A．3︰4 B．5︰‎8 C．9︰16 D．1︰2‎ ‎18．下列图形中对称轴最多的图形是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 三、解答题 第19题图 ‎19．已知如图：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E、F分别在BC和AD边上，AF＝CE，EF和对角线BD相交于点O，求证：点O是BD的中点。‎ ‎22．已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上，且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于P，求∠BPM的度数。‎ ‎21．已知：如图，已知：D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC，求证：CD=AN。‎ 第21题图 A Ba C D O E F 第20题图 第22题图 ‎20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O分别交AD、BC于点E、F。求证：OE=OF。‎ ‎●专题六《四边形》习题答案 一、填空题 ‎1．9（提示：根据对角线的性质，△OAB与△OBC有两边是相等的，则△OAB的周长比△OBC的周长大3，其实就是AB比BC大3，又知AB+BC=15，可求得AB=9，BC=6）‎ ‎2．（提示：根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得AD=4，再利用对角线性质，可求得△BOC周长为12）‎ ‎3．cm2（提示：连结AC，根据等积法知BC×AE=CD×AF，因为AE∶AF＝2∶3，所以BC∶CD=3∶2，因为□ABCD的周长为30，所以BC=9，CD=6，再根据勾股定理，可求得ABCD的面积为cm2）‎ ‎4．80°（提示：由平行四边形性质可知：∠B+∠1+∠2=180°，又∵ ∠1=∠B=50°，∴∠2=180°－50°－50°=80°）‎ ‎5．12（提示：利用等底等高，SABCD=4SΔAOB＝4×3=12）‎ ‎6．16（提示：由题意可知ΔAEB与ΔAFD全等，所以四边形AECF的面积等于四边形ABCD的面积）‎ ‎7．‎90cm（提示：由题意，菱形边长为‎10cm，根据勾股定理可得菱形两对角线分别为12和16，故菱形面积为‎90cm）‎ ‎8．矩形、等腰梯形（拼时只要将相等的边靠在一起）‎ ‎9．（提示：根据梯形面积=（上底＋下底）×高，其中，（上底＋下底）=中位线，所以梯形面积=中位线×高，所以此梯形中位线长为3㎝）‎ ‎10．矩形、菱形、正方形（提示：平行四边形是中心对称，但不是轴对称，等腰梯形是轴对称，但不是中心对称）‎ 二、选择题 ‎11．C（提示：C项中，如果△ABE∽△CBD，则∠ABE＝∠DBC＝∠EBD=30度，但题目中不具备这一条件）‎ ‎12．B（提示：连结EG，因为E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，容易证明，S，所以阴影部分面积等于矩形ABCD面积的一半）‎ ‎13．A（提示：根据三角形中位线性质可知所得到的四边形对边平行且相等，所以是平行四边形）‎ ‎14．C（提示：因为EF∥AB，所以△DEF∽△DAB，所以，即，则AB=10，又AB=CD，所以CD=10）‎ ‎15．B（提示：根据三角形中位线知识，BC－AD=2（FO－EO）=6）‎ ‎16．（提示：AE=CF，可用对角线互相平分证明；∠ADE=∠CBF可能过证明全等得到DE与BF平行且相等；∠AED=∠CFB也可利用全等证明BE与DF平行且相等）‎ ‎17．B（通过割补法或数格子，可得阴影部分共占10格，与正方形面积比为10︰16=5︰8）‎ ‎18．C（提示：A有4条对称轴；B有4条对称轴；C有无数条对称轴；D没有对称轴）‎ 三、解答题 ‎19．证明：连结BF、DE 在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC ‎∴四边形ABCD是平行四边形 ‎∴AD∥BC，AD＝BC 又∵AF＝CE ‎∴FD∥BE，FD＝BE ‎∴四边形BEDF是平行四边形 ‎∴BO＝DO，即点O是BD的中点。‎ ‎20．证明：四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD//BC，OA=OC ‎， ，‎ 则有△AOE≌△COF，故OE=OF。‎ ‎21．证明：因为AB∥CN，所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。，‎ 在错误！不能通过编辑域代码创建对象。和错误！不能通过编辑域代码创建对象。中 错误！不能通过编辑域代码创建对象。‎ 则错误！不能通过编辑域代码创建对象。 ≌错误！不能通过编辑域代码创建对象。‎ 错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。‎ 错误！不能通过编辑域代码创建对象。是平行四边形 错误！不能通过编辑域代码创建对象。。‎ ‎22．证明：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC，ME⊥BC 在△BEM和△AMC中，‎ ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ‎∴△BEM≌△AMC ‎∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900‎ ‎∴∠2＋∠4＝900，且BE＝NE ‎∴△BEN是等腰直角三角形 ‎∴∠BNE＝450‎ ‎∵AM∥NE ‎∴∠BPM＝∠BNE ＝450‎ 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 专题七《圆》‎ ‎●中考点击 考点分析：‎ 内容 要求 ‎1、圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，点和圆的位置关系以及其有关概念 Ⅰ ‎2、弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系，能根据具体条件确定这四者之间的关系 Ⅱ ‎3、圆的性质及圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征，灵活运用圆周角的知识进行有关的推理论证及计算 Ⅱ ‎4、垂径定理的应用及逆定理的应用，会添加与之相关的辅助线 Ⅱ ‎5、圆与三角形和圆内接四边形的知识及综合运用 Ⅱ 命题预测：本专题主要考查圆的重要性质以及和圆有关的角、线段、环长和面积的计算，另外也会考查圆与勾股定理、相似三角形知识的综合应用．其中，点和圆、直线和圆的位置关系的判断以及和圆有关的简单计算一般以选择填空题形式考查；有关圆与图形的相似、三角函数、函数等知识的综合应用一般是以证明、阅读理解、探索存在等解答题的形式考查．‎ 从2005和2006年各地区中考试题中有关圆的考查内容占分比例分析，课改区一般占到10%左右，而非课改区以往对这一部分较为看重，前几年一般占到20%以上，但近年已降至14%左右，不难看出正逐步向课改区靠拢，而且难度也有所降低．预测2008年中考这部分内容的考查会更加贴近生活，重视实用，同时强调基础，突出能力的考查．‎ ‎●难题透视 例1如图7-1，在中，弦平行于弦，若，则____度．‎ ‎【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系．‎ A D C B O ‎ 图7-1‎ ‎【思路点拔】∵∠B=∠AOC，‎ ‎∴∠B=40°‎ ‎∵AD∥BC ‎∴∠B =40°‎ ‎【答案】填：40‎ ‎【方法点拨】本题部分学生不能很快发现所求角与已知角之间的关系．突破方法：抓住题中的所在条件，如本题中的两条弦平行，由此可将∠DAB转化为∠ABC，然后再利用圆周角与圆心的角关系求解．‎ 解题关键：本题要求学生要熟悉同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，同时还要根据平行线的性质进行解题．‎ 例2如图8-2，AB是的⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=（ ）‎ A．1000 B．‎1100 C．1200 D．1350 ‎ ‎【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基本知识． ‎ ‎ 图7-2‎ ‎【思路点拔】∵AB是的⊙O的直径 ‎∴度数是1800‎ ‎∵BC=CD=DA ‎∴==‎ ‎∵∠BCD==1200‎ ‎【答案】选填C ‎【方法点拨】本题要求学生要能比较熟悉圆中的弧、弦和圆心角之间的有关系，即同圆中相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等，同时还要知道直径是圆的一条特殊的弦，其所对的圆心角等于180°，以及圆心角与圆周角之间的关系，综合运用这些知识，容易理解要求某个圆周角，只需求得其所对的弧的度数．‎ ‎ 图7-3‎ 例3已知：AB和CD为⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为‎5cm，AB=‎8cm，CD=‎6cm，求AB、CD间的距离是 ．‎ ‎【考点要求】本题考查圆中弦、弦心距等与弦有关的计算问题．‎ ‎【思路点拔】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种：一是位于圆心的同侧；二是位于圆心的异侧．如图8-3：过O作EF⊥AB，分别交AB、CD于E、F，则AE=4㎝，CF=3㎝，由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝．故当AB、CD在圆心异侧时，距离为7㎝，在圆心同侧时，距离为1㎝．‎ ‎【答案】填：7㎝或1㎝ ‎【方法点拨】本题难点有两个：一是有不少学生容易只考虑其中的一种情形，而忽视另一情形；二是辅助线的添加．突破方法：一般几何填空题中，如果不配图，在自己作图时，应全面考虑各种可能情况．圆中与弦有关的计算或证明问题，往往需要连结半径和弦心距，以构造直角三角形，从而应用勾股定理进行计算．‎ 图7-5‎ 例4用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图7-5图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．‎ 图7-6‎ ‎（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；‎ ‎（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝‎16cm，水面最深地方的高度为‎4cm，求这个圆形截面的半径．‎ ‎【考点要求】本题考查圆内心的确定，及与弦有关计算问题，同时考查学生动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力．‎ ‎【思路点拔】（1）正确作出图形，如图7-6并做答． ‎ ‎（2）过O作OC⊥AB于D ，交弧AB于C，‎ ‎∵OC⊥AB ， ∴BD＝AB＝×16＝‎8cm．‎ 由题意可知，CD＝‎4cm． ‎ 设半径为x cm，则OD＝（x－4）cm．‎ 在Rt△BOD 中，由勾股定理得：‎ OD2＋BD2＝OB2， ∴( x－4)2＋82＝x2． ‎ ‎∴x＝10．‎ ‎【答案】这个圆形截面的半径为‎10cm． ‎ ‎【方法点拨】这是一道作图与解答相结合的中考题，部分学生不会补全整个圆面或者补全之后不知如何进行计算．突破方法：补全圆面的关键在于确定圆心，然后再利用勾股定理进行计算．‎ 解题关键：确定圆心时，主要根据圆的定义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，然后连结半径构造直角三角形．‎ 例5如图7-7，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．‎ 图7-7‎ ‎【考点要求】本题考查线段垂直平分线知识，通过对圆中弦的中点的确定，考查学生综合运用知识的能力．‎ ‎【思路点拔】方法一：画弦的垂直平分线常用的依据是根据垂径定理，如图7-8中，图①，画TH的垂线L交TH于D，则点D就是TH的中点．‎ 方法二：利用全等三角形，如图②，分别过点T、H画HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F，过点O、F画直线L交HT于点D，由画图知，Rt△HOC≌Rt△TOE，易得HF=TF，又OH=OT，所以点O、F在HT的中垂线上，所以HD=TD了，则点D就是HT的中点．‎ 方法三：如图③，（原理同方法二）‎ 图7-8‎ ‎ 【答案】见图．‎ ‎【方法点拨】这一道题有一定的开放性，题目中只提供了一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），工具的限至使用学生思维不易完全打开．突破方法： 充分利用三角板直角，可画垂直线段，从而能够根据垂径定理或者构造全等的直角三角形来确定弦的中点．‎ 图7-9‎ 例6如图7-9，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O与点F．‎ ‎（1）AB与AC的大小有什么关系?为什么?‎ ‎（2）按角的大小分类， 请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．‎ ‎【考点要求】本题考查与圆有关的性质在三角中的应用．‎ ‎【思路点拔】（1）（方法1）连接DO ，∵OD是△ABC的中位线，‎ ‎ ∴DO∥CA，∵∠ODB＝∠C，∴OD＝BO ，∴∠OBD＝∠ODB，‎ ‎∴∠OBD＝∠ACB，∴AB＝AC ‎（方法2）连接AD， ∵AB是⊙O的直径，∴AO⊥BC， ‎ ‎∵BD＝CD，∴AB＝AC ‎ ‎（方法3）连接DO∵OD是△ABC的中位线，∴OD=AC ，OB=OD=AB，∴AB=AC ‎（2） 连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°‎ ‎ ∴∠B＜∠ACB＝90°．∠C＜∠ACB＝90°．∴∠B、∠C为锐角 ‎∵AC和⊙O交于点F，连接BF， ‎ ‎∴∠A＜∠BFC＝90°．∴△ABC为锐角三角形 ‎【答案】（1）AB＝AC；（2）△ABC为锐角三角形 ‎【方法点拨】部分学生第（1）题会做出判断，但不知如何证明，而第（2）题又容易将问题结果简单、特殊化，易错误的判断为等边三角形．突破方法：判断或证明线段的大小关系时，一般结论是相等，在同一个三角形中可根据等角对等边证明，如果在两个三角形中，往往会根据三角形全等证明，同时还要看清题目要求，如本题就是要求按角的大小分类进行判断，而不是边的大小关系．‎ 解题关键：证明同一个三角形中的两边相等，一般根据等角对等边进行证明．‎ 图7-13‎ 例7如图7-13，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．‎ ‎（1）求证：AH ·AB=AC2；‎ ‎（2）若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE·AF=AC2；‎ ‎（3）若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP·AQ=AC2是否成立(不必证明)．‎ ‎【考点要求】本题考查与圆有关的三角形相似问题，是一道几何综合证明题．‎ ‎【思路点拔】（1）连结CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°． ‎ 而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC ． ‎ ‎∴， 即AH·AB=AC2 ． ‎ ‎（2）连结FB，易证△AHE∽△AFB， ‎ ‎∴ AE·AF=AH·AB， ‎ ‎∴ AE·AF=AC2 ． ‎ ‎(也可连结CF，证△AEC∽△ACF)‎ ‎（3）结论AP·AQ=AC2成立．‎ ‎【答案】 （3）结论AP·AQ=AC2成立．‎ ‎【规律总结】等积式的证明往往要转化为比例式进行，部分学生不知改写为何种比例式比较合适．突破方法：把等积式转化为比例式时，要结合图形书写，如证明AH ·AB=AC2时，可将其先转化为，然后从比例式中对应边的比容易看出证明的目标为△CAH∽△BAC，从而使得解题变得有的放矢．‎ 解题关键：证明圆中的等积式或比例式问题时，往往会利用三角形的相似，因为圆中容易证明角相等．‎ ‎●难点突破方法总结 在求解有关圆的中考试题，尤其是难题时，应尽量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把题目由繁化简，变难为易．归纳下来，有这样几个方面值得考生们注意：‎ ‎1.掌握解题的关键点．（1）有直径，常作其所对的圆周角；（2）有切线，常将切点与圆心连结起来；（3）有关弦的问题，常需作弦心距．联系垂径定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究两圆位置关系时，常作公切线和连心线；（5）有关切线的判定问题，根据题目条件，主要是两条思路，连半径证明垂直，或者是作垂直证明半径．‎ ‎2.重视基本定理与基本图形相结合，计算与推理相结合，灵活运用各种方法．‎ ‎3.重视数学思想方法的应用．运用分析法、演绎法、截补法，结合方程思想、分类讨论思想、数形结合思想解有关圆的应用题，探索开放性题和方案设计．‎ ‎●拓展演练 一、选择题 ‎1．已知⊙O的半径为‎5cm，A为线段OP的中点，当OP=‎6cm，点A与⊙O的位置关系时（ ）‎ A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O 上 C．点A在⊙O 外 D．不能确定 ‎2．已知⊙O1与⊙O2的半径分别为‎3cm和‎4cm，圆心距=‎10cm，那么⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 ‎3．下列语句中正确的有（ ）‎ ‎①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③长度相等的两条弧是等弧 ④ 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎ ‎4．已知圆的半径为6．‎5cm，如果一条直线和圆心的距离为‎9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．相切 C ．相离 D．相交或相离 ‎5．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连结AC．BC．OC，那么下列结论中：①PC2=PA·PB；②PC·OC=OP·CD；③OA2=OD·OP．正确的有（ ）‎ A ．0个 B．1个 C ．2个 D．3个 ‎6．AB是⊙O的直径，点D．E是半圆的三等分点，AE．BD 的 延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（ ）‎ A．π－ B．π C．π－ D．π 二、填空题 ‎7．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半 径等于 ．‎ ‎8．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是 ‎ ‎9．用‎48m长的竹篱笆在空地上，围成一个绿化场地，现有两种设计方 案，一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地．现请你选择，围成 （圆形．正方形两者选一）场地的面积较大．‎ ‎10．某落地钟钟摆的摆长为0．‎5m，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为am，最大高度为bm，则 m（不取近似值）．‎ ‎11．如图，圆锥的底面半径为‎6cm，高为‎8cm，则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为 ‎ ‎12．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图8，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为 ．‎ 三、解答题 ‎13．如图，在△ABC中，∠C=900，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB．AC都相切，求⊙O的半径．‎ ‎ 14．已知: 如图， AB是⊙O的直径， ⊙O过AC的中点 D， DE切⊙O于点D， 交BC于点E． (1)求证: DE⊥BC; (2)如果CD=4， CE=3， 求⊙O的半径．‎ ‎15．如图所示，外切于P点的⊙O1和⊙O2是半径为‎3cm的等圆，连心线交⊙O1于点A，交⊙O2于点B，AC与⊙O2相切于点C，连接PC，求PC的长．‎ ‎16．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G． ‎（1）求证：点F是BD中点；‎ ‎（2）求证：CG是⊙O的切线；‎ ‎（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．‎ ‎ 　　　　　　　　　‎ ‎17．已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．‎ ‎（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP．BP的延长线分别交⊙O′于点C．D，连接CD，则△PCD是 三角形； ‎（2）若⊙O′与⊙O相交于点P．Q（见图乙），连接AQ．BQ并延长分别交⊙O′于点E．F，请选择下列两个问题中的一个作答：‎ 问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论； 问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论． 我选择问题 ，结论： ．‎  ‎ ‎ ‎ ‎●专题七《圆》习题答案 ‎1.【答案】A [点拨：根据圆的定义及点和圆的位置关系进行分析]‎ ‎2.【答案】D [点拨：根据圆与圆的位置关系进行判断]‎ ‎3.【答案】A [点拨：这是一道概念辨析题，正确理解等弧的概念是解此类题目的关键．等弧只能在同圆中，长度相等或度数相等的两条弧都不能判断是等弧，因此①③ 都是错误的，圆内任意两条直径都互相平分，但不一定垂直，故②不正确] ‎ ‎4.【答案】C [点拨：根据已知条件圆心到直线的距离为‎9cm，大于圆的半径‎6.5cm，所以直线与圆相离]‎ ‎5.【答案】D [点拨：由题目已知条件，容易证明△PCA∽△PBC．△OCD∽△OPC，所以，，，又由于OA=OC，从而可推得三个结论全部正确]‎ ‎6.【答案】A [点拨：∵，∴ ∠A=∠ABC=600，∴△ABC是等边三角形，又 AB是⊙O的直径，∴∠AEB=900 ，即 BE⊥AE，∴AC=2CE=4=AB， ∴S阴=S扇形OBE －S▲ABE=π－]‎ ‎7.【答案】5 [点拨：直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上，且半径等于斜边的一半]‎ ‎8.【答案】 [由已知已知AB是⊙O的直径，得∠ACB=90O，AB垂直平分CD，∴△BCD为等腰三角形，∴∠ABD=∠ABC，∴sin∠ABD=sin∠ABC=]‎ ‎9.【答案】圆 [点拨：用同样长度的材料，圆形场地的面积较大]‎ ‎10.【答案】 [点拨：根据垂径定理计算]‎ ‎11.【答案】216o [（cm），C=2πr=12π，∴n=]‎ ‎12.【答案】26 [点拨：由垂径定理可知，CD平分弦AB，所以，设⊙O的半径为R，连结OA，在Rt△AOE中，，所以，解之，得R=13，所以CD=2R=26]‎ ‎13.【答案】解：由题意，BC==6， 过O分别作OD⊥AB，OE⊥OE，则D．E分别是AB．AC与⊙O相切的切点，则AD=AE，OD=OE，，，∴，∴EP=OE，设OE=x，则BD=AB-AD=AB-AE=10-(2+x)=8-x，OB=BP-OP=， ∴(8-x)2+x2=2(6-x)2 ，∴x=1，∴⊙O的半径为1‎ ‎14.【答案】解：（1）连结OD．∵DE切⊙O于点D，∴DE⊥OD， ∴∠ODE=900 ，又∵AD=DC， AO=OB ，∴OD//BC，∴∠DEC=∠ODE=900，∴DE⊥BC ‎（2）连结BD．∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=900 ，∴BD⊥AC， ∴∠BDC=900 ，又∵DE⊥BC， △RtCDB∽△RtCED ，∴， ∴BC=又∵OD=BC，∴OD=， 即⊙O的半径为．‎ ‎15.【答案】解：设PC=xcm，BC=ycm， 连结BC，则∠BCP=90o ，AC2=AP·AB， ∴AC=6，‎ 又∠ACP=∠CBP，∴△ACP∽△ABC， ①，即②， 由①、②得，x=2，y=2( x=-2，y=-2（舍去），∴PC=‎2‎cm ‎16.【答案】解：（1）∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF ‎ ‎∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD ‎ ‎（2）方法一：连接CB．OC，∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°－∠CBA=∠CAB=∠ACO，∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线 方法二：可证明△OCF≌△OBF ‎ （3）解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，可证得：FA＝FG，且AB＝BG，由切割线定理得：[2＋FG]2＝BG×AG=2BG2 ①‎ 在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2　②‎ 由①、②得：FG2－4FG－12=0，解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）‎ ‎∴AB＝BG＝，∴⊙O半径为2‎ 专题八《锐角三角函数与解直角三角形》‎ ‎●中考点击 考点分析：‎ 内容 要求 ‎1、特殊角的三角函数值 Ⅰ ‎2、利用计算器求锐角的三角函数值，并能根据已知的三角函数值求对应的锐角 Ⅱ ‎3、综合运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题 Ⅱ 命题预测：本专题内容主要涉及两方面，一是锐角三角函数问题的基本运算，二是解直角三角形．其中，解直角三角形的应用题是中考重点考查的内容，题型广泛，有测建筑物高度的，有与航海有关的问题，有与筑路、修堤有关的问题．要注意把具体问题转化为数学模型，在计算时不能直接算出某些量时，要通过列方程的办法加以解决．‎ 预测2007年中考的考查热点，主要要求能够正确地应用sinA、cosA、tgA、ctgA表示直角三角形两边的比，并且要熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值．理解直角三角形中的边、角之间的关系，会用勾股定理及锐角三角函数解直角三角形，并会用相关的知识解决一些简单的实际问题，尤其是在计算距离、高度和角度等方面．‎ ‎●难点透视 例1已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是 ‎　　　A、　　　B、　　　C、　　　D、‎ ‎【考点要求】本题考查锐角三角函数的概念。‎ ‎【思路点拨】根据题目所给条件，可画出直角三角形，结合图形容易判断是∠B的正切值。‎ ‎【答案】选C。‎ ‎【方法点拨】部分学生会直接凭想象判断并选择结果，从而容易导致错误。突破方法：这类题目本身难度不大，但却容易出现错误，关键是要画出图形，结合图形进行判断更具直观性，可减少错误的发生。‎ 例2某山路坡面坡度,某人沿此山路向上前进‎200米,那么他在原来基础上升高了__________米．‎ ‎【考点要求】本是考查坡度与坡角正切值关系。‎ ‎【思路点拨】坡度即坡角的正切值为，所以坡角的正弦值可求得等于，所以沿着山路前进‎200米，则升高200×=10（米）。‎ ‎【答案】填10。‎ ‎【方法点拨】少数学生因为未能正确理解坡度的意义，而出现使用错误。突破方法：牢记坡度表示坡角的正切值即坡角的对边：坡角的邻边=，然后再结合直角三角形，可求出坡角的正弦值，从而容易求得结果。‎ 图8-1‎ 例3如图8-1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=．求：（1）DC的长；（2）sinB的值．‎ ‎【考点要求】本题考查锐三角函数概念的相关知识及其简单运用。‎ ‎【思路点拨】（1）∵在Rt△ABC中，cos∠ADC＝＝，设CD＝3k，∴AD＝5k 又∵BC＝AD，∴3k+4＝5k，∴k＝2． ∴CD＝3k＝6‎ ‎（2）∵BC＝3k＋4＝6＋4＝10，AC＝＝4k＝8‎ ‎∴AB＝‎ ‎∴sinB=‎ ‎ 【答案】（1）CD＝6；（2）sinB=。‎ ‎【方法点拨】本题的关键是抓住“AD＝BC”这一相等的关系，应用锐角三角函数的定义及勾股定理解题．‎ ‎0.5m ‎3m 图8-3-1‎ 例4如图所示，秋千链子的长度为‎3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面‎0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：≈0.8,≈0.6)‎ ‎【考点要求】本题考查利用锐角三角函数知识和解直角三角形解决实际生活中的直角三角形问题．‎ ‎【思路点拨】设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处．过点A，‎ B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．‎ 在Rt中，∵，， ‎ ‎∴ AC=≈=1.8（m）．‎ ‎ 图8-3-2‎ ‎∴ ≈（m）．　‎ ‎∴ ≈（m）．‎ ‎【答案】秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为m．‎ ‎【方法点拨】部分学生想直接求出踏板离地最高的距离即BE，但却缺少条件。突破方法：通过作辅助线，将BE转化到CD位置上，根据题目所给条件容易求出AC，从而可求得CD的长。‎ 解题关键：利用解直角三角形求解实际问题的关键在于构造适当的直角三角形。‎ ‎ 图8-4‎ E A C B D 北 东 例5如图8-5，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?‎ ‎【考点要求】本题考查解直角三角形在航海问题中的运用，解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题．‎ ‎【思路点拨】在Rt△ABD中，（海里），‎ ‎∠BAD=90°-65°45′=24°15′.‎ ‎∵cos24°15′=，　∴(海里).‎ AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).‎ 在Rt△ACE中，sin24°15′=，‎ ‎∴CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).‎ ‎∵17.54＜18.6，∴有触礁危险。‎ ‎【答案】有触礁危险，不能继续航行。‎ ‎【方法点拨】本题有两个难点，一是要能将实际问题抽象为数学问题，二是构造合适的直角形。突破方法：有无触礁危险，关键看离灯塔C最近的距离与18.6的大小关系，如果最近的距离大于18.6，则不会有触礁危险。‎ 解题关键：离灯塔最近的距离是从灯塔向航线作垂线段。‎ 例6某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为‎9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角． ‎ ‎（1）求出树高AB；‎ ‎（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．‎ ‎（计算结果精确到‎0.1米，参考数据：≈1.414， ≈1.732）‎ 图8-5-1‎ 图8-5-2‎ ‎【考点要求】本题考查解直角三角形在测量中的实际运用．‎ ‎【思路点拨】（1）在Rt△A BC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°‎ ‎∵tanC＝ ∴AB＝AC·tanC＝9×≈5.2（米）‎ ‎（2）以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DE⊥AD交AC于E点，（如图2）‎ 在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，‎ ‎∴AE＝2AD＝2×5.2＝10.4（米）‎ ‎【答案】树高AB约为‎5.2米，树影有最长值，最长值约为‎10.4米。‎ ‎【方法点拨】部分学生第（1）问没有太大困难，第（2）问中树在倾倒过程中，确定何处树影最长比较困难。突破方法：以A为圆心，AB为半径作圆弧，其中与圆弧相切的太阳光线所照射得到的树影最长。‎ 解题关键：如何用直观的方式将树倾倒过程体现出来，这是解决该题的关键所在。‎ 图8-6-1‎ 例7初三（5）班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图‎1A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60o方向，C点在B点北偏东45o方向，C点在D点正东方向，且测得AB=‎20米，BC=‎40米，求AD的长．（，结果精确到‎0.01米）‎ ‎【考点要求】本题考查解直角三角形在实际生活当中的综合运用．要求学生能根据问题实际快速确定正确解决问题的方法．‎ ‎【思路点拨】过点B作BE⊥D，BF⊥D，垂足分别为E，F，如图2‎ 图8-6-2‎ 由题意知，AD⊥CD ‎∴四边形BFDE为矩形 ‎∴BF=ED ‎ 在Rt△ABE中，AE=AB·cos∠EAB 在Rt△BCF中，BF=BC·cos∠FBC ‎ ‎∴AD=AE+BF=20·cos60o+40·cos45o ‎ ‎==‎ ‎=10+20×1.414‎ ‎=38.28（米）‎ ‎【答案】‎38.28米。‎ ‎【方法点拨】部分学生知道需要利用解直角三角形来解题，但却又不知从何处入手。突破方法：在无法直接求出AD长的情况下，可考虑分段计算，也就是构造多个直角三角形，化整为零，各个突破，再积零为整，求得结果。‎ ‎●难点突破方法总结 锐角三角函数与解直角三角形在近年的中考中，难度比以前有所降低，与课改相一致的是提高了应用的要求，强调利用解直角三角形知识解决生活实际中的有关测量、航海、定位等方面的运用。因此，在本专题中，有以下几点应加以注意。‎ ‎1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。‎ ‎2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。‎ ‎3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。‎ ‎4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。‎ ‎●拓展练习 第1题图 一、填空题 ‎1．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=)‎ ‎2．用计算器计算： ．（精确到0.01） ‎ ‎3．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西 度．‎ 北 甲 北 乙 第3题图 第4题图 x O A y B ‎ ‎ ‎4．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为 （结果保留根号）．‎ ‎5．求值：sin260°+cos260°= ．‎ ‎6．在直角三角形ABC中，∠A=，BC=13，AB=12，那么 ．‎ A ‎40°‎ ‎52m C D 第5题图 B ‎43°¤‎ ‎7．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到‎0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）‎ 第6题图 ‎8．如图，自动扶梯AB段的长度为‎20米，倾斜角A为α，高度BC为　　　　　米（结果用含α的三角比表示）．‎ 二、选择题 ‎9．在△ABC中，∠C＝900，AC＝BC＝1，则tanA的值是（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎10．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是，则的值是（ ）‎ 第11题图 A． B． C． D．‎ ‎11．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为‎2米，梯子的顶端B到地面的距离为‎7米．现将梯子的底端A向外移动到，使梯子的底端到墙根O的距离等于‎3米，同时梯子的顶端B下降到，那么（ ）‎ A．等于‎1米 B．大于‎1米 C．小于‎1米 D．不能确定 第12题图 ‎12．如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若cot∠BCD＝3，则tanA＝（ ）A． B．‎1 C． D．‎ 三、解答题 ‎13．已知等腰梯形ABCD中，AD＋BC＝‎18cm，sin∠ABC＝，AC与BD相交于点O，∠BOC＝1200，试求AB的长．‎ ‎14．如图，河对岸有一铁塔AB．在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进‎16米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高．‎ 第16题图 ‎ 第15题图 第13题图 ‎15．如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=‎5m，则BC的长度是多少？现再在C点上方‎2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果保留三个有效数字）【参考数据：】‎ ‎●习题答案 ‎●专题八《锐角三角函数与解直角三角形》习题答案 一、填空题 ‎1．（点拨：连结PP＇，过点B作BD⊥PP＇，因为∠PBP＇=30°，所以∠PBD=15°，利用sin15°=，先求出PD，乘以2即得PP＇）‎ ‎2．2.35‎ ‎3．48（点拨：根据两直线平行，内错角相等判断）‎ ‎4．(0，)（点拨：过点B作BC⊥AO，利用勾股定理或三角函数可分别求得AC与OC的长）‎ ‎5．1（点拨：根据公式sin2+cos2=1）‎ ‎6．（点拨：先根据勾股定理求得AC=5，再根据求出结果）‎ ‎7．4.86（点拨：利用正切函数分别求了BD，BC的长）‎ ‎8．（点拨：根据，求得）‎ 二、选择题 ‎9． C ‎10．D ‎11．C（点拨：利用勾股定理先求出AB的长，再求出的长）‎ ‎12．A（点拨：过点D作DE⊥CB的延长线于点E，易证得△ACB与△DEB全等，所以∠A=∠BDE，BC=BE。又因为cot∠BCD＝3，所CE=3DE，所tanA=tan∠BDE=）‎ 三、解答题 ‎13．解：如图，作DE∥AC交BC的延长线于E，则四边形ACED是平行四边形．‎ ‎ ∴AD＝CE，DE＝AC，易证△ABC≌△DCB ‎ ∴AC＝DB，BD＝DE ‎ ∴△DBE为等腰三角形 ‎ BE＝BC＋AD＝‎‎18cm ‎ 分别过A、D作AG⊥BC于G，DF⊥BC于F ‎ ∵∠BDE＝∠BOC＝1200，∴∠BDF＝600‎ ‎ ∴BF＝BE＝‎9cm，AG＝DF＝cm ‎ 在Rt△ABG中，sin∠ABG＝‎ ‎ ∴AB＝（cm）‎ 答：AB的长是 cm．‎ ‎14．在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB． ‎ 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=30°， ∴BC=AB． ‎ 设AB=x（米），∵CD=16，∴BC=x+16.∴x+16=x ‎ ‎． 即铁塔AB的高为米． ‎ ‎15．在R t△BCD中，∵ BD=5, ∴ BC=5= 4.1955≈4.20. ‎ 在R t△BCD中，BE=BC+CE= 6.20,‎ ‎∴ DE== =≈7.96‎ 答：BC的长度约为4.20,钢缆ED的长度约7.96. ‎ ‎（若BC=4.1955暂不扣分，但是ED的长度未保留三个有效数字扣1分）‎ 本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn 提供！‎ 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 专题九《图形与变换》‎ ‎●中考点击 考点分析：‎ 内容 要求 ‎1、轴对称图形的识别，轴对称的性质及其应用 Ⅰ ‎2、中心对称图形的识别，中心对称的性质及其应用 Ⅱ ‎3、图形的平移与旋转的性质及应用 Ⅱ ‎4、相似三角形的性质与判定的应用 Ⅱ ‎5、位似图形的识别，位似性质的简单应用 Ⅰ 命题预测：‎ 本专题主要包括图形的变换和相似形．其中轴对称图形、平移、中心对称图形的识别，相似三角形性质以填空和选择题为主，主要是考查对图形的识别和性质；图形的折叠、平移、旋转与几何图形面积相关的计算问题以填空题和解答题为主，主要是考查对几何问题的综合运用能力；而相似三角形的性质及判断定的应用往往还会结合圆或者解直角三角形等问题一并考查，主要是以解答题为主。‎ 对比近两年中考试题，预测2008年在这方面的考查将会弱化较为复杂的综合题和计算题，而相对强化图形与变换中的对称、平移、旋转以及相似和位似等方面的识别题、创新题、开放题，主要考查学生的动手能力，观察与实验能力，探索与实践能力，中考命题趋势是稳中求变，变中创新。‎ ‎●难题透视 例1如图9-1，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是（ ）‎ 图9-1‎ ‎【考点要求】本题考查学生轴对称知识的灵活应用。‎ ‎【思路点拔】通过实物的演示或者操作以及空间想象，不难得到正确答案。‎ ‎【方法点拨】在解答图形的折叠问题时，有时可借助实物进行操作、演示，帮助理解，从而弥补空间思维上出现的盲区。‎ 例2如图9-2，一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像，此时，它所看到的全身像（ ）‎ 图9-2‎ ‎【考点要求】本题考查平面镜的轴对称变换。‎ ‎【思路点拔】观察所给的“小狗照镜子”图，可以发现小狗的尾巴向左，并且正面向镜子，由于平面镜成像是轴对称变换，由性质可知，像的尾巴应向左且正面向前。‎ ‎【答案】选A。‎ ‎【错解剖析】部分学生未能抓住平面镜成像的轴对称变换特性而选择错误答案。‎ 解题关键：先分析清问题是何种对称变换，然后利用性质解题。‎ 例3如图9-3，下列图案②③④⑤⑥⑦中， 是由①平移得出的， 是由①平移且旋转得出的。‎ 图9-3‎ ‎【考点要求】本题考查平移、旋转的定义。‎ ‎【思路点拔】图①中的鸽子是头向左，尾巴向右展翅飞翔，平移后的图形应与其方向保持一致，而如果经过旋转后则会发生方向上的改变。‎ ‎【答案】③⑤是由①平移得出的，②④⑥⑦是由①平移且旋转得出的。‎ ‎【错解剖析】本题需熟悉平移与旋转的性质，同时还需要一定的空间想象能力。‎ 例4已知三个数1,2,,请你再添上一个(只填一个)数, 使它们能构成一个比例式,则这个数是_________.‎ ‎【考点要求】本题考查比例式的概念。‎ ‎【思路点拔】因为所添数字位置未作要求，因而有多种可能性，设所添数字为x，则有以下几种可能，，， 。‎ ‎【答案】2或或。‎ ‎【思路点拔】这是一道开放型试题，由于题中没有告知构成比例的各数顺序, 故应考虑各种可能位置. ‎ 解题关键：以x为比例外项，则另一个比例外项可能是1、2或.‎ 图9-4‎ 例5如图9-4,在△ABC中,AC>AB,点D在AC边上(点D不与A、C重合),若再增加上条件就能使△ABD∽△ACB,则这个条件可以是_______.‎ ‎【考点要求】本题考查三角形相似的判定方法的运用。‎ ‎【思路点拔】由于所识别的两三角形隐含着一个公共角∠‎ A,因此依照识别方法,只要再附加条件∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC,或即可. ‎ ‎【答案】∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC,。‎ ‎【错解剖析】部分学生不熟悉三角形相似的判定方法，易错用“边边角”进行判定，也有学生不注意两个三角形顶点的对应。突破方法：本题答案只要求填写一个，为确保正确，可根据△ABD∽△ACB找出一对相等的对应角。‎ 例6如图9-6,AD是直角△ABC斜边上的高,DE⊥DF,且DE和DF分别交AB、AC于E、F.‎ 求证:。‎ ‎【考点要求】本题考查利用相似证明比例线段问题。‎ 图9-6‎ ‎【思路点拔】∵∠BAC=90°,AD⊥BC,‎ ‎∴∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°. ‎ ‎∴∠B=∠DAC.‎ 同理∠C=∠BAD.‎ 又∵∠ADE+∠ADF=90°,∠CDF+∠ADF=90°,‎ ‎∴∠ADE=∠CDF.‎ 又∵∠BED=∠BAD+∠ADE,∠AFD=∠C+∠CDF.‎ ‎∴∠BED=∠AFD.‎ ‎∴△BED∽△AFD.‎ ‎∴。‎ ‎【方法点拔】所证比例式中四条线段为△AFD与△BDE的边,只需证△AFD与△BDE相似即可.‎ 解题关键：证明比例式或等积式的基本方法是证明包含比例式或等积式中的四条线段所在的两三角形相似.如果直接证明不容易,则可等线段转化或等比转化.‎ ‎●难点突破方法总结 图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面：‎ ‎1.熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法。‎ ‎2.结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法。‎ ‎3．注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等。‎ 相似形内容难度与前几年相比，有所降低，主要解题方法可归纳如下：‎ ‎1.准确掌握图形相似的概念、性质、判定和应用是应考的基本战略。‎ ‎2.把握基本图形，实现对等转化是解决与相似三角形有关问题的重要方法，如通过平行线构造相似三角形；利用“A”型、“X”型找相似三角形；利用中间比实现转化等。‎ ‎3.熟练掌握图形的相似各类应用问题，从中提炼出解题的基本方法，如类比法、设比值法、数形结合法等。‎ ‎4.注重基础，不断创新，利用相似解决实际生活中的测量、设计等问题。‎ ‎●拓展演练 一、选择题 ‎1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。下列图案中，不能由一个图形通过旋转而构成的是（ ）‎ A B C D ‎2．下列各图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）‎ A B C D ‎3． 如图,已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上一点,DE∥BC, 且四边形 =1:3，那么AD:AB等于( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 如图是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的 A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起‎10cm,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5:1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端下压( ) ‎ ‎ A‎.100cm B‎.60cm C‎.50cm D‎.10cm ‎5.把正方形ABCD沿着对角线AC的方向平移到正方形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=，则正方形平移的距离AA′是（ ）. ‎ A.1 B. C. D.‎ ‎6.如图13,已知梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD分别交中位线EF于点H、G,且EG:GH:HF=1:2:1,那么AD:BC等于( )‎ 第5题图 第6题图 第7题图 ‎ A.2:3 B.3:5 C.1:3 D.1:2‎ ‎7.同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的.如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（ ）‎ A.顺时针旋转60°得到 B.顺时针旋转120°得到 C.逆时针旋转60°得到 D.逆时针旋转120°得到 第10题 ‎8.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（　　）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 ‎ C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎9.点P是△ABC中AB边上的一点,过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC,使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有( )‎ ‎ A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 ‎10. 如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°．边长为2， 将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到A′B′C′D′位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为（ ）‎ 第13题 A.8 B.4(－1) C.8(－1) D.4(＋1)‎ 二、填空题 ‎11.在你所学过的几何图形中，写出两个既是轴对称图形又是中心对称图形的图形名称： ‎ ‎ 第14题 ‎12.若两个相似三角形的相似比是2:3, 则这两个三角形对应中线的比是__________.‎ ‎13.‎ 由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑(如右图)。请你用两种不同的方法分别在下图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形。‎ 第15题 ‎14.如图，AD是ΔABC的中线，∠ADC=45°，把ΔADC沿AD 对 折，点C落在点C′的位置，则BC′与BC之间的数量关系是 .‎ ‎15.如图,已知∠1=∠2,若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立,则这个条件可以是_________________.‎ ‎16.如图,在正方形ABCD中,F是AD的中点,BF与AC交于点G,则△BGC与四边形CGFD的面积之比是________.‎ ‎ 第16题 ‎17.在△ABC和△A′B′C′中,有下列条件:①；②；③∠A=∠A′；④∠B=∠B′；⑤∠C=∠C′.如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有_______组.‎ 三、解答题 图1‎ 图2‎ ‎18．已知，点P是正方形ABCD 内的一点，连PA、PB、PC.‎ ‎（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.‎ ‎①设AB的长为a，PB的长为b（b1时，请写出一个反映Sn-1，Sn，Sn+1之间关系的等式（不必证明）‎ ‎5．下图是B、C两市到A市的公路示意图，小明和小王提供如下信息：‎ ‎ 小明：普通公路EA与高速公路DA的路程相等；‎ ‎ 小王：A、B两市的路程(B--D--A)为240千米，A、c两市的路程(C--E--A)为290千米，‎ ‎ 小明汽车在普通公路BD上行驶的平均速度是30千米／时，在高速公路DA上行驶的平均速度是90千米／时；‎ ‎ 小王汽车在高速公路CE上行驶的平均速度是lOO千米／时，在普通公路EA上行驶的平均速度是40千米／时；‎ 小明汽车从B市到A市不超过5时；小王：汽车扶C市到A市也不超过5时．‎ ‎ 若设高速公路AD的路程为x千米．‎ ‎(1)根据以上信息填表：‎ ‎ 路程 ‎(单位千米)‎ ‎ 行驶速度 ‎ (单位；千米／时)‎ ‎ 所需时间 ‎ (单位时)‎ 高速公路AD 普通公路BD I普通公路AE l高建公路CE ‎ (2)试确定高速公路AD的路程范围．‎ ‎6．100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“‎0”‎的个数为 ___________个．‎ ‎7．如图，是用火柴棒摆出的一系列三角形图案，按这种方案摆下去，当每边上摆2006根火柴棒时，共需要摆________根火柴棒．‎ ‎8．有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，…它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示．有规律排列的一列数：1，－2，3，－4，5，－6，7，－8，…‎ ‎（1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？‎ ‎（2）它的第100个数是多少？‎ ‎（3）2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？‎ ‎9．[尝试]如图，把一个等腰直角△ABC沿斜边上的中线CD(裁剪线)剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形A′BCD，如示意图(1)．(以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明)‎ ‎（1）猜一猜：四边形A′BCD一定是__________；‎ ‎（2）试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图(1)不同的四边形，并在图(2)中画出示意图．‎ ‎[探究]在等腰直角△ABC中，请你沿一条中位线(裁剪线)剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形．‎ ‎ （1）想一想：你能拼得的特殊四边形分别是________________；(写出两种)‎ ‎ （2）画一画：请分别在图（3）、图（4）中画出你拼得的这两个特殊四边形的示意图．‎ ‎ [拓广]在等腰直角△ABC中，请你沿一条与中线、中位线不同的裁剪线剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形．‎ ‎ （1）变一变：你确定的裁剪线是________________，(写出一种)拼得的特殊四边形是______；‎ ‎ （2）拼一拼：请在图（5）中画出你拼得的这个特殊四边形的示意图．‎ ‎10．如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．‎ ‎（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想 BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ 图2‎ E A B D G F O M N C 图3‎ A B D G E F O M N C 图1‎ A( G )‎ B( E )‎ C O D( F )‎ ‎11．在图1至图3中，已知△ABC的面积为a ．‎ ‎（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=______（用含a的代数式表示）；‎ ‎（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示）；‎ ‎（3）在图12—2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由．‎ 图1‎ A B C D A B C D E 图2‎ D E A B C F 图3‎ 发现 图4‎ 紫 A B C 紫 紫 紫 红 黄 黄 黄 像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍．‎ 应用 要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次（图4）已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC）的面积是‎10平方米，请你运用上述结论求出：‎ ‎（1）种紫花的区域的面积；‎ ‎（2）种蓝花的区域的面积．‎ ‎12．小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：‎ ‎①反向延长射线OM；‎ ‎②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点Ａ、B，交射线OM的反向延长线于点C； ③连接CB； ④以O为顶点，OA为一边作∠AOP＝∠OCB．‎ ‎（1）根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由．‎ ‎（2）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当∠MON＝60°、OF＝10时，求AE的长．‎ ‎13．若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．‎ ‎（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB>AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；‎ ‎（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；‎ ‎（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．‎ ‎●专题十 《中考数学各种题型的突破方法》习题答案 ‎1． 376‎ ‎2． D ‎3．解：（1）．‎ ‎（2）设，把，代入得：‎ 解得即．‎ ‎（3）由，得，‎ 即至少放入个小球时有水溢出．‎ ‎4．（1） 正确画出分割线CD ‎（如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的 ‎ 分割线，若画成直线不扣分）‎ 理由：∵ ∠B = ∠B，∠CDB=∠ACB=90°‎ ‎∴△BCD ∽△ACB ‎（2）① △DEF 经N阶分割所得的小三角形的个数为 ‎ ‎ ∴ S = ‎ 当 n =5时 ，S = ≈ 9．77‎ 当 n = 6 时 ， S = ≈ 2．44‎ 当 n=7 时 S= ≈ 0．61 ‎ ‎∴当 n= 6时， 2 ＜S ＜ 3 ‎ S = S × S ‎ ‎5． （1）‎ 路程 ‎(单位千米)‎ 行驶速度 ‎(单位；千米／时)‎ 所需时间 ‎(单位时)‎ 高速公路AD x ‎90‎ 普通公路BD ‎240－x ‎30‎ I普通公路AE x ‎40‎ l高建公路CE ‎290－x ‎100‎ ‎（2）‎ ‎6．201 ‎ ‎7．6039063‎ ‎8．解：（1）它的每一项可用式子（n是正整数）来表示．‎ ‎ （2）它的第100个数是－100．‎ ‎（3）2006不是这列数中的数，因为这列数中的偶数全是负数．（或正数全是奇数）‎ ‎9．解：[尝试]①平行四边形；‎ ‎②如图(1)所示． ‎ ‎[探究]①平行四边形、矩形或者等腰梯形,(答其中两个即可) ‎ ‎②如图(2)、(3)、(4)、(5)所示．(画其中两个即可) ‎ ‎[拓广]①直角梯形,将斜边上的呣绕斜边中点旋转任意角度所得的直线；或者将平行于BC边(直角边)的中位线平移与AC交于点D,使AD：DC=：1的直线；或者将平行于AB边(斜边)的中位线平移与AC交于点D,使AD：DC=：1的直线．‎ ‎10．解：⑴①DE=EF；②NE=BF．‎ ‎③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，‎ ‎∴DN=EB ‎∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°‎ ‎∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF ‎∴△DNE≌△EBF ‎∴ DE=EF，NE=BF ‎ ‎⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）‎ 此时，DE=EF ‎11．探索（1）a ；（2）‎2a ；（3）‎6a ；‎ 理由：∵CD=BC，AE=CA，BF=AB ‎ ‎∴由（2）得 S△ECD=‎2a，S△FAE=‎2a，S△DBF=‎2a，‎ ‎∴S3=‎‎6a 发现 7． ‎ 应用 （1）（72－7）×10=420（平方米）； （2）（73－72）×10=2940（平方米）．‎ ‎12．解：（1）（方法一）∵∠AOF＝∠OCB， 又∵∠BOA＝2∠OCB， ‎ ‎∴∠AOF＝∠BOF…3分∴OP为∠BOA的角平分线 ‎（方法二）∵∠AOF＝∠OCB，∴PO∥BC ，∴∠POB＝∠OBC， 又∵OB=OC，‎ ‎∴∠OCB＝∠OBC，∴∠AOF＝∠POB，∴OE为∠BOD的角平分线 ‎（2）（方法一）‎ ‎∵AF与⊙O相切，∴AF⊥AO， ‎ ‎∵∠MON＝60°，∴∠AOF＝∠MON＝30°，‎ ‎∴AF＝OF＝5，由勾股定理得：AO＝5． ‎ ‎∵AO＝BO，∴△AOB是等腰三角形，∵OP平分∠AOB，∴PO⊥AB， ‎ 在Rt△AOF中，S⊿AOF＝AO×AF＝FO×AE，即：5×5＝10×AE，‎ ‎∴AE＝ ‎ ‎（方法二）∵∠MON＝60°，∴⊿AOB为正三角形，∵OP平分∠MON，‎ ‎∴AE＝BE＝AB， ， ∵OP平分∠BOD，∴∠BOF＝30°，又∵AF与⊙O相切，∴AF⊥AO 在Rt⊿AOF中，AO＝5， ∴AB＝AO＝5，∴AE＝‎ ‎13．解：（1）略 ‎ （2）探究：四边形EBCF是矩形，而且是黄金矩形 ‎ ‎∵四边形AEFD是正方形，∴∠AEF=900 ∴∠BEF=900 ，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形 ，∴∠B=∠C =900 ‎ ‎∴∠BEF=∠B=∠C =900,∴四边形EBCF是矩形 ‎【方法1】设 ‎ ∴‎ ‎∴矩形EBCF是黄金矩形． ‎ ‎ 【方法2】设, ‎ ‎ ∴ ∴矩形EBCF是黄金矩形 ‎ ‎（3）归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形(关键词：①另外一个四边形是矩形 ，②是黄金矩形)．‎ 本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn 提供！‎