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- 2021-05-13 发布
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第46课时 二次函数综合型问题
(50分)
一、选择题(每题10分，共10分)
图46－1
1．[2016·嘉兴]如图46－1，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a＝－1，则b＝4；③抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)若x1<12，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长最小值为6.其中正确判断的序号是 (C)
A．① B．② C．③ D．④
【解析】 ①根据二次函数所作象限，判断出y的符号；
②根据A，B关于对称轴对称，求出b的值；
③根据＞1，得到x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2；
④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连结D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D，E，D′，E′的坐标即可解答．
二、填空题(每题10分，共10分)
图46－2
2．[2016·衢州]如图46－2，已知直线y＝－x＋3分别交x轴，y轴于点A，B，P是抛物线y＝－x2＋2x＋5上一个动点，其横坐标是a，过点P且平行y轴的直线交直线y＝－x＋3于点Q，则PQ＝BQ时，a的值是__4，－1，4＋2或4－2__.
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【解析】 P点横坐标为a，因为P点在抛物线y＝－x2＋2x＋5上，所以P点坐标为，又
PQ∥y轴，且Q点在函数y＝－x＋3上，所以点Q坐标为，B点坐标为(0，3)，根据平面内两点间的距离公式，可得PQ＝，BQ＝，根据题意，PQ＝BQ，所以
＝，解得a的值分别为－1，4，4＋2或4－2.
三、解答题(共30分)
3．(15分)[2017·内江改编]如图46－3，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，C(0，4)，点B在抛物线上，CB∥x轴．且AB平分∠CAO.
(1)求抛物线的解析式；
(2)线段AB上有一动点P，过P作y轴的平行线，交拋物线于点Q，求线段PQ的最大值．
图46－3
解：(1)A(－3，0)，C(0，4)，
∴AC＝5，
∵AB平分∠CAO，
∴∠CAB＝∠BAO，
∵CB∥x轴，∴∠CBA＝∠BAO，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴AC＝BC＝5，∴B(5，4)，
A(－3，0)，C(0，4)，B(5，4)代入y＝ax2＋bx＋c得
解得
所以y＝－x2＋x＋4；
第3题答图
(2)设AB的解析式为y＝kx＋b，把A(－3，0)，B(5，4)代入得解得
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∴直线AB的解析式为y＝x＋；
可设P，Q，
则PQ＝－x2＋x＋4－＝－(x－1)2＋，当x＝1时，PQ最大，且最大值为.
4．(15分)[2016·福州改编]如图46－4，抛物线y＝x2－4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x＋m与对称轴交于点Q.
(1)这条抛物线的对称轴是__x＝2__；直线PQ与x轴所夹锐角的度数是__45°__；
(2)若两个三角形面积满足S△POQ＝S△PAQ，求m的值．
解：(2)设直线PQ交x轴于点B，分别过点O，A作PQ的垂线，垂足分别为E，F.
当点B在OA的延长线上时，显然S△POQ＝S△PAQ不成立．
①如答图①所示，
当点B落在线段OA上时，＝＝，
图46－4
由△OBE∽△ABF，得＝＝，
∴AB＝3OB.
∴OB＝OA.
由y＝x2－4x得点A(4，0)，
∴OB＝1，
∴B(1，0)．
第4题答图①
∴1＋m＝0，∴m＝－1；
②如答图②所示，
当点B落在线段AO的延长线上时，
＝＝，
由△OBE∽△ABF，得＝＝，
∴AB＝3OB.
∴OB＝OA.
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第4题答图②
由y＝x2－4x得点A(4，0)，
∴OB＝2，
∴B(－2，0)．
∴－2＋m＝0，
∴m＝2.
综上所述，当m＝－1或2时，S△POQ＝S△PAQ.
(30分)
图46－5
5．(15分)[2016·株洲]如图46－5，已知抛物线的表达式为y＝－x2＋6x＋c.
(1)若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；
(2)设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，若x＋x＝26，求c的值；
(3)若P，Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，且△OPA与△OQB全等，求证：c>－.
解：(1)∵y＝－x2＋6x＋c与x轴有交点，
∴－x2＋6x＋c＝0有实数根，
∴b2－4ac≥0，
即62－4×(－1)×c≥0，
解得c≥－9；
(2)∵－x2＋6x＋c＝0有解，且x＋x＝26，
∴c≥－9，(x1＋x2)2－2x1x2＝26，
即－2×＝26，
解得c＝－5；
(3)设P的坐标为(m，n)，则Q点坐标为(n，m)，且m>0，n>0，m≠n，
将这两个点的坐标代入方程得
①－②得
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n2－m2＋7(m－n)＝0，
(m－n)(m＋n－7)＝0，
∴m＋n＝7，
∴n＝7－m，
代入方程①得，
－m2＋7m＋(c－7)＝0，
∵存在这样的点，∴以上方程有解，
∴72－4×(－1)×(c－7)≥0，
解得c≥－，
而当c＝－时，m＝，此时n＝，
故c>－.
图46－6
6．(15分)[2016·温州]如图46－6抛物线y＝－x2＋6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C(2，0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方)，OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD的延长线于点F，作直线MF.
(1)求点A，M的坐标；
(2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
(3)当BD＝1时，
①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上；
②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3＝__3∶4∶8__.
解：(1)令y＝0，则－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴A(6，0)，∴对称轴是直线x＝3，∴M(3，9)；
(2)∵OE∥CF，OC∥EF，C(2，0)，
∴EF＝OC＝2，∴BC＝1，
∴点F的横坐标为5，
∵点F落在抛物线y＝－x2＋6x上，
∴F(5，5)，BE＝5.∵＝＝，
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∴DE＝2BD，∴BE＝3BD，∴BD＝；
(3)①当BD＝1时，BE＝3，∴F(5，3)．
第6题答图
设MF的解析式为y＝kx＋b，将M(3，9)，F(5，3)代入，
得解得
∴y＝－3x＋18.
∵当x＝6时，y＝－3×6＋18＝0，∴点A落在直线MF上；
②∵BD＝1，BC＝1，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴△OBE为等腰直角三角形，
∴CD＝，CF＝OE＝3，
∴DP＝，PF＝，
根据MF及OE的解析式求得点G的坐标为，作GN⊥EF交EF于点N，则EN＝GN＝，所以EG＝，S△FPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面积比等于底之比，
故S△FPG∶S梯形DEGP∶S梯形OCDE
＝PF∶(DP＋EG)∶(DC＋OE)
＝∶∶(3＋1)
＝∶2∶4＝3∶4∶8.
(20分)
7．(20分)[2016·成都]如图46－7，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.
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图46－7 备用图
(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)；
(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
解：(1)令ax2－2ax－3a＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴A点坐标为(－1，0)；
∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k，
∴y＝kx＋k，
令ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0，
∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，
∴－3－＝－1×4，∴k＝a，
∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a；
(2)如答图①，过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，
设E(x，ax2－2ax－3a)，则F(x，ax＋a)，
EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a，
第7题答图①
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x＝(ax2－3ax－4a)＝a－a，
∴△ACE的面积的最大值为－a.
∵△ACE的面积的最大值为，
∴－a＝，解得a＝－；
(3)令ax2－2ax－3a＝ax＋a，
即ax2－3ax－4a＝0，
解得x1＝－1，x2＝4，
∴D(4，5a)，
∵y＝ax2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1，
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设P(1，m)，
①如答图②，若AD是矩形的一条边，则Q(－4，21a)，
m＝21a＋5a＝26a，则P(1，26a)，
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，
∴AD2＋PD2＝AP2，
∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，
即a2＝，∵a＜0，∴a＝－，
∴P1；
第7题答图
②如答图③，若AD是矩形的一条对角线，
则线段AD的中点坐标为，Q(2，－3a)，
m＝5a－(－3a)＝8a，则P(1，8a)，
∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，
∴AP2＋PD2＝AD2，
∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2，
即a2＝，∵a＜0，∴a＝－，
∴P2(1，－4)，
综上所述，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为或(1，－4)．
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