2019中考数学复习隐形圆问题大全后有专题练习无答案 13页

‎2019 中考数学复习 隐形圆问题大全 一 定点 +定长 1. 依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。‎ 2. 应用：‎ （ ‎1）如图，四边形 ABCD中， AB=AC=AD=2， BC=1， AB∥ CD，求 BD的长。‎ 简析：因 AB=AC=AD=2，知 B、C、D 在以 A 为圆 2 为半径的圆上，由 AB∥ CD 得 DE=BC=1，易求 BD= 15 。‎ ‎（ 2）如图，在矩形边上的动点，将△‎ ‎‎ ABCD中， AB=4， AD=6， E 是 EBF 沿 EF 所在直线折叠得到△‎ ‎‎ AB 边的中点， EB′ F，连接 ‎‎ F 是线段 B′ D，则 ‎‎ BC B′‎ D 的最小值是 ‎‎ ‎.‎ 简析： E 为定点， EB′为定长， B′点路径为以 E 为圆心 EB′为半径的圆，作穿心线 DE 得最小值为 2 10 。‎ ‎（ 3）‎ ‎‎ ABC中， AB=4，AC=2，以 ‎‎ BC为边在 ‎‎ ABC外作正方形 ‎‎ BCDE， BD、CE 交于点 ‎‎ O，则线段 AO的最大值为 ‎‎ ‎.‎ 简析：先确定 A、B 点的位置，因 AC=2，所以 C 点在以 A 为圆心， 2 为半径的圆上；因点 O 是点 C 以点 B 为中心顺时针旋转 45 度并 1：√ 2 缩小 而得，‎ 所以把圆 A 旋转 45 度再 1： 2 缩小 即得 O点路径。如下图，转化为求定点 A 到定圆 F 的最长路径，即 AF+FO=3 2 。‎ 二 定线 +定角 1. 依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。‎ 2. 应用：‎ （ ‎1）矩形 ABCD中， AB=10， AD=4，点 P 是 CD 上的动点，当∠ APB=90°时求 DP的长 .‎ 简析： AB 为定线，∠的弧，如下图，易得 ‎‎ APB 为定角（ 90°），DP为 2 或 8。‎ ‎‎ P 点路径为以 ‎‎ AB 为弦（直径）‎ ‎（ 2）如图，∠‎ ‎‎ XOY = 45 °，等边三角形 ‎‎ ABC的两个顶点 ‎‎ A、 B 分别在 ‎‎ OX、‎ OY上移动，‎ ‎‎ AB = 2‎ ‎‎ ‎，那么 ‎‎ OC的最大值为 ‎‎ ‎.‎ 简析： AB 为定线，∠ XOY为定角， O点路径为以 AB 为弦所含圆周角为 ‎45°‎ 的弧，如下图， 转化为求定点 C 到定圆 M的最长路径， 即 CM+MO=3 +1+‎ ‎2 。‎ ‎（ 3）已知 A（ 2， 0）， B（ 4， 0）是 x 轴上的两点，点 当∠ ACB最大时，则点 C 的坐标为 _____．‎ ‎‎ C 是 ‎‎ y 轴上的动点，‎ 简析：作 ABC 的处接圆 M，当∠ ACB 最大时，圆心角∠ AMB最大，当圆 M 半径最小时∠ AMB最大，即当圆 M与 y 轴相切时∠ ACB最大。‎ 如下图，易得 C 点坐标为（ 0， 2 2 ）或（ 0， -2 2 ）。‎ （ ‎4）如图 , 在平面直角坐标系中 , 抛物线 y=ax^2-3ax-4a 的图象经过点 C(0, 2), 交轴于点 A、 B， (A 点在点左侧 ), 顶点为 D.‎ ‎①求抛物线的解析式及点 A、 B 的坐标 ;‎ ‎②将 ABC沿直线 BC对折 , 点 A 的对称点为 A', 试求 A' 的坐标 ;‎ ‎③抛物线的对称轴上是否存在点 P, 使∠ BPC=∠ BAC？若存在 , 求出点 P 的坐标 ; 若不存在 , 请说明理由 .‎ 简析③：定线 BC对定角∠ BPC=∠ BAC，则 P 点在以 BC 为弦的双弧上（关于BC对称），如下图所示。‎ 三 三点定圆 1. 依据：不在同一直线上的三点确定一个圆。‎ 2. 应用：‎ ABC中，∠ A＝ 45°， AD⊥ BC 于 D， BD=4， CD=6，求 AD的长。‎ 简析：作 ABC的外接圆，如下图，易得 AD=7+5=12。‎ 四 四点共圆 1. 依据：对角互补的四边形四个顶点共圆（或一边所对两个角相等）。‎ 2. 应用：‎ 如图，在矩形 ABCD中， AB=6 ， AD=8，P、E 分别是线段 AC、BC 上的点，四边形 PEFD为矩形，若 AP=2，求 CF 的长。‎ 简析：因∠ PEF=∠ PDF=∠ DCE=90°，知 D、 F、 C、 E、 P 共圆，如下图，由 ∠ ‎1=∠ 2、∠ 4=∠ 5，易得 APD～ DCF， CF： AP＝ CD： AD，得 CF＝ 1.5 。‎ 五 旋转生圆 1. 如图，圆 O 的半径为 5， A、 B 是圆上任意两点，且 AB=6，以为 AB边作正方形 ABCD（点 D、P 在直线两侧），若 AB边绕点 P 旋转一周，则 CD边扫过的面积为 _____ 。‎ 简析： CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为 PC，二 是最近点距离为 P 到直线 CD的垂线段， 从而确定两个圆， CD即为两圆之间 的圆环，如下图。‎ ‎2. 如图，在 ‎‎ ABC中，∠‎ ‎‎ BAC=90°， AB=5cm， AC=2cm，将 ‎‎ ABC绕顶点 ‎‎ C 按 顺时针方向旋转至 ‎‎ A'B'C ‎‎ 的位置，则线段 ‎‎ AB 扫过区域的面积为 ‎‎ ‎_____ 。‎ 简析：扫过的阴影部分旋转拼合成如下圆心角为 45 度的扇环。‎ 六 动圆综合 1. 动圆 +定弦：依据直径是圆中最长的弦，知此弦为直径时，圆最小。‎ 如图 ,‎ ‎‎ ‎△ ABC 中 ,‎ ‎‎ ‎∠ ABC＝ 90 °, AB ‎‎ ‎＝ 6, BC ‎‎ ‎＝ 8, O ‎‎ 为 AC 的中点 ‎‎ ‎,‎ ‎‎ 过 O 作 OE⊥ OF, OE、OF分别交射线 ‎‎ AB、BC于 ‎‎ E、F,‎ ‎‎ 则 EF 的最小值为 ‎‎ ‎.‎ 简析：图中显然 O、E、F、B 共圆，圆是动的，但弦 BO＝ 5，当 BO为直径时 最小，所以 EF 最小为 5.‎ 2. 动圆 +定线：相切时为临界值。‎ 如图 , Rt △ ABC中 ,‎ ‎‎ ‎∠ C＝ 90° ,‎ ‎‎ ‎∠ ABC＝ 30° , AB＝ 6,‎ ‎‎ 点 D 在 ‎‎ AB 边上 ,‎ ‎‎ 点 E 是 ‎‎ BC 边上一点 ‎‎ ‎(‎ ‎‎ 不与点 ‎‎ B、 C ‎‎ 重合 ),‎ ‎‎ 且 DA＝ DE,‎ ‎‎ 则 ‎‎ AD ‎‎ 的取值范围 是 ‎‎ ‎。‎ 简析：因 ‎‎ DA=DE，可以 ‎‎ D 点为圆心以 ‎‎ DA 为半径作圆，则圆 ‎‎ D 与 ‎‎ BC相切时，‎ 半径 ‎‎ DE 最小。‎ ‎‎ E 向 ‎‎ B 点移动半径增大直至 ‎‎ D 到 ‎‎ B 处（不含 ‎‎ B 点），得 ‎‎ ‎2≤‎ AD<3。‎ 3. 动弦 +定角：圆中动弦所对的角一定，则当圆的直径最小时此弦长最小。‎ 已知：△ ABC中，∠ B=45°，∠ C=60°， D、E 分别为 AB、 AC边上的一个动点，过 D 分别作 DF⊥ AC于 F， DG⊥ BC 于 G，过 E 作 EH⊥ AB 于 H， EI ⊥ BC 于 I ，连 FG、 HI ，‎ 求证： FG 与 HI 的最小值相等。‎ 简析：可以看 HI 何时最小，因 B、H、E、I 共圆，且弦 HI 所对圆周角一定，‎ 所以当此圆直径最小时弦 HI 最小，即当 BE 最小时，此时 BE⊥ AC，解△ OHI 可得 HI 的最小长度。同样可求 FG的最小长度。‎ 此题可归纳一般结论：当∠ ABC=α ，∠ ACB=β ， BC=m时， FG 和 HI 的最小 值均为 m*sin α *sin β 。‎ 达 标 测 试 ：‎ ‎1.BC ＝ AC＝ 6，∠ BCA＝ 90°，∠ BDC＝ 45°， AD＝ 2，求 BD.‎ 2. 如图，将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 AC，继续旋转 α（ 0°‎ ‎＜ α ＜ 120°）得到线段 AD，连接 CD，BD，则∠ BDC的度数为 .‎ 3. 如图，在边长为 2√ 3 的等边△ ABC中，动点 D、 E 分别在 BC、 AC边上，且保持 AE=CD，连接 BE、 AD，相交于点 P，则 CP 的最小值为 ____.‎ ‎4. 如图， E 是正方形 ABCD的边 AB 上的一点，过点 E 作 DE 的垂线交∠ ABC 的外角平分线于点 F，求证： FE＝ DE.‎ 5. 当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何观赏最理想吗？如图，设墙 壁上的展品最高点 P 距离地面 2.5 米，最低点 Q 距地面 2 米，观察者的眼 睛 E 距地面 1.6 米，当视角∠ PEQ最大时，站在此处观赏最理想，则此时 E 到墙壁的距离为 米 .‎ 6. 如图直线 y=x+2 分别与 x 轴， y 轴交于点 M、 N，边长为 1 的正方形 OABC 的一个顶点 ‎‎ O在坐标系原点，直线 ‎‎ AN与 ‎‎ MC交于点 ‎‎ P，若正方形 ‎‎ OABC绕点 O旋转一周，则点 ‎‎ P 到点（‎ ‎‎ ‎0, 1‎ ‎‎ ‎）长度的最小值是 ‎‎ ‎____.‎