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- 2021-05-13 发布
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2016年重庆市巴蜀中学中考数学二模试卷
一、选择题:(本大题共12个小题,每小题4分,共48分)在每小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1.在下列数:+3、+(﹣2.1)、﹣、﹣π、0、﹣|﹣9|中,正数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列平面图形中,不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.计算(﹣2xy)2的结果是( )
A.4x2y2 B.4xy2 C.2x2y2 D.4x2y
4.下列调查中,适合采用普查方法的是( )
A.对全市中学生使用手机玩游戏的情况调查 B.对嘉陵江水质量情况的调查
C.对旅客上飞机前的安检 D.对某类烟花爆竹燃放安全情况调查
5.如图,已知AB∥CD,DE⊥AC,垂足为E,∠A=130°,则∠D的度数是( )
A.20° B.40° C.50° D.70° 5题图
6.二元一次方程组的解是( )
A. B. C. D.
7.某校九年级(1)班全体学生2016年初中毕业体育考试的成绩统计如表:
成绩(分)
35
39
42
44
45
48
50
人数(人)
2
5
6
6
8
7
6
根据表中的信息判断,下列结论中错误的是( ) 8题图
A.该班一共有40名同学 B.该班学生这次考试成绩的众数是45分
C.该班学生这次考试成绩的中位数是45分 D.该班学生这次考试成绩的平均数是45分
8.如图,AB是⊙O的直径,DB、DE分别切⊙O于点B、C,若∠ACE=25°,则∠D的度数是( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
9.土家传统建筑的窗户上常有一些精致花纹、小辰对土家传统建筑非常感兴趣,他观察发现窗格的花纹排列呈现有一定规律,如图.其中“O”代表的就是精致的花纹,第1个图有5个花纹,第2个图有8个花纹,第3个图有11个花纹…,请问第7个图的精致花纹有( )
A.26个 B.23个 C.20个 D.17个
10.一个水箱中有一个进水口和一个出水口,出水口和进水口在单位时间内的进、出水量固定不变,从某天的0点到8点,该水箱中蓄水量随时间的变化如图所示,则下列论断中正确的个数有( )
①0点到4点进水口和出水口都是开着;②每小时出水量为2;③每小时进水量比出水量多2;④7点时的蓄水量为5.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
11.若不等式组无解,则a的取值范围是( )
A.a B.a≤12 C.a< D.a<12 10题图
12.如图,Rt△ADC在平面直角坐标系下如图放置,斜边AC交x轴于点E,
过点A的双曲线y=(m≠0)交Rt△ADC斜边AC的中点B,连接BD,过
点C作双曲线y=(m≠0).若BD=3BE,A的坐标为(1,8),则m=( )
A. ﹣8 B.﹣18 C.﹣28 D.﹣48
12题图 15题图 16题图 18题图
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
13.2016年3月30日国务院通过了《成渝城市群发展规划》,成渝城市群包括重庆全城和四川成都、德阳、绵阳乐山、眉山、资阳、内江、宜宾、泸州、自贡等11个城市及所辖73个县(市)、1636个建制镇、幅员面积183000平方公里,将183000用科学记数法表示为 .
14.﹣12016+16÷(﹣2)3×|﹣3|= .
15.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,AD=3,AB=7,BC=6,则FC的长为 .
16.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=8,BD=6,以AB为直径作一个半圆,则图中阴影部分的面积为 .
17.已知一个口袋中装有六个完全相同的小球,小球上分别标有1,2,5,7,8,13六个数,搅匀后一次从中摸出一个小球,将小球上的数记为m,则使得一次函数y=﹣mx+10﹣m经过一、二、四象限且关于x的分式方程=3+的解为整数的概率是 .
18.在△ABC中,∠BAC=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点F,交AB于点E,P是AC延长线上一点,连接FP,将FP绕点F逆时针旋转2α,得到FK,连接CK,如果∠B=α(0°<α<90°),则= .
三、解答题(解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤,请将解答过程中写在答题卡中对应的位置上.)19.如图,四边形ABCD中,E点在AD上,∠BAE=∠BCE=90°,且BC=CE,AB=DE.
求证:△ABC≌△DEC.
20.居民区内的“广场舞”引起媒体关注,小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法,进行了一次抽样调查,把居民对“广场舞”的看法分为四个层次:A.非常赞同;B.赞同但要有时间限制;C.无所谓;D.不赞同.并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图.
请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)求本次被抽查的居民有多少人?
(2)将图1和图2补充完整;
(3)估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示
赞同(包括A层次和B层次)的大约有多少人.
21.计算:(﹣)÷.
22题图
22.如图,一次函数y=x+2的图象与x轴交于点B,与反比例函数y=(k≠0)的图象的一个交点为A(2,m).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)过点A作AC⊥x轴,垂足为点C,设点D在反比例函数图象上,且△DBC的面积等于6,请求出点D的坐标;
(3)请直接写出不等式x+2<成立的x取值范围.
23.鹅岭公司是重庆最早的私家园林,前身为礼圆,是国家级AAA旅游景区,圆内有一毗胜楼,登上高楼能欣赏到重庆的优美景色,周末小嘉同学游览鹅岭公司,如图,在A点处观察到毗胜楼楼底C的仰角为12°,楼顶D的仰角为13°,测得水平距离AE=1200m,BC的坡度i=8:15
(1)试计算毗胜楼的高度CD.(2)小嘉使用计步器记录自己每天走路的情况,已知她在平路上每分钟走的步数比斜坡上每分钟走的步数的两倍少50步,在平路上每一步步长都为0.5m,斜坡上每一步步长为0.51m,若她在A处打开计步器,沿A﹣B﹣C方向行驶,到达C时计步器上显示走平路和上斜坡的运动时间相同,则计步器上记录的平路每分钟走多少步?(参考数据:tan12°=0.2,tan13°=0.23)
24.古希腊的毕达哥拉斯学派由古希腊哲学家毕达哥斯拉所创立,毕达哥斯拉学派认为数是万物的本原,事物的性质是由某市数量关系决定的,如他们研究各种多边形数:
记第n个k边形数N(n,k)=n2+n(m≥1,k≥3,k,n都为整数)
如第1个三角形数N(1,3)=×12+×1=1; 第2个三角形数N(2,3)=×22+×2=3;
第3个三角形数N(3,4)=×32+×3=9; 第4个三角形数N(4,4)=×42+×4=16
(1)N(5,3)= ,N(6,5)= ;
(2)若N(m,6)比N(m+2,4)大10,求m的值;
(3)若记y=N(6,t)﹣N(t,5),试求出y的最大值.
25.现有两个具有一个公共顶点的等腰直角三角形△ADE和△ABC,其中∠ACB=∠AED=90°,且AC=BC,AE=DE,CF⊥AB于F,M为线段BD中点,连接CM,EM.
(1)如图1,当A,B,D在同一条直线上时,若AC=1,AE=2,求FM的长度;
(2)如图1,当A,B,D在同一条直线上时,求证:CM=EM;
(3)如图2,当A,B,D不在同一条直线上时,请探究CM,EM的数量关系和位置关系.
26.如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=﹣x2﹣x+交x轴于A,B两点,交y轴于点C,抛物线上一点D的横坐标为﹣5.
(1)求直线BD的解析式;
(2)点E是线段BD上的动点,过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当折线EF+BE最大时,在对称轴上找一点P,在y轴上找一点Q,连接QE、OP、PQ,求OP+PQ+QE的最小值;
(3)如图2,连接BC,把△OBC沿x轴翻折,翻折后的△OBC记为△OBC′,现将△OBC′沿着x轴平移,平移后△OBC′记为△O′B′C″,连接DO′、C″B,记C″B与x轴形成较小的夹角度数为α,当∠O′DB=α时,求出此时C″的坐标.
2016年重庆市巴蜀中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共12个小题,每小题4分,共48分)在每小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1.在下列数:+3、+(﹣2.1)、﹣、﹣π、0、﹣|﹣9|中,正数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】正数和负数.
【分析】根据负数和正数的定义即可求解.
【解答】解:+3是正数,
+(﹣2.1)=﹣2.1是负数,
﹣是负数,
﹣π是负数,
0既不是正数也不是负数,
﹣|﹣9|=﹣9是负数.
正数有:+3.
故选:A.
2.下列平面图形中,不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,结合选项选择正确答案.
【解答】解:A、不是轴对称图形,本选项正确;
B、是轴对称图形,本选项错误;
C、是轴对称图形,本选项错误;
D、是轴对称图形,本选项错误.
故选A.
3.计算(﹣2xy)2的结果是( )
A.4x2y2 B.4xy2 C.2x2y2 D.4x2y
【考点】幂的乘方与积的乘方.
【分析】直接利用积的乘方运算法则求出答案.
【解答】解:(﹣2xy)2=4x2y2.
故选:A.
4.下列调查中,适合采用普查方法的是( )
A.对全市中学生使用手机玩游戏的情况调查
B.对嘉陵江水质量情况的调查
C.对旅客上飞机前的安检
D.对某类烟花爆竹燃放安全情况调查
【考点】全面调查与抽样调查.
【分析】由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似.
【解答】解:A、对全市中学生使用手机玩游戏的情况调查,调查范围广,适合抽样调查,故A错误;
B、对嘉陵江水质量情况的调查,无法普查,故B错误;
C、对旅客上飞机前的安检事关重大,必须普查,故C正确;
D、对某类烟花爆竹燃放安全情况调查,调查具有破坏性,适合抽样调查,故D错误;
故选:C.
5.如图,已知AB∥CD,DE⊥AC,垂足为E,∠A=130°,则∠D的度数是( )
A.20° B.40° C.50° D.70°
【考点】平行线的性质;直角三角形的性质.
【分析】根据平行线的性质求出∠C,求出∠DEC,根据三角形内角和定理求出即可.
【解答】解:∵AB∥CD,
∴∠A+∠C=180°,
∵∠A=130°,
∴∠C=50°,
∵DE⊥AC,
∴∠DEC=90°,
∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=40°,
故选B.
6.二元一次方程组的解是( )
A. B. C. D.
【考点】解二元一次方程组.
【分析】先用加减消元法求出x的值,再用代入消元法求出y的值即可.
【解答】解:,①+②得,4x=8,解得x=2,
把x=2代入②得,2×2﹣y=0,解得y=4,
故此方程组的解为:.
故选B.
7.某校九年级(1)班全体学生2016年初中毕业体育考试的成绩统计如表:
成绩(分)
35
39
42
44
45
48
50
人数(人)
2
5
6
6
8
7
6
根据表中的信息判断,下列结论中错误的是( )
A.该班一共有40名同学
B.该班学生这次考试成绩的众数是45分
C.该班学生这次考试成绩的中位数是45分
D.该班学生这次考试成绩的平均数是45分
【考点】众数;加权平均数;中位数.
【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解.
【解答】解:该班人数为:2+5+6+6+8+7+6=40,
得45分的人数最多,众数为45,
第20和21名同学的成绩的平均值为中位数,中位数为: =45,
平均数为: =44.425.
故错误的为D.
故选D.
8.如图,AB是⊙O的直径,DB、DE分别切⊙O于点B、C,若∠ACE=25°,则∠D的度数是( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
【考点】弦切角定理;圆周角定理;切线的性质.
【分析】连接BC,由弦切角定理得∠ACE=∠ABC,再由切线的性质求得∠DBC,最后由切线长定理求得∠D的度数.
【解答】
解:连接BC,
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C,
∴∠ACE=∠ABC,BD=DC,
∵∠ACE=25°,
∴∠ABC=25°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠DBC=∠DCB=90°﹣25°=65°,
∴∠D=50°.
故选A.
9.土家传统建筑的窗户上常有一些精致花纹、小辰对土家传统建筑非常感兴趣,他观察发现窗格的花纹排列呈现有一定规律,如图.其中“O”代表的就是精致的花纹,第1个图有5个花纹,第2个图有8个花纹,第3个图有11个花纹…,请问第7个图的精致花纹有( )
A.26个 B.23个 C.20个 D.17个
【考点】规律型:图形的变化类.
【分析】观察图形可知从第二个图案开始,第加一扇窗户,就增加3个花纹.照此规律便可计算出第n个图形中花纹的个数,继而可得第7个图中花纹的个数.
【解答】解:∵第一个图中有3+2=5个花纹;
第二个图中有2×3+2=8个花纹;
第三个图中有3×3+2=11个花纹;
…
∴第n个中有花纹(3n+2)个.
则第7个图中花纹的个数为3×7+2=23.
故选:B.
10.一个水箱中有一个进水口和一个出水口,出水口和进水口在单位时间内的进、出水量固定不变,从某天的0点到8点,该水箱中蓄水量随时间的变化如图所示,则下列论断中正确的个数有( )
①0点到4点进水口和出水口都是开着;
②每小时出水量为2;
③每小时进水量比出水量多2;
④在7点时的蓄水量为5.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【考点】函数的图象.
【分析】首先根据图形读出正确的信息:综合0~4进水量为4与6~8进水量为4可知:①0~4时两个水口全都打开,②6~8时进水口打开,同时可以得出每小时的进水量;6~8时,匀速进水,所以可知7点时的蓄水量为3+2=5.
【解答】解:从图中信息得:0~4时,4个小时,水量增加4个单位,
5~6时,1个小时,水量减少1个单位,可知,每小时出水量为1,所以②错误;
6~8时,2个小时,水量增加4个单位,可知每小时进水量为2;
所以:0~4时,进水口和出水口都是开着;所以①正确;
③每小时进水量比出水量多1,所以③错误;
④6点时的蓄水量为3,且每小时进水量为2,所以7点时的蓄水量为5,所以④正确;
所以有2个正确的,故选C.
11.若不等式组无解,则a的取值范围是( )
A.a B.a≤12 C.a< D.a<12
【考点】不等式的解集.
【分析】不等式组中两不等式整理求出解集,根据不等式组无解,确定出a的范围即可.
【解答】解:不等式组整理得:,
由不等式组无解,得到5﹣a≥﹣,即10﹣2a≥﹣7,
解得:a≤,
故选:A.
12.如图,Rt△ADC在平面直角坐标系下如图放置,斜边AC交x轴于点E,过点A的双曲线y=(m≠0)交Rt△ADC斜边AC的中点B,连接BD,过点C作双曲线y=(m≠0).若BD=3BE,A的坐标为(1,8),则m=( )
A.﹣8 B.﹣18 C.﹣28 D.﹣48
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】过B作BF∥CD,交AD于F,设AD与x轴交于点G.根据直角三角形的性质以及三角形中位线定理得出BD=AB=BC,F为AD的中点,CD=2BF.利用平行线分线段成比例定理得出==
,求出FG=2,F(1,2),D(1,﹣4).由过点A(1,8)的双曲线y=(m≠0)也经过点B,得出B(4,2),BF=4﹣1=3,那么CD=2BF=6,再求出C(7,﹣4),根据待定系数法求出m的值.
【解答】解:如图,过B作BF∥CD,交AD于F,设AD与x轴交于点G.
∵Rt△ADC斜边AC的中点B,
∴BD=AB=BC,F为AD的中点,CD=2BF.
∵BD=3BE,A的坐标为(1,8),
∴AB=3BE,
∴==, =,
∴FG=2,
∴F(1,2),
∴AF=8﹣2=6,
∵DF=AF=6,
∴D(1,﹣4).
∵B点纵坐标与F点纵坐标相同为2,过点A(1,8)的双曲线y=(m≠0)也经过点B,
∴k=1×8=8,B点横坐标为8÷2=4,
∴B(4,2),
∴BF=4﹣1=3,
∴CD=2BF=6,
∵D(1,﹣4),
∴C(7,﹣4).
∵双曲线y=(m≠0)过点C,
∴m=7×(﹣4)=﹣28.
故选C.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
13.2016年3月30日国务院通过了《成渝城市群发展规划》,成渝城市群包括重庆全城和四川成都、德阳、绵阳乐山、眉山、资阳、内江、宜宾、泸州、自贡等11个城市及所辖73个县(市)、1636个建制镇、幅员面积183000平方公里,将183000用科学记数法表示为 1.83×105 .
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将183000用科学记数法表示为1.83×105,
故答案为:1.83×105.
14.﹣12016+16÷(﹣2)3×|﹣3|= ﹣7 .
【考点】有理数的混合运算.
【分析】原式先计算乘方及绝对值运算,再计算乘除运算,最后算加减运算即可得到结果.
【解答】解:原式=﹣1﹣6=﹣7,
故答案为:﹣7
15.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,AD=3,AB=7,BC=6,则FC的长为 .
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】根据平行四边形的判定定理和性质定理得到EF=BD=4,根据平行线分线段成比例定理列出比例式,计算即可.
【解答】解:∵AD=3,AB=7,
∴BD=4,
∵DE∥BC,EF∥AB,
∴四边形BDEF是平行四边形,
∴EF=BD=4,
∵EF∥AB,
∴,即,
解得:FC=;
故答案为:.
16.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=8,BD=6,以AB为直径作一个半圆,则图中阴影部分的面积为 .
【考点】扇形面积的计算;菱形的性质.
【分析】首先根据菱形的性质,求出AO、BO的值是多少,再根据勾股定理,求出AB的值是多少;然后根据圆的面积公式,求出以AB为直径的半圆的面积,再用它减去三角形ABO的面积,求出图中阴影部分的面积为多少即可.
【解答】解:∵AC=8,BD=6,AC⊥BD,
∴AB=
=
=
=5
∴图中阴影部分的面积为:
π××﹣(8÷2)×(6÷2)÷2
=π×﹣4×3÷2
=
故答案为:.
17.已知一个口袋中装有六个完全相同的小球,小球上分别标有1,2,5,7,8,13六个数,搅匀后一次从中摸出一个小球,将小球上的数记为m,则使得一次函数y=﹣mx+10﹣m经过一、二、四象限且关于x的分式方程=3+的解为整数的概率是 .
【考点】概率公式;分式方程的解;一次函数图象与系数的关系.
【分析】首先求得使得一次函数y=﹣mx+10﹣m经过一、二、四象限且关于x的分式方程=3+的解为整数的数,然后直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:∵使得一次函数y=﹣mx+10﹣m经过一、二、四象限,
∴﹣m<0,10﹣m>0,
∴0<m<10,
∴符合条件的有:1,2,5,7,8,
∵mx=3(x﹣8)+8x,
解得:x=,
∵x≠8,
∴11﹣m≠3,
∴m≠8,
∵解为整数,
∴m=5,7,﹣13,
∴使得一次函数y=﹣mx+10﹣m经过一、二、四象限且关于x的分式方程=3+的解为整数的有5、7,
∴使得一次函数y=﹣mx+10﹣m经过一、二、四象限且关于x的分式方程=3+的解为整数的概率是: =.
故答案为:.
18.在△ABC中,∠BAC=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点F,交AB于点E,P是AC延长线上一点,连接FP,将FP绕点F逆时针旋转2α,得到FK,连接CK,如果∠B=α(0°<α<90°),则=2.
【考点】旋转的性质;线段垂直平分线的性质;解直角三角形.
【分析】连接AF,由直角三角形的性质得到BF=CF=AF,根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAF,于是得到∠AFC=2∠B=2α通过三角形全等得到AP=CK,求得CK﹣CP=AC,根据三角函数的定义得到cosα×EF=
×EF=,过F作FD⊥AB于D,推出FD=cosα×EF根据三角形的中位线的性质得到DF=AC,即可得到结论
【解答】解:如图,
连接AF,
∵EF是BC的垂直平分线,∠BAC=90°,
∴BF=CF=AF,
∴∠B=∠BAF,
∴∠AFC=2∠B=2α,
∴∠AFP=∠KFC,
∵FP=CK,
在△AFP与△CFK中,
∴△AFP≌△CFK,
∴AP=CK,
∴CK﹣CP=AC,
过F作FD⊥AB于D,
∴FD=cosα×EF,
∵F是BC的中点,AB⊥AC,
∴DF为△ABC的中位线,
∴DF∥AC,DF=AC,
∴=2.
故答案为:2.
三、解答题(本大题共3个小题,共24分)解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤,请将解答过程中写在答题卡中对应的位置上.
19.如图,四边形ABCD中,E点在AD上,∠BAE=∠BCE=90°,且BC=CE,AB=DE.
求证:△ABC≌△DEC.
【考点】全等三角形的判定.
【分析】先根据四边形的内角和定理得到∠B+∠AEC=180°,而∠DEC+∠AEC=180°,则∠B=∠DEC,然后根据“SAS”可得到△ABC≌△DEC.
【解答】证明:∵∠BAE=∠BCE=90°,
∴∠B+∠AEC=180°,
而∠DEC+∠AEC=180°,
∴∠B=∠DEC,
在△ABC和△DEC中,
,
∴△ABC≌△DEC(SAS).
20.居民区内的“广场舞”引起媒体关注,小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法,进行了一次抽样调查,把居民对“广场舞”的看法分为四个层次:A.非常赞同;B.赞同但要有时间限制;C.无所谓;D.不赞同.并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图.
请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)求本次被抽查的居民有多少人?
(2)将图1和图2补充完整;
(3)估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同(包括A层次和B层次)的大约有多少人.
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)由被调查人数=A层次的人数÷A层次人数占被调查人数的百分比,计算可得;
(2)根据D层次人数÷被调查总人数=D层次百分比,用1减去其它层次百分比可得B层次百分比,将B、C两层次百分比分别乘以被调查总人数可得B、C层次的人数,补全图形;
(3)用A、B两层次百分比之和乘以总人数4000可得.
【解答】解:(1)∵90÷30%=300(人),
∴本次被抽查的居民有300人.
(2)∵D所占的百分比:30÷300=10%,
∴B所占的百分比:1﹣20%﹣30%﹣10%=40%,
∴B对应的人数:300×40%=120(人),C对应的人数:300×20%=60(人),
补全统计图,如图所示:
(3)∵4000×(30%+40%)=2800(人),
∴估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同(包括A层次和B层次)的大约有2800人.
21.计算:
(1)(2x﹣y)2+2x(2y﹣x)+(x﹣y)(x+y)
(2)(﹣)÷.
【考点】分式的混合运算;整式的混合运算.
【分析】(1)根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则展开化简即可.
(2)先括号内通分,除法转化为乘法,再约分化简即可.
【解答】解:(1)原式=4x2﹣4xy+y2+4xy﹣2x2+x2﹣y2=3x2.
(2)原式=•=﹣.
四、解答题(本大题共3个小题,共30分)解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤,请将解答过程中写在答题卡中对应的位置上.
22.如图,一次函数y=x+2的图象与x轴交于点B,与反比例函数y=(k≠0)的图象的一个交点为A(2,m).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)过点A作AC⊥x轴,垂足为点C,设点D在反比例函数图象上,且△DBC的面积等于6,请求出点D的坐标;
(3)请直接写出不等式x+2<成立的x取值范围.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)先将点A(2,m)一次函数y=x+2,求得m,在把A(2,3)代入y=(k≠0)中,即可得到结论;
(2)可求得点B的坐标,由S△DBC=6,列方程即可得到结论;
(3)解方程组即可得到结论.
【解答】解:(1)∵A(2,m)在一次函数y=x+2的图象上,
∴m=×2+2=3,
∴A(2,3),
∵一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象的一个交点为A(2,3),
∴k=6,
∴反比例函数的表达式为y=;
(2)设D(m,),
对于一次函数y=x+2,令y=0,则x+2=0,
∴x=﹣4,
∴B(﹣4,0),
∵AC⊥x轴,
∴C(2,0),
∴BC=6,
∵△DBC的面积等于6,
∴×6×||=6,
∴m=±3,
∴D(3,2),或(﹣3,﹣2);
(3)解得,,
∴一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交点为(﹣6,1),(2,3),
∴不等式x+2<成立的x取值范围是x<﹣6,或0<x<2.
23.鹅岭公司是重庆最早的私家园林,前身为礼圆,是国家级AAA旅游景区,圆内有一毗胜楼,登上高楼能欣赏到重庆的优美景色,周末小嘉同学游览鹅岭公司,如图,在A点处观察到毗胜楼楼底C的仰角为12°,楼顶D的仰角为13°,测得水平距离AE=1200m,BC的坡度i=8:15
(1)试计算毗胜楼的高度CD.(2)小嘉使用计步器记录自己每天走路的情况,已知她在平路上每分钟走的步数比斜坡上每分钟走的步数的两倍少50步,在平路上每一步步长都为0.5m,斜坡上每一步步长为0.51m,若她在A处打开计步器,沿A﹣B﹣C方向行驶,到达C时计步器上显示走平路和上斜坡的运动时间相同,则计步器上记录的平路每分钟走多少步?(参考数据:tan12°=0.2,tan13°=0.23)
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【分析】(1)在RT△ADE中,DE=AE•tan∠DAE,在RT△ACE中,CE=AE•tan∠CAE,继而可得DC的长;
(2)根据BC的坡度i及CE求得BE的长,继而可得AB及BC的长,设斜坡上每分钟走x步,则平路上每分钟走(2x﹣50)步,根据:平路运动时间=斜坡的运动时间,列分式方程求解可得.
【解答】解:(1)∵∠DAE=13°,∠CAE=12°,AE=1200,
∴在RT△ADE中,DE=AE•tan∠DAE=1200×0.23=276m,
在RT△ACE中,CE=AE•tan∠CAE=1200×0.2=240m,
∴DC=DE﹣CE=276﹣240=36(m),
答:毗胜楼的高度CD为36m.
(2)∵BC的坡度i=8:15,
∴BE==240×=450m,
∴AB=AE﹣BE=1200﹣450=750m,
BC==510m,
设斜坡上每分钟走x步,则平路上每分钟走(2x﹣50)步,
根据题意,得: =,
解得:x=100,
经检验x=100是原分式方程的解,
∴平路上每分钟走150步,
答:计步器上记录的平路每分钟走150步.
24.古希腊的毕达哥拉斯学派由古希腊哲学家毕达哥斯拉所创立,毕达哥斯拉学派认为数是万物的本原,事物的性质是由某市数量关系决定的,如他们研究各种多边形数:
记第n个k边形数N(n,k)=n2+n(m≥1,k≥3,k,n都为整数)
如第1个三角形数N(1,3)=×12+×1=1;
第2个三角形数N(2,3)=×22+×2=3;
第3个三角形数N(3,4)=×32+×3=9;
第4个三角形数N(4,4)=×42+×4=16
(1)N(5,3)= 15 ,N(6,5)= 51 ;
(2)若N(m,6)比N(m+2,4)大10,求m的值;
(3)若记y=N(6,t)﹣N(t,5),试求出y的最大值.
【考点】二次函数的应用;因式分解的应用.
【分析】(1)根据N(n,k)的定义,求出N(5,3),N(6,5)的值即可.
(2)根据N(m,6)比N(m+2,4)大10,列出方程即可解决问题.
(3)首先根据y=N(6,t)﹣N(t,5),构建二次函数,然后根据二次函数的性质即可解决问题.
【解答】解:(1)N(5,3)=×52+×5
=12.5+2.5
=15,
N(6,5)=×62+×6
=54﹣3
=51,
故答案为15,51.
(2)∵N(m,6)比N(m+2,4)大10,
∴×m2+×m﹣×(m+2)2﹣×(m+2)=10,
∴2m2﹣m﹣(m+2)2=10,
整理,可得
m2﹣5m﹣14=0,
解得m=7或m=﹣2.
(3)y=N(6,t)﹣N(t,5)
=×62+×6﹣×t2﹣×t
=18t﹣36+12﹣3t﹣1.5t2+0.5t
=﹣1.5(t﹣)2+,
∵r≥1,t≥3,k,n都为整数,﹣1.5<0,
∴t=5时,y有最大值,最大值为16,
∴y的最大值为16.
五、解答题(本大题共2个小题,每小题12分,共24分)解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤,请将解答过程中写在答题卡中对应的位置上.
25.现有两个具有一个公共顶点的等腰直角三角形△ADE和△ABC,其中∠ACB=∠AED=90°,且AC=BC,AE=DE,CF⊥AB于F,M为线段BD中点,连接CM,EM.
(1)如图1,当A,B,D在同一条直线上时,若AC=1,AE=2,求FM的长度;
(2)如图1,当A,B,D在同一条直线上时,求证:CM=EM;
(3)如图2,当A,B,D不在同一条直线上时,请探究CM,EM的数量关系和位置关系.
【考点】三角形综合题.
【分析】(1)利用勾股定理可分别求得AB和AD的长,再由中点的定义可求得BM和BF的长,从而可求得FM;
(2)过点E作EN⊥BD交点N,由中点的定义可求得FN=BM,从而可求得CF=MN,同理可得到EN=FM,则可证明△CFM≌△MNE,可证得结论;
(3)取AD的中点H,连接EH、MH、MF,利用三角形的中位线可得MF=AD=EH,HM=AB=CF,可证明△CFM≌△MHE,再利用平行线的性质可证得∠CME=∠CFA=90°,可得出CM和EM的数量关系和位置关系.
【解答】解:
(1)∵AC=BC=1,AE=AD=2,∠ACB=∠AED=90°,
∴AB==,AD==2,
∴BD=AB+AD+3,
∵CF⊥AB,
∴F为AB中点,且M为BD中点,
∴BF=AB=,BM=BD=,
∴FM=BM﹣BF=﹣=;
(2)如图1,过E作EN⊥BD,交BD于点N,
∵F为AB中点,N为AD中点,
∴FN=FA+AN=(AB+AD)=BD,
∵M为BD中点,
∴BM=BD,
∴FN=BM,即BF+FM=FM+MN,
∴BF=MN,
又CF=BF,
∴CF=MN,
同理可得EN=FM,且∠CFM=∠MNE=90°,
∴在△CFM和△MNE中
∴△CFM≌△MNE(SAS),
∴CM=EM;
(3)如图2,过E作EH⊥AD于点H,则H为AD中点,设AB与CM交于点O,
∵M为BD中点,
∴MH∥AB且MH=AB,
∵CF⊥AB,
∴F为AB中点,
∴AF=CF=AB,
∴CF=MH,
同理可得MF=HE,
∵MH∥AB,MF∥AD,
∴∠MHA+∠BAH=∠MFA+∠BAH=180°,
∴∠MHA=∠MFA,
∵CF⊥AB,EH⊥AD,
∴∠CFA=∠EHA=90°,
∴∠CFM=∠MHE,
在△CFM和△MHE中
∴△CFM≌△MHE(SAS),
∴CM=EM,∠1=∠2,
∵MH∥AB,
∴∠BOM=∠OMH,即∠2+∠CFA=∠1+∠CME,
∴∠CME=∠CFA=90°,
∴CM⊥EM,
综上可知CE=EM且CM⊥EM.
26.如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=﹣x2﹣x+交x轴于A,B两点,交y轴于点C,抛物线上一点D的横坐标为﹣5.
(1)求直线BD的解析式;
(2)点E是线段BD上的动点,过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当折线EF+BE最大时,在对称轴上找一点P,在y轴上找一点Q,连接QE、OP、PQ,求OP+PQ+QE的最小值;
(3)如图2,连接BC,把△OBC沿x轴翻折,翻折后的△OBC记为△OBC′,现将△OBC′沿着x轴平移,平移后△OBC′记为△O′B′C″,连接DO′、C″B,记C″B与x轴形成较小的夹角度数为α,当∠O′DB=α时,求出此时C″的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)先求出B、D两点坐标,再利用待定系数法即可解决问题.
(2)如图1中,设BD交y轴于K,则K(0,﹣),设E(m, m﹣),则F(m,﹣m2﹣m+),构建二次函数确定m的值,求出点E坐标,如图2中,作点E关于y轴的对称点N,EM⊥AB于M,连接MN,交对称轴于P,交y轴于Q,当M、N、P、Q共线时,OP+PQ+QE最小,最小值为MN,
(3)如图3中,作O′M⊥BD于M,设O′B=a,则O′M=a,BM=a,DM=BD﹣BM=4﹣a,由△O′MD∽△C″O′B,得=,列出方程即可解决问题.
【解答】解:(1)令y=0,则=﹣x2﹣x+=0,解得x=﹣4或1,
∴A(﹣4,0),B(1,0),
令x=0,则y=,
∴C(0,),
当x=﹣5时,y=﹣+5+=﹣2,
∴点D坐标(﹣5,﹣2),
设直线BD解析式为y=kx+b则有,解得,
∴直线BD的解析式为y=x﹣.
(2)如图1中,设BD交y轴于K,则K(0,﹣),设E(m, m﹣),则F(m,﹣m2﹣m+),
∴tan∠ABD=,
∴∠ABD=30°,
∴EF+EB=﹣m2﹣m+﹣(m﹣)+2(﹣m)=﹣(m+3)2+,
∴m=﹣3时,EF+EB的值最大,此时点E坐标(﹣3,﹣),
如图2中,作点E关于y轴的对称点N,EM⊥AB于M,连接MN,交对称轴于P,交y轴于Q,
∵M、O关于对称轴对称,∴OP=PM,
E、N关于y轴对称,∴QE=QN,
∴OP+PQ+QE=PM+PQ+QN,
∴当M、N、P、Q共线时,OP+PQ+QE最小,最小值为MN,
在Rt△MNE中,MN===.
∴OP+PQ+QE的最小值为.
(3)如图3中,作O′M⊥BD于M,设O′B=a,则O′M=a,BM=a,DM=BD﹣BM=4﹣a,
∵∠O′DM=∠C″BO′,∠O′MD=∠BO′C″=90°,
∴△O′MD∽△C″O′B,
∴=,
∴=,
∴a2+4a﹣32=0,
解得a=4或﹣8(舍弃),
∴C″坐标为(﹣3,﹣).
2017年3月15日