备考志鸿优化设计中考数学总复习北师大版基础讲练实数 6页

第1讲　实数 考纲要求 备考指津 ‎1.了解有理数、无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．‎ ‎2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．‎ ‎3．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根．‎ ‎4．了解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数．在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值．‎ ‎5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小.‎ ‎　　实数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题的形式出现，实数的运算主要是由二次根式、三角函数、幂等组成的混合算式的计算，常以计算或化简题型出现．另外，命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力．‎ 考点一　实数的分类 ‎1．按实数的定义分类 ‎2．按正负分类 实数 考点二　实数的有关概念 ‎1．数轴 实数与数轴上的点是一一对应的．‎ ‎2．相反数 ‎(1)实数a的相反数是－a，零的相反数是零；‎ ‎(2)a与b互为相反数a＋b＝0.‎ ‎3．倒数 ‎(1)实数a的倒数是(a≠0)；(2)a与b互为倒数ab＝1.‎ ‎4．绝对值 ‎(1)数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|.‎ ‎(2)|a|＝ 考点三　平方根、算术平方根、立方根 ‎1．平方根 ‎(1)定义：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根(也叫二次方根)，数a的平方根记作±(a≥0)．‎ ‎(2)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．‎ ‎2．算术平方根 ‎(1)如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a 的算术平方根记作.零的算术平方根是零，即＝0.‎ ‎(2)算术平方根都是非负数，即≥0(a≥0)．‎ ‎(3)()2＝a(a≥0)，＝|a|.‎ ‎(4)＝·(a≥0，b≥0)；＝(a≥0，b＞0)．‎ ‎3．立方根 ‎(1)定义：如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根(也叫三次方根)，数a的立方根记作.‎ ‎(2)任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同．‎ 考点四　科学记数法、近似数、有效数字 ‎1．科学记数法 把一个数N表示成a×10n(1≤a＜10，n是整数)的形式叫科学记数法．当N≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．‎ ‎2．近似数与有效数字 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．‎ 考点五　非负数的性质 ‎1．常见的三种非负数：|a|≥0，a2≥0，≥0(a≥0)．‎ ‎2．非负数的性质：‎ ‎(1)非负数有最小值是零；‎ ‎(2)任意几个非负数的和仍为非负数；‎ ‎(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.‎ 考点六　实数的运算 ‎1．基本运算：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方．‎ ‎2．基本法则：加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方的符号法则．‎ ‎3．运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律．‎ ‎4．运算顺序：(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从左至右的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．‎ ‎5．零指数幂和负整数指数幂 ‎(1)零指数幂的意义为：a0＝1(a≠0)；‎ ‎(2)负整数指数幂的意义为：a－p＝(a≠0，p为整数)．‎ 考点七　实数的大小比较 ‎1．在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．‎ ‎2．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．‎ ‎3．取差比较法 ‎(1)a－b＞‎0‎a＞b；(2)a－b＝‎0‎a＝b；(3)a－b＜‎0‎a＜B．‎ ‎4．倒数比较法 若＞，a＞0，b＞0，则a＜B．‎ ‎5．平方法：因为由a＞b＞0，可得＞，所以我们可以把与的大小问题转化成比较a和b的大小问题．‎ ‎1．在－1,0,1,2这四个数中，既不是正数也不是负数的是(　　)．‎ A．－1B．‎0‎C．1D．2‎ ‎2．－2的倒数是(　　)．‎ A．－B．C．－2D．2‎ ‎3．|－3|的相反数是(　　)．‎ A．3B．－‎3‎C．D．－ ‎4．下列运算正确的是(　　)．‎ A．－|－3|＝3B．－1＝－‎3‎C．＝±3D．＝－3‎ ‎5．第26届深圳大运会将在‎2011年8月12日拉开帷幕，据悉，来自海内外各种渠道的赛会志愿者报名人数为85 000人，远远超过需要的2.2万人．报名人数用科学记数法表示为__________．‎ ‎6．已知一粒大米的质量约为0.000 021千克，这个数用科学记数法表示为(　　)．‎ A．0.21×10－4B．2.1×10－‎4‎C．2.1×10－5D．21×10－6‎ ‎7．若x，y为实数，且|x＋2|＋＝0，则2 011的值为(　　)．‎ A．1B．－‎1‎C．2D．－2‎ ‎8．计算下列各题：‎ ‎(1)(5－1)0＋－1＋×3－|－2|－tan 60°.‎ ‎(2)－22×5－(－2)3÷4＋＋sin 45°.‎ ‎9．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是(　　)．‎ A．a＋b＞0B．ab＞‎0‎C．a－b＞0D．|a|－|b|＞0‎ 一、实数的分类 ‎【例1】 下列各数：，0，，0.2，cos 60°，，0.300 03…，1－中无理数个数为(　　)．‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：中π是无理数，所以是无理数；0是有理数；＝3是有理数；0.2是无限循环小数，属于有理数；cos 60°＝，是有理数；是有理数；0.300 03…是无理数；1－中是无理数，所以1－是无理数．‎ 答案：B 有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：(1)含有π的式子；(2)根号内含开方开不尽的式子；(3)无限且不循环的小数；(4)某些三角函数式．‎ 二、相反数、倒数、绝对值与数轴 ‎【例2】 (1)－的倒数是__________；‎ ‎(2)(－3)2的相反数是(　　)．‎ A．6 B．－‎6 C．9 D．－9‎ ‎(3)实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|＋＝__________.‎ 解析：(1)－的倒数为＝－5；‎ ‎(2)因为(－3)2＝9,9的相反数是－9，故选D；‎ ‎(3)本题考查了绝对值，平方根及数轴的有关知识，由图可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，‎ ‎∴a＋b＜0，b－a＞0，原式＝－a－b＋b－a＝－‎2A．‎ 答案：(1)－5　(2)D　(3)－‎‎2a 相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数)；倒数是它本身的数是±1.‎ 三、平方根、算术平方根与立方根 ‎【例3】 (1)(－1.44)2的算术平方根为________；的平方根为________；＝________；‎ ‎(2)(－2)－3的立方根是________；立方等于－216的数是________；()3＝________.‎ 解析：(1)(－1.44)2的算术平方根，即＝|－1.44|＝1.44；＝9,9的平方根是±3；＝0.2；‎ ‎(2)∵(－2)－3＝，‎ ‎∴(－2)－3的立方根是＝－；‎ ‎∵(－6)3＝－216，∴＝－6；‎ ‎()3＝()3＝53＝125.‎ 答案：(1)1.44　±3　0.2　(2)－　－6　125‎ ‎1．对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即中的a≥0；②算术平方根本身是非负数，即≥0.‎ ‎2．立方根中，()3＝a，＝A．‎ 四、科学记数法、近似数、有效数字 ‎【例4】 第十一届全运会将在美丽的泉城济南召开．奥体中心由体育场，体育馆、游泳馆、网球馆，综合服务楼三组建筑组成，呈“三足鼎立”“东荷西柳”布局．建筑面积约为359 ‎800平方米，请用科学记数法表示建筑面积是(保留三个有效数字)(　　)．‎ A．35.9×105平方米 B．3.60×105平方米C．3.59×105平方米 D．35.9×104平方米 解析：359 800＝3.598 00×105，要保留3个有效数字，需对从左边起第四个数字8进行四舍五入，所以3.598 00×105≈3.60×105.‎ 答案：B ‎1．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑；‎ ‎2．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即a)的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．‎ 五、非负数性质的应用 ‎【例5】 若实数x，y满足＋(3－y)2＝0，则代数式xy－x2的值为__________．‎ 解析：因为≥0，(3－y)2≥0，‎ 而＋(3－y)2＝0，‎ 所以x－2＝0,3－y＝0，解得x＝2，y＝3，‎ 则xy－x2＝2×3－22＝2.‎ 答案：2‎ 常见的非负数的形式有三种：|a|，(a≥0)，a2，若它们的和为零，则每一个式子都为0.‎ 六、实数的运算 ‎【例6】 计算：(1)4cos 30°sin 60°＋(－2)－1－(－2 008)0；‎ ‎(2)－1－|－2＋tan 45°|＋(－1.41)0.‎ 解：(1)原式＝4××－－1＝3－－1＝.‎ ‎(2)原式＝3－|－2＋|＋1＝3－(2－)＋1＝2＋.‎ 提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．‎ 七、实数的大小比较 ‎【例7】 比较2.5，－3，的大小，正确的是(　　)．‎ A．－3＜2.5＜B．2.5＜－3＜C．－3＜＜2.5D．＜2.5＜－3‎ 解析：由负数小于正数可得－3最小，故只要比较2.5和的大小即可，由2.52＜()2，得2.5＜，‎ 所以－3＜2.5＜.‎ 答案：A 实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任何两数的大小，而“商值比较法”只适用于比较两个正数大小，还有“平方法”“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．‎ ‎1．(2012江苏南京)下列四个数中，是负数的是(　　)．‎ A．|－2| B．(－2)‎2 C．－ D． ‎2．(2012北京)首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于‎2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为(　　)．‎ A．6.011×109 B．60.11×‎109‎C．6.011×1010 D．0.601 1×1011‎ ‎3．(2012山东烟台)的值是(　　)．‎ A．4 B．‎2 C．－2 D．±2‎ ‎4．(2011安徽)设a＝－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是(　　)．‎ A．1和2 B．2和‎3‎C．3和4 D．4和5‎ ‎5．(2011山东济宁)下列各式计算正确的是(　　)．‎ A．＋＝B．2＋＝2 C．3－＝2D．＝－ ‎6．(2011四川达州)若＋b2＋2b＋1＝0，则a2＋－|b|＝__________.‎ ‎1．若|a|＝3，则a的值是(　　)．‎ A．－3 B．‎3 C． D．±3‎ ‎2．下列各组数中，互为相反数的是(　　)．‎ A．|－5|与－ B．－5与C．|－5|与 D．|－5|与－ ‎3．在－3，－，－1,0这四个实数中，最大的是(　　)．‎ A．－3 B．－ C．－1 D．0‎ ‎4．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为1和，若点A关于点B的对称点为C，则点C所表示的实数是(　　)．‎ A．2－1 B．1＋ C．2＋ D．2＋1‎ ‎5.的倒数是________，－的零次幂是________，|3.142－π|＝________，(－2)2的平方根是________．‎ ‎6．若将三个数－，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．‎ ‎7．定义a*b＝a2－b，则(1]．‎ ‎8．如果某个数的平方根是a＋3和‎2a－15，那么这个数等于__________．‎ ‎9．若实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|－|a－b|－|－b|.‎ 参考答案 基础自主导学 自主测试 ‎1．B2.A3.B4.D‎5.8.5‎×104 6．C7.B ‎8．解：(1)原式＝1＋2＋－2－＝1.‎ ‎(2)原式＝－20＋2＋3＋2×＝－13.‎ ‎9．C由数轴可知：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，故选C.‎ 知能优化训练 中考回顾 ‎1．C2.C3.B4.C5.C6.6‎ 模拟预测 ‎1．D2.D3.D4.A 5.13.142－π±26.7.－2 8．49‎ ‎9．解：如题图，a＜0，b＜0，|a|＞|b|，‎ ‎∴a＋b＜0，a－b＜0，－b＞0.‎ ‎∴|a＋b|－|a－b|－|－b|＝－(a＋b)－[－(a－b)]－(－b)＝－b.‎