中考数学压轴题大集合二 46页

近年中考数学压轴题大集合（二）‎ ‎17.如图，在平面直角坐标系内，⊙C与y轴相切于D 点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限.‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）连结BC并延长交⊙C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得 AB2＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由； ‎ ‎（3）在直线BE上是否存在点Q，使得AQ2＝BQ·EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由.‎ ‎[解] （1） C（5，-4）； ‎ ‎（2）能。连结AE ，∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE=90°. ‎ 在△ABE与△PBA中，AB2＝BP· BE , 即, 又∠ABE=∠PBA,‎ ‎∴△ABE∽△PBA . ‎ ‎∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE . ‎ ‎（3）分析：假设在直线EB上存在点Q，使AQ2＝BQ· EQ. Q点位置有三种情况：‎ ‎①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C即点Q；‎ ‎②若无两条等长，且点Q在线段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足；‎ ‎③若无两条等长，且当点Q在线段EB外，由条件想到切割线定理，知QA切⊙C于点A.设Q(),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. ‎ 解题过程：‎ ‎① 当点Q1与C重合时，AQ1=Q1B=Q1E, 显然有AQ12＝BQ1· EQ1 ,‎ ‎∴Q1(5, -4)符合题意； ‎ ‎② 当Q2点在线段EB上， ∵△ABE中，∠BAE=90°‎ ‎∴点Q2为AQ2在BE上的垂足， ‎ ‎∴AQ2== 4.8（或）.‎ ‎∴Q2点的横坐标是2+ AQ2·∠BAQ2= 2+3.84=5.84,‎ 又由AQ2·∠BAQ2=2.88,‎ ‎∴点Q2（5.84，-2.88）, ‎ ‎③方法一：若符合题意的点Q3在线段EB外,‎ 则可得点Q3为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点.‎ 由Rt△Q3BR∽Rt△EBA，△EBA的三边长分别为6、8、10,‎ 故不妨设BR=3t，RQ3=4t，BQ3=5t, ‎ 由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得， ‎ 即得t=，‎ ‎〖注:此处也可由列得方程； 或由AQ32 = Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等〗‎ ‎∴Q3点的横坐标为8+3t=， Q3点的纵坐标为，‎ 即Q3（，）. ‎ 方法二：如上所设与添辅助线, 直线 BE过B(8, 0), C(5, -4), ‎ ‎∴直线BE的解析式是 . ‎ 设Q3（，）,过点Q3作Q3R⊥x轴于点R, ‎ ‎∵易证∠Q3AR =∠AEB得 Rt△AQ3R∽Rt△EAB, ‎ ‎∴ , 即 ,‎ ‎∴t= ,进而点Q3 的纵坐标为，∴Q3（，）. ‎ 方法三：若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q‎3A并延长交轴于F,‎ ‎∴∠Q3AB =∠Q3EA，,‎ 在R t△OAF中有OF=2×=，点F的坐标为（0，）,‎ ‎∴可得直线AF的解析式为 , ‎ 又直线BE的解析式是 ,‎ ‎∴可得交点Q3（，）. ‎ ‎18.如图1，抛物线关于y轴对称，顶点C坐标为（0，h ）(h>0)， 交x轴于点A（d,0）、B（-d,0）（d>0）。‎ ‎（1）求抛物线解析式（用h、d表示）；‎ ‎（2）如图2，将ABC视为抛物线形拱桥，①～⑤拉杆均垂直x轴，垂足依次在线段AB的6等分点上。h=‎9米。‎ ‎(i )求拉杆⑤DE的长度；‎ F G x y C B O A 图4‎ ‎(ii)若d值增大，其他都不变，如图3。拉杆⑤DE的长度会改变吗？(只需写结论)‎ ‎（3）如图4，点G在线段OA上，OG=kd（比例系数k是常数，0≤k≤1），GF⊥x轴交抛物线于点F。试探索k为何值时，‎ tg∠FOG= tg∠CAO？此时点G与OA线段有什么关系？‎ ‎[解] （1）用顶点式，据题意设y=ax2+h 代入A（d，0）得a=‎ ‎∴y=x2+h ‎(2)(i)h=9，代入（1）中解析式得y=x2+9‎ 据题意OE=d，设D（d，yD）‎ 点D在抛物线上，yD=(d)2+9=5，∴DE=‎5米。‎ ‎(ii) 拉杆⑤DE的长度不变。‎ ‎（3）OG=kd，∴点F坐标可设（kd，yF）代入y=x2+h ，得：‎ yF= h(1－k2) ‎ tg∠FOG= tg∠CAO ， =‎ ‎ 解得 （∵00‎ ‎ 设的两根为，‎ ‎ 则+，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.已知：二次函数图象的顶点在x轴上．‎ ‎（1）试判断这个二次函数图象的开口方向，并说明你的理由；‎ ‎（2）求证：函数的图象与x轴必有两个不同的交点；‎ ‎（3）如果函数的图象与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴相交于点C，且△ABC的面积等于2．求这个函数的解析式．‎ ‎[解] （1）∵二次函数图象的顶点在x轴上，‎ ‎∴，． ‎ ‎∴．‎ 又∵，∴． ‎ ‎∴这个函数图象的开口方向向上． ‎ ‎（另解：∵这个二次函数图象的顶点在x轴上，且与y轴的正半轴相交， ‎ ‎∴这个函数图象的开口方向向上． ‎ ‎（2）∵，∴这个函数是二次函数． ‎ ‎．‎ ‎∵，∴，． ‎ ‎∴Δ>0．‎ ‎∴函数的图象与x轴必有两个不同的交点． ‎ ‎（3）由题意，得，． ‎ ‎∵，∴． ‎ 而，点C的坐标为（0，-1）．‎ ‎∴．‎ ‎∴． ‎ ‎∴．‎ ‎∴． ‎ ‎∴．‎ ‎∴所求的函数解析式为． ‎ ‎4.已知二次函数.‎ ‎（1）若a =2，c = -3，且二次函数的图像经过点（-1，-2），求b的值；‎ ‎（2）若a =2，b + c = -2，b > c，且二次函数的图像经过点（p , -2），求证：b≥0；‎ ‎（3）若a + b + c = 0，a > b > c，且二次函数的图像经过点（q , - a），试问当自变量x = q +4时，二次函数所对应的函数值y是否大于0？请证明你的结论.‎ ‎[解]（1）当a = 2，c = -3时，二次函数为，‎ ‎∵该函数的图像经过点（-1，-2），‎ ‎∴，解得b=1. ‎ ‎（2）当a = 2，b + c = -2时，二次函数为 ‎∵该函数的图像经过点（p，-2），‎ ‎∴，即 于是，p为方程的根，‎ ‎∴判别式△=‎ 又∵b + c = -2，b > c，‎ ‎∴b > -b -2，即b > -1，有b + 8 > 0‎ ‎∴.‎ ‎（3）∵二次函数的图像经过点（q，-a）,‎ ‎∴.‎ ‎∴q为方程的根，‎ 于是，判别式△=‎ 又∵‎ ‎∴△=‎ 又， 且a > b > c，知a > 0，c < 0‎ ‎∴‎3a -c > 0‎ ‎∴‎ ‎∴q为方程的根，‎ ‎∴或.‎ 当时， ‎ 若，则 ‎.‎ ‎∵a > b ≥ 0，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴‎ 若，则 ‎.‎ ‎∴当时，二次函数所对应的函数值大于0. ‎ ‎5.已知：如图，A（0,1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB ，过B作BC⊥AB，交AE于点C. ‎(1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长； ‎(2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）； (3)设过点P（0，-1）的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且x12+x22－6(x1+x2)=8，求直线l的解析式． [解] (1)方法一：在Rt△AOB中，可求得AB＝‎ y A O B x C D G H ‎∵∠OAB＝∠BAC，∠AOB＝∠ABC=Rt∠，‎ ‎∴△ABO∽△ABC，∴，由此可求得：AC＝‎ ‎ 方法二：由题意知：tan∠OAB=‎ ‎ (2)方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则可证得AC＝AD，BD＝‎ ‎ ∵AO⊥OB，AB⊥BD，∴△ABO∽△BDO，则OB2＝AO×OD，即 化简得：y=，当O、B、C三点重合时，y=x=0，∴y与x的函数关系式为：y=‎ 方法二：过点C作CG⊥x轴，交AB的延长线于点H，则AC2＝(1－y)2+x2=(1+y)2，化简即可得。‎ ‎(3)设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得：，消去y得：x2-4kx-4b=0，则有，由题设知：‎ x12+x22-6(x1+x2)=8，即(4k)2+8b-24k=8，且b=-1，则16k2-24k -16=0，解之得：k1=2，k2=，当k1=2、b=-1时，‎ ‎△＝16k2+16b=64-16>0，符合题意；当k2=，b=-1时，△＝16k2+16b=4-16<0，不合题意（舍去），‎ ‎∴所求的直线l的解析式为：y=2x-1‎ ‎6.已知抛物线y =x2+mx‎-2m2‎(m≠0)．‎ ‎ (1)求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；‎ ‎ (2)过点P(0，n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边)，是 ‎ 否存在实数m、n，使得AP=2PB?若存在，则求出m、n 满足的条件；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解] （1）△‎ ‎ ∵‎ ‎ ∴△‎ ‎ ∴该抛物线与轴有两个不同的交点。‎ ‎ （2）由题意易知点、的坐标满足方程：‎ ‎，即 由于方程有两个不相等的实数根，因此△，即 ‎………………….①‎ 由求根公式可知两根为：‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 分两种情况讨论：‎ 第一种：点在点左边，点在点的右边 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴……………….②‎ ‎∴……………………….③‎ 由②式可解得 ‎ ‎…………………………..④‎ 第二种：点、都在点左边 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴……………….⑤‎ ‎∴……………………….⑥‎ 由⑤式可解得 ‎……….⑦‎ 综合①③④⑥⑦可知，满足条件的点存在，此时、应满足条件：‎ ‎，或。‎ 三、动态几何型压轴题 ‎1.已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝‎4cm，AB＝‎8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．‎ ‎（1）如图，当AP＝‎3cm时，求y的值；‎ ‎（2）设AP＝xcm，试用含x的代表式表示y（cm）2；‎ ‎（3）当y＝‎2cm2时，试确定点P的位置．‎ ‎[解]（1） ∵ PQ∥BC，∴ ．∵ BC＝4，AB＝8，AP＝3，∴ PQ＝．∵ D为AB的中点，∴ AD＝AB＝4，PD＝AD－AP＝1．‎ ‎∵ PQMN为正方形，DN＝PN－PD＝PQ－PD＝，∴ y＝MN·DN＝cm2．‎ ‎（2）∵ AP＝x，∴ AN＝x．‎ 当o≤x＜时，y＝0；‎ 当≤x＜4时，；‎ 当4≤x＜时，y＝x；‎ 当≤x≤8时，y＝2（8－x）＝－2x＋16．‎ ‎（3）将y＝2代入y＝—2x＋16（≤x≤8）时，得x＝7，即P点距A点‎7cm；‎ 将y＝2代入时，得，即P点距A点cm．‎ ‎2.操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．‎ 图5图6图7‎ 探究：设A、P两点间的距离为x．‎ ‎（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；‎ ‎（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）‎ ‎[解] ‎ 图1 图2 图3‎ ‎（1）解：PQ＝PB 证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．‎ ‎∴　NP＝NC＝MB． ‎ ‎∵　∠BPQ＝90°，∴　∠QPN＋∠BPM＝90°．‎ ‎ 而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴　∠QPN＝∠PBM． ‎ 又∵　∠QNP＝∠PMB＝90°，∴　△QNP≌△PMB． ‎ ‎∴　PQ＝PB．‎ ‎（2）解法一 由（1）△QNP≌△PMB．得NQ＝MP．‎ ‎∵AP＝x，∴　AM＝MP＝NQ＝DN＝，BM＝PN＝CN＝1－，‎ ‎∴CQ＝CD－DQ＝1－2·＝1－．‎ 得S△PBC＝BC·BM＝×1×（1－）＝－x． ‎ S△PCQ＝CQ·PN＝×（1－）（1－）＝－＋x2‎ S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝x2－＋1．‎ 即　y＝x2－＋1（0≤x＜）．‎ 解法二 作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形．‎ ‎∴　PT＝CB＝PN．‎ 又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．‎ S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN ‎　　＝CN2＝（1－）2＝x2－＋1‎ ‎∴　y＝x2－＋1（0≤x＜）．　‎ ‎（3）△PCQ可能成为等腰三角形 ‎①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，‎ ‎　　此时x＝0　‎ ‎②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）‎ 解法一：　此时，QN＝PM＝，CP＝－x，CN＝CP＝1－．‎ ‎∴ CQ＝QN－CN＝－（1－）＝－1．‎ 当－x＝－1时，得x＝1． ‎ 解法二：　此时∠CPQ＝∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°，‎ ‎∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP，‎ ‎∴　AP＝AB＝1，∴　x＝1． ‎ O N P Q M C C1‎ B1‎ A1‎ A B 图1‎ ‎3.如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速 度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右 平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间 为x秒，△QAC的面积为y.‎ ‎（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B‎1C1的位置时，‎ 请你在网格中画出Rt△A1B‎1C1关于直线QN成轴对称的图形；‎ ‎（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与 O N P Q M C A B 图2‎ x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和 最小值？最大值和最小值分别是多少？‎ ‎（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y 取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？‎ ‎[解] （1）如图1，△A2B‎2C2是△A1B‎1C1关于直线QN成轴对称的图形. …………2分 O N P Q M C A B C A B 图2‎ O N P Q M C1‎ C2‎ B1‎ A1‎ A2‎ B2‎ 图1‎ ‎（2）当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），则有：‎ ‎ MA=x，MB=x+4，MQ=20，‎ ‎ y=S梯形QMBC-S△AMQ-S△ABC ‎ =‎ ‎ =2x+40(0≤x≤16).‎ 由一次函数的性质可知：‎ 当x=0时，y取得最小值，且y最小=40；‎ 当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72. ‎ ‎（3）解法一：‎ ‎ 当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，此时16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x,‎ ‎ ∴y=S梯形BAQP-S△CPQ-S△ABC ‎ ‎ ‎ =-2x+104(16≤x≤32). ‎ ‎ 由一次函数的性质可知：‎ ‎ 当x=32时，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40；‎ ‎ 当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72. ‎ 解法二：‎ ‎ 在△ABC自左向右平移的过程中，△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置.使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称.‎ 因此，根据轴对称的性质，只需考察△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况. ‎ 当x=16时，y取得最大值，且y最大=72；‎ 当x=32时，y取得最小值，且y最小=40. ‎ ‎4.如图，在△ABC中，AB＝17，AC＝5，∠CAB＝45°，点O在BA上移动，以O为圆心作⊙O，使⊙O与边BC相切，切点为D，设⊙O的半径为x，四边形AODC的面积为y．‎ A B O D C ‎ （1）求 y与x的函数关系式；‎ ‎ （2）求x的取值范围；‎ ‎ （3）当x为何值时，⊙O与BC、AC都相切？‎ ‎[解]（1）如图①，过点C作CE⊥AB，垂足为E．‎ 在Rt△ACE中，AC=5，∠CAB=45°，‎ ‎∴ AE=CE= AC·sin45°=．‎ ‎∴ BE=AB－AE=17－5=12，‎ ‎． ‎ ‎∴　tanB=．‎ ‎∵ CB切⊙O于点D， ‎ ‎∴ OD⊥BC．‎ 又 =tanB=，‎ ‎∴ BD=． ‎ ‎∵ S四边形AODC= S△ABC－S△BOD，‎ ‎∴ －‎ ‎． ‎ A B C D E F O ‎①‎ A B C D O G ‎②‎ ‎(2)过点C作CF⊥CB交AB于F．‎ 在Rt△BCF中， CF=BC·tanB=13×．‎ ‎∴ x的取值范围是0＜x≤． ‎ ‎（3）当⊙O与BC、AC都相切时，设⊙O与AC的切点为G，连结OG、OC（如图②），则OG=OD=x．‎ ‎∵　S△AOC+S△BOC= S△ABC，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴　．‎ ‎5.已知是半圆的直径，AB＝16，P点是AB上的一动点(不与A、B重合) ，PQ⊥AB， 垂足为P，交半圆O于Q；PB是半圆O1的直径，⊙O2与半圆O、半圆O1及PQ都相切，切点分别为M、N、C．‎ ‎ （1）当P点与O点重合时(如图1) ，求⊙O2的半径r；‎ 图⑵‎ 图⑴‎ A O ‎（P）‎ N ‎·‎ O2‎ ‎·‎ O1‎ M C Q B P ‎·‎ A O N ‎·‎ O2‎ ‎·‎ O1‎ M C Q B ‎ （2）当P点在AB上移动时(如图2) ，设PQ＝x，⊙O2的半径r．求R与x的函数关系式，并求出r取值范围．‎ ‎[解] (1)连结OO2、O1O2、O‎2C，作O2D⊥AB于D．‎ ‎ ∵⊙O2与⊙O、⊙O1、PQ相切，‎ ‎ ∴OO2＝8－r，‎ O1O2＝4＋r． ‎ ‎ ∵四边形ODO‎2C是矩形，‎ ‎ ∴OD＝r，O1D＝4－r ‎ ‎ 根据勾股定理得: ，‎ ‎ 即: ，‎ ‎ ∴r＝2． ‎ ‎ (2) ∵AB是⊙O直径，PQ⊥AB．‎ ‎ ∴PQ2＝AP·PB．‎ 设⊙O1半径是a，‎ 则x2＝‎2a（16－‎2a）＝4（8a－a2）．‎ ‎ 连结OO2、O1O2、O‎2C，作O2D⊥AB于D ‎ ‎ ∴＝，＝，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ 根据勾股定理得:，‎ ‎ 即: ，‎ ‎ 化简得:．‎ ‎ ∴ ， 即．‎ ‎ ∵为0≤x≤8，‎ ‎ ∴0≤r≤8． ‎ A Q B 图⑴‎ O ‎（P）‎ N ‎·‎ O2‎ ‎·‎ O1‎ M C B D 图⑵‎ P ‎·‎ A O N ‎·‎ O2‎ ‎·‎ O1‎ M C Q D ‎6.如图12，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。‎ ‎（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；‎ ‎（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？‎ ‎（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求∠BQP的正切值；‎ ‎（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎（1）如图3，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。∴PM＝DC＝12‎ ‎[解]A B M C D P Q 图3‎ ∵QB＝16－t，∴S＝×12×(16－t)＝96－t ‎（2）由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。热以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：‎ ‎①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中，，由PQ2＝BQ2 得 ，解得t＝；‎ A ‎②若BP＝BQ。在Rt△PMB中，。由BP2＝BQ2 得：‎ ‎ 即。‎ 由于Δ＝－704＜0‎ ‎∴无解，∴PB≠BQ ‎③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得 整理，得。解得（不合题意，舍去）‎ 综合上面的讨论可知：当t＝秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。‎ P A E E D C Q B O 图4‎ ‎（3）如图4，由△OAP∽△OBQ，得 ‎∵AP＝2t－21，BQ＝16－t，∴2(2t－21)＝16－t。‎ ‎∴t＝。‎ 过点Q作QE⊥AD，垂足为E，‎ ‎∵PD＝2t，ED＝QC＝t，∴PE＝t。‎ 在RT△PEQ中，tan∠QPE＝‎ P A E E D C Q B O 图5‎ ‎（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD。如图5，过点Q作QE⊥ADS，垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，得 ‎，即。解得t＝9‎ 所以，当t＝9秒时，PQ⊥BD。‎ ‎7.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝2，DC＝2，点P在边BC上运动(与B、C不重合)，设PC＝x，四边形ABPD的面积为y。‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）若以D为圆心、为半径作⊙D，以P为圆心、以PC的长为半径作⊙P，当x为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。‎ ‎[解]（1）过点D作DE⊥BC于E，‎ ‎∵∠ABC＝900，∴DE＝AB＝2，‎ 又∵DC＝2，∴EC＝＝2‎ ‎∴BC＝BE＋EC＝AD＋EC＝2＋1＝3‎ ‎∴S四边形ABPD＝＝4－x，‎ 即　y＝－x＋4 (0＜x＜3）‎ ‎（2）当P与E重合时，⊙P与⊙D相交，不合题意；‎ 当点P与点E不重合时，在Rt△DEP中，‎ DP2＝DE2＋EP2＝22＋|2－x|2＝x2－4x＋8‎ ‎∵⊙P的半径为x，⊙D的半径为，‎ ‎∴①当⊙P与⊙D外切时，‎ ‎(x＋)2＝x2－4x＋8，解得　　x＝ 此时四边形ABPD的面积y＝4－＝ ‎②当⊙P与⊙D内切时，‎ ‎(x＋)2＝x2－4x＋8，解得　　x＝ 此时四边形ABPD的面积y＝4－＝ ‎∴⊙P与⊙D相切时，四边形ABPD的面积为或 ‎8.已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝‎3厘米，CB＝‎4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为‎1厘米/秒、‎2厘米/秒，设点P运动时间为（秒）． ‎ ‎（1）当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于‎2厘米2；‎ ‎（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；‎ ‎（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．‎ ‎[解] （1）S△PCQ＝PC·CQ＝＝＝2， ‎ 解得　＝1，＝2 ‎ ‎∴当时间为1秒或2秒时，S△PCQ＝2厘米2； ‎ ‎（2）①当0＜≤2时，S＝＝；‎ ‎　 ②当2＜≤3时， S＝＝； ‎ ‎　 ③当3＜≤4.5时，S＝＝； ‎ ‎（3）有； ‎ ‎①在0＜≤2时，当＝，S有最大值，S1＝； ‎ ‎　　②在2＜≤3时，当＝3，S有最大值，S2＝； ‎ ‎ ③在3＜≤4.5时，当＝，S有最大值，S3＝； ‎ ‎∵S1＜S2＜S3　∴＝时，S有最大值，S最大值＝． ‎ ‎9.图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.‎ ‎（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；‎ 探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论. ‎ ‎（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；‎ 探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围. ‎ ‎（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；‎ E′‎ D′‎ 图2‎ 图3‎ D′‎ E′‎ 图4‎ C/‎ ‎（C/）‎ ‎（C/）‎ 探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由. ‎ ‎[解] （1）BE=AD ‎ ‎ 证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形 ‎∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB，CE=CD ‎ ‎∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD ‎ ‎ ∴ BE=AD ‎ T S ‎（也可用旋转方法证明BE=AD）‎ ‎（2）如图在△CQT中 ∵∠TCQ=30° ∠RQT=60°‎ ‎∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ ‎ ∴QT=QC=x ‎∴ RT=3－x ‎ ‎∵∠RTS＋∠R=90° ∴∠RST=90°‎ ‎∴y=×32 －(3－x)2=－(3－x)2＋(0≤x≤3) ‎ ‎（3）C′N·E′M的值不变 ‎ 证明：∵∠ACC′=60°∴∠MCE′＋∠NCC′=120°‎ ‎ ∵∠CNC′＋∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′ ‎ ‎ ∵∠E′=∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN ‎ ∴ ∴C′N·E′M=C′C·E′C=×= ‎ ‎10.如图，在平面直角坐标系中，已知A（－10，0），B（－8，6），O为坐标原点，△OAB沿AB翻折得到△PAB．将四边形OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m（m＞0）‎ 个单位长度，得到四边形O‎1A1P1B1．设四边形O‎1A1P1B1与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l．‎ ‎（1）求A1、P1两点的坐标（用含m的式子表示）；‎ ‎（2）求周长l与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．‎ ‎[解] （1）过点B作BQ⊥OA于点Q．（如图1）‎ O ‎－3‎ y B x A P Q α 图1‎ ‎∵ 点A坐标是（－10，0），‎ ‎∴点A1坐标为（－10＋m，－3），OA＝10．‎ 又∵ 点B坐标是（－8，6）， ‎ ‎∴BQ＝6，OQ＝8．‎ 在Rt△OQB中，‎ ‎． ‎ ‎∴OA＝OB＝10，． ‎ 由翻折的性质可知，PA＝OA＝10，PB＝OB＝10， ∴四边形OAPB是菱形，‎ ‎∴PB∥AO，∴P点坐标为（－18，6）， ‎ ‎∴P1点坐标为（－18＋m，3）． ‎ ‎（2）①当0＜m≤4时，（如图2）, 过点B1作B1Q1⊥x轴于点Q1，则B1 Q1＝6-3＝3，‎ x O y B A P1‎ A1‎ O1‎ B1‎ Q1‎ F α Q β 图2‎ P 设O1B1 交x轴于点F，∵O1B1∥BO，∴∠α＝∠β，‎ 在Rt△FQ1B1中，，‎ ‎∴，∴Q‎1F＝4，‎ ‎∴B‎1F＝＝5，‎ ‎∵AQ＝OA－OQ＝10－8＝2，‎ x O B A P1‎ A1‎ O1‎ B1‎ 图3‎ P S H F y ‎∴AF＝AQ+QQ1+ Q‎1F＝2+m+4＝6+m，‎ ‎∴周长l＝2（B‎1F＋AF）‎ ‎＝2（5＋6＋m）‎ ‎＝‎2 m＋22； ‎ ‎ ②当4＜m＜14时，（如图3）‎ 设P‎1A1交x轴于点S，P1B1交OB 于点H，‎ OS y B S x A 由平移性质，得 OH＝B‎1F＝5，‎ 此时AS＝m－4，‎ ‎∴OS＝OA－AS ‎＝10－（m－4）＝14－m，‎ ‎∴周长l＝2（OH＋OS）‎ ‎＝2（5＋14－m）‎ ‎＝－‎2 m＋38． ‎ ‎11.四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC。在建立如图的平面直角坐标系中，A（4，0），B（3，2），点M从O点以每秒3个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动，过点N作NP垂直于x轴于P点连结AC交NP于Q，连结MQ。‎ ‎（1）写出C点的坐标；‎ ‎（2）若动点N运动t秒，求Q点的坐标（用含t的式子表示 ‎（3）其△AMQ的面积S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。‎ ‎（4）当t取何值时，△AMQ的面积最大；‎ ‎（5）当t为何值时，△AMQ为等腰三角形。‎ ‎[解] （1）C（1，2）‎ ‎（2）过C作CEx轴于E，则CE＝2‎ 当动点N运动t秒时，NB＝t ‎∴点Q的横坐标为3—t 设Q点的纵坐标为yQ 由PQ∥CE得 ‎ ‎∴‎ ‎∴点Q（）‎ ‎（3）点M以每秒2个单位运动，∴OM＝2t，AM＝4—2t S△AMQ＝‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝‎ 当t＝2时，M运动到A点，AMQ存在，∴t2‎ ‎∴t的取值范围是0≤t＜2‎ ‎（4）由S△AMQ＝。‎ 当 ‎（5）、①若QM＝QA ‎∵QP⊥OA∴MP＝AP 而MP＝4—（1＋t＋2t）＝3—3t 即1＋t＝3—3t t＝‎ ‎∴当t＝时，△QMA为等腰三角形。‎ ②若AQ＝AM AQ2＝AP2＋PQ2＝‎ AQ=‎ AM＝4—2t ‎＝4—2t ‎∴当t＝时，△QMA为等腰三角形。‎ ③若MQ＝MA MQ2＝MP2＋PQ2‎ ‎＝‎ ‎∴＝‎ 解得t＝或t＝—1（舍去）‎ ‎∵0＜＜2‎ ‎∴当t＝时，△QMA为等腰三角形。‎ 综上所述：当t＝ 、t＝或 t＝△QMA都为等腰三角形。‎ ‎12.如图，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝‎4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为‎1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为‎2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。‎ ‎⑴ 求x为何值时，PQ⊥AC；‎ ‎⑵ 设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；‎ ‎⑶ 当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；‎ ‎⑷ 探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)‎ ‎[解] （1）∵当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC。‎ 当，由题意得：BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x，‎ ‎∴AB＝BC＝CA＝4，∠C＝600，‎ 若PQ⊥AC，则有∠QPC＝300，∴PC＝2CQ ‎∴4－x＝2×2x，∴x＝，‎ ‎∴当x＝(Q在AC上)时，PQ⊥AC；‎ ‎（2）当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QH⊥BC于H，‎ ‎∵∠C＝600，QC＝2x，∴QH＝QC×sin600＝x ‎∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝2‎ ‎∴DP＝2－x，∴y＝PD·QH＝(2－x)·x＝－ ‎（3）当0＜x＜2时，在Rt△QHC中，QC＝2x，∠C＝600，‎ ‎∴HC＝x，∴BP＝HC ‎∵BD＝CD，∴DP＝DH，‎ ‎∵AD⊥BC，QH⊥BC，∴AD∥QH，‎ ‎∴OP＝OQ ‎∴S△PDO＝S△DQO，‎ ‎∴AD平分△PQD的面积；‎ ‎（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离 当x＝或时，以PQ为直径的圆与AC相切。‎ 当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交。‎ ‎13.如图4，已知⊙O的半径OA=，弦AB=4，点C在弦AB上，以点C为圆心，CO为半径的圆与线段OA相交于点E．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设AC=，OE=，求与之间的函数解析式，并写出定义域；‎ ‎（3）当点C在AB上运动时，⊙C是否可能与⊙O相切？如果可能，请求出当⊙C与⊙O相切时的AC的长；如果不可能，请说明理由．‎ ‎[解] （1）过点O作OD⊥AB，垂足为D， ‎ ‎ ∵AB是⊙O的弦，∴AD=AB=2，∴． ‎ ‎ （2）过点C作CF⊥OE，垂足为F，∵OE是⊙C的弦，，‎ ‎ 在Rt△ACF中，AF=AC·=， ‎ ‎ ∵AF+OF=OA，∴.‎ ‎∴函数解析式为．函数定义域为 ‎ （3）⊙C可能与⊙O相切． 在Rt△AOD中，OD=． ‎ ‎ 当⊙C与⊙O相切时，OC=， ‎ ‎ ∵CD==，，∴． ‎ ‎∴ ⊙C与OA相于点O，不符合题意． ‎ ‎∴当⊙C与⊙O相切时的AC的长为 ‎14.已知：如图，在梯形ABCD中，，，，．‎ 点E在AD边上，且，连结CE．点P是AB边上的一个动点，过 点P作，交BC于点Q．设，．‎ A B C D P E Q ‎(1) 求的值；‎ ‎(2) 求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎(3) 当时，求x的值．‎ ‎[解] (1) 过点A作，垂足是点F．‎ ‎ ∵，，，，‎ ‎ ∴． ‎ ‎ 在Rt△ABF中，，∴． ‎ ‎ (2) 分别延长BA、CE，交于点G．‎ ‎ ∵，，∴． ‎ ‎ ∵，∴， ‎ ‎ ∵，∴，即得． ‎ ‎ ∵，，∴，‎ ‎ 即，．‎ ‎ 由，，得． ‎ ‎ 所以，y与x的函数解析式是，． ‎ ‎(3) 当时，得，解得．‎ ‎ 所以，当时，． ‎ ‎15. ‎ ‎16.如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．‎ ‎ (1)求点B的坐标；‎ ‎ (2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；‎ ‎(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标。‎ ‎[解] (1)作BQ⊥x轴于Q.‎ ‎∵ 四边形ABCD是等腰梯形,‎ ‎∴∠BAQ＝∠COA＝60°‎ 在RtΔBQA中,BA=4,‎ ‎∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=‎ AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2,‎ ‎∴OQ=OA-AQ=7-2=5‎ ‎∵点B在第一象限内,‎ ‎∴点B的的坐标为(5, )‎ ‎(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,‎ 此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,‎ ‎∴点P的坐标为(4,0)‎ 若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4‎ ‎∴点P的坐标为(-4,0)‎ ‎∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)‎ ‎(2)若∠CPD=∠OAB ‎∵∠CPA=∠OCP+∠COP 而∠OAB=∠COP=60°,‎ ‎∴∠OCP=∠DPA 此时ΔOCP∽ΔADP ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴,‎ AD=AB-BD=4-=‎ AP=OA-OP=7-OP ‎∴‎ 得OP=1或6‎ ‎∴点P坐标为(1,0)或(6,0).‎ ‎17.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于B，大圆的弦BC⊥AB，过点C作大圆的切线交AB的延长线于D，OC交小圆于E．‎ （1） 求证：△AOB∽△BDC；‎ （2） 设大圆的半径为，CD的长为，求与之间的函数解析式，并写出定义域．‎ （3） ‎△BCE能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由．‎ ‎[解] (1)∵大⊙O与CD相切于点C，∴∠DCO=90°.‎ ‎∴∠BCD+∠OBC=90º,‎ ‎∵CB⊥AD，∴∠ABO+∠OCB=90º,‎ ‎∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB, ‎ ‎∴∠BCD=∠ABO.‎ ‎∵小⊙O与AB相切于点A，∴∠BAO=90°. ∴∠CBD=∠BAO． ‎ ‎∴△AOB∽△BDC． ‎ (2) 过点O作OH⊥BC，垂足为H． ‎ ‎∵∠OAB=∠ABC=∠BHO=90º，∴四边形OABH是矩形. ‎ ‎∵BC是大⊙O的弦，∴BC=2BH =2OA=2， ‎ 在Rt△OAB中，AB=． ‎ ‎∵△AOB∽△BDC，∴， ‎ ‎∴，∴函数解析式为， ‎ 定义域为． ‎ (2) 当EB=EC时，∠ECB=∠EBC，而∠ECB=∠OBC，∴EBEC．‎ 当CE=CB时，OC=CE+OE=CB+OE=2+1=3． ‎ 当BC=BE时，∠BEC=∠ECB=∠OBC，则△BCE∽△OCB． ‎ 则设OC = x,则CE=,,(负值舍去).‎ ‎∴OC=.‎ 综上所述，△BCE能成为等腰三角形，这时大圆半径为3或．‎ ‎18.如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝‎8cm，BC＝‎6cm，∠C＝90°，EG＝‎4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．‎ 如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以‎1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以‎1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．‎ ‎（1）当x为何值时，OP∥AC ?‎ ‎（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．‎ ‎（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456‎ 或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）‎ ‎[解] （1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ，‎ ‎∴，．‎ ‎∴FG＝＝‎3cm． ‎ ‎∵当P为FG的中点时，OP∥EG ，EG∥AC ，‎ ‎∴OP∥AC．‎ ‎∴ x ＝＝×3＝1.5（s）．‎ ‎∴当x为1.5s时，OP∥AC ．‎ ‎（2）在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF ＝‎5cm．‎ ‎∵EG∥AH ，‎ ‎∴△EFG∽△AFH ．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴ AH＝（ x ＋5），FH＝（x＋5）．‎ 过点O作OD⊥FP ，垂足为 D ．‎ ‎∵点O为EF中点，‎ ‎∴OD＝EG＝‎2cm．‎ ‎∵FP＝3－x ，‎ ‎∴S四边形OAHP ＝S△AFH －S△OFP ‎＝·AH·FH－·OD·FP ‎＝·（x＋5）·（x＋5）－×2×（3－x ）‎ ‎＝x2＋x＋3（0＜x＜3．‎ ‎（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．‎ 则S四边形OAHP＝×S△ABC ‎∴x2＋x＋3＝××6×8‎ ‎∴6x2＋85x－250＝0‎ 解得 x1＝， x2＝ －（舍去）．‎ ‎∵0＜x＜3，‎ ‎∴当x＝（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24． ‎ ‎19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；‎ ‎（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？‎ ‎（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ A P C Q B D ‎（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由． ‎ ‎[解] （1）由题意知 CQ＝4t，PC＝12－3t，‎ ‎∴S△PCQ =．‎ ‎∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称，‎ ‎∴y=2S△PCQ ． ‎ ‎（2）当时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，‎ ‎  ∵CA=12，CB=16，CQ＝4t， CP＝12－3t，‎ ‎  ∴ ，解得t＝2．‎ ‎  ∴当t＝2秒时，四边形PQBA是梯形． ‎ ‎（3）设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图2，‎ 若PD∥AB，则∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，‎ ‎∴图2‎ A P C Q B D M Rt△QMD∽Rt△ABC，‎ 从而，‎ ‎∵QD=CQ=4t，AC＝12，‎ AB=20，‎ ‎∴QM=． ‎ 若PD∥AB，则，得，‎ 解得t＝．‎ ‎∴当t＝秒时，PD∥AB． ‎ ‎（4）存在时刻t，使得PD⊥AB． ‎ 时间段为：2＜t≤3． ‎ 四、几何探究型压轴题 ‎1.已知：如图① , A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B、设PA＝m , PB＝n .‎ ‎（1）当n＝4时，求m的值；‎ ‎（2）⊙O上是否存在点C，使△PBC为等边三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由； ‎ ‎（3）当m为何值时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形？并直接答出：此时⊙O上能与PB构成等腰三角形的点共有几个？（图②、图③供解题时选用）‎ A B 图①‎ P ‎·‎ O A ‎·‎ O A ‎·‎ O 图②‎ 图③‎ ‎[解] （1）解法一：连结OB ‎ ‎∵PB切⊙O于B ‎∴∠OBP＝90O ‎∴ ‎ ‎∵PO＝2+m，PB＝n，OB＝2‎ ‎∴ ‎ 当n＝4时，解得（舍去），‎ ‎∴ m的值为 ‎ 解法二：延长PO交⊙O于Q，PAQ为⊙O割线 又∵PB切⊙O于B ‎∴分 ‎∵PB＝n，PA＝m，PO＝m+4‎ ‎∴‎ 当n＝4时，解得（舍去），‎ ‎∴ m的值为分 ‎ （2）存在点C，使△PBC为等边三角形 当∠OPB＝30O时，过点P作⊙O的另一条切线PC,C为切点．‎ ‎∴PB ＝ PC ，∠OPB ＝∠OPC ‎ ‎∴∠BPC＝60O， ∴△PBC为等边三角形 连结OB，∠OBP＝90O ,OB＝2，得OP＝4‎ ‎∴m＝PA＝OP－OA＝22 ‎ ‎（3）如图，设EF为线段PB的垂直平分线，垂足为D ,当EF与⊙O相切于点M时，M符合要求 连结OB、OM，易得四边形OMDB为正方形．‎ ‎∴BD＝DP＝OM＝2 ‎ ‎∴n＝PB＝4 ‎ 由（l）得n＝4时，m＝ ‎ ‎∴当m＝时⊙O上存在唯气点M和PB构成以PB为底的等腰三角形…13分 此时⊙O上共有3个点能与PB 构成等腰三角形 ‎（这3点分别是M，M1 ,M2 其中M是PB中垂线与⊙O的切点，M1是延长BO与⊙O 的交点，M2是点B关于OP的对称点）‎ A B P ‎·‎ O M D E F ‎2.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.‎ 探究：‎ ‎（1）如图甲，已知△ABC中∠C=900，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的 小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.‎ ‎（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，‎ B C A 图甲 则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF ‎(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；‎ 把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分 割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去.‎ n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时 小三角形的面积为SN.‎ ‎①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，21时，请写出一个反映Sn-1,Sn,Sn+1之间关系的等式（不必证明）‎ ‎[解]（1） 正确画出分割线CD ‎ ‎（如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的 ‎ 分割线，若画成直线不扣分）‎ 理由：∵ ∠B = ∠B，∠CDB=∠ACB=90°‎ ‎∴△BCD ∽△ACB ‎（2）① △DEF 经N阶分割所得的小三角形的个数为 ‎ ‎ ∴ S = ‎ ‎ 当 n =5时,S = ≈ 9.77‎ ‎ 当 n = 6 时， S = ≈ 2.44 ‎ ‎ 当 n=7 时,S= ≈ 0.61 ‎ ‎∴当 n= 6时,2 ＜S ＜ 3 ‎ S = S × S ② S = 4 S, S= 4 S ‎ ‎3.如图(1)，AB是⊙O的直径，射线AT⊥AB，点P是射线A T上的一个动点(P与A不重合)，PC与⊙O相切于C，过C作CE⊥AB于E，连结BC并延长BC交AT于点D，连结PB交CE于F．‎ ‎ (1)请你写出PA、PD之间的关系式，并说明理由；‎ ‎ (2)请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分，并加以证明； ‎ ‎ (3)设过A、C、D三点的圆的半径是R，当CF=R时，求∠APC的度数，并在图(2)中作出点P(要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)．‎ ‎[解] (1)连结AC．‎ ‎ 因为AT⊥AB，AB是⊙O的直径，‎ ‎ 所以A T是⊙O的切线．‎ ‎ 又PC是⊙O的切线，‎ ‎ 所以PA=PC． ‎ ‎ 所以∠PAC=∠PCA． ‎ ‎ 因为AB是⊙O的直径，‎ ‎ 所以∠ACB=90°.‎ ‎ 所以∠PAC+∠ADC=90°，∠PCA+∠PCD=90°.‎ ‎ 所以∠ADC=∠PCD． ‎ ‎ 所以PD=PC=PA．‎ ‎(2)由(1)知，PD=PA，且同高，可见△ABD被PB分成面积相等的两个三角形． ‎ ‎ 因为AT⊥AB，CE⊥AB，‎ ‎ 所以AT∥CE．‎ 所以CF/PD=BF/BP，EF/PA=BF/BP．‎ 所以CF/PD=EF/PA．‎ 所以CF=EF． (6分)‎ 可见△CEB也被PB分成面积相等的两个三角形．(7分)‎ ‎(3)由(1)知，PA=PCPD，‎ ‎ 所以PA是△ACD的外接圆的半径，即PA=R．‎ ‎ 由(2)知，CF=EF，而CF=1/4 R，‎ ‎ 所以EF=1/4 PA．‎ ‎ 所以EF/PA=1/4．‎ ‎ 因为EF∥AT，所以BE/AB=EF/PA=1/4‎ 所以CE== BE 在Rt△ACE中，‎ 因为tan∠CAE=/3．‎ 所以∠CAE=30°.‎ 所以∠PAC=90°-∠CAE=60°.‎ 而PA=PC，所以△PAC是等边三角形．‎ 所以∠APC=60° ‎ P点的作图方法见图．‎ ‎4.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：‎ F P D E ‎(1)求证：CP是⊙O的切线。‎ B ‎(2)当∠ABC=30°，BG=，CG=时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程。‎ ‎(3)若(1)的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF·BO成立？试写出你的猜想，并说明理由。‎ ‎[解] (1) 连结OC，证∠OCP=90°即可 ‎ (2)∵∠B=30° ∴∠A=∠BGP=60°‎ ‎∴∠BCP=∠BGP=60°‎ ‎∴ΔCPG是正三角形.‎ ‎∴PG=CP=‎ ‎ ∵PC切⊙O于C ‎∴PC2=PD·PE=‎ 又∵BC= ∴AB=6 FD= EG=‎ ‎ ∴PD=2‎ ‎ ∴PD+PE=‎ ‎ ∴以PD、PE为两根的一元二次方程为x2－48x＋10=0‎ ‎(3)当G为BC中点，OG⊥BC，OG∥AC或∠BOG=∠BAC…时，结论BG2=BF·BO成立。要让此结论成立，只要证明ΔBFG∽ΔBGO即可，凡是能使ΔBFG∽ΔBGO的条件都可以。‎ ‎5.已知：直线a∥b，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上两点。‎ P Q M N a b 图①‎ （1） 如图①，线段PM、QN夹在平行 直线a和b之间，四边形PMNQ 为等腰梯形，其两腰PM＝QN。‎ 请你参照图①，在图②中画出异 于图①的一种图形，使夹在平行 直线a和b之间的两条线段相等。‎ （2） 我们继续探究，发现用两条平行直 a b 图②‎ 线a、b去截一些我们学过的图形，‎ 会有两条“曲线段相等”（曲线上两 点和它们之间的部分叫做“曲线段”。‎ 把经过全等变换后能重合的两条曲线 段叫做“曲线段相等”）。‎ 请你在图③中画出一种图形，使夹在 P Q M N a b 图④‎ S1‎ S2‎ S3‎ S4‎ n m 平行直线a和b之间的两条曲线段相等。‎ a b 图③‎ （3） 如图④，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQ＝m，下底MN＝n，且m＜n。现计划把价格不同的两种花草种植在S1、S2、S3、S4四块地里，使得价格相同的花草不相邻。为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理由。‎ ‎[解]P Q M N a b 图例：‎ （1）‎ P ‎（Q）‎ M N a b ‎ 或 ‎ ‎（2）‎ P Q M N a b 图例：‎ P Q M N a b ‎ 或 ‎ ‎（3）∵△PMN和△QMN同底等高。‎ ‎ ∴S△PMN＝S△QMN。∴S3+S2=S4+S2.∴S3=S4‎ ‎∵△POQ∽△NOM， ∴‎ ‎∴S2＝‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∵m＞n，‎ ‎∴ ∴S1+S2＞S3+S4‎ 故园艺师应选择S1和S2两块地种植价格较便宜的花草，因为这两块的的面积之和大于另两块地的面积之和。‎ ‎6. 已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设＝PM·PE，＝PN·PF，解答下列问题：‎ ‎（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断与的大小关系，并说明理由；‎ ‎（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设，是否存在这样的实数，使得？若存在，请求出满足条件的所有的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎[解] （1）∵ABCD是矩形，MN∥AD，EF∥CD ‎∴四边形PEAM、PNCF也均为矩形 ‎∴＝PM·PE＝，＝PN·PF＝‎ 又∵BD是对角线 ‎ ∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC ‎ ∵，‎ ‎ ∴＝‎ ‎ ∴‎ ‎（2）成立，理由如下：‎ ‎ ∵ABCD是平行四边形，MN∥AD，EF∥CD ‎ ∴四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形 ‎ 仿（1）可证 过E作EH⊥MN于点H，则 ‎∴‎ 同理可得 ‎ 又∵∠MPE＝∠FPN＝∠A ‎∴‎ ‎∴PM·PE＝PN·PF，即 ‎（3）方法1：存在，理由如下：‎ ‎ 由（2）可知，‎ ‎ ∴‎ 又∵，即，‎ 而，‎ ‎∴‎ 即 ‎∴，‎ 故存在实数或，使得 方法2：存在，理由如下：‎ 连结AP，设△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面积分别为、、、，即，‎ 即 ∴‎ ‎∴‎ 即 ‎∴∴，‎ 故存在实数或，使得 ‎7.问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：‎ ① 如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 60°，则BM = CN. ‎ ② 如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 90°,则BM = CN.‎ 然后运用类比的思想提出了如下的命题：‎ ③ 如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 108°，则BM = CN.‎ 任务要求 ‎ ‎（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）‎ ‎（2）请你继续完成下面的探索：‎ ① 如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM = CN成立？（不要求证明）‎ ② 如图5，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当∠BON = 108°时，请问结论BM = CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.‎ ‎[解] （1）选命题①‎ 证明：在图1中，∵ ∠BON = 60°， ∴ ∠CBM +∠BCN = 60°. ‎ ‎∵ ∠BCN +∠ACN = 60°， ∴ ∠CBM =∠ACN. ‎ 又∵ BC = CA， ∠BCM =∠CAN = 60°， ‎ ‎∴ △BCM ≌ △CAN. ‎ ‎∴ BM = CN. ‎ 选命题②‎ 证明：在图2中，∵ ∠BON = 90°， ∴ ∠CBM +∠BCN = 90°.‎ ‎∵ ∠BCN +∠DCN = 90°， ∴ ∠CBM =∠DCN. ‎ 又∵ BC = CD， ∠BCM =∠CDN = 90°，‎ ‎∴ △BCM ≌ △CDN. ‎ ‎∴ BM = CN. ‎ 选命题③‎ 证明：在图3中，∵ ∠BON = 108°， ∴ ∠CBM +∠BCN = 108° ‎ ‎∵ ∠BCN +∠DCN = 108°， ∴ ∠CBM =∠DCN. ‎ 又∵ BC = CD， ∠BCM =∠CDN = 108°，‎ ‎∴ △BCM ≌ △CDN. ‎ ‎∴ BM = CN. ‎ ‎ （2）① 当∠BON = 时，结论BM = CN成立. ‎ ‎② BM = CN成立.‎ 证明：如图5，连结BD、CE.‎ 在△BCD和△CDE中，‎ ‎∵ BC = CD，∠BCD =∠CDE = 108°，CD = DE，‎ ‎∴ △BCD ≌ △CDE.‎ ‎∴ BD = CE，∠BDC =∠CED，∠DBC =∠ECD. ‎ ‎∵ ∠OBC +∠OCB = 108°，∠OCB +∠OCD = 108°，‎ ‎∴ ∠MBC =∠NCD.‎ 又∵ ∠DBC =∠ECD = 36°，∴ ∠DBM =∠ECN. ‎ ‎∴ △BDM ≌ △ECN. ‎ ‎8.阅读下面的材料：‎ 如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．求证：AP·AC+BP·BD=AB2．‎ 证明：连结AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90ｏ，‎ ‎∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．‎ 由割线定理得： AP·AC=AM·AB，BP·BD=BM·BA，‎ 所以，AP·AC+BP·BD=AM·AB+BM·AB=AB·（AM+BM）=AB2．‎ 当点P在半圆周上时，也有AP·AC+BP·BD=AP2+BP2=AB2成立，那么： ‎ ‎（1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论AP·AC+BP·BD=AB2是否成立？为什么？‎ ‎（2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．‎ ‎[解]（1）AP·AC+BP·BD=AB2还成立． ‎ ‎ 证明：如图（2），∵∠PCM=∠PDM=900，‎ ‎∴点C、D在以PM为直径的圆上， ‎ ‎∴AC·AP=AM·MD，BD·BP=BM·BC，‎ ‎∴AC·AP+BD·BP=AM·MD+BM·BC，‎ ‎ 由已知，AM·MD+BM·BC=AB2，‎ ‎ ∴AP·AC+BP·BD=AB2． ‎ ‎（2）如图（3），过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连结AD、BC，‎ 则C、M在以PB为直径的圆上，∴AP·AC=AB·AM，①‎ D、M在以PA为直径的圆上，∴BP·BD=AB·BM，②‎ 由图象可知：AB=AM-BM，③‎ 由①②③可得：AP·AC-BP·BD=AB·（AM-BM）=AB2． ‎ ‎9.设边长为‎2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d．‎ ‎（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：‎ d、a、r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r 图①‎ d＝a＋r a－r＜d＜a＋r d＝a－r d＜a－r 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有　　　　　　　　　个；‎ ‎（2）如图②，当r＝a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：‎ d、a、r之间关系 图②‎ 公共点的个数 d＞a＋r d＝a＋r a≤d＜a＋r d＜a 所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有　　　　　　　　个；‎ 图③‎ ‎（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r＝a；‎ ‎（4）就r＞a的情形，请你仿照“当……时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 ‎　 　 个”的形式，至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论．‎ ‎[解] 图①‎ （1）‎ d、a、r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r ‎0‎ d＝a＋r ‎1‎ a－r＜d＜a＋r ‎2‎ d＝a－r ‎1‎ d＜a－r ‎0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个； ‎ 图②‎ ‎（2）‎ B C D F E d、a、r之间关系 公共点的个数 d＞a＋r ‎0‎ d＝a＋r ‎1‎ a≤d＜a＋r ‎2‎ d＜a ‎4‎ 所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个； ‎ ‎（3）方法一：如图所示，连结OC．‎ 则OE＝OC＝r ，OF＝EF－OE＝‎2a－r． ‎ ‎ 在Rt△OCF中，由勾股定理得：‎ ‎ OF2＋FC2＝OC2‎ 即（‎2a－r）2＋a2＝r2 ‎ ‎ ‎4a2－4ar＋r2＋a2＝r2‎ ‎ ‎5a2＝4ar ‎5a‎＝4r ‎ ‎∴r ＝a． ‎ B N E 方法二：如图，连结BD、OE、BE、DE． ‎ ‎∵四边形BCMN为正方形 ‎∴∠C＝∠M＝∠N＝90°‎ ‎∴BD为⊙O的直径，∠BED＝90°‎ M D ‎∴∠BEN＋∠DEM ＝90°‎ C ‎∵∠BEN＋∠EBN＝90°‎ ‎∴∠DEM＝∠EBN ‎∴△BNE∽△EMD ‎ ‎∴‎ ‎∴DM＝a ‎ 由OE是梯形BDMN的中位线 得OE＝（BN＋MD）＝a．‎ ‎（4）①当a＜r＜时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；‎ ‎②当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；‎ ‎③当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；‎ ‎④当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；‎ ‎⑤当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个．‎