2019年中考数学提分训练 圆（含解析） 新版新人教版 23页

‎2019年中考数学提分训练: 圆 一、选择题 ‎1.下列命题错误的是（   ） ‎ A. 经过三个点一定可以作圆                                    B. 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 C. 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等           D. 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 ‎2.如图，已知⊙0的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（    ）． ‎ A.                                     B.                                     C.                                     D. ‎ ‎3.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则 的长为（   ） ‎ A.                                        B.                                        C. 2π                                       D. ‎ 23‎ ‎4.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠D=35°，则∠OCB的度数是（   ） ‎ A. 35°                                       B. 55°                                       C. 65°                                       D. 70°‎ ‎5.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③∠AOC=∠AEC；④AF=DF；⑤BD=2OF．其中正确的结论有（  ） ‎ A. 2个                                       B. 3个                                       C. 4个                                       D. 5个 ‎6.如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是： ①作线段 ,分别以 为圆心,以 长为半径作弧,两弧的交点为 ； ②以 为圆心,仍以 长为半径作弧交 的延长线于点 ；③连接 下列说法不正确的是(    ) ‎ A.         B.         C. 点 是 的外心        D. ‎ 23‎ ‎7.如图是几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误的是（    ） ‎ A.                         B.                         C.                         D. ‎ ‎8.如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC，△COB，弓形BmC的面积为S1、S2、S3 ， 则它们之间的关系是（   ） ‎ A. S1＜S2＜S3                      B. S2＜S1＜S3                      C. S1＜S3＜S2                      D. S3＜S2＜S1‎ ‎9.如图，雯雯开了一家品牌手机体验店，想在体验区(图1阴影部分)摆放图2所示的正六边形桌子若干张．体验店平面图是长9米、宽7米的矩形，通道宽2米，桌子的边长为1米；摆放时要求桌子至少离墙1米，且有边与墙平行，桌子之间的最小距离至少1米，则体验区可以摆放桌子（   ） ‎ A. 4张                                       B. 5张                                       C. 6张                                       D. 7张 23‎ ‎10.如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（   ） ‎ A. 20°                                       B. 46°                                       C. 55°                                       D. 70°‎ ‎11.如图，将一块等腰Rt△ABC的直角顶点C放在⊙O上，绕点C旋转三角形，使边AC经过圆心O，某一时刻，斜边AB在⊙O上截得的线段DE＝2cm，且BC＝7cm，则OC的长为（      ） ‎ A. 3cm                               B.  cm                               C.  cm                               D. cm 二、填空题 ‎ ‎12.一个扇形的弧长是20π，面积是240π，则此扇形的圆心角为________度． ‎ ‎13.已知一块直角三角形钢板的两条直角边分别为30cm、40cm，能从这块钢板上截得的最大圆的半径为________. ‎ ‎14.在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC内切圆的周长为________ ‎ ‎15.如图是一把折扇，其平面图是一个扇形，扇面ABDC的宽度AC是骨柄长OA的一半．已知OA=30 cm，∠AOB=120°，则扇面ABDC的周长为________cm． ‎ ‎16.如图 ，在一张正方形纸片上剪下一个半径为r的圆形和一个半径为R的扇形，使之恰好围成图中所示的圆锥，则R与r之间的关系是________．‎ 23‎ ‎17.如图，点 ， ， ， 在 上， ， ， ，则 ________． ‎ ‎18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AC与BD相交于点E，AC=BC，DE=3，AD=5，则⊙O的半径为________． ‎ ‎19.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝，⊙A与BC相切于点D，且交AB，AC于M、N两点，则图中阴影部分的面积是________（结果保留π）． ‎ 三、解答题 ‎ ‎20.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分线交BC于D,以D为圆心,DB为半径作☉D. 求证:AC与☉D相切. ‎ 23‎ ‎21.如图，C是⊙O直径AB上一点，过C作弦DE，使DC=EC，∠AOD=40°，求∠BOE的度数． ‎ ‎22.如图所示，PA、PB为⊙O的切线，M、N是PA、AB的中点，连接MN交⊙O点C，连接PC交⊙O于D，连接ND交PB于Q，求证：MNQP为菱形． ‎ ‎23.已知：如图，BC是⊙O的弦，线段AD经过圆心O，点A在圆上，AD⊥BC，垂足为点D，若AD=8，tanA= ． ‎ ‎（1）求弦BC的长； ‎ ‎（2）求⊙O半径的长． ‎ 23‎ ‎24.如图 ‎ ‎（1）如图，在矩形ABCD中.点O在边AB上，∠AOC=∠BOD.求证：AO=OB. ‎ ‎（2）如图，AB是 的直径，PA与 相切于点A，OP与 相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数. ‎ ‎25.如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC ， AB相交于点D ， E ， 连结AD ． 已知∠CAD=∠B ． ‎ ‎（1）求证：AD是⊙O的切线． ‎ ‎（2）若BC=8，tanB= ，求⊙O的半径． ‎ 23‎ ‎26.如图1，在△ABC的外接圆⊙O中，AB=5是⊙O的直径，CD⊥AB ， 垂足为D ， 且CD=2，E为 的中点．连接CE交AB于点P ， 其中AD>BD ．              图1                               图2 ‎ ‎（1）连接OE ， 求证：OE⊥AB； ‎ ‎（2）若线段AD与BD的长分别是关于x的方程x2－(m+2)x+n－1=0的两个根，求m ， n的值； ‎ ‎（3）如图2，过P点作直线l分别交射线CA ， CB(点C除外)于点M ， N ， 则 的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． ‎ 23‎ 答案解析 ‎ 一、选择题 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】 A.三个点不能在一条直线上，则A符合题意； B.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不符合题意； C.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，不符合题意； D.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，不符合题意， 故答案为：A.【分析】经过不在同一直线上三个点一定可以作圆；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；三角形的外心就是外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，到三角形各顶点的距离相等；根据圆的切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，反之经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。‎ ‎2.【答案】B ‎ ‎【解析】 ：如图，连接OC， ∵PC是⊙O的切线 ∴OC⊥PC ∴∠OCP=90° ∵OA=OC ∴∠A=∠ACO=35° ∠COP=∠A+∠ACO=70° ∴∠P=90°-∠COP=90°-70°=20° 故答案为：B 【分析】根据切线的性质可求出∠OCP的度数，再根据等边对等角求出∠A=∠ACO=35°，利用三角形的外角性质得出∠COP的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余，可求出∠P的度数。‎ ‎3.【答案】D ‎ 23‎ ‎【解析】 ：连接OD， ∵∠ABD=30°， ∴∠AOD=2∠ABD=60°， ∴∠BOD=120°， ∴ 的长= =  ， 故答案为：D． 【分析】连接OD，根据圆周角定理得出AOD=2∠ABD=60°，根据邻补角定义得出∠BOD=120°，根据弧长公式即可得出答案。‎ ‎4.【答案】B ‎ ‎【解析】 ∵∠D=35°， ∴∠COB=70°， ∴∠OCB= . 故答案为：B． 【分析】根据圆周角定理可得∠COB=2∠D=70°，而OB=OC，所以∠OCB=∠OBC==。‎ ‎5.【答案】C ‎ ‎【解析】 ①∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BD， 故①正确； ②∵OC∥BD， ∴∠OCB=∠DBC， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OBC=∠DBC， ∴BC平分∠ABD， ‎ 23‎ 故②正确； ③∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角， ∴∠AOC≠∠AEC， 故③不正确； ④∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BD， ∵OC∥BD， ∴∠AFO=90°， ∵点O为圆心， ∴AF=DF， 故④正确； ⑤由④有，AF=DF， ∵点O为AB中点， ∴OF是△ABD的中位线， ∴BD=2OF， 故⑤正确； 综上可知：其中一定成立的有①②④⑤， 故答案为：C． 【分析】①根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，从而得出AD⊥BD；②根据二直线平行，内错角相等得出∠OCB=∠DBC，根据等边对等角得出∠OCB=∠OBC，根据等量代换得出∠OBC=∠DBC，从而得出BC平分∠ABD；③∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，故∠AOC≠∠AEC；④根据直径所对的圆周角是直角得出AD⊥BD，根据二直线平行同位角相等得出∠AFO=90°，根据戳径定理得出AF=DF；⑤由④有，AF=DF，根据中位线定理得出BD=2OF。‎ ‎6.【答案】D ‎ ‎【解析】 由作图可知：AC=AB=BC， ∴△ABC是等边三角形， 由作图可知：CB=CA=CD， ∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°， BD= AB， ‎ 23‎ ‎∴S△ABD= AB2 ， ∵AC=CD， ∴S△BDC= AB2 ， 故A、B、C不符合题意， 故答案为：D． 【分析】根据作图可知AC=AB=BC=CD，可对A、C作出判断；利用解直角三角形及三角形的面积公式，可求出△ABD的面积，再根据△ABD的面积=△BCD的面积的2倍，可对C作出判断；根据∠A=60°，∠D=30°，通过计算sin2A+cos2D的值，可对D作出判断；从而可得出答案。‎ ‎7.【答案】D ‎ ‎【解析】 ：根据几何体的三视图可知，该几何体是一个圆锥，该圆锥的高为b,母线长为  a,底面圆的直径是c，根据圆锥的母线，底面圆的半径，高三线刚好构成了一个直角三角形的三边，且a为直角三角形的斜边， 根据勾股定理得出  ：a2 = b2+c 2，从而得出D是错的，故D符合题意； 故答案为：D.【分析】根据几何体的三视图可知，该几何体是一个圆锥，该圆锥的高为b,母线长为  a,底面圆的直径是c，圆锥的母线，底面圆的半径，高三线刚好构成了一个直角三角形的三边，从而得出a 2 = b 2 +c2.‎ ‎8.【答案】B ‎ ‎【解析】 ：作OD⊥BC交BC与点D， ∵∠COA=60°， ∴∠COB=120°，则∠COD=60°． ∴S扇形AOC= = . S扇形BOC= . 在三角形OCD中，∠OCD=30°， ∴OD= ，CD= ，BC= R， ∴S△OBC= ，S弓形= = ， , ∴S2＜S1＜S3 ． 故答案为：B． 【分析】作OD⊥BC交BC与点D，根据等腰三角形的三线合一得出则∠COD=60°，在Rt三角形OCD中，∠‎ 23‎ OCD=30°，根据锐角三角函数的关系得出OD,CD,的长，进而根据垂径定理得出BC的长，根据三角形的面积公式，扇形的面积公式，弓形的面积公式，分别算出S1、S2、S3，比大小即可得出结论。‎ ‎9.【答案】A ‎ ‎【解析】 ：如图 根据题意可知：∠AEC=30°，CE=CD=1 AC=GF=BD 在Rt△AEC中，AE=CEcos30°= AC= ∴AG=2AE=，AB=2AC+CD=1+1=2 ∵摆放时要求桌子至少离墙1米，且有边与墙平行，桌子之间的最小距离至少1米， 一张桌子所占的总面积为3（1+）≈12 体验区的总面积为7×7=49 49÷12≈4 体验区可以摆放桌子4张 故答案为：A 【分析】画出桌子的外接四边形是矩形，分别求出矩形的长和宽，再根据摆放时要求桌子至少离墙1米，且有边与墙平行，桌子之间的最小距离至少1米，求出每张桌子占的最大面积，用总面积除以每张桌子占的最大面积，就可求出结果。‎ ‎10.【答案】C ‎ ‎【解析】 ：如图 ‎ 23‎ ‎∵AB垂直于弦CD ∴∠BED=90° ∵弧BC=弧BC ∴∠BDE=∠BOC=×70°=35° ∴∠B=90°-∠BDE=90°-35°=55° 故答案为：C【分析】根据圆周角定理求出∠BDE的度数，再根据垂直的定义得出△BDE是直角三角形，利用三角形内角和定理，即可求解。‎ ‎11.【答案】A ‎ ‎【解析】 ：过O点作OM⊥AB，连接OD ∴ME=DE ∴ME=DM=1cm， 设MO=h，CO=DO=x， ∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC， ∴∠MAO=45°， ∴AM=OM ∴AO= ∵AO=7−x， ∴=7−x， h= 在Rt△DMO中， h2=x2−1， （）2=x2−1， x2+14x-51=0 解之：x1=−17(舍去)    x2=3  故答案为：A ‎ 23‎ ‎【分析】过O点作OM⊥AB，连接OD，利用垂径定理可求出DM的长，再根据等腰直角三角形的性质，得出AC=BC，AM=OM，然后根据勾股定理得出建立关于x的方程，求解即可。‎ 二、填空题 ‎12.【答案】150 ‎ ‎【解析】 ：设扇形的圆心角为x度，扇形的半径为R，根据题意得出 解得  ：R=24, 又面积是240π 故 解得  ：x=150 故答案为  150 【分析】设扇形的圆心角为x度，扇形的半径为R，根据扇形的面积等于乘以弧长乘以半径，列出方程，求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式及扇形的面积列出方程，求解即可。‎ ‎13.【答案】10 ‎ ‎【解析】 ：如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30，BC=40 圆O是△ABC的内切圆，此时圆O的半径最大 连接OD、OE ∴OD=OE，∠DEC=∠ODC=90°，AD=AF，CD=CE，BE=BF ∴四边形ODCE是正方形， ∴CE=CD=r ∴AF=AD=30-r，BF=BE=40-r AB=AF+BF=30-r+40-r=70-2r ‎ 23‎ AB==50 70-2r=50 解之：r=10【分析】根据题意可知，要从三角形钢板上截得的最大圆，作出此三角形的内切圆，求出内切圆的半径，先画出图形，再证明四边形ODCE是正方形，根据切线长定理建立关于r的方程，求解即可。‎ ‎14.【答案】4π ‎ ‎【解析】 ：∵∠C=90°，CA=8，CB=6， ∴AB= =10， ∴△ABC的内切圆的半径= =2， ∴△ABC内切圆的周长=π•22=4π． 故答案为4π． 【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，根据三角形内切圆半径公式得出其内切圆的半径，从而得出内切圆的周长。‎ ‎15.【答案】30+30 ‎ ‎【解析】 ：∵扇面ABDC的宽度AC是骨柄长OA的一半 ∴AC=OA=15，OC=OA-AC=30-15=15 ∴弧AB的长为：=20 弧CD的长为：=10 ∴扇面ABDC的周长为：弧AB的长+弧CD的长+2AC=20+10+2×15=30+30 故答案为：30+30【分析】根据已知条件求出AC、OC的长，再根据弧长公式分别求出弧AB、弧CD的长，然后根据扇面ABDC的周长为：弧AB的长+弧CD的长+2AC，计算即可求解。‎ ‎16.【答案】R=4r ‎ ‎【解析】 3：∵扇形的圆心角为90°，半径为R ∴此扇形的弧长为： 底面圆的半径为r，则底面圆的周长为：2r ∵圆锥的底面圆的周长=侧面展开图的扇形的弧长 ∴ ∴R=4r 故答案为：R=4r ‎ 23‎ ‎【分析】根据题意结合图形，可知扇形的圆心角为90°，根据圆锥的侧面展开图是扇形，再根据扇形的弧长等于底面圆的周长，即可求出R与r的关系。‎ ‎17.【答案】70° ‎ ‎【解析】 ：∵ = ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ． 故答案为：   【分析】根据等弧所对的圆周角相等得出∠CAB=∠CAD=30° ，根据角的和差得出∠BAD=60° ，根据同弧所对的圆周角相等得出∠ABD=∠ACD=50° 根据三角形的内角和即可得出结论。‎ ‎18.【答案】7.5 ‎ ‎【解析】 ：如图，连接CO并延长，交AB于点F， ∵AC=BC ∴CF⊥AB ∵AB是直径 ∴∠BAD=90°即AD⊥AB ∴AD∥CF 设圆的半径为r ∴ ∴ 解之：r=7.5 故答案为：7.5 【分析】根据垂径定理可得出CF⊥AB，再根据圆周角定理可证得AD⊥AB，就可证明AD∥CF，根据平行线分线段成比例定理，得出比例式，即可求出圆的半径。‎ ‎19.【答案】‎ 23‎ ‎【解析】 ：如图，连接AD ∵⊙A与BC相切于点D，AB=AC，∠A=120°, ∴∠ABD=∠ACD=30°,AD⊥BC， ∴AB=2AD，由勾股定理知BD2+AD2=AB2 ， 即2+AD2=（2AD）2 解得AD=1，△ABC的面积=2， 扇形MAN的面积=， 所以阴影部分的面积=.【分析】连接AD,根据切线的性质及等腰三角形三线合一的性质，求出∠ABD=30°及BD=，利用勾股定理求出AD的长，再求出△ABC的面积及扇形MAN的面积，然后根据阴影部分的面积等于△ABC的面积减去扇形MAN的面积，即可求解。‎ 三、解答题 ‎20.【答案】证明:如图,过点D作DE⊥AC,垂足为E. ∵AD平分∠BAC,BD⊥AB,DE⊥AC, ∴DE=DB,即点D到AC的距离等于☉D的半径.∴AC与☉D相切 ‎ ‎【解析】【分析】如图,过点D作DE⊥AC,垂足为E.，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DB,即点D到AC的距离等于☉D的半径，从而得出结论。‎ ‎21.【答案】解：因为DC=EC，根据弦长定理可知，OA垂直于DE，则，∠AOE=∠AOD=40°，所以∠BOE=180°-40°=140°。 ‎ ‎【解析】【分析】根据DC=CE可得满足垂径定理的条件，再利用圆周角定理可求得。‎ 23‎ ‎22.【答案】证明：连接OA，OB，OC，OD，OP. ∵AN=NB，AM=MP. ∴MN∥BP. ∵PA、PB为 的切线， ∴AB⊥OP. ∴NM=MP，∠MNP=∠MPN， 在Rt△AOP中,由射影定理,得   由切割线定理,得   ∴PN⋅PO=PD⋅PC， ∴O，C，D，N四点共圆， ∴∠PND=∠OCD，∠ONC=∠ODC， ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC， ∵∠MNP=∠ONC， ∴∠MNP=∠PND=∠MPN， ∴MP∥NQ， ∴四边形MNQP是平行四边形， ∴四边形MNQP是菱形. ‎ ‎【解析】【分析】连接OA，OB，OC，OD，OP．由M、N是PA、AB的中点，根据三角形中位线的性质，可得MN∥BP，又由PA、PB为⊙O的切线，可得AB⊥OP，即可证得MN=PM，然后由射影定理与切割线定理证得O，C，D，N四点共圆，继而证得MP∥NQ，则可得四边形MNQP是平行四边形，即可证得四边形MNQP是菱形。‎ ‎23.【答案】（1）解：∵AD⊥BC， ， ∴ ． ∵AD=8，∴BD=4． 又∵经过圆心O的直线AD⊥BC， ‎ 23‎ ‎∴BC=2BD=8． （2）解：连接OC． 设⊙O的半径为r，那么OD=8﹣r． 在△COD中，（8﹣r）2+42=r2 ， ∴r=5， 即⊙O的半径为5． ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据题意，利用锐角三角函数的定义，在Rt△ABD中求出BD的长，再根据经过圆心O的直线AD⊥BC，就可求出BC的长。 （2）连接OC，设⊙O的半径为r，那么OD=8﹣r．利用勾股定理建立方程，求解即可求出圆的半径。‎ ‎24.【答案】（1）解：∵∠AOC=∠BOD ∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD 即∠AOD=∠BOC ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=90°，AD=BC ∴ ∴AO=OB （2）解：∵AB是 的直径，PA与 相切于点A， ∴PA⊥AB， ∴∠A=90°. 又∵∠OPA=40°， ∴∠AOP=50°， ∵OB=OC， ∴∠B=∠OCB. 又∵∠AOP=∠B+∠OCB， ∴ . ‎ ‎【解析】【分析】（1）由已知易得∠AOD=∠BOC，根据矩形的性质可得∠A=∠B=90°，AD=BC，用角角边易证得ΔAOD≅ΔBOC，所以AO=BO； ‎ 23‎ ‎（2）由切线的性质可得PA⊥AB，所以∠A=90°.根据直角三角形两锐角互余可得∠AOP=50°，由已知易得∠B=∠OCB，根据三角形外角的性质可得∠AOP=∠B+∠OCB，所以∠B=∠OCB=∠AOP= 25° .‎ ‎25.【答案】（1）连结OD， ∵OB=OD， ∴∠3=∠B。 ∵∠B=∠1， ∴∠3=∠1. 在Rt△ACD中，∠1+∠2=90° ∴∠3+∠2=90°， ∴∠4=180°-（∠2+∠3）=180°-90°=90°， ∴OD⊥AD ∴AD是⊙O的切线 （2）设⊙O的半径为r。 在Rt△ABC中，AC=BC·tanB=8× =4 ∴AB= ∴OA= 在Rt△ACD中，tan∠1=tanB= ∴CD=AC·tan∠1=4× =2 ∴AD2=AC2+CD2=42+22=20 ∴ 解得r= ‎ ‎【解析】【分析】（1）证明切线时，第一步一般将圆心与切点连结起来，证明该半径和该直线垂直即可证得；此题即证∠ADO=90°；（2）直接求半径会没有头绪，先根据题中的条件，求出相关结论，由BC=8，‎ 23‎ tanB= 不难得出AC，AB的长度；而tan∠1=tanB= ，同样可求出CD，AD的长度；设半径为r，在Rt△ADO中，由勾股定理构造方程解出半径r即可。‎ ‎26.【答案】（1）证明：∵E为 的中点， ∴   ∴∠AOE=∠BOE 又∵AB是⊙O的直径 ∴∠AOB=180° ∴∠AOE=∠BOE=90° ∴OE⊥AB ． （2）∵AB是⊙O直径  ∴∠ACD+∠BCD=90°         ∵CD⊥AB ， ∴∠CDB=∠ADC=90°         ∴∠BCD+∠CBD=90°         ∴∠ACD=∠CBD  ∴△ACD∽△CBD         ∴ ，即AD∙BD=CD2=4      又∵AB是⊙O直径，∴AD+BD=5   ∵AD与BD的长分别是关于x的方程x2－(m+2)x+n－1=0的两个根。 ∴AD+BD=m+2=5，AD∙BD=n－1=4  ∴m=3，n=5 （3）的值是定值。   理由：过点P作PG⊥AC于点G ， PF⊥CN于点F。   ∴∠PGM=∠ACB=∠PFN=90°   ∵E为 的中点   ∴∠ACP=∠NCP ， 即CE平分∠ACN   ∵PG⊥AC ， PF⊥CN ∴PG=PF ‎ 23‎ ‎  ∵S△CMN=S△MPC+S△NPC     ∴CM∙CN=PG(CM+CN)   ∴ 即   ∴     ∴ 的值是定值.   由（2）知AD∙BD=CD2=4，AD+BD=5 ∵AD＞BD  ∴AD=4，BD=1   在Rt△ADC和Rt△CDB中， ，      ∵S△ABC=S△APC+S△BPC= PG（AC+BC）= AC∙BC ，   即 PG=10  ∴ ，即   ∴ 的值是定值，定值为 。 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOE=∠BOE，根据邻补角的定义得出∠AOE=∠BOE=90°，从而得出结论； （2）根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACD+∠BCD=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠BCD+∠CBD=90°，根据同角的余角相等得出∠ACD=∠CBD ，进而判断出△ACD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例得出B D ∶C D = C D ∶A D，即AD∙BD=CD2=4 根据线段的和差得出AD+BD=5，然后根据根与系数的关系得出AD+BD=m+2=5，AD∙BD=n－1=4，从而得出m,n的值；  （3）是定值，理由如下  ：过点P作PG⊥AC于点G ， PF⊥CN于点F ， 根据垂直的定义及直径所对的圆周角是直角得出∠PGM=∠ACB=∠PFN=90°，根据等弧所对的圆周角相等得出∠ACP=∠NCP ， 即CE平分∠ACN，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PG=PF，根据S△CMN=S△MPC+S△NPC     得出CM∙CN=PG(CM+CN)，从而根据等式的性质得出结论； 由（2）知AD∙BD=CD2=4，AD+BD=5 又AD＞BD  故AD=4，BD=1，在Rt△ADC和Rt△CDB中，根据勾股定理得出AC,BC的长度，根据S△ABC=S△APC+S△BPC= PG（AC+BC）= AC∙BC ，   即 3 PG=10 ，从而得出答案。‎ 23‎