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  • 2021-05-13 发布

中考数学培优解析二次函数

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中考数学培优解析(二次函数)‎ ‎ 二次函数的应用 最大利润问题 最大面积问题,抛物线型桥梁、涵洞问题,体育活动中的抛物线型问题 ‎(2012北海,7,3分)7.已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为: ( )‎ A.(-2,-1) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-2,1)‎ ‎【解析】二次函数的顶点坐标公式为(),分别把a,b,c的值代入即可。‎ ‎【答案】B ‎【点评】本题考查的是二次函数顶点公式,做题时要灵活把握,求纵坐标时,也可以把横坐标的值代入到函数中,求y值即可,属于简单题型。‎ ‎(2012山东省滨州,1,3分)抛物线 与坐标轴的交点个数是(  )‎ ‎  A.3  B.2  C.1  D.0‎ ‎【解析】抛物线解析式,令x=0,解得:y=4,∴抛物线与y轴的交点为(0,4),令y=0,得到,即,分解因式得: ,解得: , ,‎ ‎∴抛物线与x轴的交点分别为(,0),(1,0),‎ 综上,抛物线与坐标轴的交点个数为3.‎ ‎【答案】选A ‎【点评】本题考查抛物线的性质,需要数形结合,解出交点,即可求出交点的个数.此题也可用一元二次方程根的判别式判定与x轴的交点个数,与y轴的交点就是抛物线中C的取值.‎ ‎ ( 2012年四川省巴中市,8,3)对于二次函数y=2(x+1)(x-3)下列说法正确的是( )‎ A.图象开口向下 B.当x>1时,y随x的增大而减小 C.x<1时,y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x= - 1‎ ‎【解析】y=2(x+1)(x-3)可化为y=(x-1)2-8,此抛物线开口向上,可排除A,对称轴是直线x=1可排除D,根据图象对称轴右侧部分, y随x的增大而减小,即x<1时,故选C.‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题考查将二次函数关系式化成顶点式的方法及图象性质.‎ ‎12.(2012湖南衡阳市,12,3)如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:‎ ‎①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3时,y>0‎ 其中正确的个数为(  )‎ A.1B.2C.3D.4‎ 解析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由x=1时的函数值判断a+b+c>0,然后根据对称轴推出2a+b与0的关系,根据图象判断﹣1<x<3时,y的符号.‎ 答案:解:①图象开口向下,能得到a<0;‎ ‎②对称轴在y轴右侧,x==1,则有﹣=1,即2a+b=0;‎ ‎③当x=1时,y>0,则a+b+c>0;‎ ‎④由图可知,当﹣1<x<3时,y>0.‎ 故选C.‎ 点评:本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.‎ ‎(2012呼和浩特,9,3分)已知:M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线上,点N在直线y=x+3上,设点M的坐标为(a,b),则二次函数y= –abx2+(a+b)x ‎ A. 有最大值,最大值为 – B. 有最大值,最大值为 ‎ C. 有最小值,最小值为 D. 有最小值,最小值为 –‎ ‎【解析】M(a,b),则N(–a,b),∵M在双曲线上,∴ab=;∵N在直线上,∴b=–a+3,即a+b=3;‎ ‎∴二次函数y= –abx2+(a+b)x= –x2+3x= –(x–3)2+,∴有最大值,最大值为 ‎【答案】B ‎【点评】本题考查了轴对称的性质,利用点在函数图象上,把点代入的解析式中求得ab和a+b的值。‎ 此题解题时没有必要解出a、b的值,而是利用整体代入法求解。‎ ‎(2012陕西10,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线向上(下)或向左(右)平移了个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则的最小值为()‎ A.1 B.2     C.3     D.6‎ ‎【解析】因为是左或右平移,所以由求出抛物线与 轴有两个交点分别为,将抛物线向右平移2个单位,恰好使得抛物线经过原点,且移动距离最小.选B.‎ ‎【答案】B ‎【点评】本题考查了抛物线的图像性质,关注它和x轴交点坐标是解决问题的关键.难度稍大.‎ ‎12.(2012四川泸州,12,3分)抛物线的顶点坐标是( )‎ A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,3) D.(-2,-3)‎ 解析:求抛物线的顶点坐标可以运用顶点坐标公式,也可以运用配方法.由抛物线的顶点坐标为(2,3).故选C.‎ 答案:C.‎ 点评:本题考查了二次函数图象顶点坐标,由配方法得到的顶点坐标中,横坐标符号容易被弄错,需要注意.‎ ‎(2012,黔东南州,5)抛物线的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为( )‎ A 、(4,-1) B、(0,-3) C、(-2,-3) D、(-2,-1)‎ 解析:,所以顶点坐标为(2,-1),右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为(4,-1).‎ 答案:A 点评:本题考查了抛物线的平移,难度较小.‎ ‎(2012河南,5,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线先向右平移2个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线解析式为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 解析:根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律:“左加右减,上加下减.”故选B.‎ 解答:B.‎ 点评:根据平移概念,图形平移变换,图形上每一点移动规律都是一样的,也可用抛物线顶点移动.即(0,-4)—→(2,-2).‎ ‎ (2012山东日照,11,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列结论:① b2-4ac>0;② 2a+b<0;③ 4a-2b+c=0;④ a︰b︰c= -1︰2︰3.其中正确的是( )‎ A. ①② B.②③ ‎ C. ③④ D.①④‎ 解析:由图可知,对称轴为x=1,图象与x轴有两个交点(-1,0)‎ 和(3,0),故b2-4ac>0;a-b+c=0,2a+b=0,所以b=-2a,c=-3a,所以a︰b︰c= -1︰2︰3.‎ 解答:选D.‎ 点评:本题主要考查二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标、对称轴等,解题的关键是运用数形结合思想,充分利用图象进行分析,排除错误答案.‎ ‎ (2012贵州黔西南州,10,4分)如图4,抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0),点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,m的值是( ).‎ A. B. C. D. ‎【解析】解把A(―1,0)代入y=x2+bx―2,求得b=―.‎ 所以,y=x2―x―2=(x―)2―,所以抛物线顶点D(,―).又求得C(0,―2).‎ 要x轴上的动点M(m,0)使MC+MD最小,作C点关于x轴的对称点C/(0,2),连接C/D与x轴的交点即为M点.‎ 利用相似三角形的知识求得OM=;或先求直线C/D的解析式,再求这条直线与抛物线的交点坐标为(,0).所以,n=.‎ ‎【答案】B.‎ ‎【点评】本题考查二次函数的图象与性质,一般在图形中解决“折线段最小值”的问题,要利用轴对称把“折线段”化为“直线段”进行计算.‎ ‎(2012呼和浩特,9,3分)已知:M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线上,点N在直线y=x+3上,设点M的坐标为(a,b),则二次函数y= –abx2+(a+b)x ‎ A. 有最大值,最大值为 – B. 有最大值,最大值为 ‎ C. 有最小值,最小值为 D. 有最小值,最小值为 –‎ ‎【解析】M(a,b),则N(–a,b),∵M在双曲线上,∴ab=;∵N在直线上,∴b=–a+3,即a+b=3;‎ ‎∴二次函数y= –abx2+(a+b)x= –x2+3x= –(x–3)2+,∴有最大值,最大值为 ‎【答案】B ‎【点评】本题考查了轴对称的性质,利用点在函数图象上,把点代入的解析式中求得ab和a+b的值。‎ 此题解题时没有必要解出a、b的值,而是利用整体代入法求解。‎ 第14题图 ‎(2012甘肃兰州,14,4分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象所示,若∣ax2+bx+c∣=k(k≠0)有两个 不相等的实数根,则k的取值范围是( )‎ A. k<-3 B. k>-3 C. k<3 D. k>3‎ 解析:根据题意得:y=|ax2+bx+c|的图象如右图: 所以若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k>3, 故选D.‎ 答案:D 点评:本题考查了二次函数的图象,先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象,即可得出|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根时,k的取值范围.解决本题的关键是根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象,根据图象得出k的取值范围.‎ ‎(2012南京市,12,2)已知下列函数:①y=x2;②y= -x2;③y=(x-1)2+2.其中,图像通过平移可以得到函数y= -x2+2x-3的图像有 .‎ 解析:只要二次项的系数相同,这类二次函数图像均可以通过平移得到.‎ 答案:②.‎ 点评:二次项的系数a决定二次函数的形状、开口大小等,所有a相等的二次函数都可以由y=ax2经过平移得到.‎ ‎(2012甘肃兰州,11,4分)已知二次函数有最小值1,则a、b的大小关系为( )‎ A.a>b B. ab,故选A.‎ 答案:A 点评:本题考查的是二次函数的最值。根据函数有最小值判断出a的符号,进而可得出结论。求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.‎ ‎(2012甘肃兰州,7,4分)抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移过程中正确的是( )‎ A. 先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C. 先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 解析:抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=(x+2)2,抛物线y=(x+2)2‎ ‎,再向下平移3个单位即可得到抛物线y=(x+2)2-3.故平移过程为:先向左平移2个单位,再向下平移3个单位.故选B.‎ 答案:B 点评:本题考查的是二次函数的图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.难度较小。‎ ‎(2012甘肃兰州,4,4分)抛物线y=-2x2+1的对称轴是( )‎ A.直线 B. 直线 C. y轴 D. 直线x=2‎ 解析:抛物线y=-2x2+1就是抛物线的顶点式方程,可直接得到对称轴为x=0,即y轴。‎ 答案:C 点评:本题主要考查二次函数的性质的知识点,将解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h.也可以用公式法解答.‎ ‎(2012河北省12,3分)12、如图6,抛物线与交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B、C,则以下结论:‎ ‎①无论x取何值,总是正数;‎ ‎②a=1;‎ ‎③当x=0时,;‎ ‎④2AB=3AC 其中正确的是 ( )‎ A.①② B.②③ C.③④ D.①④‎ ‎【解析】中,,而图象又在x轴的上方,所以结论①正确;将A(1,3)代入,可得,所以结论②不正确;当x=0时,,所以结论③错误;把y=3,分别代入两个表达式中,分别求出AB、AC的长度,比较它们的数量关系,可知④是对的。‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题考查的知识点比较多,计算量比较大,但是如用排除法,就简单一点了。在教学中,多渗透一题多解。此题难度较大。‎ ‎ (2012江苏苏州,16,3分)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=(x﹣1)2+1的图象上,若x1>x2>1,则y1 > y2(填“>”、“<”或“=”).‎ 分析:‎ 先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴,再判断出两点的位置及函数的增减性,进而可得出结论.‎ 解答:‎ 解:由二次函数y=(x﹣1)2+1可,其对称轴为x=1,‎ ‎∵x1>x2>1,‎ ‎∴两点均在对称轴的右侧,‎ ‎∵此函数图象开口向上,‎ ‎∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大,‎ ‎∵x1>x2>1,‎ ‎∴y1>y2.‎ 故答案为:>.‎ 点评:‎ 本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点,根据题意判断出A、B两点的位置是解答此题的关键.‎ ‎(2012广安中考试题第16题,3分)如图7,把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为________________.‎ 图7‎ 思路导引:注意平移的性质的运用,观察得出的图象构造的图形,可以发现以点AQOP为顶点的四边形是菱形,根据菱形的对角线互相垂直平分的性质,结合轴对称的性质进行分析解答 解析:平移后的抛物线的解析式是y=x(x+6),所以顶点坐标是(-3,-),‎ x=-3时,y==,所以点Q坐标是(-3,),‎ OA=6,PQ=2×=9,所以四边形APOQ面积是×6×9=27,图中阴影部分的面积是 四边形APOQ面积的,所以面积是 点评:在图形面积计算问题中,巧妙运用轴对称性质解答问题,注意割补法灵活运用.另外一般图形向特殊图形的转化也十分关键.‎ ‎(2012,湖北孝感,18,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图像的一部分如图所示,对于下列说法:‎ ‎①abc<0;②a-b+c<0; ③3a+c<0; ④当-10.其中正确的是__________(把正确说法的序号都填上).‎ ‎【解析】由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.‎ ‎∵抛物线的开口向下,∴a<0,‎ ‎∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上,∴c>0,‎ ‎∵对称轴为x==1,得2a=-b,∴a、b异号,即b>0,‎ 又∵c>0,∴abc<0,故①正确;‎ ‎∵抛物线与x轴的交点可以看出,‎ 当x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,故②正确;‎ 当x=-1时,y<0,‎ 而此时a-b+c =3a+c,即3a+c<0;故③正确;‎ 观察图形,显然④不正确.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.‎ ‎(2012深圳市 14 ,3分)二次函数的最小值是 。‎ ‎【解析】:考查二次函数的基本性质,会用顶点坐标公式求顶点。根据的值确定抛物线的开口方向,从而确定函数的最大或最小值。或将一般式化为顶点式求解。‎ ‎【解答】:由,可知二次函数或者由知二次函数的最小值是5‎ ‎【点评】:一是公式记忆要准确,二是系数不能代错。化成顶点式时配方不能出错。‎ ‎(2012年广西玉林市,18,3)二次函数y=-(x-2)2+的图象与x轴围成的封闭区域内(包括边界),横、纵坐标都是整数的点有 个. (提示:必要时可利用下面的备用图画出图象来分析).‎ 分析:根据二次函数的解析式可知函数的开口方向向上,顶点坐标为(2,),当y=0时,可解出与x轴的交点横坐标.‎ 解:∵二次项系数为-1,∴函数图象开口向下,顶点坐标为(2, ),当y=0时,-(x-2)2+ =0,解得x1= ,得x2= .可画出草图为:‎ 图象与x轴围成的封闭区域内(包括边界),横、纵坐标都是整数的点有7个,为(2,0),(2,1),(2,2),(1,0),(1,1),(3,0),(3,1).‎ 点评:本题考查了二次函数的性质,熟悉二次函数的性质、画出函数草图是解题的关键.‎ ‎(2012湖北咸宁,16,3分)对于二次函数,有下列说法:‎ ‎①它的图象与轴有两个公共点;‎ ‎②如果当≤1时随的增大而减小,则;‎ ‎③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则;‎ ‎④如果当时的函数值与时的函数值相等,‎ 则当时的函数值为.‎ 其中正确的说法是 .(把你认为正确说法的序号都填上)‎ ‎【解析】①根据函数与方程的关系解答;∵△=4m2-4×(-3)=4m2+12>0,∴它的图象与x轴有两个公共点,故本选项正确;‎ ‎②找到二次函数的对称轴,再判断函数的增减性;∵当x≤1时y随x的增大而减小,∴函数的对称轴x=-在直线x=1的左侧(包括与直线x=1重合),则-≤1,即m≤1,故本选项错误;‎ ‎③将m=-1代入解析式,求出和x轴的交点坐标;将m=-1代入解析式,得y=x2+2x-3,当y=0时,得x2+2x-3=0,即(x-1)(x+3)=0,解得,x1=1,x2=-3,将图象向左平移3个单位后不过原点,故本选项错误;‎ ‎④根据坐标的对称性,求出m的值,得到函数解析式,将m=2012代入解析式;④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,∴对称轴为x==1006,则-=1006,即m=1006,原函数可化为y=x2-2012x-3,当x=2012时,y=20122-2012×2012-3=-3,故本选项正确.‎ ‎【答案】①④(多填、少填或错填均不给分)‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质,抛物线平移、与x轴的交点,综合性较强.‎ ‎(2012年广西玉林市,11,3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为x=1,有如下结论:①c<1;②2a+b=0;③b2<4ac;④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=2,则正确的结论是(  )‎ A.①② B.①③ C.②④ D.③④‎ 分析:由抛物线与y轴的交点在1的上方,得到c大于1,故选项①错误;由抛物线的对称轴为x=1,利用对称轴公式得到关于a与b的关系,整理得到2a+b=0,选项②正确;由抛物线与x轴的交点有两个,得到根的判别式大于0,整理可判断出选项③错误;令抛物线解析式中y=0,得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出两根之和,将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2,选项④正确,即可得到正确的选项.‎ 解:由抛物线与y轴的交点位置得到:c>1,选项①错误;‎ ‎∵抛物线的对称轴为x=- =1,∴2a+b=0,选项②正确;‎ 由抛物线与x轴有两个交点,得到b2-4ac>0,即b2>4ac,选项③错误;‎ 令抛物线解析式中y=0,得到ax2+bx+c=0,∵方程的两根为x1,x2,且- =1,及- =2,∴x1+x2=- =2,选项④正确,综上,正确的结论有②④.故选C 点评:此题考查了二次函数图象与系数的关系,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),a的符号由开口方向决定,c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定,b的符号由a及对称轴的位置确定,抛物线与x轴交点的个数决定根的判别式的符号.‎ ‎(2012·哈尔滨,题号24分值 6)‎ ‎ 小磊要制作一个三角形的钢架模型,在这个三角形中,长度为x(单位:cm)的边与这条边上的高之和为40 cm,这个三角形的面积S(单位:cm2)随x(单位:cm)的变化而变化.‎ ‎ (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);‎ ‎ (2)当x是多少时,这个三角形面积S最大?最大面积是多少?21世纪教育网 ‎【解析】本题考查确定函数解析式,二次函数最值.三角形的边x和高的和是40,可表示该边上的高位40-x,根据三角形面积公式是底乘高除2可写出S=×x(40-x),这个二次函数的顶点坐标分别对应x及S的最大值.‎ ‎【答案】解:(1)S=×x(40-x)= +20x;‎ ‎ (2)x==20,S==200,‎ 所以当x=20cm时,这个三角形的面积最大,最大面积是200cm2.‎ ‎【点评】二次函数是中考考查的必考内容之一,本题是综合考查二次函数的最值问题,需要考生熟悉二次函数的相关基本概念和配方法即可解题.要注意解题过程的完整性.‎ ‎(2012·哈尔滨,题号8分值 3)将抛物线y=3x2向左平移2个单位,再向下平移1个单位,所得抛物线为( ).‎ ‎ (A)y=3(x+2)2—1 (B)y=3(x-2)2+1 (C)y=3(x-2)2—1 (D)y=3(x+2)2+l ‎【解析】本题考查了函数图象的平移规律.抛物线的平移规律是:左右平移自变量左加右减,上下平移常数上加下减来进行.对于题目当中这种简单形式,可以直接套公式即可.‎ ‎【答案】A ‎【点评】(1)受点的平移规律影响,误认为左右平移时自变量“左减右加”而误选B;(2)将3x2误认为是自变量,得出错误答案:y=3x2+2-1=3x2+1.‎ ‎(2012·哈尔滨,题号10分值 3)李大爷要围成一个矩形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米.要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD.设BC边的长为x米,AB边的长为y米,则y与x之间的函数关系式是( ).‎ ‎(A)y=一2x+24(00)代入双曲线解析式得m=1‎ ‎ ∴抛物线过点A(–2,2)、B(1,–4)、O(0,0)‎ ‎ ∴ 解得 ‎ ∴抛物线的解析式为y= –x2–3x ‎ (2)∵抛物线的解析式为y= –x2–3x ‎ ∴顶点E,对称轴为x=‎ ‎ ∵B(1,–4)‎ ‎ ∴–x2–3x=–4 解得x1=1,x2= –4‎ ‎ ∴C(–4,–4)‎ ‎ ∴S△ABC=5×6×=15‎ ‎ 由A、B两点坐标为(–2,2),(1,–4)可求得直线AB的解析式为:y= –2x–2‎ ‎ 设抛物线对称轴与AB交于点F,则F点坐标为(–,1)‎ ‎ ∴EF=‎ ‎ ∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3= ‎ ‎ (3)∵S△ABE=‎ ‎ ∴8 S△ABE=15‎ ‎ ∴当点D与点C重合时,显然满足条件。‎ ‎ 当点D与点C不重合时,过点C作AB的平行线CD,其对应的一次函数解析式为y= –2x–12‎ ‎ 令–2x–12=–x2–3x ‎ 解得x1=3,x2= –4(舍)‎ ‎ 当x=3时,y= –18‎ ‎ ∴存在另一点D(3,–18)满足条件。‎ ‎【点评】(1)利用反比例函数求点的坐标,并求出抛物线的解析式。(2)中利用解析式求出各个点的坐标,再求三角形的面积。(3)利用同底等高的原理作出平行线,找出另一点并求坐标。‎ ‎(2012湖北武汉,23,10分)如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED距离是11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴y轴建立平面直角坐标系,‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:米)随时间t(单位:时)的变化满足函数关系 ‎   h=-  (0≤t≤40)‎ 且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?‎ 解析:1、根据题意可得A,B,C,三点坐标分别为(-8,8)(0,11)(8,8),利用待定系数法,设抛物线解析式为y=ax2+c,有,解方程组即可 ‎2、水面到顶点C的距离不大于5米,即函数值不小大于11-5=6,解方程-=6即可 解:1、依题有顶点C的坐标为(0,11),点B的坐标为(8,8),设抛物线解析式为y=ax2+c 有,解得 ‎∴抛物线解析式为y=-x2+11‎ ‎2、令-=11-5,解得t1=35,t2=3‎ 画出 h=-  (0≤t≤40)的图像,‎ 由图像变化趋势可知,当3≤t≤35时,‎ 水面到顶点C的距离不大于5米,需禁止船只通行, ‎ 禁止船只通行时间为35-3=32(时)‎ 答:禁止船只通行时间为32小时。‎ 点评:难度中等 ‎(2012湖北武汉,25,12分)如图1、点A为抛物线C1:y =的顶点,点B的坐标为(1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C,(1)求点C的坐标;‎ ‎(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C于点E,平行于y轴的直线x=a交直线AB于F,交抛物线C1于G,若FG:DE=4:3,求a的值。‎ ‎(3)如图2将抛物线C向下平移m(m>0)个单位得到抛物线C2且抛物线C2的顶点为点P交X轴负半轴于点M,交射线BC于点N,NQ⊥x轴于点Q,当NP平分∠MNQ时,求m的值。‎ 解析:1、求C点的坐标,可首先利用待定系数法求出直线AB的解析式,联立直线与抛物线得到方程组,求解方程组即可;‎ ‎2、根据题意,DE的长度可求又FG:DE=4:3,故可求FG=2即∣yF-yG∣=2,把x=a代人两个函数解析式,用a表示F、G、纵坐标,得到关于a的方程即可;‎ ‎3、解决本题关键在于抓住M、P之间的联系,可设点M坐标为( t,0),根据待定系数法得抛物线C2解析式为y =,即P点坐标为(0,),又直线AB与抛物线C2的交点N坐标为(2-t,2-2t ),从而有∠NMO=450,进而MN与y轴交点为T(0,-t),由特殊角三角函数和线段和差有NT=(2-t),PT=-t+t2,又PN平分∠MNQ, NQ∥TP 故∠MNP=∠PNQ=∠TPN ,PT=NT,即-t+t2=(2-t),从而求得t值,进而求得m.‎ 解:(1)当x=0时,y=-2, ∴A(0,-2)‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b,有 ‎,解得. ∴直线AB的 解析式为y=2x-2.‎ 由C点为直线与抛物线y =的交点,则点C的横、纵坐标满足 解得 (舍) ∴点C的坐标为(4,6)‎ ‎(2)直线x=3分别交直线AB和交抛物线C1于D、E两点。‎ ‎∴yD=4, yE=, ∴DE= ‎ ‎∵FG:DE=4:3.FG=2‎ ‎∵直线分别交直线AB和抛物线C于F、G两点。‎ ‎∴yF=2a-2, yG=a2-2, ∴FG=|2a-a2|=2‎ 解得a1=2,a2=2+2,a3=2-2‎ ‎(3)解法一:设直线MN交y轴于T,过点N作NH⊥y轴于点H。‎ 设点M坐标为( t,0),抛物线C2 的解析式为y =‎ ‎∴0= ,∴ ∴y =‎ ‎∴点P坐标为(0,),‎ ‎∵点N是直线AB与抛物线y=x2-t2的交点,则点N的横,纵坐标满足 解得 (舍去) ∴点N坐标为(2-t,2-2t )‎ NQ=2--2t ,MQ=NQ, ∴‎ ‎∴△MOT, △NHT均为等腰直角三角形,∴MO=NO,HT=HN,‎ ‎∴OT=t,NT=NH=(2-t),PT=-t+t2‎ ‎∵PN平分∠MNQ, NQ∥TP ∴∠MNP=∠PNQ=∠TPN ∴PT=NT, ‎ ‎∴-t+t2=(2-t), ∴t1=-2,t2=2(舍去)‎ ‎-2-m=-t2=-(-2)2,∴m=2‎ 解法二,设N坐标为(t,2t-2),抛物线C2的解析式为y=x2-2-m, ∴2t-2=t2-2-m ‎∴点P坐标为(0,+2t-2)‎ 同解法一可得∠MNQ=450,∴∠PNQ=∠MNQ=22.50,‎ 过点P作PF⊥NQ于点F,在FN上截取FJ=FP,连线JP,∴NJ=JP=PF=FJ ‎∴NF=(+1)PF,∴即(2t-2)-(-t2+2t-2)=( +1)t ‎∴t1=2+2,t2=0(舍去), ∴m=t2-2t=2 ∴m=2‎ 点评:本题以二次函数为背景,考察了待定系数法,函数与方程组,抛物线与直线所截线段长度的计算,特殊角的三角函数,平行线、角平分线的性质等相关知识,以及数形结合的数学思想,1、2问难度不大,2问学生需注意分类讨论,也可以对线段的长度加绝对值达到分类讨论的效果;3问难度较大,学生不容易找到问题的突破口,学生可以先进行必要的计算,边算边找,只要找到∠NMQ=450,问题就较为明晰了。‎ ‎(2012湖南衡阳市,27,10)如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<)秒.答案如下问题:‎ ‎(1)当t为何值时,PQ∥BO?‎ ‎(2)设△AQP的面积为S,‎ ‎①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;‎ ‎②若我们规定:点P、Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则新坐标(x2﹣x1,y2﹣y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.‎ 解析:(1)如图①所示,当PQ∥BO时,利用平分线分线段成比例定理,列线段比例式,求出t的值;‎ ‎(2)①求S关系式的要点是求得△AQP的高,如图②所示,过点P作过点P作PD⊥x轴于点D,构造平行线PD∥BO,由线段比例关系求得PD,从而S可求出.S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数,利用二次函数求极值的方法求出S的最大值;‎ ‎②本问关键是求出点P、Q的坐标.当S取最大值时,可推出此时PD为△OAB的中位线,从而可求出点P的纵横坐标,又易求Q点坐标,从而求得点P、Q的坐标;求得P、Q的坐标之后,代入“向量PQ”坐标的定义(x2﹣x1,y2﹣y1),即可求解.‎ 答案:解:(1)∵A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),则OB=6,OA=8,‎ ‎∴AB===10.‎ 如图①,当PQ∥BO时,AQ=2t,BP=3t,则AP=10﹣3t.‎ ‎∵PQ∥BO,∴,即,解得t=,‎ ‎∴当t=秒时,PQ∥BO.‎ ‎(2)由(1)知:OA=8,OB=6,AB=10.‎ ‎①如图②所示,过点P作PD⊥x轴于点D,则PD∥BO,‎ ‎∴,即,解得PD=6﹣t.‎ S=AQ•PD=•2t•(6﹣t)=6t﹣t2=﹣(t﹣)2+5,‎ ‎∴S与t之间的函数关系式为:S=﹣(t﹣)2+5(0<t<),‎ 当t=秒时,S取得最大值,最大值为5(平方单位).‎ ‎②如图②所示,当S取最大值时,t=,‎ ‎∴PD=6﹣t=3,∴PD=BO,又PD∥BO,‎ ‎∴此时PD为△OAB的中位线,则OD=OA=4,‎ ‎∴P(4,3).‎ 又AQ=2t=,∴OQ=OA﹣AQ=,∴Q(,0).‎ 依题意,“向量PQ”的坐标为(﹣4,0﹣3),即(,﹣3).‎ ‎∴当S取最大值时,“向量PQ”的坐标为(,﹣3).‎ 点评:本题是典型的动点型问题,解题过程中,综合利用了平行线分线段成比例定理(或相似三角形的判定与性质)、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点.第(2)②问中,给出了“向量PQ”的坐标的新定义,为题目增添了新意,不过同学们无须为此迷惑,求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识.‎ ‎(2012·湖南省张家界市·25题·12分)如同,抛物线与轴交于C、A两点,与y轴交于点B,OB=4点O关于直线AB的对称点为D,E为线段AB的中点.‎ ‎(1) 分别求出点A、点B的坐标 ‎(2) 求直线AB的解析式 ‎(3) 若反比例函数的图像过点D,求值.‎ ‎(4)两动点P、Q同时从点A出发,分别沿AB、AO方向向B、O移动,点P每秒移动1个单位,点Q每秒移动个单位,设△POQ的面积为S,移动时间为t,问:S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值,并求出此时的t值,若不存在,请说明理由.‎ y x B D P A Q O C ‎2‎ ‎【分析】(1)求抛物线与x轴的交点的横坐标,即求函数值为0时,x的值;(2)利用待定系数法可求;(3)求出D点的坐标,再代入反比例函数关系式即可求k值;(4)利用二次函数的最值求解.‎ ‎【解答】解:(1)令y=0,即-x2+x+2=0,解答x1=-,x2=2.‎ ‎∴C(-,0),A(2,0)‎ ‎(2)令AB为直线为y=k1x+2,∵点A(2,0)在直线上,‎ ‎∴0=K1·2+2,∴k1=-.‎ ‎∴AB的解析式为y=-x+2.‎ ‎(3)∵D点与O点关于AB对称,∴OD=OA=2.‎ ‎∴D点的横坐标为,纵坐标为3,即D(,3).‎ 因为y=过点D,∴3=,∴k=3.‎ ‎(3)∵AP=t,AQ=t,∴OQ=2-t.‎ 点P到OQ的距离为t.‎ ‎∴S△OPQ=·(2-t)·t=-(t-2)2+.‎ 依题意,,得0<t≤4,‎ ‎∴当t=2时,S有最大值为.‎ ‎【点评】本题是考查一次函数、反比例函数和二次函数,由函数及满足函数图象的点,求出相关点的坐标,然后用待定系数法,求出抛物线的解析式;再根据二次函数的最值求解问题.‎ ‎ ( 2012年四川省巴中市,29,9)某种商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件;如果每件商品的售价上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元),设每件商品的售价上涨x元(x为整数),每个月的销售利润为y元.‎ ‎ (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;‎ ‎ (2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?‎ ‎【解析】①根据题意,y=(60-50+x)(200-10x),整理得,y=10x2+100x+2000(0