中考数学培优解析二次函数 68页

中考数学培优解析（二次函数）‎ ‎ 二次函数的应用 最大利润问题 最大面积问题，抛物线型桥梁、涵洞问题，体育活动中的抛物线型问题 ‎（2012北海,7，3分）7．已知二次函数y＝x2－4x＋5的顶点坐标为： （ ）‎ A．（－2，－1） B．（2，1） C．（2，－1） D．（－2，1）‎ ‎【解析】二次函数的顶点坐标公式为（），分别把a，b，c的值代入即可。‎ ‎【答案】B ‎【点评】本题考查的是二次函数顶点公式，做题时要灵活把握，求纵坐标时，也可以把横坐标的值代入到函数中，求y值即可，属于简单题型。‎ ‎（2012山东省滨州，1，3分）抛物线 与坐标轴的交点个数是（　　）‎ ‎　　A．3　　B．2　　C．1　　D．0‎ ‎【解析】抛物线解析式，令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y轴的交点为（0，4），令y=0，得到，即，分解因式得： ，解得： , ，‎ ‎∴抛物线与x轴的交点分别为（，0），（1，0），‎ 综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．‎ ‎【答案】选A ‎【点评】本题考查抛物线的性质，需要数形结合，解出交点，即可求出交点的个数．此题也可用一元二次方程根的判别式判定与x轴的交点个数，与y轴的交点就是抛物线中C的取值．‎ ‎ ( 2012年四川省巴中市,8,3)对于二次函数y=2(x+1)（x-3）下列说法正确的是（ ）‎ A.图象开口向下 B.当x＞1时,y随x的增大而减小 C.x＜1时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x= - 1‎ ‎【解析】y=2(x+1)（x-3）可化为y=(x－1)2-8,此抛物线开口向上,可排除A,对称轴是直线x=1可排除D,根据图象对称轴右侧部分, y随x的增大而减小,即x＜1时,故选C.‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题考查将二次函数关系式化成顶点式的方法及图象性质.‎ ‎12．（2012湖南衡阳市，12，3）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：‎ ‎①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．1B．2C．3D．4‎ 解析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．‎ 答案：解：①图象开口向下，能得到a＜0；‎ ‎②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；‎ ‎③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；‎ ‎④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．‎ 故选C．‎ 点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．‎ ‎（2012呼和浩特，9，3分）已知:M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a,b），则二次函数y= –abx2+(a+b)x ‎ A. 有最大值，最大值为 – B. 有最大值，最大值为 ‎ C. 有最小值，最小值为 D. 有最小值，最小值为 –‎ ‎【解析】M(a,b)，则N(–a,b)，∵M在双曲线上，∴ab=；∵N在直线上，∴b=–a+3,即a+b=3；‎ ‎∴二次函数y= –abx2+(a+b)x= –x2+3x= –(x–3)2+，∴有最大值，最大值为 ‎【答案】B ‎【点评】本题考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，把点代入的解析式中求得ab和a+b的值。‎ 此题解题时没有必要解出a、b的值，而是利用整体代入法求解。‎ ‎（2012陕西10，3分）在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（）‎ A．1 B．2 　　　　C．3 　　　　D．6‎ ‎【解析】因为是左或右平移，所以由求出抛物线与 轴有两个交点分别为，将抛物线向右平移2个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离最小．选B．‎ ‎【答案】B ‎【点评】本题考查了抛物线的图像性质，关注它和x轴交点坐标是解决问题的关键.难度稍大.‎ ‎12.（2012四川泸州，12，3分）抛物线的顶点坐标是（ ）‎ A.（2，3） B.（-2，3） C.（2，3） D.（-2，-3）‎ 解析：求抛物线的顶点坐标可以运用顶点坐标公式，也可以运用配方法.由抛物线的顶点坐标为（2，3）.故选C.‎ 答案：C.‎ 点评：本题考查了二次函数图象顶点坐标，由配方法得到的顶点坐标中，横坐标符号容易被弄错，需要注意.‎ ‎（2012，黔东南州，5）抛物线的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为（ ）‎ A 、（4，-1） B、（0，-3） C、（-2，-3） D、（-2，-1）‎ 解析：，所以顶点坐标为（2，-1），右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为（4，-1）.‎ 答案：A 点评：本题考查了抛物线的平移，难度较小.‎ ‎（2012河南，5，3分）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 解析：根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”故选B.‎ 解答：B．‎ 点评：根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动.即（0，－4）—→（2，－2）.‎ ‎ (2012山东日照，11，3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b2－4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a－2b+c=0；④ a︰b︰c= －1︰2︰3.其中正确的是（ ）‎ A. ①② B.②③ ‎ C. ③④ D.①④‎ 解析：由图可知，对称轴为x=1，图象与x轴有两个交点（-1，0）‎ 和（3，0），故b2－4ac>0；a-b+c=0,2a+b=0,所以b=-2a,c=-3a,所以a︰b︰c= -1︰2︰3.‎ 解答：选D．‎ 点评：本题主要考查二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标、对称轴等，解题的关键是运用数形结合思想，充分利用图象进行分析，排除错误答案.‎ ‎ (2012贵州黔西南州，10，4分)如图4，抛物线y=x2＋bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)，点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，m的值是( )．‎ A． B． C． D． ‎【解析】解把A(―1，0)代入y=x2＋bx―2，求得b=―．‎ 所以，y=x2―x―2=(x―)2―，所以抛物线顶点D(，―)．又求得C(0，―2)．‎ 要x轴上的动点M(m，0)使MC＋MD最小，作C点关于x轴的对称点C/(0，2)，连接C/D与x轴的交点即为M点．‎ 利用相似三角形的知识求得OM=；或先求直线C/D的解析式，再求这条直线与抛物线的交点坐标为(，0)．所以，n=．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的图象与性质，一般在图形中解决“折线段最小值”的问题，要利用轴对称把“折线段”化为“直线段”进行计算．‎ ‎（2012呼和浩特，9，3分）已知:M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a,b），则二次函数y= –abx2+(a+b)x ‎ A. 有最大值，最大值为 – B. 有最大值，最大值为 ‎ C. 有最小值，最小值为 D. 有最小值，最小值为 –‎ ‎【解析】M(a,b)，则N(–a,b)，∵M在双曲线上，∴ab=；∵N在直线上，∴b=–a+3,即a+b=3；‎ ‎∴二次函数y= –abx2+(a+b)x= –x2+3x= –(x–3)2+，∴有最大值，最大值为 ‎【答案】B ‎【点评】本题考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，把点代入的解析式中求得ab和a+b的值。‎ 此题解题时没有必要解出a、b的值，而是利用整体代入法求解。‎ 第14题图 ‎（2012甘肃兰州，14，4分）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象所示，若∣ax2+bx+c∣=k(k≠0)有两个 不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）‎ A. k<-3 B. k>-3 C. k<3 D. k>3‎ 解析：根据题意得：y=|ax2+bx+c|的图象如右图： 所以若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k＞3， 故选D．‎ 答案：D 点评：本题考查了二次函数的图象，先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，即可得出|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围．解决本题的关键是根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，根据图象得出k的取值范围．‎ ‎（2012南京市，12，2）已知下列函数：①y=x2;②y= -x2;③y=(x-1)2+2.其中，图像通过平移可以得到函数y= -x2+2x-3的图像有 .‎ 解析：只要二次项的系数相同，这类二次函数图像均可以通过平移得到.‎ 答案：②.‎ 点评：二次项的系数a决定二次函数的形状、开口大小等，所有a相等的二次函数都可以由y=ax2经过平移得到.‎ ‎（2012甘肃兰州，11，4分）已知二次函数有最小值1，则a、b的大小关系为（ ）‎ A.a>b B. ab,故选A．‎ 答案：A 点评：本题考查的是二次函数的最值。根据函数有最小值判断出a的符号，进而可得出结论。求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．‎ ‎（2012甘肃兰州，7，4分）抛物线y=（x+2）2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程中正确的是（ ）‎ A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 解析：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2‎ ‎，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2-3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选B．‎ 答案：B 点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．难度较小。‎ ‎（2012甘肃兰州，4，4分）抛物线y=-2x2+1的对称轴是（ ）‎ A.直线 B. 直线 C. y轴 D. 直线x=2‎ 解析：抛物线y=-2x2+1就是抛物线的顶点式方程，可直接得到对称轴为x=0，即y轴。‎ 答案：C 点评：本题主要考查二次函数的性质的知识点，将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．也可以用公式法解答．‎ ‎（2012河北省12,3分）12、如图6，抛物线与交于点A（1,3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：‎ ‎①无论x取何值，总是正数；‎ ‎②a=1；‎ ‎③当x=0时，；‎ ‎④2AB=3AC 其中正确的是 （ ）‎ Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④‎ ‎【解析】中，，而图象又在x轴的上方，所以结论①正确；将A（1,3）代入，可得，所以结论②不正确；当x=0时，，所以结论③错误；把y=3，分别代入两个表达式中，分别求出AB、AC的长度，比较它们的数量关系，可知④是对的。‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题考查的知识点比较多，计算量比较大，但是如用排除法，就简单一点了。在教学中，多渗透一题多解。此题难度较大。‎ ‎ (2012江苏苏州，16，3分)已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1　＞　y2（填“＞”、“＜”或“=”）．‎ 分析：‎ 先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增减性，进而可得出结论．‎ 解答：‎ 解：由二次函数y=（x﹣1）2+1可，其对称轴为x=1，‎ ‎∵x1＞x2＞1，‎ ‎∴两点均在对称轴的右侧，‎ ‎∵此函数图象开口向上，‎ ‎∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，‎ ‎∵x1＞x2＞1，‎ ‎∴y1＞y2．‎ 故答案为：＞．‎ 点评：‎ 本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是解答此题的关键．‎ ‎(2012广安中考试题第16题，3分)如图7，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________________．‎ 图7‎ 思路导引：注意平移的性质的运用，观察得出的图象构造的图形，可以发现以点AQOP为顶点的四边形是菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，结合轴对称的性质进行分析解答 解析：平移后的抛物线的解析式是y=x(x＋6)，所以顶点坐标是（－3，－），‎ x=－3时，y==，所以点Q坐标是（－3，），‎ OA=6，PQ=2×=9，所以四边形APOQ面积是×6×9=27,图中阴影部分的面积是 四边形APOQ面积的，所以面积是 点评：在图形面积计算问题中，巧妙运用轴对称性质解答问题，注意割补法灵活运用.另外一般图形向特殊图形的转化也十分关键.‎ ‎（2012，湖北孝感，18，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图像的一部分如图所示，对于下列说法：‎ ‎①abc<0；②a-b+c<0； ③3a+c<0； ④当-10．其中正确的是__________(把正确说法的序号都填上)．‎ ‎【解析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ ‎∵抛物线的开口向下，∴a＜0，‎ ‎∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，‎ ‎∵对称轴为x==1，得2a=－b，∴a、b异号，即b＞0，‎ 又∵c＞0，∴abc＜0，故①正确；‎ ‎∵抛物线与x轴的交点可以看出，‎ 当x=－1时，y＜0，∴a－b+c＜0，故②正确；‎ 当x=－1时，y＜0，‎ 而此时a－b+c =3a+c，即3a+c<0；故③正确；‎ 观察图形，显然④不正确．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．‎ ‎（2012深圳市 14 ，3分）二次函数的最小值是 。‎ ‎【解析】：考查二次函数的基本性质，会用顶点坐标公式求顶点。根据的值确定抛物线的开口方向，从而确定函数的最大或最小值。或将一般式化为顶点式求解。‎ ‎【解答】：由，可知二次函数或者由知二次函数的最小值是5‎ ‎【点评】：一是公式记忆要准确，二是系数不能代错。化成顶点式时配方不能出错。‎ ‎（2012年广西玉林市，18，3）二次函数y=-（x-2）2+的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有 个. （提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．‎ 分析：根据二次函数的解析式可知函数的开口方向向上，顶点坐标为（2，），当y=0时，可解出与x轴的交点横坐标．‎ 解：∵二次项系数为-1，∴函数图象开口向下，顶点坐标为（2， ），当y=0时，-（x-2）2+ =0，解得x1= ，得x2= ．可画出草图为：‎ 图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．‎ 点评：本题考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的性质、画出函数草图是解题的关键．‎ ‎（2012湖北咸宁，16，3分）对于二次函数，有下列说法：‎ ‎①它的图象与轴有两个公共点；‎ ‎②如果当≤1时随的增大而减小，则；‎ ‎③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；‎ ‎④如果当时的函数值与时的函数值相等，‎ 则当时的函数值为．‎ 其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）‎ ‎【解析】①根据函数与方程的关系解答；∵△＝4m2－4×（－3）＝4m2＋12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；‎ ‎②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；∵当x≤1时y随x的增大而减小，∴函数的对称轴x＝－在直线x＝1的左侧(包括与直线x＝1重合)，则－≤1，即m≤1，故本选项错误；‎ ‎③将m＝－1代入解析式，求出和x轴的交点坐标；将m＝－1代入解析式，得y＝x2＋2x－3，当y＝0时，得x2＋2x－3＝0，即（x－1）（x＋3）＝0，解得，x1＝1，x2＝－3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；‎ ‎④根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m＝2012代入解析式；④∵当x＝4时的函数值与x＝2008时的函数值相等，∴对称轴为x＝＝1006，则－＝1006，即m＝1006，原函数可化为y＝x2－2012x－3，当x＝2012时，y＝20122－2012×2012－3＝－3，故本选项正确．‎ ‎【答案】①④（多填、少填或错填均不给分）‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线平移、与x轴的交点，综合性较强．‎ ‎（2012年广西玉林市，11，3）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（　　）‎ A．①② B．①③ C．②④ D．③④‎ 分析：由抛物线与y轴的交点在1的上方，得到c大于1，故选项①错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到关于a与b的关系，整理得到2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x轴的交点有两个，得到根的判别式大于0，整理可判断出选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2，选项④正确，即可得到正确的选项．‎ 解：由抛物线与y轴的交点位置得到：c＞1，选项①错误；‎ ‎∵抛物线的对称轴为x=- =1，∴2a+b=0，选项②正确；‎ 由抛物线与x轴有两个交点，得到b2-4ac＞0，即b2＞4ac，选项③错误；‎ 令抛物线解析式中y=0，得到ax2+bx+c=0，∵方程的两根为x1，x2，且- =1，及- =2，∴x1+x2=- =2，选项④正确，综上，正确的结论有②④．故选C 点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置确定，抛物线与x轴交点的个数决定根的判别式的符号．‎ ‎（2012·哈尔滨，题号24分值 6）‎ ‎ 小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．‎ ‎ (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；‎ ‎ (2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?21世纪教育网 ‎【解析】本题考查确定函数解析式，二次函数最值.三角形的边x和高的和是40，可表示该边上的高位40-x，根据三角形面积公式是底乘高除2可写出S=×x(40-x),这个二次函数的顶点坐标分别对应x及S的最大值.‎ ‎【答案】解：（1）S=×x(40-x)= +20x；‎ ‎ （2）x==20,S==200,‎ 所以当x=20cm时，这个三角形的面积最大，最大面积是200cm2.‎ ‎【点评】二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的最值问题，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念和配方法即可解题．要注意解题过程的完整性.‎ ‎（2012·哈尔滨，题号8分值 3）将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )．‎ ‎ (A)y=3(x+2)2—1 (B)y=3(x-2)2+1 (C)y=3(x-2)2—1 (D)y=3(x+2)2+l ‎【解析】本题考查了函数图象的平移规律．抛物线的平移规律是：左右平移自变量左加右减，上下平移常数上加下减来进行．对于题目当中这种简单形式，可以直接套公式即可．‎ ‎【答案】A ‎【点评】（1）受点的平移规律影响，误认为左右平移时自变量“左减右加”而误选B；（2）将3x2误认为是自变量，得出错误答案：y=3x2+2-1=3x2+1．‎ ‎（2012·哈尔滨，题号10分值 3）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是( )．‎ ‎(A)y=一2x+24(00）代入双曲线解析式得m=1‎ ‎ ∴抛物线过点A（–2，2）、B（1，–4）、O（0，0）‎ ‎ ∴ 解得 ‎ ∴抛物线的解析式为y= –x2–3x ‎ （2）∵抛物线的解析式为y= –x2–3x ‎ ∴顶点E，对称轴为x=‎ ‎ ∵B（1，–4）‎ ‎ ∴–x2–3x=–4 解得x1=1,x2= –4‎ ‎ ∴C（–4，–4）‎ ‎ ∴S△ABC=5×6×=15‎ ‎ 由A、B两点坐标为（–2，2），（1，–4）可求得直线AB的解析式为：y= –2x–2‎ ‎ 设抛物线对称轴与AB交于点F，则F点坐标为（–，1）‎ ‎ ∴EF=‎ ‎ ∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3= ‎ ‎ （3）∵S△ABE=‎ ‎ ∴8 S△ABE=15‎ ‎ ∴当点D与点C重合时，显然满足条件。‎ ‎ 当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其对应的一次函数解析式为y= –2x–12‎ ‎ 令–2x–12=–x2–3x ‎ 解得x1=3,x2= –4(舍)‎ ‎ 当x=3时，y= –18‎ ‎ ∴存在另一点D（3，–18）满足条件。‎ ‎【点评】（1）利用反比例函数求点的坐标，并求出抛物线的解析式。（2）中利用解析式求出各个点的坐标，再求三角形的面积。（3）利用同底等高的原理作出平行线，找出另一点并求坐标。‎ ‎（2012湖北武汉，23，10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴y轴建立平面直角坐标系，‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离ｈ（单位：米）随时间ｔ（单位：时）的变化满足函数关系 ‎　　　ｈ＝－　　（０≤ｔ≤40）‎ 且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？‎ 解析：1、根据题意可得A，B，C，三点坐标分别为（-8，8）（０，11）（8，8），利用待定系数法，设抛物线解析式为y=ax2+c,有,解方程组即可 ‎2、水面到顶点C的距离不大于5米，即函数值不小大于11－5＝６，解方程－＝６即可 解：1、依题有顶点Ｃ的坐标为（０，11），点Ｂ的坐标为（8，8），设抛物线解析式为y=ax2+c 有,解得 ‎∴抛物线解析式为y=－x2+11‎ ‎2、令－＝11－5，解得t１＝35，t2=3‎ 画出　ｈ＝－　　（０≤ｔ≤40）的图像，‎ 由图像变化趋势可知，当3≤ｔ≤35时，‎ 水面到顶点C的距离不大于5米，需禁止船只通行， ‎ 禁止船只通行时间为35－3＝32（时）‎ 答：禁止船只通行时间为32小时。‎ 点评：难度中等 ‎（2012湖北武汉，25，12分）如图1、点A为抛物线C1：y =的顶点，点B的坐标为（1,0），直线AB交抛物线C1于另一点C，（1）求点C的坐标;‎ ‎（2）如图1,平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C于点E，平行于y轴的直线x＝a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE＝4：3,求a的值。‎ ‎（3）如图2将抛物线C向下平移m（m>0）个单位得到抛物线C2且抛物线C2的顶点为点P交X轴负半轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值。‎ 解析：1、求C点的坐标，可首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线与抛物线得到方程组，求解方程组即可；‎ ‎2、根据题意，DE的长度可求又FG：DE＝4：3,故可求FG=2即∣yF-yG∣=2,把x＝a代人两个函数解析式，用a表示F、G、纵坐标，得到关于a的方程即可；‎ ‎3、解决本题关键在于抓住M、P之间的联系，可设点M坐标为（ t，0），根据待定系数法得抛物线C2解析式为y =，即P点坐标为（0，），又直线AB与抛物线C2的交点N坐标为（2-t，2-2t ），从而有∠NMO=450，进而MN与y轴交点为T（0，-t）,由特殊角三角函数和线段和差有NT=（2-t）,PT=-t+t2，又PN平分∠MNQ, NQ∥TP 故∠MNP=∠PNQ=∠TPN ，PT=NT,即-t+t2=(2-t)，从而求得t值，进而求得m.‎ 解：（1）当x=0时，y=－２, ∴A(0，－２)‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b,有 ‎，解得. ∴直线AB的 解析式为y=2x-2.‎ 由C点为直线与抛物线y =的交点，则点C的横、纵坐标满足 解得 （舍） ∴点C的坐标为（4，6）‎ ‎（2）直线x＝3分别交直线AB和交抛物线C1于D、E两点。‎ ‎∴yD=4, yE=, ∴DE= ‎ ‎∵FG：DE＝4：3．FG＝２‎ ‎∵直线分别交直线AB和抛物线C于F、G两点。‎ ‎∴yF=2a-2, yG=a2-2, ∴FG=|2a-a2|=2‎ 解得a1=2,a2=2+2,a3=2-2‎ ‎（3）解法一：设直线MN交y轴于T，过点N作NH⊥y轴于点H。‎ 设点M坐标为（ t，0），抛物线C2 的解析式为y =‎ ‎∴0= ，∴ ∴y =‎ ‎∴点P坐标为（0，），‎ ‎∵点N是直线AB与抛物线y=x2-t2的交点，则点N的横，纵坐标满足 解得 (舍去) ∴点N坐标为（2-t，2-2t ）‎ NQ=2--2t ，MQ=NQ, ∴‎ ‎∴△MOT, △NHT均为等腰直角三角形，∴MO=NO,HT=HN,‎ ‎∴OT=t，NT=NH=（2-t）,PT=-t+t2‎ ‎∵PN平分∠MNQ, NQ∥TP ∴∠MNP=∠PNQ=∠TPN ∴PT=NT, ‎ ‎∴-t+t2=(2-t), ∴t1=-2,t2=2(舍去)‎ ‎-2-m=-t2=-(-2)2,∴m=2‎ 解法二，设N坐标为（t,2t-2）,抛物线C2的解析式为y=x2-2-m, ∴2t-2=t2-2-m ‎∴点P坐标为（0，+2t-2）‎ 同解法一可得∠MNQ=450，∴∠PNQ=∠MNQ=22.50，‎ 过点P作PF⊥NQ于点F，在FN上截取FJ=FP，连线JP，∴NJ＝JP＝PF＝FJ ‎∴NF＝（＋１）PF，∴即（２t-2）-(-t2+2t-2)=( +1)t ‎∴t1=2+2,t2=0(舍去), ∴m=t2-2t=2 ∴m=2‎ 点评：本题以二次函数为背景，考察了待定系数法，函数与方程组，抛物线与直线所截线段长度的计算，特殊角的三角函数，平行线、角平分线的性质等相关知识，以及数形结合的数学思想，1、2问难度不大，2问学生需注意分类讨论，也可以对线段的长度加绝对值达到分类讨论的效果；3问难度较大，学生不容易找到问题的突破口，学生可以先进行必要的计算，边算边找，只要找到∠NMQ=450，问题就较为明晰了。‎ ‎（2012湖南衡阳市，27，10）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．答案如下问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ∥BO？‎ ‎（2）设△AQP的面积为S，‎ ‎①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．‎ 解析：（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值；‎ ‎（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由线段比例关系求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；‎ ‎②本问关键是求出点P、Q的坐标．当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解．‎ 答案：解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，‎ ‎∴AB===10．‎ 如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t．‎ ‎∵PQ∥BO，∴，即，解得t=，‎ ‎∴当t=秒时，PQ∥BO．‎ ‎（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．‎ ‎①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，‎ ‎∴，即，解得PD=6﹣t．‎ S=AQ•PD=•2t•（6﹣t）=6t﹣t2=﹣（t﹣）2+5，‎ ‎∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣（t﹣）2+5（0＜t＜），‎ 当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．‎ ‎②如图②所示，当S取最大值时，t=，‎ ‎∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO，又PD∥BO，‎ ‎∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4，‎ ‎∴P（4，3）．‎ 又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）．‎ 依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．‎ ‎∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）．‎ 点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点．第（2）②问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识．‎ ‎（2012·湖南省张家界市·25题·12分）如同，抛物线与轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点.‎ ‎（1） 分别求出点A、点B的坐标 ‎（2） 求直线AB的解析式 ‎（3） 若反比例函数的图像过点D，求值.‎ ‎（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t,问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值，若不存在，请说明理由.‎ y x B D P A Q O C ‎2‎ ‎【分析】（1）求抛物线与x轴的交点的横坐标，即求函数值为0时，x的值；（2）利用待定系数法可求；（3）求出D点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求k值；（4）利用二次函数的最值求解.‎ ‎【解答】解：（1）令y=0，即-x2+x+2=0，解答x1=-，x2=2.‎ ‎∴C（-，0），A（2，0）‎ ‎（2）令AB为直线为y=k1x+2，∵点A（2，0）在直线上，‎ ‎∴0=K1·2+2，∴k1=-.‎ ‎∴AB的解析式为y=-x+2.‎ ‎（3）∵D点与O点关于AB对称，∴OD=OA=2.‎ ‎∴D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）.‎ 因为y=过点D，∴3=，∴k=3.‎ ‎（3）∵AP=t，AQ=t，∴OQ=2-t.‎ 点P到OQ的距离为t.‎ ‎∴S△OPQ=·（2-t）·t=-（t-2）2+.‎ 依题意，，得0＜t≤4，‎ ‎∴当t=2时，S有最大值为.‎ ‎【点评】本题是考查一次函数、反比例函数和二次函数，由函数及满足函数图象的点，求出相关点的坐标，然后用待定系数法，求出抛物线的解析式；再根据二次函数的最值求解问题．‎ ‎ ( 2012年四川省巴中市,29,9)某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.‎ ‎ (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;‎ ‎ (2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?‎ ‎【解析】①根据题意，y=（60-50+x）(200-10x),整理得，y=10x2+100x+2000(0