南宁2015年中考数学卷 17页

南宁市2015年中考数学试卷 本试卷分第I卷和第II卷，满分120分，考试时间120分钟 第I卷（选择题，共36分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出代号为（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的.请考生用2B铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑.‎ ‎1．3的绝对值是（ ）.‎ ‎ （A）3 （B）-3 （C） （D）‎ 考点：绝对值．.‎ 专题：计算题．‎ 分析：直接根据绝对值的意义求解．‎ 解答：解：|3|=3．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=﹣a．‎ ‎2．如图1是由四个大小相同的正方体组成的几何体，那么它的主视图是（ ）.‎ 正面 图1 （A） （B） （C） （D）‎ 考点：简单组合体的三视图．.‎ 专题：计算题．‎ 分析：从正面看几何体得到主视图即可．‎ 解答：解：根据题意的主视图为：，‎ 故选B 点评：此题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．‎ ‎3．南宁快速公交（简称：BRT）将在今年底开始动工，预计2016年下半年建成并投入试运营，首条BRT西起南宁火车站，东至南宁东站，全长约为11300米，其中数据11300用科学记数法表示为（ ）.‎ ‎ A．0.113×105 B．1.13×104 C．11.3×103 D．113×102‎ 考点：科学记数法—表示较大的数．.‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：解：将11300用科学记数法表示为：1.13×104．‎ 故选B．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ 图2‎ ‎4．某校男子足球队的年龄分布如图2条形图所示，则这些队员年龄的众 ‎ 数是（ ）.‎ ‎ （A）12 （B）13 　 （C）14 （D）15‎ 考点：众数；条形统计图．.‎ 分析：根据条形统计图找到最高的条形图所表示的年龄数即为众数．‎ 解答：解：观察条形统计图知：为14岁的最多，有8人，‎ 故众数为14岁，‎ 故选C．‎ 点评：考查了众数的定义及条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂条形统计图及了解众数的定义，难度较小．‎ ‎5．如图3，一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上，且BC//DE，则∠CAE等于（ ）.‎ 图3‎ ‎ （A）30° （B）45° 　 （C）60° （D）90°‎ 考点：平行线的性质．.‎ 分析：由直角三角板的特点可得：∠C=30°，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠CAE的度数．‎ 解答：解：∵∠C=30°，BC∥DE，‎ ‎∴∠CAE=∠C=30°．‎ 故选A．‎ 点评：此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．‎ ‎6．不等式的解集在数轴上表示为（ ）.‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．.‎ 专题：数形结合．‎ 分析：先解不等式得到x＜2，用数轴表示时，不等式的解集在2的左边且不含2，于是可判断D选项正确．‎ 解答：解：2x＜4，‎ 解得x＜2，‎ 用数轴表示为：‎ ‎．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．‎ 图4‎ ‎7．如图4，在△ABC中，AB=AD=DC，B=70°，则C的度数为（ ）.‎ ‎（A）35° （B）40° 　 （C）45° （D）50°‎ 考点：等腰三角形的性质．.‎ 分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．‎ 解答：解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，‎ ‎∴∠B=∠ADB=70°，‎ ‎∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，‎ ‎∵AD=CD，‎ ‎∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°，‎ 故选：A．‎ 点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．‎ ‎8．下列运算正确的是（ ）.‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 考点：整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；二次根式的乘除法．.‎ 专题：计算题．‎ 分析：A、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；‎ B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；‎ C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；‎ D、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果，即可做出判断．‎ 解答：解：A、原式=2b，错误；‎ B、原式=27x6，错误；‎ C、原式=a7，正确；‎ D、原式=，错误，‎ 故选C 点评：此题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，以及二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎9．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）.‎ ‎ （A）60° （B）72° （C）90° （D）108°‎ 考点：多边形内角与外角．.‎ 分析：首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．‎ 解答：解：设此多边形为n边形，‎ 根据题意得：180（n﹣2）=540，‎ 解得：n=5，‎ ‎∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．‎ 故选B．‎ 点评：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．‎ ‎10．如图5，已知经过原点的抛物线的对称轴是直线下列 图5‎ 结论中：，‚，ƒ当，正确的个数是（ ）.‎ ‎（A）0个 （B）1个 　 （C）2个 （D）3个 考点：二次函数图象与系数的关系．.‎ 分析：①由抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，判断a，b与0的关系，得到ab＞0；故①错误；‎ ‎②由x=1时，得到y=a+b+c＞0；故②正确；‎ ‎③根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可．‎ 解答：解：①∵抛物线的开口向上，‎ ‎∴a＞0，‎ ‎∵对称轴在y轴的左侧，‎ ‎∴b＞0‎ ‎∴ab＞0；故①正确；‎ ‎②∵观察图象知；当x=1时y=a+b+c＞0，‎ ‎∴②正确；‎ ‎③∵抛物线的对称轴为x=﹣1，与x轴交于（0，0），‎ ‎∴另一个交点为（﹣2，0），‎ ‎∴当﹣2＜x＜0时，y＜0；故③正确；‎ 故选D．‎ 点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．‎ 图6‎ ‎11．如图6，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是 直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为（ ）.‎ ‎ （A）4 （B）5 　 （C）6 （D）7‎ 考点：轴对称-最短路线问题；圆周角定理．.‎ 分析：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON，由两点之间线段最短可知MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，根据N是弧MB的中点可知∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′为等边三角形，由此可得出结论．‎ 解答：解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON．‎ ‎∵N关于AB的对称点N′，‎ ‎∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，‎ ‎∵N是弧MB的中点，‎ ‎∴∠A=∠NOB=∠MON=20°，‎ ‎∴∠MON′=60°，‎ ‎∴△MON′为等边三角形，‎ ‎∴MN′=OM=4，‎ ‎∴△PMN周长的最小值为4+1=5．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查的是轴对称﹣最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．‎ ‎12．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程的解为（ ）.‎ ‎ （A） （B）　 （C） （D）‎ 考点：解分式方程．.‎ 专题：新定义．‎ 分析：根据x与﹣x的大小关系，取x与﹣x中的最大值化简所求方程，求出解即可．‎ 解答：解：当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形得：﹣x=，‎ 去分母得：x2+2x+1=0，即x=﹣1；‎ 当x＞﹣x，即x＞0时，所求方程变形得：x=，即x2﹣2x=1，‎ 解得：x=1+或x=1﹣（舍去），‎ 经检验x=﹣1与x=1+都为分式方程的解．‎ 故选D．‎ 点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ 第II卷（非选择题，共84分）‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．因式分解：　　　　　　．‎ 考点：因式分解-提公因式法．.‎ 专题：因式分解．‎ 分析：观察等式的右边，提取公因式a即可求得答案．‎ 解答：解：ax+ay=a（x+y）．‎ 故答案为：a（x+y）．‎ 点评：此题考查了提取公因式法分解因式．解题的关键是注意找准公因式．‎ ‎14．要使分式有意义，则字母x的取值范围是 ．‎ 考点：分式有意义的条件．.‎ 分析：分式有意义，分母不等于零．‎ 解答：解：依题意得 x﹣1≠0，即x≠1时，分式有意义．‎ 故答案是：x≠1．‎ 点评：本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：‎ ‎（1）分式无意义⇔分母为零；‎ ‎（2）分式有意义⇔分母不为零；‎ ‎（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．‎ ‎15．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机提取一个小球，则取出的小球标号是奇数的概率是 ．‎ 考点：概率公式．.‎ 分析：首先判断出1，2，3，4，5中的奇数有哪些；然后根据概率公式，用奇数的数量除以5，求出取出的小球标号是奇数的概率是多少即可．‎ 解答：解：∵1，2，3，4，5中的奇数有3个：1、3、5，‎ ‎∴取出的小球标号是奇数的概率是：3÷5=．‎ 故答案为：．‎ 点评：此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．‎ ‎16．如图7，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则BED的度数是 ．‎ 图7‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点：正方形的性质；等边三角形的性质．.‎ 分析：根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．‎ 解答：解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=AD，∠BAD=90°．‎ ‎∵等边三角形ADE，‎ ‎∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．‎ ‎∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，‎ AB=AE，‎ ‎∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，‎ ‎∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，‎ 故答案为：45°．‎ 点评：本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．‎ yy A B O C x ‎17．如图8，点A在双曲线上，点B在双曲线上（点B在点A的右侧），且AB//轴，若四边形OABC是菱形，且AOC=60°，则　 　　．‎ 图8‎ 考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．.‎ 分析：首先根据点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），再利用含30°直角三角形的性质算出OA=2a，再利用菱形的性质进而得到B点坐标，即可求出k的值．‎ 解答：解：因为点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），‎ 因为四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，‎ 所以OA=2a，‎ 可得B点坐标为（3a，），‎ 可得：k=，‎ 故答案为：‎ 点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数，关键是根据菱形的性质求出B点坐标，即可算出反比例函数解析式．‎ ‎18．如图9，在数轴上，点A表示1，现将点A沿轴做如下移动，第一次点A向左移动3 个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么的最小值是 ．‎ 图9‎ 考点：规律型：图形的变化类；数轴．.‎ 分析：序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A12表示的数为16+3=19，则可判断点An与原点的距离不小于20时，n的最小值是13．‎ 解答：解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3=﹣2﹣2；‎ 第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6=4；‎ 第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9=﹣5；‎ 第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12=7；‎ 第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15=﹣8；‎ ‎…；‎ 则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，‎ A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，‎ 所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．‎ 故答案为：13．‎ 点评：本题考查了规律型，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键．‎ 考生注意：第三至第八大题为解答题，要求在答题卡上写出解答过程，如果运算结果含有根号，请保留根号.‎ 三、（本大题共2小题，每小题满分6分，共12分）‎ ‎19．计算：.‎ 考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．.‎ 专题：计算题．‎ 分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果．‎ 解答：解：原式=1+1﹣2×1+2‎ ‎=2．‎ 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎20．先化简，再求值：（1+）（1-）+（+2）-1，其中=.‎ 考点：整式的混合运算—化简求值．.‎ 专题：计算题．‎ 分析：先利用乘法公式展开，再合并得到原式=2x，然后把x=代入计算即可．‎ 解答：解：原式=1﹣x2+x2+2x﹣1‎ ‎=2x，‎ 当x=时，原式=2×=1．‎ 点评：本题考查了整式的混合运算﹣化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．‎ 四、（本大题共2小题，每小题满分8分，共16分）‎ ‎21．如图10，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1,1），B（-3,1），C（-1,4）．‎ ‎（1）画出△ABC关于y轴对称的；‎ ‎（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留）.‎ 图10‎ 考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．.‎ 专题：作图题．‎ 分析：（1）根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可；‎ ‎（2）根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积，求出即可．‎ 解答：解：（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；‎ ‎（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，‎ 线段BC旋转过程中所扫过得面积S==．‎ 点评：此题考查了作图﹣旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关键．‎ ‎22．今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（图11-1）和扇形统计图（图11-2），根据图表中的信息解答下列问题:‎ ‎（1）求全班学生人数和的值；‎ ‎（2）直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段；‎ ‎（3）该班中考体育成绩满分（60分）共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率.‎ 分组 分数段（分）‎ 频数 A ‎36≤x＜41‎ ‎2‎ B ‎41≤x＜46‎ ‎5‎ C ‎46≤x＜51‎ ‎15‎ D ‎51≤x＜56‎ m E ‎56≤x＜61‎ ‎10‎ 图 11-2‎ 图11-1‎ ‎ ‎ 考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数．.‎ 分析：（1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；‎ ‎（2）利用中位数的定义得出中位数的位置；‎ ‎（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．‎ 解答：解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%=50（人）；‎ m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18（人）；‎ ‎（2）∵全班学生人数：50人，‎ ‎∴第25和第26个数据的平均数是中位数，‎ ‎∴中位数落在51﹣56分数段；‎ ‎（3）如图所示：‎ 将男生分别标记为A1，A2，女生标记为B1‎ A1‎ A2‎ B1‎ A1‎ ‎（A1，A2）‎ ‎（A1，B1）‎ A2‎ ‎（A2，A1）‎ ‎（A2，B1）‎ B1‎ ‎（B1，A1）‎ ‎（B1，A2）‎ P（一男一女）==．‎ 点评：此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用，根据题意利用列表法得出所有情况是解题关键 图12‎ 五、（本大题满分8分）‎ ‎23．如图12，在□ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，‎ ‎（1）求证：△ADE≌△CBF；‎ ‎（2）若DEB=90°，求证四边形DEBF是矩形. ‎ 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．.‎ 专题：证明题．‎ 分析：（1）由在▱ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF．‎ ‎（2）由在▱ABCD中，且AE=CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，又由∠DEB=90°，可证得四边形DEBF是矩形．‎ 解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=CB，∠A=∠C，‎ 在△ADE和△CBF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CBF（SAS）．‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AB∥CD，‎ ‎∵AE=CF，‎ ‎∴BE=DF，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵∠DEB=90°，‎ ‎∴四边形DEBF是矩形．‎ 点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有一个角是直角的平行四边形是矩形，首先证得四边形ABCD是平行四边形是关键．‎ 六、（本大题满分10分）‎ ‎24．如图13-1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米.‎ ‎（1）用含的式子表示花圃的面积；‎ ‎（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；‎ ‎（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）、（元）与修建面积之间的函数关系如图13-2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？‎ 图13-1‎ 图13-2‎ 考点：一次函数的应用；一元二次方程的应用．.‎ 分析：（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；‎ ‎（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；‎ ‎（3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据实际问题写出自变量的取值范围即可．‎ 解答：解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；‎ ‎（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=×60×40，‎ 解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），‎ 答：所以通道的宽为5米；‎ ‎（3）设修建的道路和花圃的总造价为y，‎ 由已知得y1=40x，‎ y2=，‎ 则y=y1+y2=；‎ x花圃=（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400；‎ x通道=60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=﹣4a2+200a，‎ 当2≤a≤10，800≤x花圃≤2016，384≤x通道≤1600，‎ ‎∴384≤x≤2016，‎ 所以当x取384时，y有最小值，最小值为2040，即总造价最低为23040元，‎ 当x=383时，即通道的面积为384时，有﹣4a2+200a=384，‎ 解得a1=2，a2=48（舍去），‎ 所以当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为23040元．‎ 点评：本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．‎ 七、（本大题满分10分）‎ ‎25．如图14，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC = CG，过点C的直线CDBG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F.‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线.‎ ‎（2）若,求E的度数.‎ 图14‎ ‎（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长. ‎ 考点：圆的综合题．.‎ 分析：（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；‎ ‎（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论；‎ ‎（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3，BE=6，在Rt△DAH中，AD===．‎ 解答：（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，‎ ‎∵AC=CG，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠ABC=∠CBG，‎ ‎∵OC=OB，‎ ‎∴∠OCB=∠OBC，‎ ‎∴∠OCB=∠CBG，‎ ‎∴OC∥BG，‎ ‎∵CD⊥BG，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵OC∥BD，‎ ‎∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴AE=OA=OB，‎ ‎∴OC=OE，‎ ‎∵∠ECO=90°，‎ ‎∴∠E=30°；‎ ‎（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，‎ ‎∵∠E=30°‎ ‎∴∠EBD=60°，‎ ‎∴∠CBD=EBD=30°，‎ ‎∵CD=，‎ ‎∴BD=3，DE=3，BE=6，‎ ‎∴AE=BE=2，‎ ‎∴AH=1，‎ ‎∴EH=，‎ ‎∴DH=2，‎ 在Rt△DAH中，AD===．‎ 点评：本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ 八、（本小题满分10分）‎ ‎26．在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限.‎ ‎（1）如图15-1所示，当直线AB与轴平行，AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积.‎ ‎（2）如图15-2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与轴不平行，AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.‎ ‎（3）在（2）的条件下，若直线分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交轴于点D，且BPC=OCP，求点P的坐标.‎ ‎ ‎ 图15-2‎ 图15-1‎ 考点：二次函数综合题．.‎ 分析：（1）如图1，由AB与x轴平行，根据抛物线的对称性有AE=BE=1，由于∠AOB=90°，得到OE=AB=1，求出A（﹣1，1）、B（1，1），把x=1时，y=1代入y=ax2得：a=1得到抛物线的解析式y=x2，A、B两点的横坐标的乘积为xA•xB=﹣1‎ ‎（2）如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N得到∠AMO=∠BNO=90°，证出△AMO∽△BON，得到OM•ON=AM•BN，设A（xA，yA），B（xB，yB），由于A（xA，yA），B（xB，yB）在y=x2图象上，得到yA=，yB=，即可得到结论；‎ ‎（3）设A（m，m2），B（n，n2）．作辅助线，证明△AEO∽△OFB，得到mn=﹣1．再联立直线m：y=kx+b与抛物线y=x2的解析式，由根与系数关系得到：mn=﹣b，所以b=1；由此得到OD、CD的长度，从而得到PD的长度；作辅助线，构造Rt△PDG，由勾股定理求出点P的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）如图1，∵AB与x轴平行，‎ 根据抛物线的对称性有AE=BE=1，‎ ‎∵∠AOB=90°，‎ ‎∴OE=AB=1，‎ ‎∴A（﹣1，1）、B（1，1），‎ 把x=1时，y=1代入y=ax2得：a=1，‎ ‎∴抛物线的解析式y=x2，‎ A、B两点的横坐标的乘积为xA•xB=﹣1‎ ‎（2）xA•xB=﹣1为常数，‎ 如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，‎ ‎∴∠AMO=∠BNO=90°，‎ ‎∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°，‎ ‎∴∠MAO=∠BON，‎ ‎∴△AMO∽△BON，‎ ‎∴，‎ ‎∴OM•ON=AM•BN，‎ 设A（xA，yA），B（xB，yB），‎ ‎∵A（xA，yA），B（xB，yB）在y=x2图象上，‎ ‎∴，yA=，yB=，‎ ‎∴﹣xA•xB=yA•yB=•，‎ ‎∴xA•xB=﹣1为常数；‎ ‎（3）设A（m，m2），B（n，n2），‎ 如图3所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．‎ ‎∴，即，整理得：mn（mn+1）=0，‎ ‎∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=﹣1．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，联立，得：x2﹣kx﹣b=0．‎ ‎∵m，n是方程的两个根，∴mn=﹣b．‎ ‎∴b=1．‎ ‎∵直线AB与y轴交于点D，则OD=1．‎ 易知C（0，﹣2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．‎ ‎∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．‎ 设P（a，﹣2a﹣2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG=﹣a，GD=OG﹣OD=﹣2a﹣3．‎ 在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2，‎ 即：（﹣a）2+（﹣2a﹣3）2=32，整理得：5a2+12a=0，‎ 解得a=0（舍去）或a=﹣，‎ 当a=﹣时，﹣2a﹣2=，‎ ‎∴P（﹣，）．‎ 点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理、相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识点，有一定的难度．第（3）问中，注意根与系数关系的应用．‎