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- 2021-05-13 发布
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2019年中考数学提分训练: 平面直角坐标系
一、选择题
1.如果7年2班记作 ,那么 表示( )
A. 7年4班 B. 4年7班 C. 4年8班 D. 8年4班
2.平面直角坐标系中,点P(-2,5)所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在下列所给出的坐标中,在第二象限的是( )
A. (2,3) B. (2,-3) C. (-2,-3) D. (-2,3)
4.在直角坐标系中,点P(-2,3)到原点的距离是( )
A. B. C. D. 2
5.如图所示为某战役潜伏敌人防御工亭坐标地图的碎片,一号暗堡的坐标为(4,2),四号暗堡的坐标为(-2,4),由原有情报得知:敌军指挥部的坐标为(0,0),你认为敌军指挥部的位置大概( )
A. A处 B. B处 C. C处 D. D处
6.在坐标平面内,点P(4﹣2a,a﹣4)在第三象限.则a的取值范围是( )
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A. a>2 B. a<4 C. 2<a<4 D. 2≤a≤4
7.点M(-sin 60°,cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
8.如图,小手盖住的点的坐标可能为( )
A. B. C. D.
9.已知点P(1﹣2a,a﹣2)关于原点的对称点在第一象限内,且a为整数,则关于x的分式方程 =2的解是( )
A. 5 B. 1 C. 3 D. 不能确定
10.已知a,b,c为常数,点P(a,c)在第二象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断
19
11.如图,已知矩形 的顶点 分别落在 轴、 轴 ,则点 的坐标是( )
A. B. C. D.
12.如图,直线 与直线 把平面直角坐标系分成四个部分,则点( , )在( )
A. 第一部分 B. 第二部分 C. 第三部分 D. 第四部分
二、填空题
13.已知点P(3﹣m,m)在第二象限,则m的取值范围是________.
14.在平面直角坐标系中,若点P(2x+6,5x)在第四象限,则x的取值范围是________.
15.如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0)点D在y轴上,则点C的坐标是________。
16.在平面直角坐标系中,坐标轴上到点A(3,4)的距离等于5的点有________个.
19
17.如图,已知两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为1:3把线段AB缩小,则点A的对应点坐标是________.
18.如图所示,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上,向右,向下,向右的方向不断地移动,每移动一个单位,得到点A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),…,那么点A4n+1(n为自然数)的坐标为________(用n表示).
19.在平面直角坐标系中,点A坐标为(1,0),线段OA绕原点O沿逆时针方向旋转45°,并且每次的长度增加一倍,例如:OA1=2OA,∠A1OA=45°.按照这种规律变换下去,点A2017的纵坐标为________
20.如图,在平面直角坐标系中,从点P1(﹣1,0),P2(﹣1,﹣1),P3(1,﹣1),P4(1,1),P5(﹣2,1),P6(﹣2,﹣2),…依次扩展下去,则P2018的坐标为________.
三、解答题(共6题;共36分)
21.如图,点A(t,4)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,sinα= ,求t的值.
19
22.王林同学利用暑假参观了幸福村果树种植基地 如图 ,他出发沿 的路线进行了参观,请你按他参观的顺序写出他路上经过的地方,并用线段依次连接他经过的地点.
23.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣1,2),B(﹣3,4),C(﹣2,6).
①画出△ABC,并将它绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1 , 并写出点C1的坐标.
②以原点O为位似中心,画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2 , 并计算△A2B2C2的面积.
19
24.已知如图,A,B,C,D四点的坐标分别是(3,0),(0,4),(12,0),(0,9),探索∠OBA和∠OCD的大小关系,并说明理由.
25.在平面直角坐标系中,已知A(0,a),B(b,0)(a>0,b<0),点P为△ABO的角平分线的交点.
(1)连接OP,a=4,b=﹣3,则OP=?;(直接写出答案)
(2)如图1,连接OP,若a=﹣b,求证:OP+OB=AB;
(3)如图2,过点作PM⊥PA交x轴于M,若a2+b2=36,求AO﹣OM的最大值.
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26.如图1,在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为( ),点Q的坐标为 ,且 , ,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的一组对边与某条坐标轴平行,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”,图2及图3中点A的坐标为(4,3).
(1)若点B的坐标为(-2,0),则点A,B的“相关矩形”的面积为________;
(2)点C在y轴上,若点A,C的“相关矩形”的面积为8,求直线AC的解析式;
(3)如图3,直线 与x轴交于点M,与y轴交于点N,在直线MN上是否存在点D,使点A,D的“相关矩形”为正方形,如果存在,请求出点D的坐标,如果不存在,请说明理由.
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答案解析
一、选择题
1.【答案】D
【解析】 : 年2班记作 ,
表示8年4班,
故答案为:D.
【分析】根据7 年2班记作 ( 7 , 2 ) 可知第一个数表示年级,第二个数表示班,所以 ( 8 , 4 ) 表示8年4班。
2.【答案】B
【解析】 ∵点P的坐标为(-2,5)
∴点P在第二象限
故答案为B
【分析】根据点P的横纵坐标的符号,即可得出答案。
3.【答案】D
【解析】 :∵第二象限内点的横坐标是负数,纵坐标是正数,∴(2,3)、(2,﹣3)、(﹣2,﹣3)、(﹣2,3)中只有(﹣2,3)在第二象限.
故答案为:D.
【分析】第二象限内的点的坐标特征是:横坐标为负数,纵坐标为正数. 由此即可得出.
4.【答案】A
【解析】 过P作PE⊥x轴,连接OP,
∵P(-2,3),
∴PE=3,OE=2,
在Rt△OPE中,根据勾股定理得:OP2=PE2+OE2 ,
∴OP= = ,
19
则点P到原点的距离为 .
故答案为:A.
【分析】点P到原点的距离,可以构建直角三角形求解,点P的横纵坐标就是这个直角三角形的两条直角边,用勾股定理求斜边长即可.
5.【答案】B
【解析】 :∵一号墙堡的坐标为(4,2),四号墙堡的坐标为(−2,4),
∴一号暗堡的坐标和四号暗堡的横坐标为一正一负,
∴B点可能为坐标原点,
∴敌军指挥部的位置大约是B处。
故答案为:B
【分析】根据一号暗堡的坐标和四号暗堡的横坐标为一正一负分析,于是四点中只有B点可能为坐标原点。
6.【答案】C
【解析】 :∵点P(4﹣2a,a﹣4)在第三象限,∴ ,解得:2<a<4.故答案为:C.【分析】根据第三象限的点的横,纵坐标都为负即可得出即可得出不等式组,求解即可得出答案。
7.【答案】B
【解析】 :因为点M的横坐标:-sin 60°=-<0,
点M的纵坐标:cos 60°=>0,
所以点M(-, )在第二象限。
故答案为:B。【分析】根据特殊角的三角函数值,写出点M的坐标,再依据每个象限的横坐标和纵坐标的特点,判断点M在哪个象限即可。
8.【答案】D
【解析】 :由图可知,小手盖住的点在第四象限,
A、 在第二象限,不符合题意
B、 在第三象限,不符合题意
C、 在第一象限,不符合题意
D、 在第四象限.符合题意
所以,小手盖住的点的坐标可能是 .
故答案为:D.
【分析】由图可知,小手盖住的点在第四象限,而选项中只有 ( 1 , − 1 ) 在第四象限。
19
9.【答案】C
【解析】 :∵点P(1﹣2a,a﹣2)关于原点的对称点在第一象限内,且a为整数,
∴ ,
解得: <a<2,即a=1,
当a=1时,所求方程化为 =2,
去分母得:x+1=2x﹣2,
解得:x=3,
经检验x=3是分式方程的解,
则方程的解为3.
故答案为:C
【分析】关于原点对称的两点的特征是,横坐标互反,纵坐标互反;并且对称后的点在第一象限,可知横纵坐标都是整数,由此可求出a的值,再解分式方程即可.
10.【答案】B
【解析】 ∵点P(a,c)在第二象限,
∴a<0,c>0,
∴ac<0,
∴b2-4ac>0,
∴方程有两个不相等的实数根
故答案为:B.
【分析】因为点P(a,c)在第二象限,所以a<0,c>0,即ac<0,而-4ac中0,-4ac0,所以-4ac0,根据一元二次方程的根的判别式可得方程有两个不相等的实数根。
11.【答案】A
【解析 :过C作CE⊥y轴于E.
∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB,∠ADC=90°,
∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠DCE=∠ADO,
19
∴△CDE∽△ADO,
∴ .
∵OD=2OA=6,AD:AB=3:1,
∴OA=3,CD:AD= ,
∴CE= OD=2,DE= OA=1,
∴OE=7,
∴C(2,7).
故答案为:A.
【分析】要求点C的坐标,因此添加辅助线过C作CE⊥y轴于E,根据已知条件四边形ABCD是矩形,易证△CDE∽△ADO,得出它们的对应边成比例,求出CE、DE的长,再求出OE的长,就可得出点C的坐标。
12.【答案】B
【解析】 由题意可得 ,
解得 ,故点(- , )应在交点的上方,即第二部分.
故答案为:B.
【分析】先求得两直线的交点,再判断所给点的位置即可.
二、填空题
13.【答案】m>3
【解析】 由题意得:
【分析】因为第二象限的点的横坐标为负,纵坐标为正,所以可得不等式组:3−m<0,m>0;解得m>3。
14.【答案】﹣3<x<0
【解析】 :∵点P(2x+6,5x)在第四象限,
∴ ,
解得﹣3<x<0,
故答案为﹣3<x<0
【分析】根据第四象限的点的坐标的符号特征,横坐标为正,纵坐标为负可得不等式组:2 x + 6 > 0, 5 x < 0解得﹣3<x<0。
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15.【答案】(-5,4)
【解析】 :∵A(3,0),B(-2,0),
∴AB=5,AO=3,BO=2,
又∵四边形ABCD为菱形,
∴AD=CD=BC=AB=5,
在Rt△AOD中,
∴OD=4,
作CE⊥x轴,
∴四边形OECD为矩形,
∴CE=OD=4,OE=CD=5,
∴C(-5,4).
故答案为:(-5,4).
【分析】根据A、B两点坐标可得出菱形ABCD边长为5,在Rt△AOD中,根据勾股定理可求出OD=4;作CE⊥x轴,可得四边形OECD为矩形,根据矩形性质可得C点坐标.
16.【答案】3
【解析】 点A的坐标是(3,4),因而OA=5,坐标轴上到点A(3,4)的距离等于5的点就是以点A为圆心,以5为半径的圆与坐标轴的交点,圆与坐标轴的交点是原点,另外与两正半轴有交点,共有3个点.所以坐标轴上到点A(3,4)的距离等于5的点有3个.
故答案为:3.
【分析】以(3,4)为圆心半径为5的圆与x轴,y轴均有两个交点,但原点为公共点.
17.【答案】(2,1)或(﹣2,﹣1)
【解析】 :如图所示:
19
∵A(6,3),B(6,0)两点,以坐标原点O为位似中心,相似比为 ,
∴A′、A″的坐标分别是A′(2,1),A″((﹣2,﹣1).
故答案为:(2,1)或(﹣2,﹣1).
【分析】易得线段AB垂直于x轴,根据所给相似比把各坐标都除以3或﹣3即可.
18.【答案】(2n,1)
【解析】 由图可知,n=1时,4×1+1=5,点A5(2,1),
n=2时,4×2+1=9,点A9(4,1),
n=3时,4×3+1=13,点A13(6,1),
所以,点A4n+1(2n,1).
故答案为:(2n,1)
【分析】本题需先找到动点移动的规律,由图中不难发现运动四次动点的纵坐标回到起始的坐标点,横坐标向右移动两个单位,按照这个规律找下去,的坐标应为(2n,1).
19.【答案】
【解析】 根据点A0的坐标为(1,0),可得OA=1.然后根据题意,将线段OA绕原点O沿逆时针方向旋转45°,可知360°÷45°=8,可得A1、A9、A17、···A2017都在第一象限, 再根据OA1=2OA=2,∠A1OA=45°,可求得A1的纵坐标为 ,
同理可得,A9放入纵坐标为 ;
∴A2017的纵坐标为 .
故答案为: .
【分析】根据题意用锐角三角函数计算出、 、 、, 由已知线段OA绕原点O沿逆时针方向旋转45°可知,经过8次一个循环,用2017除以8,余数是几,则可得到点在第几象限,然后找出这一组点的规律即可求得点的纵坐标。
20.【答案】(-505,-505)
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【解析】 根据规律可知,2018÷4=5042
∴点P2018在第三象限,
∵点P2(-1,-1),P6(-2,-2),P10(-3,-3)
∴P2018的坐标为(-505,-505)
故答案为:(-505,-505)
【分析】根据各个点的位置关系,可得出下标为4的倍数的点在第一象限,被4除余1的点在第二象限,被4除余2的点在第三象限,得出点P2018在第三象限,横纵坐标相等,即可得出结果。
三、解答题
21.【答案】解:过A作AB⊥x轴于B.
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵A(t,4),
∴AB=4,
∴OA=6,
∴ .
【解析】【分析】过A作AB⊥x轴于B,根据正弦的定义和点A的坐标求出AB、OA的长,根据勾股定理计算即可.
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22.【答案】解:由各点的坐标可知他路上经过的地方:葡萄园 杏林 桃林 梅林 山楂林 枣林 梨园 苹果园.如图所示:
【解析】【分析】由各点的坐标可知王林同学在路上经过的地方依次是:葡萄园 → 杏林 → 桃林 → 梅林 → 山楂林 → 枣林 → 梨园 → 苹果园.
23.【答案】解:△ABC,△A1B1C1、△A2B2C2如图所示,
C1(3,3)
=4•S△ABC=4(2×4﹣ •1•2﹣ •1•4﹣ •2•2)=12.
【解析】【分析】根据三点的坐标画出图形,再根据旋转的性质得到△A1B1C1 , 因为位似图形的对应点和位似中心在同一直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比,画出△A2B2C2.
24.【答案】解:∠OBA=∠OCD,理由如下: 由勾股定理,得
AB= = =5,CD= = =15,
sin∠OBA= = ,sin∠OCD= = = ,
∠OBA=∠OCD
【解析】【分析】根据勾股定理,可得AB的长,CD的长,根据锐角三角三角函数的正弦等对边比斜边,可得锐角三角函数的正弦值,再根据锐角三角函数的正弦值随锐角的增大而增大,可得答案.
25.【答案】解:(1)如图1中,作PE⊥OA,PF⊥B,PH⊥AB垂足分别为E、F、H.
在RT△AOB中,∵OA=4,OB=3,
19
∴AB===5,
在△APE或△APH中,
,
∴△APH≌△APE,
∴AH=AE,PH=PE,同理BH=BF,PH=PF,
∵∴PE=PH=PF,
∵∠PFO=∠PEO=∠EOF=90°,
∴四边形PEOF是矩形,∵PE=PF,
∴四边形PEOF是正方形,
∴PE=PF=OF=OE,
∴OA+OB﹣AB=AE+OE+BF+OF﹣AH﹣BH=2EO,
∴EO==1,
∴OP==,
故答案为.
(2)如图3中,连接AP、BP,在x轴的正半轴上截取OM=OP,连接PM,
则∠OMP=∠OPM=∠POB,
∵P为△AOB角平分线交点,∠AOB=90°,OA=OB,
∴∠BAO=∠AOP=∠BOP=∠ABO=45°,
∴∠ABP=∠MBP,∠PMO=∠OAP=∠BAP=×45°=22.5°,
在△ABP和△MBP中,
,
∴△ABP≌△MBP(AAS),
∴AB=BM=OB+OP.
(3)在图2中,作PE⊥x轴于E,PF⊥y轴于点F,PH⊥AB于H,
则∠AFP=∠MEP=90°,
∵∠AFP=∠MEP=90°,
∵P是△AOB的角平分线交点,
19
∴PF=PE,
∵PE⊥x轴,PF⊥y轴,
∴∠PFO=∠PEO=90°,
∴∠FPE=90°,
∵AP⊥PM
∴∠APM=90°=∠FPE,
∴∠APM﹣∠FPM=∠FPE﹣∠FPM,
即:∠APF=∠MPE,
在△APF和△MPE中,
,
∴△APF≌△MPE,
∴AF=EM,
∴AO﹣MO=(AF+OF)﹣(EM﹣OE)=2OE,
∵a2+b2=36,AB=6,OE=,
∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)≤72在
∴a+b≤6
∴OE的最大值为3﹣3,
∴AO﹣OM的最大值为6﹣6.
19
【解析】【分析】(1)如图1中,作PE⊥OA,PF⊥B,PH⊥AB垂足分别为E、F、H,首先证明PH=PE=PF,其次证明四边形PEOF是正方形,推出OE=即可解决问题.
(2)如图3中,连接AP、BP,在x轴的正半轴上截取OM=OP,连接PM,证明△ABP≌△MBP即可.
(3)因为AO﹣MO=(AF+OF)﹣(EM﹣OE)=2OE,OE=, 又因为(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)≤72,所以a+b≤6由此即可解决问题.
26.【答案】(1)18
(2)解:由“相关矩形”的定义,点C与点A在矩形中是相对的,
∵点C在y轴上,可设C(0,a),
∴|a-3|×4=8,解得a=1或5,
19
则C(0,1)或(0,5),
当C(0,1)时,直线AC的解析式y= x+1;
当C(0,5)时,直线AC的解析式y= x+5.
(3)解:存在.可设D(x, ),
当A,D的相关矩形为正方形时,
则|x-4|=| -3|,
则x-4= -3,或x-4=
解得x=2或x=10.
则D(2,1)或(10,3).
【解析】 :(1)如图,矩形ACBD为A,B的“相关矩形”,
它的面积为(4+2)×3=18.
【分析】(1)在图中画出点B的坐标,作出A,B的相关矩形ACBD,不难得到AC=4+2=6,AD=3,则可计算矩形面积;(2)设C(0,a),长和宽分别为|a-3|,4,根据面积为8构造方程,解出a的值,再求直线AC的解析式;(3)可设D(x, ),则长和宽分别为|x-4|和| -3|,由正方形的邻边相等可构造方程|x-4|=| -3|,解出x的值可解答.
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