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- 2021-05-13 发布
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中考数学填空压轴题70题附答案
1.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=5,点E、F分别在线段AB、BC上,将△BEF沿EF折叠,点B落在B′ 处.如图1,当B′ 在AD上时,B′ 在AD上可移动的最大距离为_________;如图2,当B′ 在矩形ABCD内部时,AB′ 的最小值为______________.
A
D
B
CF
B′
EF
FF
图1
A
D
B
CF
B′
EF
FF
图2
CF
B
A
2.如图,乐器上一根弦固定在乐器面板上A、B两点,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,若AB=80cm,则AC=______________cm.(结果保留根号)
3.已知抛物线y=ax 2-2ax-1+a(a >0)与直线x=2,x=3,y=1,y=2围成的正方形有公共点,则a的取值范围是___________________.
4.如图,7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1,则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为_______________.
A1
A2
A6
A10
A3
A7
A4
A5
A9
A8
x
y
O
5.如图,已知A1(1,0),A2(1,-1),A3(-1,-1),A4(-1,1),
A5(2,1),…,则点A2010的坐标是__________________.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.若以C点为圆心,r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则r的取值范围是_________________.
7.已知⊙A和⊙B相交,⊙A的半径为5,AB=8,那么⊙B的半径r的取值范围是_________________.
8.已知抛物线F1:y=x 2-4x-1,抛物线F2与F1关于点(1,0)中心对称,则在F1和F2围成的封闭图形上,平行于y轴的线段长度的最大值为_____________.
9.如图,四边形ABCD中,AB=4,BC=7,CD=2,AD=x,则x的取值范围是( ).
A
x
D
B
C
7
4
2
10.已知正数a、b、c满足a 2+c 2=16,b 2+c 2=25,则k=a 2+b 2的取值范围是_________________.
11.如图,在△ABC中,AB=AC,D在AB上,BD=AB,则∠A的取值范围是_________________.
A
D
B
C
12.函数y=2x 2+4|x|-1的最小值是____________.
13.已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0< a <3),A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上两点,若x1<x2,且x1+x2=1-a,则y1 __________ y2(填“>”、“<”或“=”)
14.如图,△ABC中,∠A的平分线交BC于D,若AB=6,AC=4,∠A=60°,则AD的长为___________.
A
D
B
C
A
D
B
y=
P
O
C
y=
y
x
15.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在AB上,DE⊥AC交AC于E,DF⊥AB交BC于F,设AD=x,四边形CEDF的面积为y,则y关于x的函数解析式为__________________________,自变量x的取值范围是_____________________.
A
D
B
C
E
F
16.两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示,点P在y=的图象上,PC⊥x轴于点C,交y=的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交y=的图象于点B,当点P在y=的图象上运动时,以下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②四边形PAOB的面积不会发生变化;③PA与PB始终相等;④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.
其中一定正确的是_________________.(把你认为正确结论的序号都填上,少填或错填不给分).
A
D
B
C
E
F
G
H
K
17.如图,△ABC中,BC=8,高AD=6,矩形EFGH的一边EF在边BC上,其余两个顶点G、H分别在边AC、AB上,则矩形EFGH的面积最大值为___________.
18.已知二次函数y=a(a+1)x 2-(2a+1)x+1,当a依次取1,2,…,2010时,函数的图像在x轴上所截得的线段A1B1,A2B2,…,A2010B2010的长度之和为_____________.
19.如图是一个矩形桌子,一小球从P撞击到Q,反射到R,又从R反射到S,从S反射回原处P,入射角与反射角相等(例如∠PQA=∠RQB等),已知AB=8,BC=15,DP=3.则小球所走的路径的长为_____________.A
C
B
S
D
Q
P
R
A
B
C
G
D
E
F
20.如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AB,AF=AD,连结EF交对角线AC于G,则=_____________.
21.已知m,n是关于x的方程x 2-2ax+a+6=0的两实根,则(m-1)2+(n-1)2的最小值为_____________.
A
C
B
F
D
E
G
22.如图,四边形ABCD和BEFG均为正方形,则AG : DF : CE=_____________.
A
P
B
C
23.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,点P是△ABC内的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB=________.
O
C
D
A
B
24.如图,AB、CD是⊙O的两条弦,∠AOB与∠C互补,∠COD与∠A相等,则∠AOB的度数是________.
25.如图,一个半径为的圆经过一个半径为2的圆的圆心,则图中阴影部分的面积为_____________.
A
C
B
D
D1
D2
D3
C1
C2
C3
C4
26.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2.作△ABC的高CD,作△CDB的高DC1,作△DC1B的高C1D1,……,如此下去,则得到的所有阴影三角形的面积之和为__________.
27.已知抛物线y=x 2-(2m+4)x+m 2-10与x轴交于A、B两点,C是抛物线顶点,若△ABC为直角三角形,则m=__________.
28.已知抛物线y=x 2-(2m+4)x+m 2-10与x轴交于A、B两点,C是抛物线顶点,若△ABC为等边三角形,则该抛物线的解析式为___________________________.
29.已知抛物线y=ax 2+(+3a)x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.若△ABC为直角三角形,
则a=__________.
30.如图,在直角三角形ABC中,∠A=90°,点D在斜边BC上,点E、F分别在直角边AB、AC上,且BD=5,CD=9,四边形AEDF是正方形,则阴影部分的面积为__________.
B
A
D
E
F
C
31.小颖同学想用“描点法”画二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象,取自变量x的5个值,分别计算出对应的y值,如下表:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
11
2
-1
2
5
…
由于粗心,小颖算错了其中的一个y值,请你指出这个算错的y值所对应的x=__________.
32.等边三角形ABC的边长为6,将其放置在如图所示的平面直角坐标系中,其中BC边在x轴上,BC边上的高OA在y轴上。一只电子虫从A点出发,先沿y轴到达G点,再沿GC到达C点,若电子虫在y轴上运动的速度是它在GC上运动速度的2倍,那么要使电子虫走完全程的时间最短,G点的坐标为_____________.
A
C
D
B
E
F
O
A
B
x
y
C
33.如图,等腰梯形纸片ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=7,折叠纸片,使点B与点D重合,折痕为EF,若DF⊥BC,则下列结论:①EF∥AC;②梯形ABCD的面积为25;③△AED∽△DAC;④∠B=67.5°;⑤DE⊥DC;⑥EF=,其中正确的是______________________.
A
C
B
E
F
G
图3
D
34.如图1是长方形纸带,∠DEF=24°,将纸带沿EF折叠成图2,再沿BF折叠成图3,则图3中的∠CFE的度数是___________.
A
C
B
E
D
F
图1
A
C
B
E
F
G
图2
D
O
A
C
B
D
M
35.如图,在一块等边三角形铁皮的每个顶点处各剪掉一个四边形,用剩余部分做成一个底面是等边三角形的无盖的盒子(接缝忽略不计).若等边三角形铁皮的边长为10cm,做成的盒子的侧面积等于底面积,那么,盒子的容积为___________cm3.
36.已知AC、BD是半径为2的⊙O的两条相互垂直的弦,M是AC与BD的交点,且OM=,则四边形ABCD的面积最大值为___________.
C
A
B
D
O2
O1
37.如图,半径为r1的⊙O1内切于半径为r2的⊙O2,切点为P,⊙O2的弦AB过⊙O1的圆心O1,与⊙O1交于C、D,且AC : CD : DB=3 : 4 : 2,则=___________.
38.已知实数x ,y满足方程组,则x 2+y 2=___________.
39.拋物线y=ax 2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,若△ABC是直角三角形,则ac=___________.
C
A
B
D
E
40.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠C=90°,BC=5,CD=3,AE⊥BC于点E,则AE=__________.
41.已知⊙O的半径OA=1,弦AB、AC的长分别是、,则∠BAC的度数是___________.
42.已知二次函数y=a(a+1)x 2-(2a+1)x+1(a>0)的图像顶点为A,与x轴的交点为B、C,则tan∠ABC=__________.
O
B
x
y
A
43.如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标为(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的像是△A′B′C.若点B的对应点B′ 的坐标为(a,b),则点B的坐标为_________________.
C
A
x
O
B
y
A′
B′
-1
A
B
N
M
O
P
44.如图,MN是⊙O的直径,MN=2,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为____________.
45.如图,抛物线y=x 2-x-与直线y=x-2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点E的坐标为____________,点F的坐标为____________,点P运动的总路径的长为____________.
A
B
N
M
C
D
G
E
F
46.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,CD⊥AB于点D,过AC的中点E作AC的垂线,交AB于点F,交CD的延长线于点G,M为CD中点,连结AM交EF于点N,则=____________.
47.圆内接四边形ABCD的四条边长顺次为:AB=2,BC=7,CD=6,DA=9,则四边形ABCD的面积为____________.
48.已知直角三角形的一边为11,其余两边的长度均为自然数,那么这个三角形的周长等于____________.
49.如图,△ABC中,AB=AC=16,sinA=.O为AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆交BC于D,且⊙O与AC相切,则D到AC的距离为_________.
A
B
O
6
1
1
6
x
y
A
B
C
D
O
A
B
C
O
50.如图,△ABC内接于⊙O,CB=a,CA=b,∠A-∠B=90°,则⊙O的半径为_______________.
51.如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点,如图,A、B两点在函数y=(x>0)的图象上,则图中阴影部分(不包括边界)所含格点的坐标为_____________________________________.
52.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n·90°,则n=_________.
A
B
C
D
E
F
G
53.如图,在边长为46cm的正方形铁皮上剪下
一块圆形和一块扇形铁皮,恰好做成一个圆锥模型,则该圆锥模型的底面半径是______________cm.
54.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BE交AC于点E,点D在AB上,DE⊥BE,若AD=6,AE=,则BE=__________.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
I1
I2
55.如图,CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高,I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心,若AC=3,BC=4,则I1I2=__________.
56.已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点,顶点为C,当△ABC为等腰直角三角形时,b 2-4ac=__________;当△ABC为等边三角形时,b 2-4ac=__________.
57.已知抛物线y=x 2+kx+1与x轴交于A、B两点,顶点为C,且∠ACB=90°,若使ACB=60°,应将抛物线向________(填“上”、“下”、“左”或“右”)平移________个单位.
A
C
O
B
x
y
58.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,顶点A、C分别在x轴、轴的正半轴上滑动,则点B到原点的最大距离是__________.
A
C
O
B
x
y
59.如图,边长为1的正三角形ABC的顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,则OC的长的最大值是__________.
60.已知实数a≠b,且满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2,则的值为__________.
A
C
D
B
E
F
61.如图,在△ABC中,AB=7,AC=11,AD是∠BAC的平分线,E是BC的中点,FE∥AD,则FC的长为__________.
62.已知a,b均为正数,抛物线y=x 2+ax+2b和y=x 2+2bx+a都与x轴
有公共点,则a 2+b 2的最小值为__________.
63.如图,△ABC中,AB=7,BC=12,CA=11,内切圆O分别与AB、BC、CA相切于点D、E、F,则AD : BE : CF=_______________.
A
C
D
B
E
F
64.如图,△ABC的面积为1,AD为中线,点E在AC上,且AE=2EC,AD与BE相交于点O,则△AOB的面积为__________.
A′
D
C
F
E
A
B
B′
B
C
F
E
A
D
P
Q
R
B
C
D
E
A
O
65.如图,等边三角形ABC中,点D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且BD=2DC,BE=2EC,CF=2FA,AD与BE相交于点P,BE与CF相交于点Q,CF与AD相交于点R,则AP : PR : RD=_______________.若△ABC的面积为1,则△PQR的面积为__________.
66.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°.将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转,得△A′B′C,斜边A′B′分别与BC、AB相交于点D、E,直角边A′C与AB交于点F.若CD=AC=2,则△ABC至少旋转_________度才能得到△A′B′C,此时△ABC与△A′B′C的重叠部分(即四边形CDEF)的面积为_______________.
C
B
x
O
A
y
67.如图,已知反比例函数y=(m为常数)的图象经过点A(-1,6),过A点的直线交函数y=的图象于另一点B,与x轴交于点C,且AB=2BC,则点C的坐标为_____________.
68.若实数x、y满足=1,=1,
则x+y=___________.
69.在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点.已知一个
圆的圆心在原点,半径等于5,那么这个圆上的格点有__________个.
A′
N
M
A
B
y
x
O
70.如图,直角三角形纸片AOB中,∠AOB=90°,OA=2,OB=1.折叠纸片,使顶点A落在底边OB上的A′处,折痕为MN,若NA′⊥OB,则点A′ 的坐标为________________.
答案
1.2 -5
解:如图1,当点F与点C重合时,B′D====4
AB′=5-4=1
如图2,当点E与点A重合时,AB′=AB=3
所以B′ 在AD上可移动的最大距离为3-1=2
如图3,当B′ 在对角线AC上时,AB′ 最小(连结AC、AB′ 、B′C,则AB′ ≥AC-B′C,当且仅当点B′ 在线段AC上时取等号,所以AB′ 的最小值为AC-B′C,即AC-BC)
AB′=-5=-5
A
D
B
CF
B′
EF
(F)
图3
A
D
B
CF
B′
EF
(F)
图1
A
D
B
CF
B′
FF
图2
(E)
2.40(-1)
解:设AC=x,则AB=x=x=80,x=40(-1)
3.≤ a ≤3
解:当a >0时,a值越大,抛物线开口越小
设正方形的四个顶点为A、B、C、D(如图),显然抛物线经过A(2,2)和C(3,1)时,分别得到a的最大值和最小值
把A(2,2)和C(3,1)分别代入y=ax 2-2ax-1+a,得a=和a=3,∴≤ a ≤3
O
B
x
y
y=2
y=1
x=2
x=3
A
C
D
x=1,y=2代入y=ax 2,得a=2;把x=2,y=1代入y=ax 2,得a=,故
4.
解:添加辅助线如图
5.(503,-503)
解:通过观察,不难发现以下规律:
A1、A5、A9、…An在同一直线上,其通式为4n-3(n为正整数)
A2、A6、A10、…An在同一直线上,其通式为4n-2(n为正整数)
A3、A7、A11、…An在同一直线上,其通式为4n-1(n为正整数)
A4、A8、A12、…An在同一直线上,其通式为4n(n为正整数)
当An为A2010时,只有4n-2=2010的解为整数,n=503
故点A2010的坐标是(503,-503)
6.r=或3<r≤4
解:过C作CD⊥AB于D,则CD=
当r=CD=时,圆与斜边AB只有一个公共点D;
当<r≤AC=3时,圆与斜边AB有两个公共点;
1
y
O
x
F1
F2
当3<r≤BC=4时,圆与斜边AB也只有一个公共点
当r>4时,圆与斜边AB没有公共点
综上所述,r=或3<r≤4
7.解:当⊙A和⊙B外切时,r=3;当⊙A和⊙B内切时,r=13,故3<r<13
8.解:F1:y=x 2-4x-1=(x-2)2-5
∵F2与F1关于点(1,0)中心对称,∴F2:y=-x 2+5
联立 解得x=-1或x=3
∴当-1≤ x ≤3时,F1和F2围成的一个封闭图形,如图所示
封闭图形上,平行于y轴的线段的长度就是对应于同一个横坐标,两抛物线上的点的纵坐标的差
当-1≤ x ≤3时,设F1上的点P1(x1,y1),F2上的点P1(x2,y2)
则y2-y1=(-x 2+5)-(x 2-4x-1)=-2x 2+4x+6=-2(x-1)2+8
∵-2<0,∴y2-y1有最大值
当x=1时,y2-y1的最大值为8,即线段长度的最大值是8
9.1<x<13
解:考虑图1和图2的两种极端情形
A
D
B
C
7
4
2
图1
x
A
D
B
C
7
4
2
图2
x
10.9<a 2+b 2<41
解:∵a 2+c 2=16,∴c 2=16-a 2,∴0<c 2<16
同理,由b 2+c 2=25得,0<c 2<25,∴0<c 2<16
两式相加,得a 2+b 2+2c 2=41,a 2+b 2=41-2c 2
由0<c 2<16得9<41-2c 2<41,即9<a 2+b 2<41
11.60°<∠A<90°
解:∵BD=AB=AC,∴∠ADB=∠A,∠C=(180°-∠A)
∵∠ADB>∠C,∴∠A>(180°-∠A),∴∠A>60°
由∠A+∠ADB<180°,得2∠A<180°,A<90°
故60°<∠A<90°
x
y
O
12.-1
(x≥0)
(x≤0)
解:y=2x 2+4|x|-1=2(|x|+1)2-3=
其图象如图,由图象可知,当x=0时,y最小为-1
13.<
解:由题意得:y1=ax 12+2ax1+4,y2=ax 22+2ax2+4
y1-y2=a(x 12-x 22)+2a(x 1-x 2)=a(x 1-x 2)(x 1+x 2+2)=a(x 1-x 2)(3-a)
∵x1<x2,0< a <3,∴y1-y2<0,∴y1<y2
14.
解:过C作CE⊥AB于E,过D作DF⊥AB于F,DG⊥AC于G
A
D
B
C
E
F
G
∵S△ABC =AB·CE=AB·AC·sin60°
S△ABC =S△ABD+S△ADC =AB·DF+AC·DG=AB·AD·sin30°+AC·AD·sin30°
∴AB·AC·sin60°=AB·AD·sin30°+AC·AD·sin30°
解得AD=
15.y=-x 2+x-,<x<10
解:AB2=AC 2+BC 2=6 2+8 2=100,AB=10
由△ADE∽△ABC得DE=x,AE=x,CE=6-x
由△BFD∽△ABC得BF=-x,CF=8-(-x)=x-
y=(CF+DE)·CE=(x-+x)(6-x)=-x 2+x-
当点F与点C重合时,由△ACD∽△ABC得AD=
故<x<10
16.①②④
17.12
解:设FG=x,则AK=6-x
∵HG∥BC,∴△AHG∽△ABC
∴=,HG=(6-x)
S矩形EFGH=(6-x)x=-(x-3)2+12
当x=3时,矩形EFGH的面积取得最大值12
18.
解:设An(x1,0),Bn(x2,0),则x1,x2是方程y=a(a+1)x 2-(2a+1)x+1的两个不相等的实数根
故x1+x2=,x1x2=
|AnBn|=|x1-x2|===
∵a为正整数,∴|AnBn|=
当a依次取1,2,…,2010时,所截得的线段长分别为|A1B1|=,|A2B2|=,…,
|A2010B2010|=
∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2010B2010|=++…+
=(1-)+(-)+…+(-)=1-=
19.34
解:方法一:易知四边形PQRS是平行四边形.
由△QBR≌△SDP及△SDP∽△SCR,得=,∴DS=
SP==,PQ==4×
因而小球所走的路径长为:2(SP+PQ)=10×=34
方法二:利用轴对称可发现SP+PQ=DB==17
所以2(SP+PQ)=34
A
B
C
G
H
D
E
F
20.
解:如图,延长EF交CD的延长线于H
∵AB∥CD,∴==,∴DH=3AE,
∴====,∴=
21.8
解:由题意得m+n=2a,mn=a+6
△=4a 2-4(a+6)≥0,即a 2-a -6≥0,解得a ≤-2或a ≥3
(m-1)2+(n-1)2=m 2+n 2-2(m+n)+2=(m+n)2-2mn-2(m+n)+2=4a 2-6a-10=4(a-)2-
∴a=3时,(m-1)2+(n-1)2有最小值,最小值为4(3-)2-=8
A
C
B
F
D
E
G
22.1 :: 1
解:如图,连结BD、BF.
∵∠ABG+∠GBD=∠DBF+∠GBD=45°,∴∠ABG=∠DBF.
又∵==,∴△ABG∽△DBF.
∵AB=BC,∠ABG=90°-∠GBC=∠CBG,BG=BE
∴△ABG≌△CBE,∴AG=CE.
∴AG : DF : CE=1::1.
23.
解:∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°,∠APB=∠BPC=∠CPA
∴∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,∴∠PCB+∠PBC=60°
又∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°,∴∠PCB=∠ABP
∴△PAB∽△PBC,∴=
即=,∴PB=
24.108°
解:设∠AOB=x,则∠C=∠D=180°-x
∠COD=180°-2∠C=2x-180°
∠A=∠B=(180°-x)
∵∠COD=∠A
∴2x-180°=(180°-x)
解得x=108°
O1
C
A
B
O2
25.2
解:如图,连结O1O2、AB,则有O1O2⊥AB于点C
在Rt△AO1C和Rt△ACO2中,AC 2=AO1 2-O1C 2=AO2 2-O2C 2
∴2 2-(±O2C)2=()2-O2C 2,∴O2C =0
即点O2在AB上且与点C重合,易知AB是圆O2的直径,△AO1B是等腰直角三角形
所以S阴影=×π×()2-(×π×2 2-×2 2)=2
26.
解:由已知条件得AB=4,BC=,CD=
∵所有的直角三角形都是相似三角形
∴RtCDC1的面积 : Rt△△ACD的面积=CD 2 : AC 2=()2 : 2 2=
从而Rt△tCDC1的面积 : 直角梯形ACC1D的面积=
叠加得所有阴影三角形的面积之和 : Rt△ABC的面积=
故所有阴影三角形的面积之和=××2×=
27.-
解:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程x 2-(2m+4)x+m 2-10=0的两个不相等的实数根
故x1+x2=2m+4,x1x2=m 2-10
∴AB=|x1-x2|===
判别式△=(2m+4) 2-4(m 2-10)>0,解得m>-
∵y=x 2-(2m+4)x+m 2-10,∴-=m+2,==-4m-14
∴A(m+2,-4m-14)
由抛物线的对称性可知,AC=BC,若△ABC为直角三角形,则△ABC为等腰直角三角形
∴AB=2(4m+14),即=2(4m+14)
整理得8m 2+54m+91=0,即(2m+7)(4m+13)=0,解得m=-或m=-
∵m>-,∴m=-不合题意,舍去;而m=->-,符合题意
∴m=-
28.y=x 2+x-
解:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程x 2-(2m+4)x+m 2-10=0的两个不相等的实数根
故x1+x2=2m+4,x1x2=m 2-10
∴AB=|x1-x2|===
判别式△=(2m+4) 2-4(m 2-10)>0,解得m>-
∵y=x 2-(2m+4)x+m 2-10,∴-=m+2,==-4m-14
∴A(m+2,-4m-14)
若△ABC为等边三角形,则4m+14=AB
∴4m+14=×,即4m+14=
整理得8m 2+50m+77=0,即(2m+7)(4m+11)=0,解得m=-或m=-
∵m>-,∴m=-不合题意,舍去;而m=->-,符合题意,∴m=-
把m=-代入y=x 2-(2m+4)x+m 2-10并整理得:y=x 2+x-
29.-
解:令x=0,得y=4,∴C(0,4)
设A(x1,0),B(x2,0),令y=ax 2+(+3a)x+4=0,解得x1=-3,x2=-
∴A(-3,0),B(-,0)
∴AB=|-+3|,AC===5,BC==
∴AB 2=|-+3|2=-+9,AC 2=25,BC 2=+16
①若∠ACB=90°,则AB 2=AC 2+BC 2,得-+9=25++16,解得a=-
当a=-时,点B的坐标为(,0),AB 2=,AC 2=25,BC 2=
于是AB 2=AC 2+BC 2
∴当a=-时,△ABC为直角三角形
②若∠ABC=90°,则AC 2=AB 2+BC 2,得25=-+9++16,解得a=
当a=时,-=-=-3,点B(-3,0)与点A重合,不合题意
③若∠BAC=90°,则BC 2=AB 2+AC 2,得+16=-+9+25,解得a=,不合题意
综上所述,当a=-时,△ABC为直角三角形.
B
A
D
E
F
C
G
30.
解:如图,将△BDE绕点D顺时针旋转90°,得到直角三角形GDC
故阴影部分的面积=×5×9=
31.2
解:由(-1,2),(0,-1),(1,2)可知该二次函数的图象的对称轴为y轴
因为(-2,11),所以由抛物线的对称性可知当x=2时,y=11,故算错的y值所对应的x=2
32.(0,-)
解:如图,过C点作CH⊥AB于点H,则CH与y轴的交点即为所求的G点,理由如下:
O
A
B
x
y
C
H
G
假设电子虫在y轴上运动的速度与它在GC上运动的速度相同,那么,要使电子虫在y轴上运动的时间不变,在y轴上所走的路程应该是原来的一半。因为∠BAO=30°,所以当CG⊥AB时,电子虫在y轴上所走的路程是原来的一半,即HG=AG
∵△ABC为等边三角形,AC=6,∴OC=3,∠BCH=30°
在Rt△OCG中,OG=OC·tan∠BCH=3tan30°=
∴G点的坐标为(0,-)
33.①②⑤
解:如图,过D作DG∥AC交BC的延长线于点G,连结BD,交EF于点H,则BH=DH
∵AD∥BC,DG∥AC,∴四边形ACGD是平行四边形
A
C
D
B
E
F
H
G
K
M
∴CG=AD=3,DG=AC
∵AB=DC,∴DB=AC=DG
∵DF⊥BC,∴BF=FG
∴FH是△BGD的中位线,∴FH∥DG
∴EF∥AC,故①对
BG=BC+CG=7+3=10
∵BF=DF,BF=FG,∴BF=DF=FG=5
∴S梯形ABCD =×(3+7)×5=25,故②对
∵DF⊥BC,∴△DBG、△DBF、△DFG都是等腰直角三角形,∴∠DBF=∠G=45°
FC=BC-BF=7-5=2,∴DC===,∴AB=
∵EF∥AC,∴==,∴AE=AB=
∴=,而==,∴≠
∴△AED与△DAC不相似,故③错
∵∠DBF=45°,∴∠DAC=∠D
∵△AED与△DAC不相似,∴∠AED≠∠DAC
又∠DAC=∠ACB=∠DBF=45°,∴∠AED≠45°
∵∠EBD=∠EDB,∠AED=∠EBD+∠EDB,∴∠EBD=∠AED
∴∠EBD≠22.5°,∴∠B≠67.5°,故④错
设AC与BD相交于点K,AC与DE相交于点M,则∠DKM=90°
∴∠DMC+∠EDB=90°,又∠DCM=∠EBD=∠EDB
∴∠DMC+∠DCM=90°,∴DE⊥DC,故⑤对
∵DBG是等腰直角三角形,∴DB==AC
∵EF∥AC,∴==,∴EF=AC=,故⑥错
综上所述,正确的结论是①②⑤
34.108°
解:∠EFG=∠DEF=24°,∠FGD=∠BGE=2∠DEF=48°
∠GFC=180°-48°=132°,∠CFE=132°-24°=108°
35.
解:如图,设盒子底面等边三角形的边长为x,盒子的高为y,则有:
x+y=10,∴x=10-y
由题意得:3xy=x 2,即3y=x,
∴3y=(10-y),解得:y=,代入得x=
盒子的容积V=×()2×=(cm3)
36.5
解:如图,过O分别作OE⊥AC于E,OF⊥BD于F,则四边形MEOF为矩形
O
A
C
B
D
E
F
M
∴OE 2+OF 2=MF 2+OF 2=OM 2=3
S四边形ABCD=AC·BM+AC·DM=AC·BD
≤×( AC 2+BD 2)=( 4AE 2+4BF 2)
=AE 2+BF 2=OA 2-OE 2+OB 2-OF 2
=2OA 2-(OE 2+OF 2)=2×2 2-3=5
故四边形ABCD的面积最大值为5
37.
解:如图,过O2作O2H⊥AB于H,连结O2A、O2O1
设AC=3k,则CD=4k,DB=2k,∴r1=2k,AO1=5k,O1B=4k,AB=9k,O2O1=r2-r1=r2-2k
∴HO1=5k-k=k
在Rt△O2AH中,O2H 2=O2A 2-AH 2=r22-(k)2在Rt△O2HO1中,∵O2H 2+HO12=O2O12
C
A
B
D
O2
O1
H
∴r22-(k)2+(k)2=(r2-2k)2,解得r2=6k
∴==
38.13
解:由x 3+y 3=19得(x+y)[(x+y)2-3xy]=19,把x+y=1代入,得xy=-6
所以x 2+y 2=(x+y)2-2xy=13
39.-1
解:易知C点坐标为(0,c),若△ABC是直角三角形,则∠C=90°
设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程ax 2+bx+c=0的两个不相等的实数根
故x1+x2=-,x1x2=
∴AB 2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-)2-4×=
AC 2=x12+c 2,BC 2=x22+c 2
由AC 2+BC 2=AB 2得x12+c 2+x22+c 2=,即(x1+x2)2-2x1x2+2c 2=
C
A
B
D
E
F
∴(-)2-2×+2c 2=
整理得ac=-1
40.4
解:如图,将△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADF,则AE=4
图1
O
B
A
C
图2
O
B
A
C
41.15°或75°
解:如图1,当AB、AC在OA的同侧时,∠BAC=15°;
如图2,当AB、AC在OA的异侧时,∠BAC=75°
42.
解:如图,设B(x1,0),C(x2,0)
令a(a+1)x 2-(2a+1)x+1=0,即(ax-1 )[(a+1)x-1]=0
O
B
x
y
A
C
D
∵a>0,∴x1=,x2=
∴BC=x2-x1=-=,BD=
又∵顶点A(,),∴AD=
A
B
N
M
O
P
A′
故tan∠ABC=tan∠ABD===
43.(-,-)
44.
解:如图,作点A关于MN的对称点A′,连结A′B,交MN于点P,连结OB、OA′,则PA+PB最小
易证∠A′OB=90°,所以△A′OB是等腰直角三角形
故PA+PB=PA′+PB=A′B=OB=MN=
45.E(,-)、F(,0),点P运动的总路径的长为
解:联立 解得
∵点A在点B的左侧,∴A(,-),B(1,-1)
抛物线的对称轴为x=,如图,作点A关于对称轴的对称点A′,点B关于x轴的对称点B′
则A′(0,-),B′(1,1)
设直线A′B′ 的解析式为y=kx+b,则:
解得
∴直线A′B′ 的解析式为y=x-,令y=0,得x=,∴直线A′B′ 与x轴的交点为F(,0)
把x=代入y=x-,得y=-,∴直线A′B′ 与直线x=的交点为E(,-)
O
B
x
y
A
C
F
E
A′
B′
H
故点E(,-)、F(,0)为所求
过点B 作BH ⊥ AA′ 的延长线于点H ,则A′ H=1,B′ H=
在Rt△A′B′ H中,A′B′==
∴点P运动的总路径的长为AE+EF+FB=A′B′=
46.
A
B
N
M
C
D
G
E
F
H
解:如图,延长AM交BC于H,设BC=1,则AC=2,AB=,从而CD=
由EC=AC=1=BC,∠GCE=∠ABC,可证Rt△GCE≌Rt△ABC
得CG=AB=,∴DG=,∴=
由Rt△FGD∽Rt△BCD得FG=·BC=
由M为CD中点得MG=MD+DG=+=,∴MG=4CM
设EN=x,则CH=2x
由△MNG∽△MHC得NG=·CH=8x
又由Rt△GCE≌Rt△ABC得EG=AC=2
而EG=EN+NG=x+8x=9x
∴9x=2,x=,即EN=
∴==
47.30
解:∵7 2+6 2=85=9 2+2 2,即BC 2+CD 2=DA 2+AB 2
∴△BCD与△DAB都是直角三角形
故S四边形ABCD=S△BCD+S△DAB=(7×6+9×2)=30
48.132
解:若11为直角边,设另一条直角边为a,斜边为c,则a 2+11 2=c 2
即(c+a)(c-a)=11 2=121×1
∴c+a=121,c-a=1,解得a=60,c=61,
∴三角形的周长为11+60+61=132
若11为斜边,设两条直角边分别为a,b,则a 2+b 2=11 2=121,方程无正整数解,这种情况不存在
故三角形的周长等于132
49.15
解:如图,设⊙O与AC相切于E点,连接OE,则OE⊥AC
A
B
C
D
O
E
F
过D作DF⊥AC于F,连结OD,则OE∥DF
∵AB=AC,OB=OD,∴∠B=∠C=∠ODB
∴OD∥AC,∴四边形ODFE是平行四边形
又OD=OE,∠OEF=90°,∴四边形ODFE是正方形,∴DF=OE
在Rt△AOE中,sinA==,∴OA=OE
又AB=OA+OB=16,∴OE+OE=16
∴OE=6,∴DF=6
故D到AC的距离为6
50.
A
B
C
D
O
解:如图,连结CO并延长交⊙O于D,连结BD,则CBD=90°
∴∠ABD=90°+∠B=∠A,∴=
∴=,∴AC=BD
∴CD=
故⊙O的半径为
A
B
O
6
1
1
6
x
y
51.(2,4),(3,3),(4,2)
解:(1)由图象可知,函数y=(x>0)的图象经过点A(1,6),可得k=6
设直线AB的解析式为y=ax+b,把A(1,6),B(1,6)代入,解得a=-1,b=7
∴直线AB的解析式为y=-x+7
故图中阴影部分(不包括边界)所含格点的坐标为(2,4),(3,3),(4,2)
52.6
解:如图,设AF与BG相交于点H,则∠AHG=∠A+∠D+∠GA
B
C
D
E
F
G
H
于是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠B+∠C+∠E+∠F+∠AHG
=∠B+∠C+∠E+∠F+∠BHF=540°=6×90°
故n=6
53.-4
解:如图,设该圆锥模型的底面半径为x,扇形的半径为y,则x+x+y=
又∵扇形的弧长=圆形的周长,∴πy=2πx,∴y=4x
∴5x+x=,解得x=-4(cm)
54.
解:如图,∵DE⊥BE,∴DB是△DBE外接圆的直径,DB的中点O是外接圆的圆心
A
B
C
D
O
E
连结OE,则OE=OB,∴∠OEB=∠OBE
又∠OBE=∠EBC,∴∠OEB=∠EBC
∴OE∥BC,∴AE是△DBE外接圆的切线
∴AE 2=AD·AB,即()2=6AB
∴AB=12,∴OE=OD=(12-6)=3,AO=6+3=9
∵OE∥BC,∴△AOE∽△ABC
∴=,即=,∴BC=4
∵∠DBE=∠EBC,∠DEB=∠ECB=90°,∴△DBE∽△EBC
A
B
C
D
I1
I2
E
F
∴=,即=,∴BE=
55.
解:如图,作I1E⊥AB于E,I2F⊥AB于F
在Rt△ABC中,∵AC=3,BC=4,∴AB=5
∴CD=
又CD⊥AB,由射影定理可得AD=
∴BD=5-=,
∵I1E为Rt△ACD的内切圆的半径,∴I1E=(AD+CD-AC)=
同理可求得I2F=
连接DI1、DI2,则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线
∴∠I1DC=∠I1DA=∠I2DC=∠I2DB=45°,∴∠I1DI2=90°
又I1D=I1E=,I2D=I2F=
故I1I2==
56.4;12
O
B
x
y
A
C
D
图1
解:设A(x1,0),B(x2,0)
当△ABC为等腰直角三角形时,显然∠ACB=90°
如图1,过C作CD⊥AB于D,则AB=2CD
∵抛物线与x轴有两个交点,∴△=b 2-4ac>0
AB=|x1-x2|====
CD=
O
B
x
y
A
C
D
图2
∵a≠0,∴=
∵b 2-4ac≠0,∴=2
∴b 2-4ac=4
当△ABC为等边三角形时,如图2,过C作CD⊥AB于D,则CD=AB
即=,∴=
∴b 2-4ac=12
57.下,2
解:由上题知,当∠ACB=90°时,b 2-4ac=4
即k 2-4=4,∴k =±
∴y=x 2±x+1
因为向左或向右平移抛物线时,∠ACB的度数不变,所以只需将抛物线y=x 2±x+1向上或向下平移即可
设向上或向下平移后抛物线的解析式为y=x 2±x+1+m
由上题知,当∠ACB=60°时,b 2-4ac=12
即(±)2-4(1+m)=12,∴m=-2
故应将抛物线向下平移2个单位
A
C
O
B
x
y
E
58.+1
解:如图,取AC的中点E,连结BE、OE,则BE=,OE=1
若点O、E、B不在一条直线上,则OB<BE+OE=+1
若点O、E、B在一条直线上,则OB=BE+OE=+1
所以,当O、E、B三点在一条直线上时,点B到原点的距离最大,为+1
59.
解:方法同上题
60.-23
解:∵a、b是关于x的方程(x+1)2+3(x+1)-3=0的两个根,整理此方程,得
x 2+5x+1=0,∵△=25-4>0,∴a+b=-5,ab=1,故a、b均为负数
∵ ,
∴====-23
61.9
A
C
D
B
E
F
G
解:过E作EG∥AB交AC于G
∵FE∥AD,EG∥AB,AD是∠BAC的平分线,∴∠GEF=∠GFE
∴FG=EG=AB=
∵E是BC的中点,EG∥AB,∴GC=AC=
∴FC=FG+GC=+=9
62.20
解:由题设知a 2-8b≥0,4b 2-4a≥0,∴a 4≥64b 2,64b 2≥64a
∴a 4≥64a,b 2≥a,
∵a,b均为正数,∴a 3≥64,∴a≥4,∴b≥2
又当a=4,b=2时,抛物线y=x 2+ax+2b和y=x 2+2bx+a都与x轴有公共点
故a 2+b 2的最小值为20
63.3 : 4 : 8
解:由切线长定理可知,AD=AF,BD=BE,CE=CF
∴AD+BE+CF=(AB+BC+CA)=(7+12+11)=15
又AD+BD=AB=7,BE+CE=BC=12,CF+AF=CA=11
∴AD=15-12=3,BE=15-11=4,CF=15-7=8
∴AD : BE : CF=3 : 4 : 8
64.
B
C
D
E
A
O
F
解:如图,过D作DF∥AC交BE于F,则DF=CE=AE
由△AOE∽△DOF得==4
∴S△AOB =S△ADB =×S△ABC =
65.3 : 3 : 1,
B
C
F
E
A
D
P
Q
R
G
H
解:如图,过D作DG∥AB交CF于G,则△DCG∽△BCF
∴==,∴DG=BF=×AB=AB
∵DG∥AB,∴△AFR∽△DGR
∴AR : RD=AF : DG=AB : AB=6 : 1
∴AR =AD,RD=AD
过D作DH∥BE交AC于H,则==2
∴EH=EC=×AC=AC
又AE=AC,∴AP : PD=AE : EH=AC : AC=3 : 4
∴AP=AD,∴PR=AD
∴AP : PR : RD=AD : AD : AD=3 : 3 : 1
连结PF、PC,同理QR=CF
∴S△PQR =S△PFC =×S△AFC =××S△ABC =
66.30,6-
解:∵CD=AC,A′C=AC,∴CD=A′C
又∵∠A′=∠A=60°,∴△A′CD是等边三角形
∴∠A′CD=60°,∴∠ACA′=30°
故△ABC至少旋转30°才能得到△A′B′C
∵A′F=A′C-FC=AC-AC=2-,∴FE=A′F=-3
∴S△A′FE =(2-)(-3)=-6
S△A′CD =×2××2=
∴重叠部分(即四边形CDEF)的面积=S△A′CD -S△A′FE =-(-6)=6-
67.(-4,0)
解:把A(-1,6)代入y=,解得m=2
∴y=- ①
设直线AC的解析式为y=kx+b,把(-1,6)代入,得b=k+6
∴y=kx+k+6 ②
联立①②,解得
∴B(-,k)
∵AB=2BC,∴6-k=2k,∴k=2,∴b=8
∴直线AC的解析式为y=2x+8,令y=0,得x=-4
∴点C的坐标为(-4,0)
O
y
x
68.224
解:易知23、43是关于t的方程=1的两根
化简得:t 2-(x+y-33-53)t-(53x+33y-33·53)=0
由根与系数的关系得:23+43=x+y-33-53
∴x+y=23+33+43+53=224
69.12
解:如图,易知符合条件的格点为(5,0),(4,3),(3,4),(0,5),(-3,4),(-4,3),
(-5,0),(-4,-3),(-3,-4),(0,-5),(3,-4),(4,-3),共12个.
70.解:∵A′N∥OM,∴∠OMA′=∠MA′N
又∵∠MAN=∠MA′N,∴∠OMA′=∠MAN
∴MA′∥AB,∴Rt△MOA′∽Rt△AOB
∴==2,∴OM=2OA′
设OA′=x,则OM=2x,MA′=AM=2-2x
在Rt△MOA′ 中,由勾股定理得:x 2+4x 2=(2-2x)2
整理得:x 2+8x-4=0,解得x=--4(舍去)或x=-4
∴点A′ 的坐标为(-4,0)