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  • 2021-05-13 发布

中考数学压轴题内含答案

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目 录 第一部分 函数图象中点的存在性问题 ‎1.1 因动点产生的相似三角形问题 ‎ 例1 2010年义乌市中考第24题 ‎1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例2 2012年扬州市中考第27题 ‎1.3 因动点产生的直角三角形问题 例3 2012年杭州市中考第22题 ‎1.4 因动点产生的平行四边形问题 例4 2011年上海市中考第24题 ‎1.5 因动点产生的梯形问题 例5 2011年义乌市中考第24题 例6 2010年杭州市中考第24题 ‎1.6 因动点产生的面积问题 例7 2012年河南省中考第23题 ‎1.7 因动点产生的相切问题 例8 2012年无锡市中考第28题 ‎1.8 因动点产生的线段和差问题 例9 2013年天津市中考第25题 第二部分 图形运动中的函数关系问题 ‎2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2013年宁波市中考第26题 ‎2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例2 2012年广东省中考第22题 ‎ 第三部分图形运动中的计算说理问题 ‎3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 2013年南昌市中考第25题 ‎3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例2 2013年江西省中考第24题 第一部分 函数图象中点的存在性问题 ‎1.1 因动点产生的相似三角形问题 ‎ 例1 2010年义乌市中考第24题 如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).‎ ‎(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;‎ ‎(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;‎ ‎(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“10义乌24”,拖动点I上下运动,观察图形和图象,可以体验到,x2-x1随S的增大而减小.双击按钮“第(3)题”,拖动点Q在DM上运动,可以体验到,如果∠GAF=∠GQE,那么△GAF与△GQE相似.‎ 思路点拨 ‎1.第(2)题用含S的代数式表示x2-x1,我们反其道而行之,用x1,x2表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变,即y2-y1=3.通过代数变形就可以了.‎ ‎2.第(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证.‎ ‎3.第(3)题的示意图,不变的关系是:直线AB与x轴的夹角不变,直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的直线PQ的斜率,因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方,或者假设交点G在x轴的上方.‎ 满分解答 ‎(1)抛物线的对称轴为直线,解析式为,顶点为M(1,).‎ ‎(2) 梯形O1A1B1C1的面积,由此得到 ‎.由于,所以.整理,得.因此得到.‎ 当S=36时, 解得 此时点A1的坐标为(6,3).‎ ‎(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴交于点F,那么要探求相似的△GAF与△GQE,有一个公共角∠G.‎ 在△GEQ中,∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角,为定值.‎ 在△GAF中,∠GAF是直线AB与x轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ≠∠GAF.‎ 因此只存在∠GQE=∠GAF的可能,△GQE∽△GAF.这时∠GAF=∠GQE=∠PQD.‎ 由于,,所以.解得.‎ ‎ ‎ 图3 图4‎ 考点伸展 第(3)题是否存在点G在x轴上方的情况?如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t的值也是相同的.事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3.‎ 1.2 因动点产生的等腰三角形 例2 2011年盐城市中考第28题 如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数 的图象交于点A,且与x轴交于点B.‎ ‎(1)求点A和点B的坐标;‎ ‎(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.‎ ‎①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?‎ ‎②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ 图1 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11盐城28”,拖动点R由B向O运动,从图象中可以看到,△APR的面积有一个时刻等于8.观察△APQ,可以体验到,P在OC上时,只存在AP=AQ的情况;P在CA上时,有三个时刻,△APQ是等腰三角形.‎ 思路点拨 ‎1.把图1复制若干个,在每一个图形中解决一个问题.‎ ‎2.求△APR的面积等于8,按照点P的位置分两种情况讨论.事实上,P在CA上运动时,高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.‎ ‎3.讨论等腰三角形APQ,按照点P的位置分两种情况讨论,点P的每一种位置又要讨论三种情况.‎ 满分解答 ‎(1)解方程组 得 所以点A的坐标是(3,4).‎ 令,得.所以点B的坐标是(7,0).‎ ‎(2)①如图2,当P在OC上运动时,0≤t<4.由,得.整理,得.解得t=2或t=6(舍去).如图3,当P在CA上运动时,△APR的最大面积为6.‎ 因此,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.‎ 图2 图3 图4‎ ‎②我们先讨论P在OC上运动时的情形,0≤t<4.‎ 如图1,在△AOB中,∠B=45°,∠AOB>45°,OB=7,,所以OB>AB.因此∠OAB>∠AOB>∠B.‎ 如图4,点P由O向C运动的过程中,OP=BR=RQ,所以PQ//x轴.‎ 因此∠AQP=45°保持不变,∠PAQ越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP的情况.‎ 此时点A在PQ的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以BR=1,t=1.‎ 我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4≤t<7.‎ 在△APQ中, 为定值,,.‎ 如图5,当AP=AQ时,解方程,得.‎ 如图6,当QP=QA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP=2(OR-OP).解方程,得.‎ 如7,当PA=PQ时,那么.因此.解方程,得.‎ 综上所述,t=1或或5或时,△APQ是等腰三角形. ‎ 图5 图6 图7‎ 考点伸展 当P在CA上,QP=QA时,也可以用来求解.‎ ‎1.3 因动点产生的直角三角形问题 例3 2012年杭州市中考第22题 在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).‎ ‎(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;‎ ‎(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;‎ ‎(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12杭州22”,拖动表示实数k的点在y轴上运动,可以体验到,当k<0并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系,可以体验到,点Q有两次可以落在圆上.‎ 请打开超级画板文件名“12杭州22”,拖动表示实数k的点在y轴上运动,可以体验到,当k<0并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系,可以体验到,点Q有两次可以落在圆上. ‎ 思路点拨 ‎1.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标可以知道,反比例函数的解析式就是.题目中的k都是一致的.‎ ‎2.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标还可以知道,A、B关于原点O对称,以AB为直径的圆的圆心就是O.‎ ‎3.根据直径所对的圆周角是直角,当Q落在⊙O上是,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.‎ 满分解答 ‎(1)因为反比例函数的图象过点A(1,k),所以反比例函数的解析式是.‎ 当k=-2时,反比例函数的解析式是.‎ ‎(2)在反比例函数中,如果y随x增大而增大,那么k<0.‎ 当k<0时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,y随x增大而增大.‎ 抛物线y=k(x2+x+1)=的对称轴是直线. 图1‎ 所以当k<0且时,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.‎ ‎(3)抛物线的顶点Q的坐标是,A、B关于原点O中心对称,‎ 当OQ=OA=OB时,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.‎ 由OQ2=OA2,得.‎ 解得(如图2),(如图3).‎ 图2 图3‎ 考点伸展 如图4,已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线(k>0)交于A、B和C、D,那么AB与CD互相平分,所以四边形ACBD是平行四边形.‎ 问平行四边形ABCD能否成为矩形?能否成为正方形?‎ 如图5,当A、C关于直线y=x对称时,AB与CD互相平分且相等,四边形ABCD是矩形.‎ 因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上,所以OA与OC无法垂直,因此四边形ABCD不能成为正方形.‎ 图4 图5‎ ‎1.4 因动点产生的平行四边形问题 例4 2011年上海市中考第24题 已知平面直角坐标系xOy(如图1),一次函数的图象与y轴交于点A,点M在正比例函数的图象上,且MO=MA.二次函数 y=x2+bx+c的图象经过点A、M.‎ ‎(1)求线段AM的长;‎ ‎(2)求这个二次函数的解析式;‎ ‎(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图象上,点D在一次函数的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11上海24”,拖动点B在y轴上点A下方运动,四边形ABCD保持菱形的形状,可以体验到,菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上.‎ 思路点拨 ‎1.本题最大的障碍是没有图形,准确画出两条直线是基本要求,抛物线可以不画出来,但是对抛物线的位置要心中有数.‎ ‎2.根据MO=MA确定点M在OA的垂直平分线上,并且求得点M的坐标,是整个题目成败的一个决定性步骤.‎ ‎3.第(3)题求点C的坐标,先根据菱形的边长、直线的斜率,用待定字母m表示点C的坐标,再代入抛物线的解析式求待定的字母m.‎ 满分解答 ‎(1)当x=0时,,所以点A的坐标为(0,3),OA=3.‎ 如图2,因为MO=MA,所以点M在OA的垂直平分线上,点M的纵坐标为.将代入,得x=1.所以点M的坐标为.因此.‎ ‎(2)因为抛物线y=x2+bx+c经过A(0,3)、M,所以解得,.所以二次函数的解析式为.‎ ‎(3)如图3,设四边形ABCD为菱形,过点A作AE⊥CD,垂足为E.‎ 在Rt△ADE中,设AE=4m,DE=3m,那么AD=5m.‎ 因此点C的坐标可以表示为(4m,3-2m).将点C(4m,3-2m)代入,得.解得或者m=0(舍去).‎ 因此点C的坐标为(2,2).‎ ‎ ‎ ‎ 图2 图3‎ 考点伸展 如果第(3)题中,把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”,那么还存在另一种情况:‎ 如图4,点C的坐标为.‎ 图4 ‎ ‎1.5 因动点产生的梯形问题 例 5 2011年义乌市中考第24题 已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12) 两点,且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.‎ ‎(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;‎ ‎(2)如图1,在直线 y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动,过点M作直线MN//x轴,交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN. 在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒,求S关于t的函数关系式. ‎ 图1 图2‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11义乌24”,拖动点M从P向O运动,可以体验到,M在到达PO的中点前,重叠部分是三角形;经过中点以后,重叠部分是梯形.‎ 思路点拨 ‎1.第(2)题可以根据对边相等列方程,也可以根据对角线相等列方程,但是方程的解都要排除平行四边形的情况.‎ ‎2.第(3)题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段,临界点是PO的中点.‎ 满分解答 ‎(1)设抛物线的解析式为,代入A(2,0)、C(0,12) 两点,得 解得 ‎ 所以二次函数的解析式为,顶点P的坐标为(4,-4).‎ ‎(2)由,知点B的坐标为(6,0).‎ 假设在等腰梯形OPBD,那么DP=OB=6.设点D的坐标为(x,2x).‎ 由两点间的距离公式,得.解得或x=-2.‎ 如图3,当x=-2时,四边形ODPB是平行四边形.‎ 所以,当点D的坐标为(,)时,四边形OPBD为等腰梯形.‎ 图3 图4 图5‎ ‎(3)设△PMN与△POB的高分别为PH、PG.‎ 在Rt△PMH中,,.所以.‎ 在Rt△PNH中,,.所以.‎ ‎① 如图4,当0<t≤2时,重叠部分的面积等于△PMN的面积.此时.‎ ‎②如图5,当2<t<4时,重叠部分是梯形,面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面积.由于,所以.‎ 此时.‎ 考点伸展 第(2)题最好的解题策略就是拿起尺、规画图:‎ 方法一,按照对角线相等画圆.以P为圆心,OB长为半径画圆,与直线y=2x有两个交点,一个是等腰梯形的顶点,一个是平行四边形的顶点.‎ 方法二,按照对边相等画圆.以B为圆心,OP长为半径画圆,与直线y=2x有两个交点,一个是等腰梯形的顶点,一个是平行四边形的顶点.‎ 例6 2010年杭州市中考第24题 如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y =,点C的坐标为(–4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点P(t,0)在x轴上. ‎ ‎(1) 写出点M的坐标; ‎ ‎(2) 当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时.‎ ‎① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;‎ ‎② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时,求t的值.‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“10杭州24”,拖动点Q在抛物线上运动,从t随x变化的图象可以看到,t是x的二次函数,抛物线的开口向下.还可以感受到,PQ∶CM=1∶2只有一种情况,此时Q在y轴上;CM∶PQ=1∶2有两种情况.‎ 思路点拨 ‎1.第(1)题求点M的坐标以后,Rt△OCM的两条直角边的比为1∶2,这是本题的基本背景图.‎ ‎2.第(2)题中,不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等,根据数形结合,列关于t与x的比例式,从而得到t关于x的函数关系. ‎ ‎3.探求自变量x的取值范围,要考虑梯形不存在的情况,排除平行四边形的情况.‎ ‎4.梯形的两底的长度之比为1∶2,要分两种情况讨论.把两底的长度比转化为QH与MO的长度比.‎ 满分解答 ‎(1)因为AB=OC= 4,A、B关于y轴对称,所以点A的横坐标为2.将x=2代入y=,得y=2.所以点M的坐标为(0,2).‎ ‎(2) ① 如图2,过点Q作QH ^ x轴,设垂足为H,则HQ=y,HP=x– t .‎ 因为CM//PQ,所以∠QPH=∠MCO.因此tan∠QPH=tan∠MCO,即.所以.整理,得.‎ 如图3,当P与C重合时,,解方程,得.‎ 如图4,当Q与B或A重合时,四边形为平行四边形,此时,x=± 2.‎ 因此自变量x的取值范围是,且x¹± 2的所有实数.‎ ‎ ‎ 图2 图3 图4‎ ‎②因为sin∠QPH=sin∠MCO,所以,即.‎ 当时,.解方程,得(如图5).此时.‎ 当时,.解方程,得.‎ 如图6,当时,;如图6,当时,.‎ ‎ ‎ 图5 图6 图7‎ 考点伸展 本题情境下,以Q为圆心、QM为半径的动圆与x轴有怎样的位置关系呢?‎ 设点Q的坐标为,那么.‎ 而点Q到x轴的距离为.‎ 因此圆Q的半径QM等于圆心Q到x轴的距离,圆Q与x轴相切.‎ ‎1.6 因动点产生的面积问题 例 7 2012年河南省中考第23题 如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.‎ ‎(1)求a、b及sin∠ACP的值;‎ ‎(2)设点P的横坐标为m.‎ ‎①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;‎ ‎②连结PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9∶10?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12河南23”,拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动,可以体验到,PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分,当C是AB的中点时,PD达到最大值.观察面积比的度量值,可以体验到,左右两个三角形的面积比可以是9∶10,也可以是10∶9.‎ 思路点拨 ‎1.第(1)题由于CP//y轴,把∠ACP转化为它的同位角.‎ ‎2.第(2)题中,PD=PCsin∠ACP,第(1)题已经做好了铺垫.‎ ‎3.△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.‎ ‎4.两个三角形的面积比为9∶10,要分两种情况讨论.‎ 满分解答 ‎(1)设直线与y轴交于点E,那么A(-2,0),B(4,3),E(0,1).‎ 在Rt△AEO中,OA=2,OE=1,所以.所以.‎ 因为PC//EO,所以∠ACP=∠AEO.因此.‎ 将A(-2,0)、B(4,3)分别代入y=ax2+bx-3,得 解得,.‎ ‎(2)由,,‎ 得.‎ 所以.‎ 所以PD的最大值为.‎ ‎(3)当S△PCD∶S△PCB=9∶10时,;‎ 当S△PCD∶S△PCB=10∶9时,.‎ 图2‎ 考点伸展 第(3)题的思路是:△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.‎ 而,‎ BM=4-m.‎ ‎①当S△PCD∶S△PCB=9∶10时,.解得.‎ ‎②当S△PCD∶S△PCB=10∶9时,.解得.‎ ‎1.7 因动点产生的相切问题 ‎ 例8 2012年无锡市中考模拟第28题 如图1,菱形ABCD的边长为2厘米,∠DAB=60°.点P从A出发,以每秒厘米的速度沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从点A出发,以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动.当点P到达点C时,P、Q都停止运动.设点P运动的时间为t秒.‎ ‎(1)当P异于A、C时,请说明PQ//BC;‎ ‎(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点? 图一 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12无锡28”,拖动点P由A向C运动,可以体验到,⊙P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点,相切只有1个公共点,相交有2个公共点,相交只有1个公共点,线段在圆的内部没有公共点.‎ 请打开超级画板文件名“12无锡28”,拖动点P由A向C运动,可以体验到,⊙P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点,相切只有1个公共点,相交有2个公共点,相交只有1个公共点,线段在圆的内部没有公共点.‎ 答案 (1)因为,,所以.因此PQ//BC.‎ ‎(2)如图2,由PQ=PH=,得.解得.‎ 如图3,由PQ=PB,得等边三角形PBQ.所以Q是AB的中点,t=1.‎ 如图4,由PQ=PC,得.解得.‎ 如图5,当P、C重合时,t=2.‎ 因此,当或1<t≤或t=2时,⊙P与边BC有1个公共点.‎ 当<t≤1时,⊙P与边BC有2个公共点.‎ 图2 图3 图4 图5‎ ‎1.8 因动点产生的线段和差问题 ‎ 例9 2013年天津市中考第25题 在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠OBA.‎ ‎(1)如图1,求点E的坐标;‎ ‎(2)如图2,将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′,连结A′B、BE′.‎ ‎①设AA′=m,其中0<m<2,使用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;‎ ‎②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).‎ 图1 图2‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13天津25”,拖动点A′在线段AO上运动,可以体验到,当A′运动到AO的中点时,A′B2+BE′2取得最小值.当A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′取得最小值.‎ 请打开超级画板文件名“13天津25”,拖动点A′在线段AO上运动,可以体验到,当A′运动到AO的中点时,A′B2+BE′2取得最小值.当A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′取得最小值.‎ 思路点拨 ‎1.图形在平移的过程中,对应点的连线平行且相等,EE′=AA′=m.‎ ‎2.求A′B2+BE′2的最小值,第一感觉是用勾股定理列关于m的式子.‎ ‎3.求A′B+BE′的最小值,第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称,两点之间线段最短.‎ 满分解答 ‎(1)由∠OAE=∠OBA,∠AOE=∠BOA,得△AOE∽△BOA.‎ 所以.因此.‎ 解得OE=1.所以E(0,1).‎ ‎(2)①如图3,在Rt△A′OB中,OB=4,OA′=2-m,所以A′B2=16+(2-m)2.‎ 在Rt△BEE′中,BE=3,EE′=m,所以BE′2=9+m2.‎ 所以A′B2+BE′2=16+(2-m)2+9+m2=2(m-1)2+27.‎ 所以当m=1时,A′B2+BE′2取得最小值,最小值为27.‎ 此时点A′是AO的中点,点E′向右平移了1个单位,所以E′(1,1).‎ ‎②如图4,当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标为.‎ 图3 图4‎ 考点伸展 第(2)②题这样解:如图4,过点B作y轴的垂线l,作点E′关于直线l的对称点E′′,‎ 所以A′B+BE′=A′B+BE′′.‎ 当A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′′取得最小值,最小值为线段A′E′′.‎ 在Rt△A′O′E′′中,A′O′=2,O′E′′=7,所以A′E′′=.‎ 当A′、B、E′′三点共线时,.所以.‎ 解得.此时.‎ 第二部分 函数图象中点的存在性问题 ‎2.1 由比例线段产生的函数关系问题 ‎ 例1 2013年宁波市中考第26题 如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(-4,0),点P在射线AB上运动,连结CP与y轴交于点D,连结BD.过P、D、B三点作⊙Q,与y轴的另一个交点为E,延长DQ交⊙Q于F,连结EF、BF.‎ ‎(1)求直线AB的函数解析式;‎ ‎(2)当点P在线段AB(不包括A、B两点)上时.‎ ‎①求证:∠BDE=∠ADP;‎ ‎②设DE=x,DF=y,请求出y关于x的函数解析式;‎ ‎(3)请你探究:点P在运动过程中,是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形,满足两条直角边之比为2∶1?如果存在,求出此时点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 图1 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13宁波26”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,△DEF保持等腰直角三角形的形状,y是x的一次函数.观察BD∶BF的度量值,可以体验到,BD∶BF可以等于2,也可以等于0.5.‎ 请打开超级画板文件名“13宁波26”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,△DEF保持等腰直角三角形的形状.观察BD∶BF的度量值,可以体验到,BD∶BF可以等于2,也可以等于0.5.‎ 答案 ‎(1)直线AB的函数解析式为y=-x+4.‎ ‎(2)①如图2,∠BDE=∠CDE=∠ADP;‎ ‎②如图3,∠ADP=∠DEP+∠DPE,如图4,∠BDE=∠DBP+∠A,‎ 因为∠DEP=∠DBP,所以∠DPE=∠A=45°.‎ 所以∠DFE=∠DPE=45°.因此△DEF是等腰直角三角形.于是得到.‎ 图2 图3 图4‎ ‎(3)①如图5,当BD∶BF=2∶1时,P(2,2).思路如下:‎ 由△DMB∽△BNF,知.‎ 设OD=2m,FN=m,由DE=EF,可得2m+2=4-m.解得.‎ 因此.再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2).‎ ‎②如图6,当BD∶BF=1∶2时,P(8,-4).思路同上.‎ 图5 图6‎ ‎2.2 由面积产生的函数关系问题 ‎ 例2 2012年广东省中考第22题 如图1,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,联结BC、AC.‎ ‎(1)求AB和OC的长;‎ ‎(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作BC的平行线交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下,联结CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12广东22”,拖动点E由A向B运动,观察图象,可以体验到,△ADE的面积随m的增大而增大,△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分,E在AB的中点时,△CDE的面积最大.‎ 思路点拨 ‎1.△ADE与△ACB相似,面积比等于对应边的比的平方.‎ ‎2.△CDE与△ADE是同高三角形,面积比等于对应底边的比.‎ 满分解答 ‎(1)由,得A(-3,0)、B(6,0)、C(0,-9).‎ 所以AB=9,OC=9.‎ ‎(2)如图2,因为DE//CB,所以△ADE∽△ACB.‎ 所以.‎ 而,AE=m,‎ 所以. ‎ m的取值范围是0<m<9.‎ 图2 图3‎ ‎(3)如图2,因为DE//CB,所以.‎ 因为△CDE与△ADE是同高三角形,所以.‎ 所以.‎ 当时,△CDE的面积最大,最大值为.‎ 此时E是AB的中点,.‎ 如图3,作EH⊥CB,垂足为H.‎ 在Rt△BOC中,OB=6,OC=9,所以.‎ 在Rt△BEH中,.‎ 当⊙E与BC相切时,.所以.‎ 考点伸展 在本题中,△CDE与△BEC能否相似?‎ 如图2,虽然∠CED=∠BCE,但是∠B>∠BCA≥∠ECD,所以△CDE与△BEC不能相似.‎ 第三部分图形运动中的计算说理问题 ‎3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 2013年南昌市中考第25题 已知抛物线yn=-(x-an)2+an(n为正整数,且0<a1<a2<…<an)与x轴的交点为An-1(bn-1,0)和An(bn,0).当n=1时,第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0),其他依此类推 ‎ ‎(1)求a、b的值及抛物线y2的解析式;‎ ‎(2)抛物线y3的顶点坐标为(_____,_____);‎ 依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_____,_____)(用含n的式子表示);‎ 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________;‎ ‎(3)探究下列结论:‎ ‎①若用An-1 An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长,直接写出A0A1的值,并求出An-1 An;‎ ‎②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等?若存在,直接写出直线的表达式;若不存在,请说明理由.‎ 备用图(仅供草稿使用) ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13南昌25”,拖动抛物线的顶点P在射线y=x(x>0)上运动,可以体验到,经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等.‎ 请打开超级画板文件名“13南昌25”,拖动抛物线的顶点P在射线y=x(x>0)上运动,可以体验到,经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等.‎ ‎ ‎ 思路点拨 ‎1.本题写在卷面的文字很少很少,可是卷外是大量的运算.‎ ‎2.最大的纠结莫过于对字母意义的理解,这道题的复杂性就体现在数形结合上.‎ ‎3.这个备用图怎么用?边画边算,边算边画.‎ 满分解答 ‎(1)将A0(0,0)代入y1=-(x-a1)2+a1,得-a12+a1=0.‎ 所以符合题意的a1=1.‎ 此时y1=-(x-1)2+1=-x(x-2).所以A1的坐标为(2,0),b1=2.‎ 将A1(2,0)代入y2=-(x-a2)2+a2,得-(2-a2)2+a2=0.‎ 所以符合题意的a2=4.‎ 此时y2=-(x-4)2+4=-(x-2)(x-6).‎ ‎(2)抛物线y3的顶点坐标为(9,9);‎ 第n条抛物线yn的顶点坐标为(n2,n2);‎ 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y=x.‎ ‎(3)①如图1,A0A1=2.‎ 由第(2)题得到,第n条抛物线yn=-(x-an)2+an的顶点坐标为(n2,n2).‎ 所以yn=-(x-n2)2+n2=n2-(x-n2)2=(n-x+n2)(n+x-n2).‎ 所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为An-1(n2-n,0)和An(n2+n,0).‎ 所以An-1 An=(n2+n)-(n2-n)=2n.‎ ‎②如图1,直线y=x-2和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等.‎ 图1‎ 考点伸展 我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用.‎ 第一步,由yn=-(x-an)2+an,得抛物线的顶点坐标为(an, an).顶点的横坐标和纵坐标相等,而且已知an>0,因此先画出顶点所在的射线y=x(x>0).‎ 第二步,计算出y1,画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点.‎ 第三步,计算出y2,画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点.‎ ‎3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例2 2013年江西省中考第24题 某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:‎ ‎(1)操作发现:‎ 在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连结MD和ME,则下列结论正确的是__________(填序号即可).‎ ‎①AF=AG=;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④MD⊥ME.‎ ‎(2)数学思考:‎ 在任意△ABC中,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连结MD和ME,则MD与ME有怎样的数量关系?请给出证明过程;‎ ‎(3)类比探究:‎ 在任意△ABC中,仍分别以AB、AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连结MD和ME,试判断△MDE的形状.答:_________.‎ 图1 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13江西24”,拖动点A可以改变△ABC的形状,可以体验到,△DFM≌△MGE保持不变,∠DME=∠DFA=∠EGA保持不变.‎ 请打开超级画板文件名“13江西24”,拖动点A可以改变△ABC的形状,可以体验到,△DFM≌△MGE保持不变,∠DME=∠DFA=∠EGA保持不变.‎ 思路点拨 ‎1.本题图形中的线条错综复杂,怎样寻找数量关系和位置关系?最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍.‎ ‎2.三个中点M、F、G的作用重大,既能产生中位线,又是直角三角形斜边上的中线.‎ ‎3.两组中位线构成了平行四边形,由此相等的角都标注出来,还能组合出那些相等的角?‎ 满分解答 ‎(1)填写序号①②③④.‎ ‎(2)如图4,作DF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为F、G.‎ 因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高,‎ 所以F、G分别是AB、AC的中点.‎ 又已知M是BC的中点,所以MF、MG是△ABC的中位线.‎ 所以,,MF//AC,MG//AB.‎ 所以∠BFM=∠BAC,∠MGC=∠BAC.‎ 所以∠BFM=∠MGC.所以∠DFM=∠MGE.‎ 因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线,‎ 所以,.‎ 所以MF=EG,DF=NG.‎ 所以△DFM≌△MGE.所以DM=ME.‎ ‎(3)△MDE是等腰直角三角形.‎ 图4 图5‎ 考点伸展 第(2)题和第(3)题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的,不同的是证明∠DFM=∠MGE的过程有一些不同.‎ 如图4,如图5,∠BFM=∠BAC=∠MGC.‎ 如图4,∠DFM=90°+∠BFM,∠MGE=90°+∠MGC,所以∠DFM=∠MGE.‎ 如图5,∠DFM=90°-∠BFM,∠MGE=90°-∠MGC,所以∠DFM=∠MGE.‎