2020中考数学高分一轮复习教材同步复习第七章图形与变换课时27图形的相似（含位似）真题在线 3页

第一部分　第七章　课时27‎ ‎ 命题点一　相似三角形的判定与性质 ‎1．(2018·遵义)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为(　D　)‎ A．5　　　 B．4　　　‎ C．3　　　 D．2 ‎【解析】如答图，过点D作DF⊥AC于点F，‎ 答图 ‎∴∠AFD＝∠CBA．‎ 在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝10, ∴AC＝5，‎ ‎∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠ACB，∴△ADF∽△CAB, ∴＝， ∴＝，‎ 设DF＝x, 则AD＝x, ‎ 在Rt△ABD中，BD＝＝.‎ ‎∵∠DEF＝∠DBA, ∠DFE＝∠DAB＝90°，‎ ‎∴△DEF∽△DBA, ∴＝， ‎ ‎∴＝， ∴x＝2, ∴AD＝x＝2.‎ ‎ 2.(2018·遵义)如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC＝2.‎ ‎(1)求AD的长．‎ ‎(2)点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF＝∠DAC，PF交线段CD于点F.当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．‎ 解：(1)如答图1，连接OD． ∵OA＝OB＝3, BC＝2，‎ 3‎ ‎∴AC＝8. ∵DE是AC的垂直平分线，‎ ‎∴AE＝AC＝4, ∴OE＝AE－OA＝1.‎ 在Rt△ODE中，DE＝＝2，‎ 在Rt△ADE中，AD＝＝2.‎ 答图 ‎(2)当DP＝DF时，如答图2，‎ 点P与点A重合，点F与点C重合，则AP＝0；‎ 当DP＝PF时，如答图3，则∠CDP＝∠PFD．‎ ‎∵DE是AC的垂直平分线，∠DPF＝∠DAC，‎ ‎∴∠DPF＝∠C．‎ ‎∵∠PDF＝∠CDP, ∴∠DFP＝∠DPC，‎ ‎∴∠CDP＝∠CPD, ∴CP＝CD，‎ ‎∴AP＝AC－CP＝AC－CD＝AC－AD＝8－2；‎ 答图 当PF＝DF时，如答图4，‎ 则∠FDP＝∠FPD．‎ ‎∵∠DPF＝∠DAC＝∠C，‎ ‎∴△DAC∽△PDC, ∴＝.‎ ‎∴＝， ∴AP＝5.‎ 当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8－2. ‎ ‎ 命题点二　相似三角形的应用 ‎3．(2014·遵义)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝1.05里．‎ 3‎ ‎【解析】∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，‎ ‎∴FA∥EG，EA∥FH，‎ ‎∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，‎ ‎∴△GEA∽△AFH，∴＝ .‎ ‎∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，‎ ‎∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，‎ ‎∴＝，解得FH＝1.05里．‎ 3‎