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- 2021-05-13 发布
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课题:复习解直角三角形及其应用
教学目标
(1)会将斜三角形转化为解直角三角形的基本图形,能利用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题。
(2)通过解决实际问题的过程体验,感受数学来源于生活,服务于生活,感悟化归、方程等数学思想,增强学数学、用数学的意识与能力。
教学重点、难点
重点:将斜三角形转化为解直角三角形的基本图形;
理解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等概念;
较为准确地将实际问题转化为数学问题.
难点:较为准确迅速地将实际问题数学化.
教材分析
本节课前,学生已学过直角三角形的相关知识,以及解直角三角形的全章内容;本节课在熟悉锐角三角比的定义、解直角三角形、仰角、俯角、方位角、坡度、坡角的基础上,学生综合运用所学的知识和技能解决问题,通过将实际问题抽象为数学问题的过程体验来增强数学应用意识,提升应用数学的能力。但是,如何将实际问题“数学化”对于一部分同学来说是一个难点。
学情分析
学生已学过直角三角形的相关知识,以及解直角三角形的全章内容;这对本节课复习奠定了知识基础,但是大部分学生在整理知识、灵活运用知识来解决问题等方面存在较大的欠缺,因此,在教学过程中需要更为精心的活动设计。
教学过程
1. 今天,我们一起复习《解直角三角形和它的应用》(教师板书课题),首先,请同学们回忆一下,什么是解直角三角形?
(学生思考,作答,有困难的,教师可以安排学生阅读课本,查找定义,之后,教师板书:已知元素——未知元素)
2.同学们再思考:
(1)一个直角三角形除了直角以外,共有几个元素?这几个元素分别是什么?
(2)我们解直角三角形的依据是什么?
(3)在解直角三角形时,除直角外,已知元素至少需要哪几个?
a
b
c
A
C
B
(学生思考,作答,有困难的,教师可以安排学生阅读课本,查找相应答案,或者小组内请教他人,之后,教师板书:解直角三角形的依据和解直角三角形的分类)
2. 出示问题(1),测试学生学习情况:
问题(1) :如图,△ABC中,∠C=90°,
a = 8 , b = 6,解这个直角三
角形(角度精确到1°).
(学生独立思考,作答,教师点评,总结是属于已知两边解直角三角形的类型)
A
C
B
a=8
b=6
60°
3. 出示问题(2)、(3),进行变式训练
问题(2):把例1中条件∠C=90°改为∠C=60°,
能否求出第三边c的长呢
(结果用根号表示)?
b =6
a =8
A
B
C
(学生独立思考,然后可以小组交流,作答,教师点评,总结通过作BC边上的高,将斜三角形转化为两个直角三角形,再借助解直角三角形求解,作辅助线时,一般不要破坏特殊角,即宜将特殊角放在直角三角形中,此题体现了转化的数学思想)
问题(3):把例1中条件∠C=90°改为∠C=120°,
能否求出第三边c的长呢
(结果用根号表示)?
B
C
A
(学生独立思考,然后可以小组交流,作答,教师点评,总结通过作BC边上的高AD,不同的是这次高AD在三角形外,将斜三角形转化为两个直角三角形,再借助解直角三角形求解,此题也体现了转化的数学思想)
4. 出示一组变式训练题,旨在巩固,激发兴趣
(1)已知: 如图,△ABC中,∠C=90°,
∠A=30°, c = 8 ,求BC.
A
B
C
(2) 已知: 如图,△ABC中,∠C=45°,
∠A=30°, c = 8 ,求BC.
C
B
A
(3) 已知: 如图,△ABC中,∠C=135°,
∠A=30°, c = 8 ,求BC.
学生独立思考,然后可以小组交流,作答,教师点评,总结
我们通过作辅助线——某条边上边上的高,将斜三角形转化成直角三角形,可以得到解直角三角形的两基本图形:
A
A
B
B
C
C
D
D
5. 解直角三角形的应用中,几个常用的角:
(1)俯角和仰角:
小杰在点C测得旗杆顶部A的仰角为60°,
小强在教室二楼点D处测得旗杆底部B
的俯角为45°,那么图中哪个角表示仰角?
哪个角表示俯角?
45°
30°
30°
A
D
C
B
南
北
西
东
E
(2)方位角:
图中哪个角表示南偏东30°?射线 AB表示的是什么方向?东北方向表示什么意思?可用图中的什么射线表示?
(3)坡度、坡角:
100
?
如图,有一个山坡的坡度为1:2.5,
如果沿山坡在水平方向上每前进
100米,高度就升高 米.
坡角是_______(精确到1度).
6. 出示例题,
B
C
D
A
例1. 在离某建筑物AB底部 米处的点C处,已知测角仪的高为1.5米,用测角仪测得该建筑物顶部A的仰角为30°,那么该建筑物AB的高为__________米(计算结果保留根号).
A
B
C
300
450
D
36
例2. 如图,AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房,在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°,楼底D的俯角为30°,求楼CD的高?(结果保留根号)
例3.某船自西向东航行,在A点测得某岛B在北偏东60°的方向上,前进8千米到达D测得某岛B在船北偏东45 °的方向上,问:
(1)轮船自A向东行驶多少千米时离小岛距离最近?
(2)岛B的周围12千米范围内有暗礁,若船驶进这个范围就会有触礁危险。请问,此船是否有触礁危险?
例4.如图,小山的顶部是一块平地,小山的斜坡(BD)的坡度为 ,斜坡BD的长是50米, 现在这块平地上安装一高压输电的铁架,在山坡的坡底B处测得铁架顶端A处的仰角为45°,在山坡的坡顶D处测得铁架顶端A处的仰角为60°,求铁架 AE 的高度
7. 反馈练习
(1)某学生从A点出发向北偏东60°方向走到B点,再从B点出发向南偏西15°方向走到C点,那么∠ABC= _______度.
(2) 在距地面100米高的平台上,测得地面上一塔顶与塔基的俯角为30°和60°,则塔高为 米。
(3) 海堤大坝的横断面是梯形,设坝顶BC宽6米,坝的高度23米,斜坡AB的坡度i= ,斜坡CD的坡角为45°,求斜坡AB的长和坝底宽AD的长。
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