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  • 2021-05-13 发布

中考数学压轴题四旋转问题

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旋转问题 考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。‎ 旋转性质----对应线段、对应角的大小不变,对应线段的夹角等于旋转角。注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。‎ 一、 直线的旋转 C A B N M ‎(第1题)‎ ‎1、(2009年浙江省嘉兴市)如图,已知A、B是线段MN上的两点,,,.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设.‎ ‎(1)求x的取值范围;‎ ‎(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;‎ ‎(3)探究:△ABC的最大面积?‎ ‎2、(2009年河南)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠B =60°,BC=2.点0是AC的中点,过点0的直线l从与AC重合的位置开始,绕点0作逆时针旋转,交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E,设直线l的旋转角为α.‎ ‎(1)①当α=________度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为_________;‎ ‎ ②当α=________度时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为_________;‎ ‎(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.‎ ‎3、(2009年北京市)‎ 在中,过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)‎ ‎(1)在图1中画图探究:‎ ‎①当P为射线CD上任意一点(P1不与C重合)时,连结EP1绕点E逆时针旋转得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系,并加以证明;‎ ‎②当P2为线段DC的延长线上任意一点时,连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论.‎ ‎(2)若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下,设CP1=,S=,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.‎ 分析:此题是综合开放题-------已知条件、问题结论、解题依据、解题方法这四个要素中缺少两个或两个以上,条件需要补充,结论需要探究,解题方法、思考方向有待搜寻。‎ ‎ 解决此类问题,一般要经过观察、实验、分析、比较、类比、归纳、推断等探究活动来寻找解题途径。可从简单、特殊的情况入手,由此获得启发和感悟,进而找到解决问题的正确途径,是我们研究数学问题,进行猜想和证明的思维方法。华罗庚说:善于退,足够地退,退到最原始而不失重要性的地方,这是学好数学的一个诀窍。‎ 提示:(1)运用三角形全等,‎ ‎ (2)按CP=CE=4将x取值分为两段分类讨论;发现并利用好EC、EF相等且垂直。‎ ‎4、(2009 黑龙江大兴安岭)‎ 已知:在中,,动点绕的顶点逆时针旋转,且,连结.过、的中点、作直线,直线与直线、分别相交于点、.‎ ‎(1)如图1,当点旋转到的延长线上时,点恰好与点重合,取的中点,连结、,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得结论(不需证明).‎ 图2‎ 图3‎ 图1‎ ‎(N)‎ ‎(2)当点旋转到图2或图3中的位置时,与有何数量关系?请分别写出猜想,并任选一种情况证明.‎ 一、 角的旋转 ‎5、(2009年中山)(1)如图1,圆心接中,,、为的半径,于点,于点求证:阴影部分四边形的面积是的面积的.‎ ‎(2)如图2,若保持角度不变,‎ 求证:当绕着点旋转时,由两条半径和的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是的面积的.‎ ‎6、(2009襄樊市)如图,在梯形中,点是的中点,是等边三角形.‎ ‎(1)求证:梯形是等腰梯形;‎ ‎(2)动点、分别在线段和上运动,且保持不变.设求与的函数关系式;‎ ‎(3)在(2)中:‎ ‎①当动点、运动到何处时,以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;‎ ‎②当取最小值时,判断的形状,并说明理由.‎ A D C B P M Q ‎60°‎ 提示:第(3)①问,两种情形----‎ ‎ PM∥AB , PM∥CD 第(3)②问, 求出y最小值为3,此时x=PC=2,点P到BC中点,PM⊥BC .‎ ‎6、(2009年重庆市)已知:如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.‎ ‎(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;‎ ‎(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;‎ ‎(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎6题图 y x D B C A E E O 提示:第(3)问,△PGC为等腰三角形按哪两边相等分类讨论,求出点P坐标,再求点Q坐标。‎ 一、 三角形的旋转 ‎7、(2009年邵阳市)如图,将Rt△ABC(其中∠B=34,∠C=90)绕A点按顺时针方向旋转到△AB‎1 C1的位置,使得点C、A、B1 在同一条直线上,那么旋转角最小等于(  )‎ A.56 B‎.68 ‎C.124 D.180‎ ‎34‎ B1‎ C B A C1‎ ‎8、(2009年包头)如图,已知与是两个全等的直角三角形,量得它们的斜边长为‎10cm,较小锐角为30°,将这两个三角形摆成如图(1)所示的形状,使点在同一条直线上,且点与点重合,将图(1)中的绕点顺时针方向旋转到图(2)的位置,点在边上,交于点,则线段的长为 cm(保留根号).‎ C ‎(F)‎ D 图(2)‎ ‎9、(2009河池)如图9,的顶点坐标分别为.若将绕点顺时针旋转,得到,则点的对应点的坐标为 .‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ O A B C y x 图9‎ ‎10、(2009年郴州市)如图,桌面上平放着一块三角板和一把直尺,小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘,他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转,还是将三角板沿直尺平移,与的和总是保持不变,那么与的和是_______度.‎ ‎11、(2009年台州市)如图,三角板中,,,.‎ C A B 三角板绕直角顶点逆时针旋转,当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动,则点转过的路径长为   .‎ ‎12、(2009年凉山州)将绕点逆时针旋转到使在同一直线上,若,,则图中阴影部分面积为 cm2.‎ ‎30°‎ C B A ‎30°‎ ‎(12题)‎ ‎13、(2009年郴州市)如图6,在下面的方格图中,将ABC先向右平移四个单位得到AB‎1C1,再将AB‎1C1绕点A1逆时针旋转得到AB‎2C2,请依次作出AB‎1C1和AB‎2C2。‎ 图6‎ ‎14、(2009年达州)如图7,在△ABC中,AB=2BC,点D、点E分别为AB、AC的中点,连结DE,将△ADE绕点E旋转180得到△CFE.试判断四边形BCFD的形状,并说明理由.‎ ‎15、(2009襄樊市)如图所示,在中,将绕点顺时针方向旋转得到点在上,再将沿着所在直线翻转得到连接 ‎ ‎ (1)求证:四边形是菱形;‎ ‎ (2)连接并延长交于连接请问:四边形是什么特殊平行四边形?为什么?‎ A D F C E G B A D G E C B ‎16、(2009年株洲市)如图,在中,,,将绕点沿逆时针方向旋转得到.‎ ‎(1)线段的长是 ,‎ 的度数是 ;‎ ‎(2)连结,求证:四边形是平行四边形;‎ ‎(3)求四边形的面积.‎ ‎17、(2009烟台市)如图,直角梯形ABCD中,,,且,过点D作,交的平分线于点E,连接BE.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)将绕点C,顺时针旋转得到,连接EG..求证:CD垂直平分EG.‎ ‎(3)延长BE交CD于点P.求证:P是CD的中点.即.‎ ‎18、(2009年山西省)‎ A D B E C F A D B E C F 在中,将绕点顺时针旋转角得交于点,分别交于两点.‎ ‎(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段与有怎样的数量关系?并证明你的结论;‎ ‎(2)如图2,当时,试判断四边形的形状,并说明理由;‎ ‎(3)在(2)的情况下,求的长.‎ 提示:(1)考查三角形旋转过程中的不变量再导出图形各线段间的各种关系;‎ ‎ (2)在特殊条件下,‎ 得到线段间的特殊关系。‎ A E C F B D 图1‎ 图3‎ A D F E C B A D B C E 图2‎ F ‎19、(2009年牡丹江)‎ 已知中,为边的中点,绕点旋转,它的两边分别交、(或它们的延长线)于、当绕点旋转到于 时(如图1),易证 当绕点旋转到不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,、、又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.‎ 分析:此类题的特点是-----提供问题的一个特殊的情况(给出命题的题设、结论),让你探索使结论成立的证明过程,然后通过运动变换,使题设条件改变,图形随之发生变化产生新的问题情景,再去探究新情景中原来的结论是否成立,还是又有新的关系。‎ ‎ 解题方法思路一般是----先探究特殊情景下的解题方法,再内化感悟、类比、猜想与探究。(针对特殊情景解题方法需添加什么辅助线,用到什么定理,是什么方法思想,能否直接模仿,还是要创新)‎ 提示:图2、图3按退还到图1位置作辅助线,证明方法思路一样。‎ ‎20、(2009年常德市)‎ 图9 图10 图11‎ 图8‎ 如图9,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.‎ ‎(1)当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;‎ ‎(2)当△ADE绕A点旋转到图11的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由.‎ 提示:(1)抓住不变量易解,‎ ‎ (2)能证得△ADC 与 △AEB是直角三角形,再用勾股定理和相似三角形的性质求解。‎ F B A D C E G 图②‎ ‎21、(2009东营)‎F B A D C E G 图①‎ 已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.‎ ‎(1)求证:EG=CG;‎ ‎(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. ‎ ‎(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)‎ 提示:考查三角形的中线、三角形全等、矩形的性质等。(2)作适当辅助线,构造全等三角形。也可连接GA,得GC=GA,过点G作AB的垂线,证GE=GA.‎ D F B A C E 图③‎ ‎22、(2009年甘肃庆阳)(8分)如图14,在平面直角坐标系中,等腰Rt△OAB斜边OB在y轴上,且OB=4.‎ ‎(1)画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形;‎ D O B A x y C y=kx+1‎ 图(9)-1‎ ‎(2)求线段OB在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积(即旋转前后OB与点B轨迹所围成的封闭图形的面积).‎ 图22‎ ‎23、(2009年广西梧州)如图(9)-1,抛物线经过A(,0),C(3,)两点,与轴交于点D,与轴交于另一点B.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)若直线将四边形ABCD面积二等分,求的值;‎ E F M N G O B A x y 图(9)-2‎ Q ‎(3)如图(9)-2,过点E(1,1)作EF⊥轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ(点M、N、Q分别与点A、E、F对应),使点M、N在抛物线上,作MG⊥轴于点G,若线段MG︰AG=1︰2,求点M,N的坐标.‎ 提示:第(3)问类似09武汉中考压轴题,利用好中心对称的性质-----对应边平行且相等。‎ 一、 四边形的旋转 ‎24、(2009年山东青岛市)如图.边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转,则这两个正方形重叠部分的面积是 .‎ A D C B E ‎25、(2009呼和浩特)如图所示,正方形的边在正方形的边上,连接.‎ ‎(1)求证:.‎ E F G D A B C ‎(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,说出旋转过程;若不存在,请说明理由.‎ ‎26、(2009年济宁市)在平面直角坐标中,边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上,点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转,当点第一次落在直线上时停止旋转,旋转过程中,边交直线于点,边交轴于点(如图).‎ ‎(1)求边在旋转过程中所扫过的面积;‎ ‎(2)旋转过程中,当和平行时,求正方形旋转的度数;‎ O A B C M N ‎(3)设的周长为,在旋转正方形的过程中,值是否有变化?请证明你的结论.‎ 提示:延长BA交y轴于点E。第(3)问,‎ 证明△OAE≌△OCN , △OMN≌△OME,‎ 得MN=AM+CN.‎ ‎27、(2009年宁波市)‎ ‎(Q)‎ B A O x P ‎(图2)‎ y Q C B A O x P ‎(图1)‎ y C B A O y x ‎(备用图)‎ ‎(第27题)‎ 如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为,直线BC经过点,,将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形,此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q.‎ ‎(1)四边形OABC的形状是 ,‎ 当时,的值是 ;‎ ‎(2)①如图1,当四边形的顶点落在轴正半轴时,求的值;‎ ‎②如图,当四边形的顶点落在直线上时,求的面积.‎ ‎(3)在四边形OABC旋转过程中,当时,是否存在这样的点P和点Q,使?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 提示:第(3)问,过点Q作QH⊥OA'于H,连接OQ,则QH=OC'=OC,易证PQ=OP,‎ 设BP=x,BQ=2x;按旋转时点P在点B左、右两种情况分类讨论。‎ ‎28、(2009年湖北荆州)‎ x y O M H G F E D C B A 图①‎ H G F E D C B A 图②‎ x y O Q P 如图①,已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形(菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2︰1),∠BAD=120°,对角线均在坐标轴上,抛物线经过AD的中点M.‎ ‎⑴填空:A点坐标为 ,D点坐标为 ;‎ ‎⑵操作:如图②,固定菱形ABCD,将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转度角,并延长 OE交AD于P,延长OH交CD于Q.‎ 探究1:在旋转的过程中是否存在某一角度,使得四边形AFEP是平行四边形?若存在,请推断出的值;若不存在,说明理由;‎ 探究2:设AP=,四边形OPDQ的面积为,求与之间的函数关系式,并指出的取值范围.‎ 一、 抛物线的旋转 ‎29、(2009年宁德市)如图,已知抛物线C1:的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边),点B的横坐标是1.‎ ‎(1)求P点坐标及a的值;‎ ‎(2)如图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式;‎ ‎(3)如图(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.‎ y x A O B P M 图1‎ C1‎ C2‎ C3‎ 图(1)‎ y x A O B P N 图2‎ C1‎ C4‎ Q E F 图(2)‎ ‎30、(2009年四川凉山州)如图,已知抛物线经过,两点,顶点为.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)将绕点顺时针旋转90°后,点落到点的位置,将抛物线沿轴平移后经过点,求平移后所得图象的函数关系式;‎ y x B A O D ‎(第30题)‎ ‎(3)设(2)中平移后,所得抛物线与轴的交点为,顶点为,若点在平移后的抛物线上,且满足的面积是面积的2倍,求点的坐标.‎