湖州市2015年中考数学卷 18页

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  • 2021-05-13 发布

湖州市2015年中考数学卷

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浙江省湖州市 2015 年中考数学试卷 一、选择题(本题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.−5 的绝对值是( ) A. −5 B. 5 C. − D. 【答案】B. 考点:绝对值的意义. 2.当 x=1 时,代数式 4−3x 的值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A. 【解析】 试题分析:把 x=1 代入代数式 4−3x 即可得原式=4-3=1.故答案选 A. 考点:代数式求值. 3.4 的算术平方根是( ) A. ±2 B. 2 C. −2 D. 【答案】B. 【解析】 试题分析:因 ,根据算术平方根的定义即可得 4 的算术平方根是 2.故答案选 B. 考点:算术平方根的定义. 4.若一个圆锥的侧面展开图是半径为 18cm,圆心角为 240°的扇形,则这个圆锥的底面半径 长是( ) A. 6cm B. 9cm C. 12cm D. 18cm 【答案】C. 考点:弧长公式;圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长. 5.已知一组数据的方差是 3,则这组数据的标准差是( ) A. 9 B. 3 C. D. 【答案】D. 【解析】 试题分析:根据标准差的平方就是方差可得这组数据的标准差是 .故答案选 D. 考点:标准差的定义. 6.如图,已知在△ABC 中,CD 是 AB 边上的高线,BE 平分∠ABC,交 CD 于点 E,BC=5, DE=2,则△BCE 的面积等于( ) A. 10 B. 7 C. 5 D. 4 【答案】C. 考点:角平分线的性质;三角形的面积公式. 7.一个布袋内只装有 1 个黑球和 2 个白球,这些球除颜色外其余都相同,随机摸出一个球后 放回搅匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球都是黑球的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D. 【解析】 试题分析:列表如下 黑 白 1 白 2 黑 (黑,黑) (白 1,黑) (白 2,黑) 白 1 (黑,白 1) (白 1,白 1) (白 2,白 1) 白 2 (黑,白 2) (白 1,白 2) (白 2,白 2) 由表格可知,随机摸出一个球后放回搅匀,再随机摸出一个球所以的结果有 9 种,两次摸出 的球都是黑球的结果有 1 种,所以两次摸出的球都是黑球的概率是 .故答案选 D. 考点:用列表法求概率. 8.如图,以点 O 为圆心的两个圆中,大圆的弦 AB 切小圆于点 C,OA 交小圆于点 D,若 OD=2, tan∠OAB= ,则 AB 的长是( ) A. 4 B. 2 C. 8 D. 4 【答案】C. 考点:切线的性质定理;锐角三角函数;垂径定理. 9.如图,AC 是矩形 ABCD 的对角线,⊙O 是△ABC 的内切圆,现将矩形 ABCD 按如图所示 的方式折叠,使点 D 与点 O 重合,折痕为 FG,点 F,G 分别在 AD,BC 上,连结 OG,DG, 若 OG⊥DG,且☉O 的半径长为 1,则下列结论不成立的是( ) A. CD+DF=4 B. CD−DF=2 −3 C. BC+AB=2 +4 D. BC−AB=2 【答案】A. 【解析】 试题分析:如图,设⊙O 与 BC 的切点为 M,连接 MO 并延长 MO 交 AD 于点 N,利用“AAS” 易证△OMG≌△GCD,所以 OM=GC=1, CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.又因 AB=CD,所以可得 BC−AB=2.设AB=a,BC=b,AC=c, ⊙O 的半径为r,⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r= (a+b-c), 所以 c=a+b-2. 在 Rt△ABC 中,由勾股定理可得 ,整理得 2ab-4a-4b+4=0,又因 BC−AB=2 即 b=2+a,代入可得 2a(2+a)-4a-4(2+a)+4=0,解得 ,所以 ,即可得 BC+AB=2 +4. 再 设 DF=x,在 Rt△ONF 中,FN= ,OF=x,ON= ,由勾股定理可得 ,解得 ,所以 CD−DF= , CD+DF= .综上只有选项 A 错误,故答案选 A. 考点:矩形的性质;直角三角形内切圆的半径与三边的关系;折叠的性质;勾股定理; 10.如图,已知在平面直角坐标系 xOy 中,O 是坐标原点,点 A 是函数 y= (x<0)图象上一 点,AO 的延长线交函数 y= (x>0,k 是不等于 0 的常数)的 图象于点 C,点 A 关于 y 轴的对称点为 A′,点 C 关于 x 轴的对 称点为 C′,连接 CC′,交 x 轴于点 B,连结 AB,AA′,A′C′,若 △ABC 的面积等于 6,则由线段 AC,CC′,C′A′,A′A 所围成的 图形的面积等于( ) A. 8 B. 10 C. 3 D. 4 【答案】B. 【解析】 试题分析:如图,连接 O A′,由点 A 和点 A′关于 y 轴的对称可得∠AOM=∠A′OM,又因 ∠AOM+∠BOC=90°, ∠A′OM +∠A′OB=90°,根据等角的余角相等可得∠BOC= A′OB;又因点 C 与点 C′关于 x 轴的对称,所以点 A、A′、C′三点在同一直线上.设点 A 的坐标为(m, ), 直线 AC 经过点 A,可求的直线 AC 的表达式为 .直线 AC 与函数 y= 一个交点为 点 C,则可求得点 C 的坐标当 k<0 时为(mk, ),当 k>0 时为(-mk, ),根据△ABC 的面积等于 6 可得 ,解得 .或 ,解得 ,所以 y= .根据反比例函 数比例系数 k 的几何意义和轴对称的性质可得△AO A′的面积为 1,△CO C′的面积为 9,所 以线段 AC,CC′,C′A′,A′A 所围成的图形的面积等于△AO A′的面积+△CO C′的面积,即线 段 AC,CC′,C′A′,A′A 所围成的图形的面积等于 10,故答案选 B. 考点:反比例函数与一次函数的综合题;反比例函数与一次函数的交点坐标;反比例函数比 例系数 k 的几何意义和轴对称的性质. 二、填空题(本题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.计算:23×( )2=_______________________________ 【答案】2. 考点:有理数的运算. 12.放学后,小明骑车回家,他经过的路程 s(千米)与所用时间 t(分钟)的函数关系如图所示, 则小明的骑车速度是_________________________千米/分钟. 【答案】0.2 千米/分钟. 【解析】 试题分析:由图象可得,小明 10 分钟走了 2 千米路程,根据速度等于路程除以时间即可计 算出小明的骑车速度. 考点:函数图象. 12.在“争创美丽校园,争做文明学生”示范校评比活动中,10 位评委给某校的评分情况如下 表所示: 评分(分) 80 85 90 95 评委人数 1 2 5 2 则这 10 位评委评分的平均数是_________________________分 【答案】89. 考点:平均数的计算方法. 14.如图,已知 C,D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点,O 是圆心,半径 OA=2,∠COD=120°, 则图中阴影部分的面积等于_____________________. 【答案】 . 【解析】 试题分析:由题意可知,∠AOC+∠BOD=180°—120°=60°,图中阴影部分的面积等于 . 考点:扇形的面积公式. 15.如图,已知抛物线 C1:y=a1x2+b1x+c1 和 C2:y=a2x2+b2x+c2 都经过原点,顶点分别为 A,B, 与 x 轴的另一个交点分别为 M、N,如果点 A 与点 B,点 M 与点 N 都关于原点 O 成中心对 称,则抛物线 C1 和 C2 为姐妹抛物线,请你写出一对姐妹抛物线 C1 和 C2,使四边形 ANBM 恰好是矩形,你所写的一对抛物线解析式是_______________________和 _________________________ 【答案】 , (答案不唯一,只要符合条件即可). 【解析】 试题分析:因点 A 与点 B,点 M 与点 N 都关于原点 O 成中心对称,所以把抛物线 C2 看成 抛物线 C1 以点 O 为旋转中心旋转 180°得到的,由此即可知 a1,a2 互为相反数,抛物线 C1 和 C2 的对称轴直线关于 y 轴对称,由此可得出 b1=b2. 抛物线 C1 和 C2 都经过原点,可得 c1=c2, 设点 A(m,n),由题意可知 B(-m,-n),由勾股定理可得 .由图象可知 MN=︱4m︱,又因四边形 ANBM 是矩形,所以 AB=MN,即 ,解得 ,设抛物线的表达式为 ,任意确定 m 的一个值, 根据 确定 n 的值,抛物线过原点代入即可求得表达式,然后在确定另一个表达式 即可.l 例如,当 m=1 时,n= ,抛物线的表达式为 ,把 x=0,y=0 代入 解得 a= ,即 ,所以另一条抛物线的表达式为 . 考点:旋转、矩形、二次函数综合题. 16.已知正方形 ABC1D1 的边长为 1,延长 C1D1 到 A1,以 A1C1 为边向右作正方形 A1C1C2D2, 延长 C2D2 到 A2,以 A2C2 为边向右作正方形 A2C2C3D3(如图所示),以此类推…,若 A1C1=2, 且 点 A , D2 , D3 , … , D10 都 在 同 一 直 线 上 , 则 正 方 形 A9C9C10D10 的 边 长 是 __________________________ 【答案】 . 考点:正方形的性质;相似三角形的判定及性质;规律探究题. 三、简答题(本题有 8 小题,共 66 分) 17.(6 分)计算: 【答案】a+b. 考点:分式的运算. 18. (6 分)解不等式组 【答案】 . 【解析】 试题分析:分别求出这两个不等式的解集,这两个不等式的解集的公共部分即为不等式组的 解集. 试题解析: 解不等式(1)得,x<6, 解不等式(2)得,x>1 ∴不等式组的解集是 . 考点:一元一次不等式组的解法. 19. (6 分)已知 y 是 x 的一次函数,当 x=3 时,y=1;当 x=−2 时,y=−4,求这个一次函数的解 析式. 【答案】y=x—2. 考点:用待定系数法求函数解析式. 20.(8 分)如图,已知 BC 是⊙O 的直径,AC 切⊙O 于点 C,AB 交⊙O 于点 D,E 为 AC 的中 点,连结 DE. (1)若 AD=DB,OC=5,求切线 AC 的长. (2)求证:ED 是⊙O 的切线. 【答案】(1)AC=10;(2)详见解析. 试题解析: (1)连接 CD, ∵BC 是⊙O 的直径, ∴∠BDC=90°,即 CD⊥AB, ∵AD=DB ∴AC=BC=2OC=10. (2)连接 OD, ∵∠ADC=90°,E 为 AC 的中点, ∴DE=EC= AC, ∴∠1=∠2, ∵OD=OC, ∠3=∠4, ∵AC 切⊙O 于点 C,∴AC⊥OC. ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即 DE⊥OD, ∴DE 是⊙O 的切线. 考点:圆周角定理的推论;切线的性质定理;切线的判定定理. 21.(8 分)为了深化课程改革,某校积极开展校本课程建设,计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、 “音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团,要求每位学生都自主选择其中一个社团,为此,随机 调查了本校各年级部分学生选择社团的意向,并将调查结果绘制成如下统计图表(不完整): 某校被调查学生选择社团意向统计表 选择意向 文学鉴赏 科学实验 音乐舞蹈 手工编织 其他 所占百分比 a 35% b 10% c 根据统计图表中的信息,解答下列问题: (1)求本次调查的学生总人数及 a,b,c 的值. (2)将条形统计图补充完整(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上). (3)若该校共有 1200 名学生,试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数. 【答案】(1)200 人,a=30%,b=20%,c=5%;(2)图见解析;(3)420 人. (2)补全统计图如图所示; (3)全校选择“科学实验”社团的学生人数约为 1200×35%=420(人). 考点:条形统计图;用样本估计总体. 22.(10 分)某工厂计划在规定时间内生产 24000 个零件,若每天比原计划多生产 30 个零件, 则在规定时间内可以多生产 300 个零件. (1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数. (2)为了提前完成生产任务,工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时,引进 5 组机器 人生产流水线共同参与零件生产,已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比 20 个 工人原计划每天生产的零件总数还多 20%,按此测算,恰好提前两天完成 24000 个零件的 生产任务,求原计划安排的工人人数. 【答案】(1) 原计划每天生产零件 2400 个,规定的天数是 10 天;(2)原计划安排的工人人数 为 480 人. 【解析】 试题分析:(1)设原计划每天生产零件 x 个,根据相等关系“原计划生产 24000 个零件所用 时间=实际生产(24000+300)个零件所用的时间”可列方程 ,解出 x 即为原计划每天生产的零件个数,再代入 即可求得规定天数;(2)设原计划安排的 工人人数为 y 人,根据“(5 组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零 件个数)×(规定天数-2)=零件总数 24000 个”可列方程[5×20×(1+20%)× +2400] ×(10-2)=24000,解得 y 的值即为原计划安排的工人人数. 试题解析:(1)解:设原计划每天生产零件 x 个,由题意得, , 解得 x=2400, 经检验,x=2400 是原方程的根,且符合题意. ∴规定的天数为 24000÷2400=10(天). 答:原计划每天生产零件 2400 个,规定的天数是 10 天. 考点:分式方程的应用. 23 (10 分)问题背景:已知在△ABC 中,AB 边上的动点 D 由 A 向 B 运动(与 A,B 不重合), 点 E 与点 D 同时出发,由点 C 沿 BC 的延长线方向运动(E 不与 C 重合),连结 DE 交 AC 于 点 F,点 H 是线段 AF 上一点 (1)初步尝试:如图 1,若△ABC 是等边三角形,DH⊥AC,且点 D,E 的运动速度相等,求 证:HF=AH+CF 小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题: 思路一:过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,先证 GH=AH,再证 GF=CF,从而证得结论成 立. 思路二:过点 E 作 EM⊥AC,交 AC 的延长线于点 M,先证 CM=AH,再证 HF=MF,从而 证得结论成立. 请你任选一种思路,完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答,则以第一种方法评 分) (2)类比探究:如图 2,若在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ADH=∠BAC=30°,且点 D,E 的运 动速度之比是 :1,求 的值. (3)延伸拓展:如图 3,若在△ABC 中,AB=AC,∠ADH=∠BAC=36°,记 =m,且点 D、 E 的运动速度相等,试用含 m 的代数式表示 (直接写出结果,不必写解答过程). 【答案】(1)详见解析;(2) =2 ;(3) . 【解析】 试题分析:(1)(选择思路一):过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,如图 1,易证△ADG 是等边三角形,根据等边三角形的性质可得 GD=AD=CE,GH=AH,再由平行线的性质可得 ∠GDF=∠CEF, ∠DGF=∠ECF,又因 GD=AD=CE,根据“ASA”可证△GDF≌△CEF,由全等三 角形的对应边相等可得 GF=CF,所以 GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF. (选择思路二): 过点 E 作 EM⊥AC,交 AC 的延长线于点 M,如图 1,先证△ADH≌△CEM,由全等三角形 的对应边相等可得 AH=CM,DH=EM, 又因∠DHF=∠EMF=90°, ∠DFH=∠EFM,所以 △DFH≌△EFM,即可得 HF=MF=CM+CF=AH+CF.(2))过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G, 如图 2, 可证 AD= GD, 由题意可知,AD= CE,所以 GD=CE,再证△GDF≌△CEF,由 全等三角形的对应边相等可得 GF=CF,所以 GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF,即可得 =2. (3)过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,如图 3,可得 AD=AG,DH=DG,AD=EC,所以 ,又因 DG∥BC,可得 ,所以 由比例的性质可得 ,即 ,所以 . 试题解析:(1)证明:方法一(选择思路一), 过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,如图 1, ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ADG=∠B=60°, ∠A=60°, ∴△ADG 是等边三角形, ∴GD=AD=CE, ∵DH⊥AC,GH=AH, ∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF, ∠DGF=∠ECF, ∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF, ∴GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF. (2)过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,如图 2, 则∠ADG=∠B=90°, ∵∠BAC=∠ADH=30°, ∴∠HGD=∠HDG=60°, ∴AH=GH=GD,AD= GD, 由题意可知,AD= CE, ∴GD=CE, ∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF, ∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF, ∴GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF, ∴ =2. (3) . 考点:等边三角形的判定及性质;全等三角形的判定及性质;平行线的性质;比例的性质. 24.面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点,线段 AB 的两个端点 A(0,2),B(1,0)分别在 y 轴 和 x 轴的正半轴上,点 C 为线段 AB 的中点,现将线段 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 90°得 到线段 BD,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 D. (1)如图 1,若该抛物线经过原点 O,且 a= . ①求点 D 的坐标及该抛物线的解析式. ②连结 CD,问:在抛物线上是否存在点 P,使得∠POB 与∠BCD 互余?若存在,请求出 所有满足条件的点 P 的坐标,若不存在,请说明理由. (2)如图 2,若该抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 E(1,1),点 Q 在抛物线上,且满足∠QOB 与∠BCD 互余,若符合条件的 Q 点的个数是 4 个,请直接写出 a 的取值范围. 【答案】(1) ①D(3,1), ;②在抛物线上存在点 , 使得∠POB 与∠BCD 互余.(2)a 的取值范围是 . 【解析】 试题分析:(1) ①过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F,可证△AOB≌△BFD,即可求得 D 点的坐标, 把 a= ,点 D 的坐标代入抛物线即可求抛物线的解析式. ②由 C、D 两点的纵坐标都为 1 可知 CD∥x 轴,所以∠BCD=∠ABO,又因∠BAO 与∠BCD 互余,若要使得∠POB 与∠BCD 互余,则需满足∠POB=∠BAO, 设点 P 的坐标为(x, ).分两种情况:第一种 情况,当点 P 在 x 轴上方时,过点 P 作 PG⊥x 轴于点 G,由 tan∠POB=tan∠BAO= 可得 ,解得 x 的值后代入 求得 的值即可得点 P 的坐标. 第一种情况,当点 P 在 x 轴下 方时,利用同样的方法可求点 P 的坐标.(2)抛物线 y=ax2+bx+c 过点 E、D,代入可得 ,解得 ,所以 ,分两种情况: ①当抛物线 y=ax2+bx+c 开口向下时,满足∠QOB 与∠BCD 互余且符合条件的 Q 点的个数 是 4 个,点 Q 在 x 轴的上、下方各有两个,点 Q 在 x 轴的上方时,直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点必须在 x 轴的正半轴上,与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴,所以 3a+1<0,解得 a< ,当 a< 符合条件的点 Q 有两个, 点 Q 在 x 轴的上方时,直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点,符合条件的点 Q 有两个.所以当 a < ,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 E(1,1),点 Q 在抛物线上,且满足∠QOB 与∠BCD 互余,若符合条件的 Q 点的个数是 4 个;②当抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上时,满足∠QOB 与∠BCD 互余且符合条件的 Q 点的个数是 4 个,点 Q 在 x 轴的上、下方各有两个,当点 Q 在 x 轴的上方时,直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点,符合条件的点 Q 有两个. 当 点 Q 在 x 轴的下方时,直线 OQ 必须与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点,符合条件的点 Q 才 有两个.由题意可求的直线 OQ 的解析式为 ,直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 由两个 交点,所以 ,方程有两个不相等的实数根所以 △= ,即 ,画出二次函数 图 象并观察可得 的解集为 或 (不合题意舍去), 所以当 ,在 x 轴的下方符合条件的点 Q 有两个.所以当 ,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 E(1,1),点 Q 在抛物线上,且满足∠QOB 与∠BCD 互余,若符合 条件的 Q 点的个数是 4 个. 综上,当 a< 或 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 E(1,1),点 Q 在抛物 线上,且满足∠QOB 与∠BCD 互余,符合条件的 Q 点的个数是 4 个. 试题解析:解:(1) ①过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F,如图所示. ∵∠DBF+∠ABO=90°, ∠BAO+∠ABO=90°, ∴∠DBF=∠BAO, 又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD, ∴△AOB≌△BFD, ∴DF=BO=1,BF=AO=2, ∴D 点的坐标是(3,1), 根据题意得, , ∴ ,∴该抛物线的解析式为 . (Ⅰ)当点 P 在 x 轴的上方时,过点 P 作 PG⊥x 轴于点 G, 则 tan∠POB=tan∠BAO,即 , ∴ ,解得 , ∴ , ∴点 P 的坐标是 . (2)a 的取值范围是 . 考点:二次函数综合题.