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- 2021-05-13 发布
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浙江省湖州市 2015 年中考数学试卷
一、选择题(本题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分)
1.−5 的绝对值是( )
A. −5 B. 5 C. − D.
【答案】B.
考点:绝对值的意义.
2.当 x=1 时,代数式 4−3x 的值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A.
【解析】
试题分析:把 x=1 代入代数式 4−3x 即可得原式=4-3=1.故答案选 A.
考点:代数式求值.
3.4 的算术平方根是( )
A. ±2 B. 2 C. −2 D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:因 ,根据算术平方根的定义即可得 4 的算术平方根是 2.故答案选 B.
考点:算术平方根的定义.
4.若一个圆锥的侧面展开图是半径为 18cm,圆心角为 240°的扇形,则这个圆锥的底面半径
长是( )
A. 6cm B. 9cm C. 12cm D. 18cm
【答案】C.
考点:弧长公式;圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长.
5.已知一组数据的方差是 3,则这组数据的标准差是( )
A. 9 B. 3 C. D.
【答案】D.
【解析】
试题分析:根据标准差的平方就是方差可得这组数据的标准差是 .故答案选 D.
考点:标准差的定义.
6.如图,已知在△ABC 中,CD 是 AB 边上的高线,BE 平分∠ABC,交 CD 于点 E,BC=5,
DE=2,则△BCE 的面积等于( )
A. 10 B. 7 C. 5 D. 4
【答案】C.
考点:角平分线的性质;三角形的面积公式.
7.一个布袋内只装有 1 个黑球和 2 个白球,这些球除颜色外其余都相同,随机摸出一个球后
放回搅匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球都是黑球的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】
试题分析:列表如下
黑 白 1 白 2
黑 (黑,黑) (白 1,黑) (白 2,黑)
白 1 (黑,白 1) (白 1,白 1) (白 2,白 1)
白 2 (黑,白 2) (白 1,白 2) (白 2,白 2)
由表格可知,随机摸出一个球后放回搅匀,再随机摸出一个球所以的结果有 9 种,两次摸出
的球都是黑球的结果有 1 种,所以两次摸出的球都是黑球的概率是 .故答案选 D.
考点:用列表法求概率.
8.如图,以点 O 为圆心的两个圆中,大圆的弦 AB 切小圆于点 C,OA 交小圆于点 D,若 OD=2,
tan∠OAB= ,则 AB 的长是( )
A. 4 B. 2 C. 8 D. 4
【答案】C.
考点:切线的性质定理;锐角三角函数;垂径定理.
9.如图,AC 是矩形 ABCD 的对角线,⊙O 是△ABC 的内切圆,现将矩形 ABCD 按如图所示
的方式折叠,使点 D 与点 O 重合,折痕为 FG,点 F,G 分别在 AD,BC 上,连结 OG,DG,
若 OG⊥DG,且☉O 的半径长为 1,则下列结论不成立的是( )
A. CD+DF=4 B. CD−DF=2 −3 C. BC+AB=2 +4 D. BC−AB=2
【答案】A.
【解析】
试题分析:如图,设⊙O 与 BC 的切点为 M,连接 MO 并延长 MO 交 AD 于点 N,利用“AAS”
易证△OMG≌△GCD,所以 OM=GC=1, CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.又因 AB=CD,所以可得
BC−AB=2.设AB=a,BC=b,AC=c, ⊙O 的半径为r,⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r= (a+b-c),
所以 c=a+b-2. 在 Rt△ABC 中,由勾股定理可得 ,整理得
2ab-4a-4b+4=0,又因 BC−AB=2 即 b=2+a,代入可得 2a(2+a)-4a-4(2+a)+4=0,解得
,所以 ,即可得 BC+AB=2 +4. 再
设 DF=x,在 Rt△ONF 中,FN= ,OF=x,ON= ,由勾股定理可得
,解得 ,所以 CD−DF= ,
CD+DF= .综上只有选项 A 错误,故答案选 A.
考点:矩形的性质;直角三角形内切圆的半径与三边的关系;折叠的性质;勾股定理;
10.如图,已知在平面直角坐标系 xOy 中,O 是坐标原点,点 A 是函数 y= (x<0)图象上一
点,AO 的延长线交函数 y= (x>0,k 是不等于 0 的常数)的
图象于点 C,点 A 关于 y 轴的对称点为 A′,点 C 关于 x 轴的对
称点为 C′,连接 CC′,交 x 轴于点 B,连结 AB,AA′,A′C′,若
△ABC 的面积等于 6,则由线段 AC,CC′,C′A′,A′A 所围成的
图形的面积等于( )
A. 8 B. 10 C. 3 D. 4
【答案】B.
【解析】
试题分析:如图,连接 O A′,由点 A 和点 A′关于 y 轴的对称可得∠AOM=∠A′OM,又因
∠AOM+∠BOC=90°, ∠A′OM +∠A′OB=90°,根据等角的余角相等可得∠BOC= A′OB;又因点
C 与点 C′关于 x 轴的对称,所以点 A、A′、C′三点在同一直线上.设点 A 的坐标为(m, ),
直线 AC 经过点 A,可求的直线 AC 的表达式为 .直线 AC 与函数 y= 一个交点为
点 C,则可求得点 C 的坐标当 k<0 时为(mk, ),当 k>0 时为(-mk, ),根据△ABC
的面积等于 6 可得 ,解得 .或
,解得 ,所以 y= .根据反比例函
数比例系数 k 的几何意义和轴对称的性质可得△AO A′的面积为 1,△CO C′的面积为 9,所
以线段 AC,CC′,C′A′,A′A 所围成的图形的面积等于△AO A′的面积+△CO C′的面积,即线
段 AC,CC′,C′A′,A′A 所围成的图形的面积等于 10,故答案选 B.
考点:反比例函数与一次函数的综合题;反比例函数与一次函数的交点坐标;反比例函数比
例系数 k 的几何意义和轴对称的性质.
二、填空题(本题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
11.计算:23×( )2=_______________________________
【答案】2.
考点:有理数的运算.
12.放学后,小明骑车回家,他经过的路程 s(千米)与所用时间 t(分钟)的函数关系如图所示,
则小明的骑车速度是_________________________千米/分钟.
【答案】0.2 千米/分钟.
【解析】
试题分析:由图象可得,小明 10 分钟走了 2 千米路程,根据速度等于路程除以时间即可计
算出小明的骑车速度.
考点:函数图象.
12.在“争创美丽校园,争做文明学生”示范校评比活动中,10 位评委给某校的评分情况如下
表所示:
评分(分) 80 85 90 95
评委人数 1 2 5 2
则这 10 位评委评分的平均数是_________________________分
【答案】89.
考点:平均数的计算方法.
14.如图,已知 C,D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点,O 是圆心,半径 OA=2,∠COD=120°,
则图中阴影部分的面积等于_____________________.
【答案】 .
【解析】
试题分析:由题意可知,∠AOC+∠BOD=180°—120°=60°,图中阴影部分的面积等于
.
考点:扇形的面积公式.
15.如图,已知抛物线 C1:y=a1x2+b1x+c1 和 C2:y=a2x2+b2x+c2 都经过原点,顶点分别为 A,B,
与 x 轴的另一个交点分别为 M、N,如果点 A 与点 B,点 M 与点 N 都关于原点 O 成中心对
称,则抛物线 C1 和 C2 为姐妹抛物线,请你写出一对姐妹抛物线 C1 和 C2,使四边形 ANBM
恰好是矩形,你所写的一对抛物线解析式是_______________________和
_________________________
【答案】 , (答案不唯一,只要符合条件即可).
【解析】
试题分析:因点 A 与点 B,点 M 与点 N 都关于原点 O 成中心对称,所以把抛物线 C2 看成
抛物线 C1 以点 O 为旋转中心旋转 180°得到的,由此即可知 a1,a2 互为相反数,抛物线 C1
和 C2 的对称轴直线关于 y 轴对称,由此可得出 b1=b2. 抛物线 C1 和 C2 都经过原点,可得 c1=c2,
设点 A(m,n),由题意可知 B(-m,-n),由勾股定理可得 .由图象可知
MN=︱4m︱,又因四边形 ANBM 是矩形,所以 AB=MN,即 ,解得
,设抛物线的表达式为 ,任意确定 m 的一个值,
根据 确定 n 的值,抛物线过原点代入即可求得表达式,然后在确定另一个表达式
即可.l 例如,当 m=1 时,n= ,抛物线的表达式为 ,把 x=0,y=0 代入
解得 a= ,即 ,所以另一条抛物线的表达式为 .
考点:旋转、矩形、二次函数综合题.
16.已知正方形 ABC1D1 的边长为 1,延长 C1D1 到 A1,以 A1C1 为边向右作正方形 A1C1C2D2,
延长 C2D2 到 A2,以 A2C2 为边向右作正方形 A2C2C3D3(如图所示),以此类推…,若 A1C1=2,
且 点 A , D2 , D3 , … , D10 都 在 同 一 直 线 上 , 则 正 方 形 A9C9C10D10 的 边 长 是
__________________________
【答案】 .
考点:正方形的性质;相似三角形的判定及性质;规律探究题.
三、简答题(本题有 8 小题,共 66 分)
17.(6 分)计算:
【答案】a+b.
考点:分式的运算.
18. (6 分)解不等式组
【答案】 .
【解析】
试题分析:分别求出这两个不等式的解集,这两个不等式的解集的公共部分即为不等式组的
解集.
试题解析:
解不等式(1)得,x<6,
解不等式(2)得,x>1
∴不等式组的解集是 .
考点:一元一次不等式组的解法.
19. (6 分)已知 y 是 x 的一次函数,当 x=3 时,y=1;当 x=−2 时,y=−4,求这个一次函数的解
析式.
【答案】y=x—2.
考点:用待定系数法求函数解析式.
20.(8 分)如图,已知 BC 是⊙O 的直径,AC 切⊙O 于点 C,AB 交⊙O 于点 D,E 为 AC 的中
点,连结 DE.
(1)若 AD=DB,OC=5,求切线 AC 的长.
(2)求证:ED 是⊙O 的切线.
【答案】(1)AC=10;(2)详见解析.
试题解析:
(1)连接 CD,
∵BC 是⊙O 的直径,
∴∠BDC=90°,即 CD⊥AB,
∵AD=DB
∴AC=BC=2OC=10.
(2)连接 OD,
∵∠ADC=90°,E 为 AC 的中点,
∴DE=EC= AC, ∴∠1=∠2,
∵OD=OC, ∠3=∠4,
∵AC 切⊙O 于点 C,∴AC⊥OC.
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即 DE⊥OD,
∴DE 是⊙O 的切线.
考点:圆周角定理的推论;切线的性质定理;切线的判定定理.
21.(8 分)为了深化课程改革,某校积极开展校本课程建设,计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、
“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团,要求每位学生都自主选择其中一个社团,为此,随机
调查了本校各年级部分学生选择社团的意向,并将调查结果绘制成如下统计图表(不完整):
某校被调查学生选择社团意向统计表
选择意向 文学鉴赏 科学实验 音乐舞蹈 手工编织 其他
所占百分比 a 35% b 10% c
根据统计图表中的信息,解答下列问题:
(1)求本次调查的学生总人数及 a,b,c 的值.
(2)将条形统计图补充完整(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上).
(3)若该校共有 1200 名学生,试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数.
【答案】(1)200 人,a=30%,b=20%,c=5%;(2)图见解析;(3)420 人.
(2)补全统计图如图所示;
(3)全校选择“科学实验”社团的学生人数约为 1200×35%=420(人).
考点:条形统计图;用样本估计总体.
22.(10 分)某工厂计划在规定时间内生产 24000 个零件,若每天比原计划多生产 30 个零件,
则在规定时间内可以多生产 300 个零件.
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数.
(2)为了提前完成生产任务,工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时,引进 5 组机器
人生产流水线共同参与零件生产,已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比 20 个
工人原计划每天生产的零件总数还多 20%,按此测算,恰好提前两天完成 24000 个零件的
生产任务,求原计划安排的工人人数.
【答案】(1) 原计划每天生产零件 2400 个,规定的天数是 10 天;(2)原计划安排的工人人数
为 480 人.
【解析】
试题分析:(1)设原计划每天生产零件 x 个,根据相等关系“原计划生产 24000 个零件所用
时间=实际生产(24000+300)个零件所用的时间”可列方程 ,解出 x
即为原计划每天生产的零件个数,再代入 即可求得规定天数;(2)设原计划安排的
工人人数为 y 人,根据“(5 组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零
件个数)×(规定天数-2)=零件总数 24000 个”可列方程[5×20×(1+20%)× +2400]
×(10-2)=24000,解得 y 的值即为原计划安排的工人人数.
试题解析:(1)解:设原计划每天生产零件 x 个,由题意得,
,
解得 x=2400,
经检验,x=2400 是原方程的根,且符合题意.
∴规定的天数为 24000÷2400=10(天).
答:原计划每天生产零件 2400 个,规定的天数是 10 天.
考点:分式方程的应用.
23 (10 分)问题背景:已知在△ABC 中,AB 边上的动点 D 由 A 向 B 运动(与 A,B 不重合),
点 E 与点 D 同时出发,由点 C 沿 BC 的延长线方向运动(E 不与 C 重合),连结 DE 交 AC 于
点 F,点 H 是线段 AF 上一点
(1)初步尝试:如图 1,若△ABC 是等边三角形,DH⊥AC,且点 D,E 的运动速度相等,求
证:HF=AH+CF
小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题:
思路一:过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,先证 GH=AH,再证 GF=CF,从而证得结论成
立.
思路二:过点 E 作 EM⊥AC,交 AC 的延长线于点 M,先证 CM=AH,再证 HF=MF,从而
证得结论成立.
请你任选一种思路,完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答,则以第一种方法评
分)
(2)类比探究:如图 2,若在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ADH=∠BAC=30°,且点 D,E 的运
动速度之比是 :1,求 的值.
(3)延伸拓展:如图 3,若在△ABC 中,AB=AC,∠ADH=∠BAC=36°,记 =m,且点 D、
E 的运动速度相等,试用含 m 的代数式表示 (直接写出结果,不必写解答过程).
【答案】(1)详见解析;(2) =2 ;(3) .
【解析】
试题分析:(1)(选择思路一):过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,如图 1,易证△ADG
是等边三角形,根据等边三角形的性质可得 GD=AD=CE,GH=AH,再由平行线的性质可得
∠GDF=∠CEF, ∠DGF=∠ECF,又因 GD=AD=CE,根据“ASA”可证△GDF≌△CEF,由全等三
角形的对应边相等可得 GF=CF,所以 GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF. (选择思路二):
过点 E 作 EM⊥AC,交 AC 的延长线于点 M,如图 1,先证△ADH≌△CEM,由全等三角形
的对应边相等可得 AH=CM,DH=EM, 又因∠DHF=∠EMF=90°, ∠DFH=∠EFM,所以
△DFH≌△EFM,即可得 HF=MF=CM+CF=AH+CF.(2))过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,
如图 2, 可证 AD= GD, 由题意可知,AD= CE,所以 GD=CE,再证△GDF≌△CEF,由
全等三角形的对应边相等可得 GF=CF,所以 GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF,即可得 =2.
(3)过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,如图 3,可得 AD=AG,DH=DG,AD=EC,所以
,又因 DG∥BC,可得 ,所以
由比例的性质可得 ,即
,所以 .
试题解析:(1)证明:方法一(选择思路一),
过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,如图 1,
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ADG=∠B=60°, ∠A=60°,
∴△ADG 是等边三角形,
∴GD=AD=CE,
∵DH⊥AC,GH=AH,
∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF, ∠DGF=∠ECF,
∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF,
∴GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF.
(2)过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,如图 2,
则∠ADG=∠B=90°,
∵∠BAC=∠ADH=30°,
∴∠HGD=∠HDG=60°,
∴AH=GH=GD,AD= GD,
由题意可知,AD= CE,
∴GD=CE,
∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF,
∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF,
∴GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF,
∴ =2.
(3) .
考点:等边三角形的判定及性质;全等三角形的判定及性质;平行线的性质;比例的性质.
24.面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点,线段 AB 的两个端点 A(0,2),B(1,0)分别在 y 轴
和 x 轴的正半轴上,点 C 为线段 AB 的中点,现将线段 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 90°得
到线段 BD,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 D.
(1)如图 1,若该抛物线经过原点 O,且 a= .
①求点 D 的坐标及该抛物线的解析式.
②连结 CD,问:在抛物线上是否存在点 P,使得∠POB 与∠BCD 互余?若存在,请求出
所有满足条件的点 P 的坐标,若不存在,请说明理由.
(2)如图 2,若该抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 E(1,1),点 Q 在抛物线上,且满足∠QOB
与∠BCD 互余,若符合条件的 Q 点的个数是 4 个,请直接写出 a 的取值范围.
【答案】(1) ①D(3,1), ;②在抛物线上存在点 ,
使得∠POB 与∠BCD 互余.(2)a 的取值范围是 .
【解析】
试题分析:(1) ①过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F,可证△AOB≌△BFD,即可求得 D 点的坐标,
把 a= ,点 D 的坐标代入抛物线即可求抛物线的解析式. ②由 C、D 两点的纵坐标都为 1
可知 CD∥x 轴,所以∠BCD=∠ABO,又因∠BAO 与∠BCD 互余,若要使得∠POB 与∠BCD
互余,则需满足∠POB=∠BAO, 设点 P 的坐标为(x, ).分两种情况:第一种
情况,当点 P 在 x 轴上方时,过点 P 作 PG⊥x 轴于点 G,由
tan∠POB=tan∠BAO= 可得 ,解得 x 的值后代入
求得 的值即可得点 P 的坐标. 第一种情况,当点 P 在 x 轴下
方时,利用同样的方法可求点 P 的坐标.(2)抛物线 y=ax2+bx+c 过点 E、D,代入可得
,解得 ,所以 ,分两种情况:
①当抛物线 y=ax2+bx+c 开口向下时,满足∠QOB 与∠BCD 互余且符合条件的 Q 点的个数
是 4 个,点 Q 在 x 轴的上、下方各有两个,点 Q 在 x 轴的上方时,直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c
有两个交点,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点必须在 x 轴的正半轴上,与 y 轴的交点在 y
轴的负半轴,所以 3a+1<0,解得 a< ,当 a< 符合条件的点 Q 有两个, 点 Q 在 x
轴的上方时,直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点,符合条件的点 Q 有两个.所以当 a
< ,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 E(1,1),点 Q 在抛物线上,且满足∠QOB 与∠BCD
互余,若符合条件的 Q 点的个数是 4 个;②当抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上时,满足∠QOB
与∠BCD 互余且符合条件的 Q 点的个数是 4 个,点 Q 在 x 轴的上、下方各有两个,当点 Q
在 x 轴的上方时,直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点,符合条件的点 Q 有两个. 当
点 Q 在 x 轴的下方时,直线 OQ 必须与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点,符合条件的点 Q 才
有两个.由题意可求的直线 OQ 的解析式为 ,直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 由两个
交点,所以 ,方程有两个不相等的实数根所以
△= ,即 ,画出二次函数 图
象并观察可得 的解集为 或 (不合题意舍去),
所以当 ,在 x 轴的下方符合条件的点 Q 有两个.所以当 ,抛物线
y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 E(1,1),点 Q 在抛物线上,且满足∠QOB 与∠BCD 互余,若符合
条件的 Q 点的个数是 4 个.
综上,当 a< 或 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 E(1,1),点 Q 在抛物
线上,且满足∠QOB 与∠BCD 互余,符合条件的 Q 点的个数是 4 个.
试题解析:解:(1) ①过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F,如图所示.
∵∠DBF+∠ABO=90°,
∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠DBF=∠BAO,
又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD,
∴△AOB≌△BFD,
∴DF=BO=1,BF=AO=2,
∴D 点的坐标是(3,1),
根据题意得, ,
∴ ,∴该抛物线的解析式为 .
(Ⅰ)当点 P 在 x 轴的上方时,过点 P 作 PG⊥x 轴于点 G,
则 tan∠POB=tan∠BAO,即 ,
∴ ,解得 ,
∴ ,
∴点 P 的坐标是 .
(2)a 的取值范围是 .
考点:二次函数综合题.