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- 2021-05-13 发布
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2019泰安数学中考真题(解析版)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________
一、单选题(共12小题)
1.在实数|﹣3.14|,﹣3,﹣,π中,最小的数是( )
A.﹣ B.﹣3 C.|﹣3.14| D.π
2.下列运算正确的是( )
A.a6÷a3=a3 B.a4•a2=a8 C.(2a2)3=6a6 D.a2+a2=a4
3.2018年12月8日,我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器,“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道,将数据42万公里用科学记数法表示为( )
A.4.2×109米 B.4.2×108米 C.42×107米 D.4.2×107米
4.下列图形:
是轴对称图形且有两条对称轴的是( )
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
5.如图,直线11∥12,∠1=30°,则∠2+∠3=( )
A.150° B.180° C.210° D.240°
6.某射击运动员在训练中射击了10次,成绩如图所示:
下列结论不正确的是( )
A.众数是8 B.中位数是8
C.平均数是8.2 D.方差是1.2
7.不等式组的解集是( )
A.x≤2 B.x≥﹣2 C.﹣2<x≤2 D.﹣2≤x<2
8.如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为( )km.
A.30+30 B.30+10 C.10+30 D.30
9.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠A=119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为( )
A.32° B.31° C.29° D.61°
10.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的五个小球,这些球除标号外都相同,从中随机摸出两个小球,则摸出的小球标号之和大于5的概率为( )
A. B. C. D.
11.如图,将⊙O沿弦AB折叠,恰好经过圆心O,若⊙O的半径为3,则的长为( )
A.π B.π C.2π D.3π
12.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB的最小值是( )
A.2 B.4 C. D.
二、填空题(共6小题)
13.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+3=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是 .
14.《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意可列方程组为 .
15.如图,∠AOB=90°,∠B=30°,以点O为圆心,OA为半径作弧交AB于点A、点C,交OB于点D,若OA=3,则阴影都分的面积为 .
16.若二次函数y=x2+bx﹣5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx﹣5=2x﹣13的解为 .
17.在平面直角坐标系中,直线l:y=x+1与y轴交于点A1,如图所示,依次作正方形OA1B1C1,正方形C1A2B2C2,正方形C2A3B3C3,正方形C3A4B4C4,……,点A1,A2,A3,A4,……在直线l上,点C1,C2,C3,C4,……在x轴正半轴上,则前n个正方形对角线长的和是 ﹣ .
18.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,则折痕EF的长是 .
三、解答题(共7小题)
19.先化简,再求值:(a﹣9+)÷(a﹣1﹣),其中a=.
20.为弘扬泰山文化,某校举办了“泰山诗文大赛”活动,从中随机抽取部分学生的比赛成绩,根据成绩(成绩都高于50分),绘制了如下的统计图表(不完整):
组别
分数
人数
第1组
90<x≤100
8
第2组
80<x≤90
a
第3组
70<x≤80
10
第4组
60<x≤70
b
第5组
50<x≤60
3
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)求出a,b的值;
(2)计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数;
(3)若该校共有1800名学生,那么成绩高于80分的共有多少人?
21.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB=AB,且S△OAB=.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.
22.端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍.
(1)求A、B两种粽子的单价各是多少?
(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个,已知A、B两种粽子的进价不变.求A种粽子最多能购进多少个?
23.在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,点P是边AD上一点.
(1)若BP平分∠ABD,交AE于点G,PF⊥BD于点F,如图①,证明四边形AGFP是菱形;
(2)若PE⊥EC,如图②,求证:AE•AB=DE•AP;
(3)在(2)的条件下,若AB=1,BC=2,求AP的长.
24.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,﹣2),且过点C(2,﹣2).
(1)求二次函数表达式;
(2)若点P为抛物线上第一象限内的点,且S△PBA=4,求点P的坐标;
(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M,使∠ABO=∠ABM?若存在,求出点M到y轴的距离;若不存在,请说明理由.
25.如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF=90°,FG⊥AD,垂足为点C.
(1)试判断AG与FG是否相等?并给出证明;
(2)若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.
2019泰安数学中考真题(解析版)
参考答案
一、单选题(共12小题)
1.【解答】 解:
∵||=<|﹣3|=3
∴﹣<(﹣3)
C、D项为正数,A、B项为负数,
正数大于负数,
故选:B.
【知识点】实数大小比较、算术平方根
2.【解答】 解:A、a6÷a3=a3,故此选项正确;
B、a4•a2=a6,故此选项错误;
C、(2a2)3=8a6,故此选项错误;
D、a2+a2=2a2,故此选项错误;
故选:A.
【知识点】合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法
3.【解答】 解:42万公里=420000000m用科学记数法表示为:4.2×108米,
故选:B.
【知识点】科学记数法—表示较大的数
4.【解答】 解:①是轴对称图形且有两条对称轴,故本选项正确;
②是轴对称图形且有两条对称轴,故本选项正确;
③是轴对称图形且有4条对称轴,故本选项错误;
④不是轴对称图形,故本选项错误.
故选:A.
【知识点】轴对称图形
5.【解答】 解:过点E作EF∥11,
∵11∥12,EF∥11,
∴EF∥11∥12,
∴∠1=∠AEF=30°,∠FEC+∠3=180°,
∴∠2+∠3=∠AEF+∠FEC+∠3=30°+180°=210°,
故选:C.
【知识点】平行线的性质
6.【解答】 解:由图可得,数据8出现3次,次数最多,所以众数为8,故A选项正确;
10次成绩排序后为:6,7,7,8,8,8,9,9,10,10,所以中位数是(8+8)=8,故B选项正确;
平均数为(6+7×2+8×3+9×2+10×2)=8.2,故C选项正确;
方差为[(6﹣8.2)2+(7﹣8.2)2+(7﹣8.2)2+(8﹣8.2)2+(8﹣8.2)2+(8﹣8.2)2+(9﹣8.2)2+(9﹣8.2)2+(10﹣8.2)2+(10﹣8.2)2]=1.56,故D选项错误;
故选:D.
【知识点】折线统计图、算术平均数、方差、中位数、众数
7.【解答】 解:,
由①得,x≥﹣2,
由②得,x<2,
所以不等式组的解集是﹣2≤x<2.
故选:D.
【知识点】解一元一次不等式组
8.【解答】 解:根据题意得,∠CAB=65°﹣20°,∠ACB=40°+20°=60°,AB=30,
过B作BE⊥AC于E,
∴∠AEB=∠CEB=90°,
在Rt△ABE中,∵∠ABE=45°,AB=30,
∴AE=BE=AB=30km,
在Rt△CBE中,∵∠ACB=60°,
∴CE=BE=10km,
∴AC=AE+CE=30+10,
∴A,C两港之间的距离为(30+10)km,
故选:B.
【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题
9.【解答】 解:如图所示:连接OC、CD,
∵PC是⊙O的切线,
∴PC⊥OC,
∴∠OCP=90°,
∵∠A=119°,
∴∠ODC=180°﹣∠A=61°,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC=61°,
∴∠DOC=180°﹣2×61°=58°,
∴∠P=90°﹣∠DOC=32°;
故选:A.
【知识点】切线的性质
10.【解答】 解:画树状图如图所示:
∵共有10种等可能的结果,两次摸出的小球的标号之和大于5的有6种结果,
∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为=;
故选:C.
【知识点】列表法与树状图法
11.【解答】 解:连接OA、OB,作OC⊥AB于C,
由题意得,OC=OA,
∴∠OAC=30°,
∵OA=OB,
∴∠OBA=∠OAC=30°,
∴∠AOB=120°,
∴的长==2π,
故选:C.
【知识点】垂径定理、弧长的计算、翻折变换(折叠问题)
12.【解答】 解:如图:
当点F与点C重合时,点P在P1处,CP1=DP1,
当点F与点E重合时,点P在P2处,EP2=DP2,
∴P1P2∥CE且P1P2=CE
当点F在EC上除点C、E的位置处时,有DP=FP
由中位线定理可知:P1P∥CE且P1P=CF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2,
∴当BP⊥P1P2时,PB取得最小值
∵矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点,
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形,CP1=2
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°,∠DEC=90°
∴∠DP2P1=90°
∴∠DP1P2=45°
∴∠P2P1B=90°,即BP1⊥P1P2,
∴BP的最小值为BP1的长
在等腰直角BCP1中,CP1=BC=2
∴BP1=2
∴PB的最小值是2
故选:D.
【知识点】矩形的性质、轨迹、垂线段最短
二、填空题(共6小题)
13.【解答】 解:∵原方程有两个不相等的实数根,
∴△=(2k﹣1)2﹣4(k2+3)=﹣4k+1﹣12>0,
解得k;
故答案为:k.
【知识点】根的判别式
14.【解答】 解:设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,由题意得:
,
故答案为:.
【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组
15.【解答】 解:连接OC,作CH⊥OB于H,
∵∠AOB=90°,∠B=30°,
∴∠OAB=60°,AB=2OA=6,
由勾股定理得,OB==3,
∵OA=OC,∠OAB=60°,
∴△AOC为等边三角形,
∴∠AOC=60°,
∴∠COB=30°,
∴CO=CB,CH=OC=,
∴阴影都分的面积=﹣×3×3×+×3×﹣=π,
故答案为:π.
【知识点】含30度角的直角三角形、扇形面积的计算
16.【解答】 解:∵二次函数y=x2+bx﹣5的对称轴为直线x=2,
∴,
得b=﹣4,
则x2+bx﹣5=2x﹣13可化为:x2﹣4x﹣5=2x﹣13,
解得,x1=2,x2=4.
故意答案为:x1=2,x2=4.
【知识点】二次函数的性质、抛物线与x轴的交点
17.【解答】 解:由题意可得,
点A1的坐标为(0,1),点A2的坐标为(1,2),点A3的坐标为(3,4),点A4
的坐标为(7,8),……,
∴OA1=1,C1A2=2,C2A3=4,C3A4=8,……,
∴前n个正方形对角线长的和是:(OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+Cn﹣1An)=(1+2+4+8+…+2n﹣1),
设S=1+2+4+8+…+2n﹣1,则2S=2+4+8+…+2n﹣1+2n,
则2S﹣S=2n﹣1,
∴S=2n﹣1,
∴1+2+4+8+…+2n﹣1=2n﹣1,
∴前n个正方形对角线长的和是:×(2n﹣1),
故答案为:(2n﹣1),
【知识点】规律型:点的坐标、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征
18.【解答】 解:如图,连接EC,
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠D=90°,BC=AD=12,DC=AB=3,
∵E为AD中点,
∴AE=DE=AD=6
由翻折知,△AEF≌△GEF,
∴AE=GE=6,∠AEF=∠GEF,∠EGF=∠EAF=90°=∠D,
∴GE=DE,
∴EC平分∠DCG,
∴∠DCE=∠GCE,
∵∠GEC=90°﹣∠GCE,∠DEC=90°﹣∠DCE,
∴∠GEC=∠DEC,
∴∠FEC=∠FEG+∠GEC=×180°=90°,
∴∠FEC=∠D=90°,
又∵∠DCE=∠GCE,
∴△FEC∽△EDC,
∴,
∵EC===3,
∴,
∴FE=2,
故答案为:2.
【知识点】矩形的性质、翻折变换(折叠问题)
三、解答题(共7小题)
19.【解答】 解:原式=(+)÷(﹣)
=÷
=•
=,
当a=时,
原式==1﹣2.
【知识点】分式的化简求值
20.【解答】 解:(1)抽取学生人数10÷25%=40(人),
第2组人数 40×50%﹣8=12(人),
第4组人数 40×50%﹣10﹣3=7(人),
∴a=12,b=7;
(2)=27°,
∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°;
(3)成绩高于80分:1800×50%=900(人),
∴成绩高于80分的共有900人.
【知识点】频数(率)分布表、扇形统计图
21.【解答】 解:(1)如图1,过点A作AD⊥x轴于D,
∵B(5,0),
∴OB=5,
∵S△OAB=,
∴×5×AD=,
∴AD=3,
∵OB=AB,
∴AB=5,
在Rt△ADB中,BD==4,
∴OD=OB+BD=9,
∴A(9,3),
将点A坐标代入反比例函数y=中得,m=9×3=27,
∴反比例函数的解析式为y=,
将点A(9,3),B(5,0)代入直线y=kx+b中,,
∴,
∴直线AB的解析式为y=x﹣;
(2)由(1)知,AB=5,
∵△ABP是等腰三角形,
∴①当AB=PB时,
∴PB=5,
∴P(0,0)或(10,0),
②当AB=AP时,如图2,
由(1)知,BD=4,
易知,点P与点B关于AD对称,
∴DP=BD=4,
∴OP=5+4+4=13,∴P(13,0),
③当PB=AP时,设P(a,0),
∵A(9,3),B(5,0),
∴AP2=(9﹣a)2+9,BP2=(5﹣a)2,
∴(9﹣a)2+9=(5﹣a)2
∴a=,
∴P(,0),
即:满足条件的点P的坐标为(0,0)或(10,0)或(13,0)或(,0).
【知识点】反比例函数综合题
22.【解答】 解:(1)设B种粽子单价为x元/个,则A种粽子单价为1.2x元/个,
根据题意,得:+=1100,
解得:x=2.5,
经检验,x=2.5是原方程的解,且符合题意,
∴1.2x=3.
答:A种粽子单价为3元/个,B种粽子单价为2.5元/个.
(2)设购进A种粽子m个,则购进B种粽子(2600﹣m)个,
依题意,得:3m+2.5(2600﹣m)≤7000,
解得:m≤1000.
答:A种粽子最多能购进1000个.
【知识点】分式方程的应用、一元一次不等式的应用
23.【解答】 (1)证明:如图①中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
∵AE⊥BD,
∴∠AED=90°,
∴∠BAE+∠EAD=90°,∠EAD+∠ADE=90°,
∴∠BAE=∠ADE,
∵∠AGP=∠BAG+∠ABG,∠APD=∠ADE+∠PBD,∠ABG=∠PBD,
∴∠AGP=∠APG,
∴AP=AG,
∵PA⊥AB,PF⊥BD,BP平分∠ABD,
∴PA=PF,
∴PF=AG,
∵AE⊥BD,PF⊥BD,
∴PF∥AG,
∴四边形AGFP是平行四边形,
∵PA=PF,
∴四边形AGFP是菱形.
(2)证明:如图②中,
∵AE⊥BD,PE⊥EC,
∴∠AED=∠PEC=90°,
∴∠AEP=∠DEC,
∵∠EAD+∠ADE=90°,∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠EAP=∠EDC,
∴△AEP∽△DEC,
∴=,
∵AB=CD,
∴AE•AB=DE•AP;
(3)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD=2,∠BAD=90°,
∴BD==,
∵AE⊥BD,
∴S△ABD=•BD•AE=•AB•AD,
∴AE=,
∴DE==,
∵AE•AB=DE•AP;
∴AP==.
【知识点】相似形综合题
24.【解答】 解:(1)∵二次函数的图象经过点A(3,0)、B(0,﹣2)、C(2,﹣2)
∴ 解得:
∴二次函数表达式为y=x2﹣x﹣2
(2)如图1,设直线BP交x轴于点C,过点P作PD⊥x轴于点D
设P(t,t2﹣t﹣2)(t>3)
∴OD=t,PD=t2﹣t﹣2
设直线BP解析式为y=kx﹣2
把点P代入得:kt﹣2=t2﹣t﹣2
∴k=t﹣
∴直线BP:y=(t﹣)x﹣2
当y=0时,(t﹣)x﹣2=0,解得:x=
∴C(,0)
∵t>3
∴t﹣2>1
∴,即点C一定在点A左侧
∴AC=3﹣
∵S△PBA=S△ABC+S△ACP=AC•OB+AC•PD=AC(OB+PD)=4
∴=4
解得:t1=4,t2=﹣1(舍去)
∴t2﹣t﹣2=
∴点P的坐标为(4,)
(3)在抛物线上(AB下方)存在点M,使∠ABO=∠ABM.
如图2,作点O关于直线AB的对称点E,连接OE交AB于点G,连接BE交抛物线于点M,过点E作EF⊥y轴于点F
∴AB垂直平分OE
∴BE=OB,OG=GE
∴∠ABO=∠ABM
∵A(3,0)、B(0,﹣2),∠AOB=90°
∴OA=3,OB=2,AB=
∴sin∠OAB=,cos∠OAB=
∵S△AOB=OA•OB=AB•OG
∴OG=
∴OE=2OG=
∵∠OAB+∠AOG=∠AOG+∠BOG=90°
∴∠OAB=∠BOG
∴Rt△OEF中,sin∠BOG=,cos∠BOG=
∴EF=OE=,OF=OE=
∴E(,﹣)
设直线BE解析式为y=ex﹣2
把点E代入得:e﹣2=﹣,解得:e=﹣
∴直线BE:y=﹣x﹣2
当﹣x﹣2=x2﹣x﹣2,解得:x1=0(舍去),x2=
∴点M横坐标为,即点M到y轴的距离为.
【知识点】二次函数综合题
25.【解答】 解:(1)AG=FG,
理由如下:如图,过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC,∠B=90°=∠BAD
∵FM⊥AB,∠MAD=90°,FG⊥AD
∴四边形AGFM是矩形
∴AG=MF,AM=FG,
∵∠CEF=90°,
∴∠FEM+∠BEC=90°,∠BEC+∠BCE=90°
∴∠FEM=∠BCE,且∠M=∠B=90°,EF=EC
∴△EFM≌△CEB(AAS)
∴BE=MF,ME=BC
∴ME=AB=BC
∴BE=MA=MF
∴AG=FG,
(2)DH⊥HG
理由如下:如图,延长GH交CD于点N,
∵FG⊥AD,CD⊥AD
∴FG∥CD
∴,且CH=FH,
∴GH=HN,NC=FG
∴AG=FG=NC
又∵AD=CD,
∴GD=DN,且GH=HN
∴DH⊥GH
【知识点】全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、正方形的性质