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  • 2021-05-13 发布

重庆市中考数学试题A卷解析版

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‎2015年重庆市中考数学试卷 数学试题(A卷)‎ ‎(全卷共五个大题,满分150分,考试时间120分钟)‎ 参考公式:抛物线的顶点坐标为,对称轴为.‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,期中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。‎ ‎1.(2015•重庆A)在—4,0,—1,3这四个数中,最大的数是( )‎ ‎ A. —4 B. ‎0 C. —1 D. 3‎ 考点:有理数大小比较. ‎ 分析:先计算| ﹣4|=4 ,| ﹣1|=1,根据负数的绝对值越大,这个数越小得﹣4 <﹣1,再根据正 ‎ ‎ 数大于0,负数小于0 得到﹣4 <﹣1<0<3 . ‎ 解答:解:∵| ﹣4|=4 ,| ﹣1|=1, ‎ ‎ ∴﹣4 <﹣1, ‎ ‎ ∴﹣4 ,0,﹣1,3 这四个数的大小关系为﹣4 <﹣1<0<3 . ‎ ‎ 故选D . ‎ 点评:本题考查了有理数大小比较:正数大于0,负数小于0 ;负数的绝对值越大,这个数 ‎ ‎ 越小. ‎ ‎2.(2015•重庆A)下列图形是轴对称图形的是( )‎ ‎ ‎ ‎   A.        B.          C.        D 考点:轴对称图形. ‎ 分析:根据轴对称图形的概念求解. ‎ 解答:解:A、是轴对称图形,故正确; ‎ ‎ B、不是轴对称图形,故错误; ‎ ‎ C、不是轴对称图形,故错误; ‎ ‎ D 、不是轴对称图形,故错误. ‎ ‎ 故选A. ‎ 点评:本题考查了轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称 ‎ ‎ 轴折叠后可重合. ‎ ‎3.(2015•重庆A)化简的结果是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 考点:二次根式的性质与化简. ‎ 分析:直接利用二次根式的性质化简求出即可. ‎ 解答: ‎ ‎ 解: =2 . ‎ ‎ 故选:B. ‎ 点评:此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确化简二次根式是解题关键. ‎ ‎4.(2015•重庆A)计算的结果是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 考点:幂的乘方与积的乘方. ‎ 分析: 根据幂的乘方和积的乘方的运算方法:① (a m)n =a mn (m ,n 是正整数);② (ab )n ‎ ‎ =an bn (n 是正整数);求出 的结果是多少即可. ‎ 解答: 解: ‎ ‎ = (a 2 )3 •b 3 ‎ ‎ = ‎ ‎ 即计算 的结果是. ‎ ‎ 故选:A. ‎ 点评:此题主要考查了幂的乘方和积的乘方,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:① (a m)n =a mn ‎ ‎ (m ,n 是正整数);② (ab )n =an bn . ‎ ‎5.(2015•重庆A)下列调查中,最适合用普查方式的是( )‎ ‎ A. 调查一批电视机的使用寿命情况 ‎ ‎ B. 调查某中学九年级一班学生视力情况 ‎ ‎ C. 调查重庆市初中学生锻炼所用的时间情况 ‎ ‎ D. 调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况 ‎ 考点:全面调查与抽样调查. ‎ 分析:由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的 ‎ ‎ 调查结果比较近似. ‎ 解答:解:A、调查一批电视机的使用寿命情况,调查局有破坏性,适合抽样调查,故A 不 ‎ ‎ 符合题意; ‎ ‎ B、调查某中学九年级一班学生的视力情况,适合普查,故B 符合题意; ‎ ‎ C、调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况,调查范围广,适合抽样调查,故 ‎ ‎ C 不符合题意; ‎ ‎ D 、调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况,适合抽样调查,故D 不符合 ‎ ‎ 题意; ‎ ‎ 故选:B. ‎ 点评:本题考查了抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对 ‎ ‎ 象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义 ‎ ‎ 或价值不大,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用 ‎ ‎ 普查. ‎ ‎6.(2015•重庆A)如图,直线AB∥CD,直线EF分别与直线AB,CD相交于点G,H。若1=135°,则2的度数为( )‎ ‎ A. 65° B. 55° C. 45° D. 35° ‎ ‎6题图 考点:平行线的性质. ‎ 分析:根据平行线的性质求出∠2 的度数即可. ‎ 解答:解:∵AB∥CD,∠1=135°, ‎ ‎ ∴∠2=180° ﹣135°=45°. ‎ ‎ 故选C. ‎ 点评:本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,同旁内角互补. ‎ ‎7.(2015•重庆A)在某校九年级二班组织的跳绳比赛中,第一小组五位同学跳绳的个数分别为198,230,220,216,209‎ ‎,则这五个数据的中位数为( )‎ ‎ A.220 B. ‎218 C. 216 D. 209‎ 考点:中位数. ‎ 分析:找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数) ‎ ‎ 为中位数. ‎ 解答:解:先对这组数据按从小到大的顺序重新排序:198,209 ,216 ,220 ,230 . ‎ ‎ 位于最中间的数是216 , ‎ ‎ 则这组数的中位数是216 . ‎ ‎ 故选C. ‎ 点评:本题属于基础题,考查了确定一组数据的中位数的能力.注意找中位数的时候一定要 ‎ ‎ 先排好顺序,然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中 ‎ ‎ 间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数. ‎ ‎8.(2015•重庆A)一元二次方程的根是( )‎ ‎ A.     B. ‎ ‎ C. D. ‎ 考点:解一元二次方程- 因式分解法. ‎ 分析:先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可. ‎ 解答:解:, ‎ ‎ x (x ﹣2 )=0 , ‎ ‎ x=0 ,x ﹣2=0 , ‎ ‎ X1 =0 ,x2 =2 , ‎ ‎ 故选D . ‎ 点评:本题考查了解一元二次方程的应用,解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一 ‎ ‎ 次方程,难度适中. ‎ ‎9、(2015•重庆A)如图,AB是的直径,点C在上,AE是的切线,A为切点,连接BC并延长交AE于点D, 若AOC=80°,则ADB的度数为( )‎ ‎ A. 40° B. 50° C. 60° D. 20°‎ ‎9题图 考点:切线的性质. ‎ 分析:由AB 是⊙O 直径,AE 是⊙O 的切线,推出AD ⊥AB,‎ ‎ ∠DAC= ∠B= ∠AOC=40°, ‎ ‎ 推出∠AOD=50°. ‎ 解答:解:∵AB 是⊙O 直径,AE 是⊙O 的切线, ‎ ‎ ∴∠BAD=90°, ‎ ‎ ∵∠B= ∠AOC=40°, ‎ ‎ ∴∠ADB=90°﹣∠B=50°, ‎ ‎ 故选B. ‎ 点评:本题主要考查圆周角定理、切线的性质,解题的关键在于连接AC,构建直角三角形, ‎ ‎ 求∠B 的度数. ‎ 10. ‎(2015•重庆A)今年“五一”节,小明外出爬山,他从山脚爬到山顶的过程中,中途休息了一段时间,设他从山脚出发后所用的时间为t(分钟),所走的路程为s(米),s与t之间的函数关系如图所示,下列说法错误的是( )‎ ‎ A.小明中途休息用了20分钟 ‎ B.小明休息前爬上的速度为每分钟‎70米 ‎ C.小明在上述过程中所走的路程为‎6600米 ‎ ‎ D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度 ss‎10题图 考点:一次函数的应用. ‎ 分析:根据函数图象可知,小明40 分钟爬山‎2800 米,40~60 分 ‎ 钟休息,60~100 分钟爬山 (3800 ﹣2800 )米,爬山的 ‎ 总路程为‎3800 米,根据路程、速度、时间的关系进行解 ‎ ‎ 答即可. ‎ 解答:解:A、根据图象可知,在40~60 分钟,路程没有发生变化,所以小明中途休息的时 ‎ ‎ 间为:60 ﹣40=20 分钟,故正确; ‎ ‎ B、根据图象可知,当t=40 时,s=2800,所以小明休息前爬山的平均速度为:2800÷40=70 ‎ ‎ (米/分钟),故B 正确; ‎ ‎ C、根据图象可知,小明在上述过程中所走的路程为‎3800 米,故错误; ‎ ‎ D 、小明休息后的爬山的平均速度为:(3800 ﹣2800 )÷ (100 ﹣60 )=25 (米/分),小 ‎ ‎ 明休息前爬山的平均速度为:2800÷40=70 (米/分钟), ‎ ‎ 70 >25 ,所以小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度,故正确; ‎ ‎ 故选:C. ‎ 点评:本题考查了函数图象,解决本题的关键是读懂函数图象,获取信息,进行解决问题. ‎ 11. ‎(2015•重庆A)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有6个小圆圈,其中第②个图形中一共有9个小圆圈,其中第③个图形中一共有12个小圆圈,...,按此规律排列,则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )‎ ‎ ‎ ‎ ① ② ③‎ ‎ A. 21 B. ‎24 C. 27 D. 30‎ 考点:规律型:图形的变化类. ‎ 分析:仔细观察图形,找到图形中圆形个数的通项公式,然后代入n=7 求解即可. ‎ 解答:解:观察图形得: ‎ ‎ 第 1 个图形有3+3×1=6 个圆圈, ‎ ‎ 第2 个图形有3+3×2=9 个圆圈, ‎ ‎ 第3 个图形有3+3×3=12 个圆圈, ‎ ‎ … ‎ ‎ 第n 个图形有3+3n=3(n+1 )个圆圈, ‎ ‎ 当n=7 时,3×(7+1 )=24 , ‎ ‎ 故选B. ‎ 点评:本题考查了图形的变化类问题,解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的通项公 ‎ ‎ 式,难度不大. ‎ ‎12.(2015•重庆A)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与轴平行,A,B两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数的图像经过A,B两点,则菱形对ABCD的面积为( )‎ ‎ A. 2 B. ‎4 C. D. ‎ ‎12题图 考点:菱形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征. ‎ 分析:过点A 作x 轴的垂线,与CB 的延长线交于点E,根据A,B 两 ‎ 点的纵坐标分别为3,1,可得出横坐标,即可求得AE,BE ,再 ‎ 根据勾股定理得出AB,根据菱形的面积公 式:底乘高即可得出答 ‎ 案. ‎ 解答:解:过点A 作x 轴的垂线,与CB 的延长线交于点E, ‎ ‎ ∵A,B 两点在反比例函数y= 的图象上且纵坐标分别为3,1, ‎ ‎ ∴A,B 横坐标分别为 1,3, ‎ ‎ ∴AE=2 ,BE=2 , ‎ ‎ ∴AB=2, ‎ ‎ S 菱形ABCD=底×高=2×2=4, ‎ ‎ 故选D . ‎ 点评:本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征,熟记菱形的面积公式是 ‎ ‎ 解题的关键. ‎ 二、填空题(本大题6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.‎ ‎13.(2015•重庆A)我国“南仓”级远洋综合补给舰满载排水量为37000吨,把数37000用科学记数法表示为 。‎ 考点:科学记数法—表示较大的数. ‎ 分析:科学记数法的表示形式为a×10n 的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数.确定n 的值时, ‎ ‎ 要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当 ‎ ‎ 原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. ‎ 解答:解:将37000 用科学记数法表示为3.7×104 . ‎ ‎ 故答案为:3.7×104 . ‎ 点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n 的形式,其中1≤|a| ‎ ‎ <10,n 为整数,表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值. ‎ ‎14.(2015•重庆A)计算 。‎ 考点:实数的运算;零指数幂. ‎ 专题:计算题. ‎ 分析:原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用绝对值的代数意义化简,计算即可得 ‎ ‎ 到结果. ‎ 解答:解:原式=1 ﹣2 ‎ ‎ = ﹣1. ‎ ‎ 故答案为:﹣1. ‎ 点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. ‎ ‎15、(2015•重庆A)已知,与的相似比为4:1,则与对应边的高之比为 。‎ 考点:相似三角形的性质. ‎ 分析:根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可. ‎ 解答:解:∵△ABC∽△DEF ,△ABC 与△ DEF 的相似比为4 :1, ‎ ‎ ∴△ABC 与△ DEF 对应边上的高之比是4 :1, ‎ ‎ 故答案为:4 :1. ‎ 点评:本题考查了相似三角形的性质的应用,能熟练地运用相似三角形的性质进行计算是解 ‎ ‎ 此题的关键,注意:相似三角形的对应边上的高之比等于相似比. ‎ ‎16、(2015•重庆A)如图,在等腰直角三角形ABC中,ACB=90°,AB=,以A为圆心,AC长为半径作弧,交AB于点D,则阴影部分的面积是 。‎ 考点:扇形面积的计算;等腰直角三角形. ‎ 分析:根据等腰直角三角形性质求出∠A 度数,解直角三角形求出AC 和BC,‎ ‎ 分别求出 △ACB 的面积和扇形ACD 的面积即可. ‎ ‎16题图 解答:解:∵△ACB 是等腰直角三角形ABC 中,∠ACB=90°, ‎ ‎ ∴∠A= ∠B=45°, ‎ ‎ ∵AB=4 , ‎ ‎ ∴AC=BC=AB×sin45°=4 , ‎ ‎ ∴S△ ACB= =8 ,S 扇形ACD= =2π, ‎ ‎ ∴图中阴影部分的面积是8 ﹣2π, ‎ ‎ 故答案为:8 ﹣2π. ‎ 点评:本题考查了扇形的面积,三角形的面积,解直角三角形,等腰直角三角形性质的应用, ‎ ‎ 解此题的关键是能求出△ACB 和扇形ACD 的面积,难度适中. ‎ ‎17.(2015•重庆A)从这五个数中随机抽取一个数记为,的值既是不等式组的解,又在函数的自变量取值范围内的概率是 。‎ 考点:概率公式;解一元一次不等式组;函数自变量的取值范围. ‎ 分析:由a 的值既是不等式组的解,又在函数的自变量取值范 ‎ ‎ 围内的有﹣3,﹣2 ,可直接利用概率公式求解即可求得答案. ‎ 解答:解:∵不等式组 的解集是:﹣ <x < , ‎ ‎ ∴a 的值既是不等式组 的解的有:﹣3,﹣2 ,﹣1,0, ‎ ‎ ∵函数的自变量取值范围为:2x 2+2x≠0, ‎ ‎ ∴在函数的自变量取值范围内的有﹣3,﹣2 ,4 ; ‎ ‎ ∴a 的值既是不等式组的解,又在函数的自变量取值范围 ‎ ‎ 内的有:﹣3,﹣2 ; ‎ ‎ ∴a 的值既是不等式组的解,又在函数的自变量取值范围 ‎ ‎ 内的概率是: . ‎ ‎ 故答案为: . ‎ 点评:此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. ‎ ‎18.(2015•重庆A)如图,矩形ABCD中,AB=,AD=10,连接BD,DBC的角平分线BE交DC于点E,现把△BCE绕点B逆时针旋转,记旋转后的△BCE为△,当射线和射线都与线段AD相交时,设交点分别F,G,若△BFD为等腰三角形,则线段DG长为 。‎ ‎18题图 考点:旋转的性质. ‎ 分析:根据角平分线的性质,可得CE 的长,根据旋转的性质,可得 ‎ BC′=BC,E′C′=EC ;根据等腰三角形,可得FD 、FB 的 ‎ 关系,根据勾股定理,可得BF 的长,根据正切函数, 可得 ‎ tan ∠ABF ,tan ∠FBG 的值,根据三角函数的和差,可得AG ‎ ‎ 的长,根据有理数的减法,可得答案. ‎ 解答: 解:作FK⊥BC′于K 点,如图: ‎ ‎ 在Rt△ABD 中,由勾股定理,得 ‎ ‎ BD==14 ‎ ‎ 设DE=x ,CE=4﹣x , ‎ ‎ 由BE 平分∠DBC,得 ‎ ‎ . ‎ ‎ 解得x=,EC=. ‎ ‎ 在Rt△ BCE 中,由勾股定理,得 ‎ ‎ BE=. ‎ ‎ 由旋转的性质,得 ‎ ‎ BE′=BE= ,BC′=BC=10 ,E′C′=EC= . ‎ ‎ △ BFD 是等腰三角形,BF=FD=x , ‎ ‎ 在Rt△ABF 中,由勾股定理,得 ‎ ‎ x2 = (4 )2 + (10 ﹣x )2 , ‎ ‎ 解得x= , ‎ ‎ AF=10 ﹣ = . ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ , ‎ ‎ 故答案为: . ‎ 点评:本题考查了旋转的性质,利用了勾股定理,旋转的性质,正切函数的定义,利用三角 ‎ ‎ 函数的和差得出AG 的长是解题关键. ‎ 三、解答题:(本大题2个小题,每小题7分,共14分)解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括作辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.‎ ‎19.(2015•重庆A)解方程组 考点:解二元一次方程组. ‎ 专题:计算题. ‎ 分析:方程组利用代入消元法求出解即可. ‎ 解答:解:, ‎ ‎ ①代入②得:3x+2x ﹣4=1 , ‎ ‎ 解得:x=1 , ‎ ‎ 把x=1 代入①得:y= ﹣2 , ‎ ‎ 则方程组的解为 . ‎ 点评:此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加 ‎ ‎ 减消元法. ‎ 20. ‎(2015•重庆A)如图,在△ABD和△FEC中,点B,C,D,E在同一直线上,且AB=FE,BC=DE,B=E。‎ 求证:ADB=FCE.‎ ‎20题图 考点:全等三角形的判定与性质. ‎ 专题:证明题. ‎ 分析:根据等式的性质得出BD=CE,再利用SAS 得出:△ABD 与△ FEC 全等,进而得出 ‎ ‎ ∠ADB= ∠FCE. ‎ 解答:证明:∵BC=DE, ‎ ‎ ∴BC+CD=DE+CD , ‎ ‎ 即BD=CE, ‎ ‎ 在△ABD 与△FEC 中, ‎ ‎ , ‎ ‎ ∴△ABD ≌△FEC (SAS ), ‎ ‎ ∴∠ADB= ∠FCE. ‎ 点评:此题考查全等三角形的判定和性质,关键是根据等式的性质得出BD=CE,再利用全 ‎ ‎ 等三角形的判定和性质解答. ‎ 四、解答题:(本大题4个小题,每小题10分,共40分)解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括作辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.‎ ‎21.(2015•重庆A) ‎ 考点:分式的混合运算;整式的混合运算. ‎ 专题:计算题. ‎ 分析:(1)原式利用单项式乘以多项式,以及完全平方公式化简,去括号合并即可得到结 ‎ ‎ 果; ‎ ‎ (2 )原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变 ‎ ‎ 形,约分即可得到结果. ‎ 解答: 解:(1)原式=2xy ﹣y2 +x2 +2xy+y2 ‎ ‎ =4xy+x2 ; ‎ ‎ (2 )原式= • ‎ ‎ = . ‎ 点评:此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. ‎ 22. ‎(2015•重庆A)为贯彻政府报告中“全民创新,万众创业”的精神,某镇对辖区内所有的小微企业按年利润(万元)的多少分为以下四个类型:A类(),B类(),C类(),D类(),该镇政府对辖区对辖区内所有的小微企业的相关信息进行统计后,绘制成以下条形统计图和扇形统计图,请你结合图中信息解答下列问题:‎ ‎(1)该镇本次统计的小微企业总个数是 。扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数为 度。请补全条形统计图。‎ ‎(2)为进一步解决小微企业在发展中的问题,该镇政府准备召开一次座谈会,每个企业派一名代表参会,计划从D类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言,D类企业的4个参会代表中2个来自高新区,另2‎ 个来自开发区,请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率。‎ 考点:列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图. ‎ 分析:(1)由题意可得该镇本次统计的小微企业总个数是:4÷ 16%=25 (个);扇形统计图 ‎ ‎ 中B 类所对应扇形圆心角的度数为: ×360°=72°;又由A 类小微企业个数为:25 ﹣ ‎ ‎ 5 ﹣14 ﹣4=2 (个);即可补全条形统计图; ‎ ‎ (2 )首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与所抽取的2 ‎ ‎ 个发言代表都来自高新区的情况,再利用概率公式即可求得答案. ‎ 解答:解:(1)该镇本次统计的小微企业总个数是:4÷ 16%=25 (个); ‎ ‎ 扇形统计图中B 类所对应扇形圆心角的度数为: ×360°=72°; ‎ ‎ 故答案为:25 ,72 ; ‎ ‎ A 类小微企业个数为:25 ﹣5 ﹣14 ﹣4=2 (个); ‎ ‎ 补全统计图:‎ ‎ (2 )分别用A,B 表示2 个来自高新区的,用C,D 表示2 个来自开发区的. ‎ ‎ 画树状图得: ‎ ‎ ∵共有 12 种等可能的结果,所抽取的2 个发言代表都来自高新区的有2 种情况, ‎ ‎ ∴所抽取的2 个发言代表都来自高新区的概率为:. ‎ 点评:此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知识点 ‎ ‎ 为:概率=所求情况数与总情况数之比. ‎ ‎23.(2015•重庆A)如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如:自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是:6、4、7、4、6,从个位到最高排出的一串数字也是:6、4、7、4、6,所64746是“和谐数”.再如:33,181,212,4664,…,都是“和谐数”.‎ ‎(1)请你直接写出3个四位“和谐数”,猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除,并说明理由;‎ ‎(2) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设个位上的数字为x(,x为自然数),十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.‎ 考点:因式分解的应用;规律型:数字的变化类. ‎ 分析:(1)根据“和谐数”的定义(把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出 ‎ ‎ 的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同)写出四个“和谐数”, ‎ ‎ 设任意四位“和谐数”形式为:,根据和谐数的定义得到a=d,b=c ,则 ‎ ‎ ,‎ ‎ 易证得任意四位“和谐数”都可以被 11 整除; ‎ ‎ (2 )设能被11 整除的三位“和谐数”为:,则 ‎ ‎ 为正整数.故y=2x (1≤x≤4 ,x 为自 ‎ ‎ 然数). ‎ 解答:解:⑴四位“和谐数”:1111,2222,3443,1221等 ‎ 任意一个四位“和谐数”都能被11整数,理由如下:‎ 设四位“和谐数”是,则满足:‎ 个位到最高位排列:‎ 最高位到个位排列:‎ 由题意,两组数据相同,则:‎ 则所以四位“和谐数”能被11整数 又由于的任意性,故任意四位“和谐数”都可以被11整除 ‎⑵设能被11整除的三位“和谐数”为:,则满足:‎ 个位到最高位排列: ‎ 最高位到个位排列: ‎ 由题意,两组数据相同,则:‎ 故 为正整数 故 点评:本题考查了因式分解的应用.解题的关键是弄清楚“和谐数”的定义,从而写出符合题 ‎ ‎ 意的数. ‎ ‎24.(2015•重庆A) 某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD,期中AB∥CD.瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N,观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角,观测渔船N在俯角,已知NM所在直线与PC所在直线垂直,垂足为点E,PE长为‎30米.‎ ‎(1)求两渔船M,N之间的距离(结果精确到‎1米);‎ ‎(2)已知坝高‎24米,坝长‎100米,背水坡AD的坡度.为提高大坝防洪能力,某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固,加固后坝定加宽‎3米,背水坡FH的坡度为,施工12天后,为尽快完成加固任务,施工队增加了机械设备,工作效率提高到原来的1.5倍,结果比原计划提前20天完成加固任务,施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米?‎ ‎(参考数据:)‎ 考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题;分式方程的应用;解直角三角形的应用-坡度坡 ‎ ‎ 角问题. ‎ 分析:(1)在直角△ PEN ,利用三角函数即可求得ME 的长,根据MN=EM ﹣EN 求解; ‎ ‎ (2 )过点D 作DN ⊥AH 于点N ,利用三角函数求得AN 和AH 的长,进而求得△ ADH ‎ ‎ 的面积,得到需要填筑的土石方数,再根据结果比原计划提前20 天完成,列方程求 ‎ ‎ 解. ‎ 解答:⑴在Rt△PEN中,EN=PE=‎‎30m 在Rt△PEM中,‎ ‎∴‎ 答:两渔船M、N之间的距离为‎20米 ‎⑵过点D作DN⊥AH交直线AH于点N 由题意:,‎ 在RT△DAN中,m 在RT△DHN中,m 故AH=HN-AN=42-6=‎‎36m 故需要填筑的土石方共 设原计划平均每天填筑,则原计划天完成;增加机械设备后,现在平均每天填筑 解得:‎ 经检验:是原分式方程的解,且满足实际意义 答:该施工队原计划平均每天填筑864的土石方 点评:本题考查了仰角的定义以及坡度,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角 ‎ ‎ 形. ‎ 五、 解答题:(本大题2个小题,每小题12分,共24分)解答题时每小题必须给出必要的 演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括作辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.‎ ‎25.(2015•重庆A)如图1,在△ABC中,ACB=90°,BAC=60°,点E角平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的线段,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DH⊥AC,垂足为H,连接EF,HF。‎ ‎(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=,求AB,BD的长。‎ ‎(2)如图1,求证:HF=EF。‎ ‎(3)如图2,连接CF,CE,猜想:△CEF是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由。‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 考点:全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;三角形中位线定理. ‎ 分析:(1)根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果; ‎ ‎ (2 )如图1,连接AF ,证出△ DAE≌△ADH,△ DHF ≌△AEF ,即可得到结果; ‎ ‎ (3 )如图2 ,取AB 的中点M,连接CM,FM,在R △ADE 中,AD=2AE,根据三 ‎ ‎ 角形的中位线的性质得到AD=2FM,于是得到FM=AE,由 ‎ ‎ ∠CAE=∠CAB=30°∠CMF= ∠AMF ﹣AMC=30°,证得△ ACE≌△MCF ,问题即可 ‎ ‎ 得证. ‎ 解答:⑴,‎ ‎⑵连接AF 易证:△DAE≌△ADH,故DH=AE 故 易证:△DHF≌△AEF ‎∴HF=EF ‎⑶(方法不唯一,有很多,合理即可)‎ ‎(法一)取AB的中点M,连接CM、FM 在RT△ADE中,AD=2AE FM是△ABD的中位线,故AD=2FM ‎∴FM=AE 易证△ACM为等边三角形,故AC=CM 故△ACE≌△MCF(手拉手全等模型)‎ 故易证:△CEF为等边三角形 ‎(法二)延长DE至点N,使EN=DE,连接AN;延长BC至点M,使CB=CM,连接AM;延长BD交AM于点P 易证:△ADE≌△ANE,△ABC≌△AMC 易证:△ADM≌△ANB(手拉手全等模型),故DM=BN CF是△BDM的中位线,EF是△BDN的中位线 故 故△CEF为等边三角形 点评:本题考查了全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,等边三角形的判定,正确 ‎ ‎ 的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. ‎ 26. ‎(2015•重庆A)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交轴于点W,顶点为C,抛物线的对称轴与轴的交点为D。‎ ‎(1)求直线BC的解析式。‎ ‎(2)点E(m,0),F(m+2,0)为轴上两点,其中,,F分别垂直于轴,交抛物线与点 ‎,,交BC于点M,N,当的值最大时,在轴上找一点R,使得值最大,请求出R点的坐标及的最大值。‎ ‎(3)如图2,已知轴上一点,现以点P为顶点,为边长在轴上方作等边三角形QPC,使GP⊥轴,现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移,当点P到达点A时停止,记平移后的△QPG为,设与△ADC的重叠部分面积为s,当点到轴的距离与点到直线AW的距离相等时,求s的值。‎ 图2‎ 图1‎ ‎ ‎ 考点:二次函数综合题. ‎ 分析:(1)求出抛物线与x 轴的交点坐标和顶点坐标,用待定系数法求解析式即可; ‎ ‎ (2 )先求出E′、F′的坐标表示,然后求出E′M、F′N ,用二次函数的顶点坐标求出当 ‎ ‎ m=3 时,ME′+NF′的值最大,得到E′、F′的坐标,再求出E′F′的解析式,当点R 在直 ‎ ‎ 线E′F′与y 轴的交点时,|RF′ ﹣RE′|的最大值,从而求出R 点的坐标及|RF′ ﹣RE′|的最 ‎ ‎ 大值; ‎ ‎ (3 )分类讨论Q 点在∠CAB 的角平分线或外角平分线上时,运用三角形相似求出相 ‎ ‎ 应线段,在求出△ Q′P′G′与△ADC 的重叠部分面积为S . ‎ 解答:⑴ ‎ ‎⑵‎ 故:‎ 当时,最大,‎ 此时 ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎⑶由题意,Q点在的角平分线或外角平分线上 ‎①当Q点在的角平分线上时,如图 ‎,‎ ‎△RMQ’∽△RNC,故,则 ‎△CRN∽△CWO,故 ‎∴DN=CD-CN=‎ 故 ‎②当Q点在的外角平分线上时,如图 ‎△Q’RN∽△WCO,故,故 ‎△RCM∽△WCO,故CM=‎ 在Rt△Q’MP’中,,故 在Rt△CP’S中,‎ 故S=‎ 点评:本题主要考查了待定系数法求函数解析式,二次函数的性质,三角形的三边关系,三 ‎ ‎ 角形相似的判定与性质以及数形结合和分类讨论思想的综合运用,此题牵扯知识面 ‎ ‎ 广,综合性强,难度较大. ‎ www.czsx.com.cn