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- 2021-05-13 发布
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2017年上海市静安区中考数学一模试卷
一、选择题(每小题4分,共24分)
1.a(a>0)等于( )
A. B.﹣ C. D.﹣
2.下列多项式中,在实数范围不能分解因式的是( )
A.x2+y2+2x+2y B.x2+y2+2xy﹣2 C.x2﹣y2+4x+4y D.x2﹣y2+4y﹣4
3.在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上, =,要使DE∥BC,还需满足下列条件中的( )
A. = B. = C. = D. =
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AB=m,∠A=α,那么AC的长为( )
A.m•sinα B.m•cosα C.m•tanα D.m•cotα
5.如果锐角α的正弦值为,那么下列结论中正确的是( )
A.α=30° B.α=45° C.30°<α<45° D.45°<α<60°
6.将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a(x﹣1)2重合,抛物线y=ax2﹣1上的点A(2,3)同时平移到A′,那么点A′的坐标为( )
A.(3,4) B.(1,2) C.(3,2) D.(1,4)
二.填空题(每个小题4分,共48分)
7.16的平方根是 .
8.如果代数式有意义,那么x的取值范围为 .
9.方程+=1的根为 .
10.如果一次函数y=(m﹣3)x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限,那么常数m的取值范围为 .
11.二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是 .
12.如果点A(﹣1,4)、B(m,4)在抛物线y=a(x﹣1)2+h上,那么m的值为 .
13.如果△ABC∽△DEF,且△ABC与△DEF相似比为1:4,那么△ABC与△DEF的面积比为 .
14.在△ABC中,如果AB=AC=10,cosB=,那么△ABC的重心到底边的距离为 .
15.已知平行四边形ABCD中,点E是边BC的中点,DE与AC相交于点F,设=, =,那么= (用,的式子表示)
第15题图 第17题图 第18题图
16.在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,△ADE∽△ABC,如果AB=4,BC=5,AC=6,AD=3,那么△ADE的周长为 .
17.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,∠BDC=∠CED,如果DE=4,CD=6,那么AD:AE等于 .
18.一张直角三角形纸片ABC,∠C=90°,AB=24,tanB=(如图),将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合,那么折痕的长为 _____ .
三、解答题(共78分)
19.计算:.
20.解方程组:.
21.已知:如图,第一象限内的点A,B在反比例函数的图象上,点C在y轴上,BC∥x轴,点A的坐标为(2,4),且cot∠ACB=
求:(1)反比例函数的解析式;(2)点C的坐标;(3)∠ABC的余弦值.
22.将笔记本电脑放置在水平桌面上,显示屏OB与底板OA夹角为115°(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,在底板下面垫入散热架O′AC后,电脑转到AO′B′的位置(如图3),侧面示意图为图4,已知OA=0B=20cm,B′O′⊥OA,垂足为C.
(1)求点O′的高度O′C;(精确到0.1cm)
(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少?(精确到0.1cm)
(3)如图4,要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行,显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度?
参考数据:(sin65°=0.906,cos65°=0.423,tan65°=2.146.cot65°=0.446)
23.已知:如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,BA•BD=BC•BE
(1)求证:DE•AB=AC•BE;(2)如果AC2=AD•AB,求证:AE=AC.
24.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A,与y轴相交于点B,点C在线段OA上,点D在此抛物线上,CD⊥x轴,且∠DCB=∠DAB,AB与CD相交于点E.
(1)求证:△BDE∽△CAE;
(2)已知OC=2,tan∠DAC=3,求此抛物线的表达式.
25.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O,AC=BC,点E在DC的延长线上,∠BEC=∠ACB,已知BC=9,cos∠ABC=.
(1)求证:BC2=CD•BE;
(2)设AD=x,CE=y,求y与x之间的函数解析式,并写出定义域;
(3)如果△DBC∽△DEB,求CE的长.
2017年上海市静安区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题4分,共24分)
1.a(a>0)等于( )
A. B.﹣ C. D.﹣
故选:C.
2.下列多项式中,在实数范围不能分解因式的是( )
A.x2+y2+2x+2y B.x2+y2+2xy﹣2 C.x2﹣y2+4x+4y D.x2﹣y2+4y﹣4
故选A
3.在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上, =,要使DE∥BC,还需满足下列条件中的( )
A. = B. = C. = D. =
故选D.
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AB=m,∠A=α,那么AC的长为( )
A.m•sinα B.m•cosα C.m•tanα D.m•cotα
故选:B.
5.如果锐角α的正弦值为,那么下列结论中正确的是( )
A.α=30° B.α=45° C.30°<α<45° D.45°<α<60°
故选:C.
6.将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a(x﹣1)2重合,抛物线y=ax2﹣1上的点A(2,3)同时平移到A′,那么点A′的坐标为( )
A.(3,4) B.(1,2) C.(3,2) D.(1,4)
故选:A.
二.填空题(每个小题4分,共48分)
7.16的平方根是 ±4 .
8.如果代数式有意义,那么x的取值范围为 x>﹣2 .
9.方程+=1的根为 x=2 .
10.如果一次函数y=(m﹣3)x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限,那么常数m的取值范围为 m<2 .
11.二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是 (4,﹣6) .
12.如果点A(﹣1,4)、B(m,4)在抛物线y=a(x﹣1)2+h上,那么m的值为 3 .
13.如果△ABC∽△DEF,且△ABC与△DEF相似比为1:4,那么△ABC与△DEF的面积比为 1:16 .
14.在△ABC中,如果AB=AC=10,cosB=,那么△ABC的重心到底边的距离为 2 .
15.已知平行四边形ABCD中,点E是边BC的中点,DE与AC相交于点F,设=, =,那么= ﹣ (用,的式子表示)
16.在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,△ADE∽△ABC,如果AB=4,BC=5,AC=6,AD=3,那么△ADE的周长为 .
17.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,∠BDC=∠CED,如果DE=4,CD=6,那么AD:AE等于 3:2 .
18.一张直角三角形纸片ABC,∠C=90°,AB=24,tanB=(如图),将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合,那么折痕的长为 13 .
三、解答题(共78分)
19.计算:.
解:原式===.
20.解方程组:.
解:
由②得:(x﹣3y)2=4,x﹣3y=±2,由①得:x(x﹣y+2)=0,x=0,x﹣y+2=0,
原方程组可以化为:,,,,
解得,原方程组的解为:,,,.
21.已知:如图,第一象限内的点A,B在反比例函数的图象上,点C在y轴上,BC∥x轴,点A的坐标为(2,4),且cot∠ACB=
求:(1)反比例函数的解析式;
(2)点C的坐标;
(3)∠ABC的余弦值.
解:(1)设反比例函数解析式为y=,
将点A(2,4)代入,得:k=8,∴反比例函数的解析式y=;
(2)过点A作AE⊥x轴于点E,AE与BC交于点F,则CF=2,
∵cot∠ACB==,∴AF=3,∴EF=1,∴点C的坐标为(0,1);
(3)当y=1时,由1=可得x=8,∴点B的坐标为(1,8),∴BF=BC﹣CF=6,
∴AB==3,∴cos∠ABC===.
22.将笔记本电脑放置在水平桌面上,显示屏OB与底板OA夹角为115°(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,在底板下面垫入散热架O′AC后,电脑转到AO′B′的位置(如图3),侧面示意图为图4,已知OA=0B=20cm,B′O′⊥OA,垂足为C.
(1)求点O′的高度O′C;(精确到0.1cm)
(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少?(精确到0.1cm)
(3)如图4,要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行,显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度?
参考数据:(sin65°=0.906,cos65°=0.423,tan65°=2.146.cot65°=0.446)
解:(1)∵B′O′⊥OA,垂足为C,∠AO′B=115°,
∴∠AO′C=65°,∵cos∠CO′A=,
∴O′C=O′A•cos∠CO′A=20•cos65°=8.46≈8.5(cm);
(2)如图2,过B作BD⊥AO交AO的延长线于D,
∵∠AOB=115°,∴∠BOD=65°,∵sin∠BOD=,
∴BD=OB•sin∠BOD=20×sin65°=18.12,
∴O′B′+O′C﹣BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3(cm),
∴显示屏的顶部B′比原来升高了10.3cm;
(3)如图4,过O′作EF∥OB交AC于E,
∴∠FEA=∠BOA=115°,∠FOB′=∠EO′C=∠FEA﹣∠O′CA=115°﹣90°=25°,
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转25度.
23.已知:如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,BA•BD=BC•BE
(1)求证:DE•AB=AC•BE;
(2)如果AC2=AD•AB,求证:AE=AC.
证明:(1)∵BA•BD=BC•BE,∴,又∵∠B=∠B,∴△ABC∽△EBD,
∴,∴DE•AB=AC•BE;
(2)∵AC2=AD•AB,∴,∵∠DAC=∠CAB,∴△ADC∽△ACB,
∴∠ACD=∠B,∵,∠B=∠B,∴△BAE∽△BCD,∴∠BAE=∠BCD,
∵∠AEC=∠B+∠BAE,∠ACE=∠ACD+∠BCD,∴∠AEC=∠ACE,∴AE=AC.
24.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A,与y轴相交于点B,点C在线段OA上,点D在此抛物线上,CD⊥x轴,且∠DCB=∠DAB,AB与CD相交于点E.
(1)求证:△BDE∽△CAE;
(2)已知OC=2,tan∠DAC=3,求此抛物线的表达式.
(1)证明:∵∠DCB=∠DAB,∠BEC=∠DEA,
∴△BEC∽△DEA,∴=,又∠BED=∠CEA,∴△BDE∽△CAE;
(2)解:∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴相交于点B,
∴点B的坐标为(0,4),即OB=4,∵tan∠DAC=3,∴=3,
设AC=m,则DC=3m,OA=m+2,则点A的坐标为(m+2,0),
点D的坐标为(2,3m),∵△BDE∽△CAE,∴∠DBA=∠DCA=90°,
∴BD2+BC2=AD2,即22+(3m﹣4)2+(m+2)2+42=m2+(3m)2,解得,m=2,
则点A的坐标为(4,0),点D的坐标为(2,6),
∴,解得,,
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4.
25.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O,AC=BC,点E在DC的延长线上,∠BEC=∠ACB,已知BC=9,cos∠ABC=.
(1)求证:BC2=CD•BE;
(2)设AD=x,CE=y,求y与x之间的函数解析式,并写出定义域;
(3)如果△DBC∽△DEB,求CE的长.
解:(1)∵∠DCB=∠ACD+∠ACB,∠DCB=∠EBC+∠BEC,∠ACB=∠BEC,
∴∠ACD=∠EBC,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB=∠CEB,∴△DAC∽△CEB,
∴=,∴BC•AC=CD•BE,∵AC=BC,∴BC2=CD•BF.
(2)过点C作CF⊥AB于F,AG⊥BC于G,DH⊥BC于H.
在Rt△CBF中,BF=BC•cos∠ABC=9×=3,∴AB=6,
在Rt△ABG中,BG=AB•cos∠ABC=6×=2,∵AD∥BC,DH=AG,
∴DH2=AG2=AB2﹣BG2=62﹣22=32,∵AG∥DH,∴GH=AD=x,
∴CH=BC﹣BG﹣GH=7﹣x,∴CD===,
∵△CEB∽△DAC,∴=,∴=,∴y=,
∴y=(x>0且x≠9).
(3)∵△DBC∽△DEB,∠CDB=∠BDE,∠CBD<∠DBC,
∴∠DBC=∠DEB=∠ACB,∴OB=OC,∵AD∥BC,∴=,∴AC=BD,
∴四边形ABCD是等腰梯形,∴AB=CD,∠ABC=∠DCB,∵∠AGB=∠DHC=90°,
∴△ABG≌△DCH,∴CH=BG=2,∴x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5.∴CE=y=.