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  • 2021-05-13 发布

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷(含解析)

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‎2020年内蒙古通辽市中考数学试卷 一、选择题(本题包括10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确答齐案,请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑)‎ ‎1.(3分)(2020•通辽)2020年我市初三毕业生超过30000人,将30000用科学记数法表示正确的是(  )‎ A.0.3×105 B.3×104 C.30×103 D.3万 ‎2.(3分)(2020•通辽)下列说法不正确的是(  )‎ A.2a是2个数a的和 B.2a是2和数a的积 ‎ C.2a是单项式 D.2a是偶数 ‎3.(3分)(2020•通辽)下列事件中是不可能事件的是(  )‎ A.守株待兔 B.瓮中捉鳖 C.水中捞月 D.百步穿杨 ‎4.(3分)(2020•通辽)如图,将一副三角尺按下列位置摆放,使∠α和∠β互余的摆放方式是(  )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎5.(3分)(2020•通辽)关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根,k的取值范围是(  )‎ A.k<1且k≠0 B.k<1 C.k≤1且k≠0 D.k≤1‎ ‎6.(3分)(2020•通辽)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功地找到三角形内心的是(  )‎ 第24页(共24页)‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7.(3分)(2020•通辽)如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,∠P=72°,则∠C=(  )‎ A.108° B.72° C.54° D.36°‎ ‎8.(3分)(2020•通辽)如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是(  )‎ A.∠BAC=90° B.∠DAE=90° C.AB=AC D.AB=AE ‎9.(3分)(2020•通辽)如图,OC交双曲线y‎=‎kx于点A,且OC:OA=5:3,若矩形ABCD的面积是8,且AB∥x轴,则k的值是(  )‎ 第24页(共24页)‎ A.18 B.50 C.12 D.‎‎200‎‎9‎ ‎10.(3分)(2020•通辽)从下列命题中,随机抽取一个是真命题的概率是(  )‎ ‎(1)无理数都是无限小数;‎ ‎(2)因式分解ax2﹣a=a(x+1)(x﹣1);‎ ‎(3)棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm;‎ ‎(4)弧长是20πcm,面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°.‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎4‎ D.1‎ 二、填空题(本题包括7小题,每小题3分,共21分,将答案直接填在答题卡对应题的横线上)‎ ‎11.(3分)(2020•通辽)计算:‎ ‎(1)(3.14﹣π)0=   ;‎ ‎(2)2cos45°=   ;‎ ‎(3)﹣12=   .‎ ‎12.(3分)(2020•通辽)若数据3,a,3,5,3的平均数是3,则这组数据中 ‎(1)众数是   ;‎ ‎(2)a的值是   ;‎ ‎(3)方差是   .‎ ‎13.(3分)(2020•通辽)如图,点O在直线AB上,∠AOC=58°17′28″.则∠BOC的度数是   .‎ ‎14.(3分)(2020•通辽)如图,用大小相同的小正方形拼大正方形,拼第1个正方形需要4‎ 第24页(共24页)‎ 个小正方形,拼第2个正方形需要9个小正方形…,按这样的方法拼成的第(n+1)个正方形比第n个正方形多   个小正方形.‎ ‎15.(3分)(2020•通辽)有一个人患了新冠肺炎,经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎,每轮传染中平均一个人传染了   个人.‎ ‎16.(3分)(2020•通辽)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点P在斜边AB上,以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,∠PCQ=90°,则PA2,PB2,PC2三者之间的数量关系是   .‎ ‎17.(3分)(2020•通辽)如图①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点E是边AB的中点,点P是边BC上一动点,设PC=x,PA+PE=y.图②是y关于x的函数图象,其中H是图象上的最低点.那么a+b的值为   .‎ 三、解答题(包括9小题,共69分,每小题分值均在各题号后面标出,请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤)‎ ‎18.(5分)(2020•通辽)解方程:‎2‎x-2‎‎=‎‎3‎x.‎ ‎19.(6分)(2020•通辽)从A处看一栋楼顶部的仰角为α,看这栋楼底部的俯角为β,A处与楼的水平距离AD为90m.若tanα=0.27,tanβ=2.73,求这栋楼高.‎ 第24页(共24页)‎ ‎20.(6分)(2020•通辽)用※定义一种新运算:对于任意实数m和n,规定m※n=m2n﹣mn﹣3n,如:1※2=12×2﹣1×2﹣3×2=﹣6.‎ ‎(1)求(﹣2)※‎3‎;‎ ‎(2)若3※m≥﹣6,求m的取值范围,并在所给的数轴上表示出解集.‎ ‎21.(7分)(2020•通辽)甲口袋中装有2个相同小球,它们分别写有数字1,2;乙口袋中装有3个相同小球,它们分别写有数字3,4,5;丙口袋中装有2个相同小球,它们分别写有数字6,7.从三个口袋各随机取出1个小球.用画树状图或列表法求:‎ ‎(1)取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率;‎ ‎(2)取出的3个小球上全是奇数的概率.‎ ‎22.(7分)(2020•通辽)如图,⊙O的直径AB交弦(不是直径)CD于点P,且PC2=PB•PA,求证:AB⊥CD.‎ ‎23.(8分)(2020•通辽)某校研究学生的课余爱好情况,采取抽样调查的方法,从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好,并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:‎ 第24页(共24页)‎ ‎(1)在这次调查中,共调查了多少名学生;‎ ‎(2)补全条形统计图;‎ ‎(3)若该校爱好运动的学生共有800名,则该校学生总数大约有多少名.‎ ‎24.(9分)(2020•通辽)某服装专卖店计划购进A,B两种型号的精品服装.已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元;1件A型服装和2件B型服装共需2800元.‎ ‎(1)求A,B型服装的单价;‎ ‎(2)专卖店要购进A,B两种型号服装60件,其中A型件数不少于B型件数的2倍,如果B型打七五折,那么该专卖店至少需要准备多少货款?‎ ‎25.(9分)(2020•通辽)中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t(s).‎ ‎(1)求证:四边形PBQE为平行四边形;‎ ‎(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比.‎ ‎26.(12分)(2020•通辽)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.且直线y=x﹣6过点B,与y轴交于点D,点C与点D关于x轴对称,点P是线段OB上一动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线BD于点N.‎ ‎(1)求抛物线的函数解析式;‎ 第24页(共24页)‎ ‎(2)当△MDB的面积最大时,求点P的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点Q,使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.‎ 第24页(共24页)‎ ‎2020年内蒙古通辽市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题包括10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确答齐案,请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑)‎ ‎1.(3分)(2020•通辽)2020年我市初三毕业生超过30000人,将30000用科学记数法表示正确的是(  )‎ A.0.3×105 B.3×104 C.30×103 D.3万 ‎【解答】解:30000用科学记数法表示为:3×104.‎ 故选:B.‎ ‎2.(3分)(2020•通辽)下列说法不正确的是(  )‎ A.2a是2个数a的和 B.2a是2和数a的积 ‎ C.2a是单项式 D.2a是偶数 ‎【解答】解:A.2a=a+a,即2a是2个数a的和,说法正确;‎ B.2a是2和数a的积,说法正确;‎ C.2a是单项式,说法正确;‎ D.2a不一定是偶数,故原说法错误.‎ 故选:D.‎ ‎3.(3分)(2020•通辽)下列事件中是不可能事件的是(  )‎ A.守株待兔 B.瓮中捉鳖 C.水中捞月 D.百步穿杨 ‎【解答】解:A、守株待兔是随机事件,故此选项不合题意;‎ B、瓮中捉鳖是必然事件,故此选项不合题意;‎ C、水中捞月是不可能事件,故此选项符合题意;‎ D、百步穿杨是随机事件,故此选项不合题意;‎ 故选:C.‎ ‎4.(3分)(2020•通辽)如图,将一副三角尺按下列位置摆放,使∠α和∠β互余的摆放方式是(  )‎ 第24页(共24页)‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎【解答】解:A.∠α与∠β互余,故本选项正确;‎ B.∠α=∠β,故本选项错误;‎ C.∠α=∠β,故本选项错误;‎ D.∠α与∠β互补,故本选项错误,‎ 故选:A.‎ ‎5.(3分)(2020•通辽)关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根,k的取值范围是(  )‎ A.k<1且k≠0 B.k<1 C.k≤1且k≠0 D.k≤1‎ ‎【解答】解:k=0时,是一元一次方程,有实数根;‎ k不等于0时,是一元二次方程,根据题意,△≥0,‎ ‎∴△=b2﹣4ac=(﹣6)2﹣4k×9≥0,‎ 解得k≤1,‎ 故选:D.‎ ‎6.(3分)(2020•通辽)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功地找到三角形内心的是(  )‎ 第24页(共24页)‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:三角形内心为三角形内角平分线的交点,选项B中作了两个交的平分线.‎ 故选:B.‎ ‎7.(3分)(2020•通辽)如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,∠P=72°,则∠C=(  )‎ A.108° B.72° C.54° D.36°‎ ‎【解答】解:连接OA、OB,‎ ‎∵PA,PB分别为⊙O的切线,‎ ‎∴OA⊥PA,OB⊥PB,‎ ‎∴∠PAO=90°,∠PBO=90°,‎ ‎∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P=360°﹣90°﹣90°﹣72°=108°,‎ 由圆周角定理得,∠C‎=‎‎1‎‎2‎∠AOB=54°,‎ 故选:C.‎ 第24页(共24页)‎ ‎8.(3分)(2020•通辽)如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是(  )‎ A.∠BAC=90° B.∠DAE=90° C.AB=AC D.AB=AE ‎【解答】解:添加∠BAC=90°时,‎ ‎∵AD是△ABC的中线,‎ ‎∴AD‎=‎‎1‎‎2‎BC=CD,‎ ‎∴四边形ADCE是菱形,选项A正确;‎ 添加∠DAE=90°,‎ ‎∵四边形ADCE是平行四边形 ‎∴四边形ADCE是矩形,选项B错误;‎ 添加AB=AC,可得到AD⊥BC,‎ ‎∴∠ADC=90°,‎ ‎∴四边形ADCE是平行四边形是矩形,选项C错误;‎ 添加AB=AE,‎ ‎∵四边形ADCE是平行四边形,‎ ‎∴AE=CD,‎ ‎∵AD是△ABC的中线,‎ ‎∴BD=CD=AE,‎ ‎∴AB=BD,故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形;‎ 故选:A.‎ ‎9.(3分)(2020•通辽)如图,OC交双曲线y‎=‎kx于点A,且OC:OA=5:3,若矩形ABCD的面积是8,且AB∥x轴,则k的值是(  )‎ 第24页(共24页)‎ A.18 B.50 C.12 D.‎‎200‎‎9‎ ‎【解答】解:延长DA、交x轴于E,‎ ‎∵四边形ABCD矩形,且AB∥x轴,‎ ‎∴∠CAB=∠AOE,‎ ‎∴DE⊥x轴,CF⊥x轴,‎ ‎∴∠AEO=∠ABC ‎∴△AOE∽△CAB,‎ ‎∴S‎△ABCS‎△AOE‎=‎(ACOA)2,‎ ‎∵矩形ABCD的面积是8,OC:OA=5:3,‎ ‎∴△ABC的面积为4,AC:OA=2:3,‎ ‎∴S‎△ABCS‎△AOE‎=‎(ACOA)2‎=‎‎9‎‎4‎,‎ ‎∴S△AOE=9,‎ ‎∵双曲线y‎=‎kx经过点A,‎ ‎∴S△AOE‎=‎‎1‎‎2‎|k|=9,‎ ‎∵k>0,‎ ‎∴k=18,‎ 故选:A.‎ 第24页(共24页)‎ ‎10.(3分)(2020•通辽)从下列命题中,随机抽取一个是真命题的概率是(  )‎ ‎(1)无理数都是无限小数;‎ ‎(2)因式分解ax2﹣a=a(x+1)(x﹣1);‎ ‎(3)棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm;‎ ‎(4)弧长是20πcm,面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°.‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎4‎ D.1‎ ‎【解答】解:(1)无理数都是无限小数是真命题,‎ ‎(2)因式分解ax2﹣a=a(x+1)(x﹣1)是真命题;‎ ‎(3)棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm是真命题;‎ ‎(4)弧长是20πcm,面积是240πcm2的扇形的半径是240π×2÷20π=24cm,圆心角为:‎180°×20π‎24π‎=‎150°,故弧长是20πcm,面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°是假命题;‎ 故随机抽取一个是真命题的概率是‎3‎‎4‎,‎ 故选:C.‎ 二、填空题(本题包括7小题,每小题3分,共21分,将答案直接填在答题卡对应题的横线上)‎ ‎11.(3分)(2020•通辽)计算:‎ ‎(1)(3.14﹣π)0= 1 ;‎ ‎(2)2cos45°= ‎2‎ ;‎ ‎(3)﹣12= ﹣1 .‎ ‎【解答】解:(1)(3.14﹣π)0=1;‎ 第24页(共24页)‎ ‎(2)2cos45°‎=2×‎2‎‎2‎=‎‎2‎;‎ ‎(3)﹣12=﹣1×1=﹣1.‎ 故答案为:(1)1;(2)‎2‎;(3)﹣1.‎ ‎12.(3分)(2020•通辽)若数据3,a,3,5,3的平均数是3,则这组数据中 ‎(1)众数是 3 ;‎ ‎(2)a的值是 1 ;‎ ‎(3)方差是 ‎8‎‎5‎ .‎ ‎【解答】解:(1)不论a取何值,出现次数最多的是3,出现3次,因此众数是3;‎ ‎(2)(3×3+a+5)=3×5,‎ 解得,a=1,‎ ‎(3)S2‎=‎‎1‎‎5‎[(1﹣3)2+(5﹣3)2]‎=‎‎8‎‎5‎,‎ 故答案为:3,1,‎8‎‎5‎.‎ ‎13.(3分)(2020•通辽)如图,点O在直线AB上,∠AOC=58°17′28″.则∠BOC的度数是 121°42′32″ .‎ ‎【解答】解:∵点O在直线AB上,且∠AOC=58°17′28″,‎ ‎∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣58°17′28″=121°42′32″,‎ 故答案为:121°42′32″.‎ ‎14.(3分)(2020•通辽)如图,用大小相同的小正方形拼大正方形,拼第1个正方形需要4个小正方形,拼第2个正方形需要9个小正方形…,按这样的方法拼成的第(n+1)个正方形比第n个正方形多 2n+3 个小正方形.‎ 第24页(共24页)‎ ‎【解答】解:∵第1个正方形需要4个小正方形,4=22,‎ 第2个正方形需要9个小正方形,9=32,‎ 第3个正方形需要16个小正方形,16=42,‎ ‎…,‎ ‎∴第n+1个正方形有(n+1+1)2个小正方形,‎ 第n个正方形有(n+1)2个小正方形,‎ 故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多(n+2)2﹣(n+1)2=2n+3个小正方形.‎ 故答案为:2n+3.‎ ‎15.(3分)(2020•通辽)有一个人患了新冠肺炎,经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎,每轮传染中平均一个人传染了 12 个人.‎ ‎【解答】解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,根据题意,得 ‎(1+x)2=169‎ ‎1+x=±13‎ x1=12,x2=﹣14(舍去).‎ 答:每轮传染中平均一个人传染了12个人.‎ 故答案为:12.‎ ‎16.(3分)(2020•通辽)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点P在斜边AB上,以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,∠PCQ=90°,则PA2,PB2,PC2三者之间的数量关系是 PB2+AP2=2CP2 .‎ ‎【解答】解:如图,连接BQ,‎ ‎∵∠ACB=90°,AC=BC,‎ ‎∴∠CAB=∠CBA=45°,‎ ‎∵△PCQ是等腰直角三角形,‎ 第24页(共24页)‎ ‎∴PC=CQ,∠PCQ=90°=∠ACB,PQ2=2CP2,‎ ‎∴∠ACP=∠BCQ,‎ 又∵AC=BC,‎ ‎∴△ACP≌△BCQ(SAS),‎ ‎∴∠CAP=∠CBQ=45°,‎ ‎∴∠ABQ=90°,‎ ‎∴PB2+BQ2=PQ2,‎ ‎∴PB2+AP2=2CP2,‎ 故答案为:PB2+AP2=2CP2.‎ ‎17.(3分)(2020•通辽)如图①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点E是边AB的中点,点P是边BC上一动点,设PC=x,PA+PE=y.图②是y关于x的函数图象,其中H是图象上的最低点.那么a+b的值为 7 .‎ ‎【解答】解:如图,将△ABC沿BC折叠得到△A′BC,则四边形ABA′C为菱形,菱形的对角线交于点O,‎ 由图②知,当点P与点B重合时,‎ y=PA+PE=AB+BE=AB‎+‎‎1‎‎2‎AB=3‎3‎,解得:AB=2‎3‎,即:菱形的边长为2‎3‎,‎ 则该菱形的高为‎3‎‎2‎AB=3,‎ 点A关于BC的对称点为点A′,连接A′E交BC于点P,此时y最小,‎ ‎∵AB=AC,∠BAC=120°,‎ 则∠BAA′=60°,故AA′B为等边三角形,‎ 第24页(共24页)‎ ‎∵E是AB的中点,故A′E⊥AB,‎ 而AB∥A′C,故∠PA′C为直角,A′C=AB=2‎3‎,‎ 则PC‎=A'Ccos∠BCA'‎=‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎=‎4,‎ 此时b=PC,a=A′E=3(菱形的高),‎ 则a+b=3+4=7.‎ 故答案为7.‎ 三、解答题(包括9小题,共69分,每小题分值均在各题号后面标出,请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤)‎ ‎18.(5分)(2020•通辽)解方程:‎2‎x-2‎‎=‎‎3‎x.‎ ‎【解答】解:方程两边都乘以x(x﹣2)得,‎ ‎2x=3x﹣6,‎ 解得x=6,‎ 检验:当x=6时,x(x﹣2)=6×4=24≠0,‎ 所以x=6是分式方程的解.‎ 因此,原分式方程的解是x=6.‎ ‎19.(6分)(2020•通辽)从A处看一栋楼顶部的仰角为α,看这栋楼底部的俯角为β,A处与楼的水平距离AD为90m.若tanα=0.27,tanβ=2.73,求这栋楼高.‎ ‎【解答】解:在Rt△ABD中,BD=tanα•AD=0.27×90=24.3(米),‎ 在Rt△ACD中,CD=AD•tanβ=90×2.73=245.7(米),‎ ‎∴BC=BD+CD=24.3+245.7=270(米),‎ 答:这栋楼高BC约为270米.‎ ‎20.(6分)(2020•通辽)用※定义一种新运算:对于任意实数m和n,规定m※n=m2n﹣mn 第24页(共24页)‎ ‎﹣3n,如:1※2=12×2﹣1×2﹣3×2=﹣6.‎ ‎(1)求(﹣2)※‎3‎;‎ ‎(2)若3※m≥﹣6,求m的取值范围,并在所给的数轴上表示出解集.‎ ‎【解答】解:(1)(﹣2)※‎3‎‎=‎(﹣2)2‎×‎3‎-‎(﹣2)‎×‎3‎-‎3‎3‎‎=‎4‎3‎‎+‎2‎3‎‎-‎3‎3‎‎=‎3‎3‎;‎ ‎(2)3※m≥﹣6,‎ 则32m﹣3m﹣3m≥﹣6,‎ 解得:m≥﹣2,‎ 将解集表示在数轴上如下:‎ ‎21.(7分)(2020•通辽)甲口袋中装有2个相同小球,它们分别写有数字1,2;乙口袋中装有3个相同小球,它们分别写有数字3,4,5;丙口袋中装有2个相同小球,它们分别写有数字6,7.从三个口袋各随机取出1个小球.用画树状图或列表法求:‎ ‎(1)取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率;‎ ‎(2)取出的3个小球上全是奇数的概率.‎ ‎【解答】解:(1)画树状图为:‎ 共有12种等可能的结果,其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5,‎ 所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率‎=‎‎5‎‎12‎;‎ ‎(2)取出的3个小球上全是奇数的结果数为2,‎ 所以取出的3个小球上全是奇数的概率‎=‎2‎‎12‎=‎‎1‎‎6‎.‎ ‎22.(7分)(2020•通辽)如图,⊙O的直径AB交弦(不是直径)CD于点P,且PC2=PB•PA,求证:AB⊥CD.‎ 第24页(共24页)‎ ‎【解答】证明:连接AC、BC,如图,‎ ‎∵∠A=∠D,∠C=∠B,‎ ‎∴△APC∽△BPD,‎ ‎∴PC:PB=PA:PD,‎ ‎∴PC•PD=PA•PB,‎ ‎∵PC2=PB•PA,‎ ‎∴PC=PD,‎ ‎∵AB为直径,‎ ‎∴AB⊥CD.‎ ‎23.(8分)(2020•通辽)某校研究学生的课余爱好情况,采取抽样调查的方法,从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好,并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:‎ ‎(1)在这次调查中,共调查了多少名学生;‎ ‎(2)补全条形统计图;‎ 第24页(共24页)‎ ‎(3)若该校爱好运动的学生共有800名,则该校学生总数大约有多少名.‎ ‎【解答】解:(1)40÷40%=100(名),‎ 即在这次调查中,共调查了100名学生;‎ ‎(2)爱好上网的学生有:100×10%=10(名),‎ 爱好阅读的学生有:100﹣40﹣20﹣10=30(名),‎ 补全的条形统计图如右图所示;‎ ‎(3)800÷40%=2000(名),‎ 答:该校学生总数大约有2000名.‎ ‎24.(9分)(2020•通辽)某服装专卖店计划购进A,B两种型号的精品服装.已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元;1件A型服装和2件B型服装共需2800元.‎ ‎(1)求A,B型服装的单价;‎ ‎(2)专卖店要购进A,B两种型号服装60件,其中A型件数不少于B型件数的2倍,如果B型打七五折,那么该专卖店至少需要准备多少货款?‎ ‎【解答】解:(1)设A型服装的单价为x元,B型服装的单价为y元,‎ 依题意,得:‎2x+3y=4600‎x+2y=2800‎,‎ 解得:x=800‎y=1000‎.‎ 答:A型服装的单价为800元,B型服装的单价为1000元.‎ ‎(2)设购进B型服装m件,则购进A型服装(60﹣m)件,‎ 依题意,得:60﹣m≥2m,‎ 解得:m≤20.‎ 设该专卖店需要准备w元的货款,则w=800(60﹣m)+1000×0.75m=﹣50m+48000,‎ ‎∵k=﹣50,‎ 第24页(共24页)‎ ‎∴w随m的增大而减小,‎ ‎∴当m=20时,w取得最小值,最小值=﹣50×20+48000=47000.‎ 答:该专卖店至少需要准备47000元货款.‎ ‎25.(9分)(2020•通辽)中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t(s).‎ ‎(1)求证:四边形PBQE为平行四边形;‎ ‎(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比.‎ ‎【解答】(1)证明:∵正六边形ABCDEF内接于⊙O,‎ ‎∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F,‎ ‎∵点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s速度沿AF,DC向终点F,C运动,‎ ‎∴AP=DQ=t,PF=QC=6﹣t,‎ 在△ABP和△DEQ中,AB=DE‎∠A=∠DAP=DQ,‎ ‎∴△ABP≌△DEQ(SAS),‎ ‎∴BP=EQ,‎ 同理可证PE=QB,‎ ‎∴四边形PEQB为平行四边形.‎ ‎(2)解:连接BE、OA,则∠AOB‎=‎360°‎‎6‎=‎60°,‎ ‎∵OA=OB,‎ ‎∴△AOB是等边三角形,‎ ‎∴AB=OA=6,BE=2OB=12,‎ 当t=0时,点P与A重合,Q与D重合,四边形PBQE即为四边形ABDE,如图1所示:‎ 则∠EAF=∠AEF=30°,‎ ‎∴∠BAE=120°﹣30°=90°,‎ 第24页(共24页)‎ ‎∴此时四边形ABDE是矩形,即四边形PBQE是矩形.‎ 当t=6时,点P与F重合,Q与C重合,四边形PBQE即为四边形FBCE,如图2所示:‎ 同法可知∠BPE=90°,此时四边形PBQE是矩形.‎ 综上所述,t=0s或6s时,四边形PBQE是矩形,‎ ‎∴AE‎=‎1‎2‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=‎6‎3‎,‎ ‎∴矩形PBQE的面积=矩形ABDE的面积=AB×AE=6×6‎3‎‎=‎36‎3‎;‎ ‎∵正六边形ABCDEF的面积=6△AOB的面积=6‎×‎‎1‎‎4‎矩形ABDE的面积=6‎×‎1‎‎4‎×‎36‎3‎‎=‎54‎3‎,‎ ‎∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比‎=‎‎2‎‎3‎.‎ ‎26.(12分)(2020•通辽)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.且直线y=x﹣6过点B,与y轴交于点D,点C与点D关于x轴对称,点P是线段OB上一动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线BD于点N.‎ ‎(1)求抛物线的函数解析式;‎ ‎(2)当△MDB的面积最大时,求点P的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点Q,使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.‎ 第24页(共24页)‎ ‎【解答】解:(1)令y=0,得y=x﹣6=0,‎ 解得x=6,‎ ‎∴B(6,0),‎ 令x=0,得y=x﹣6=﹣6,‎ ‎∴D(0,﹣6),‎ ‎∵点C与点D关于x轴对称,‎ ‎∴C(0,6),‎ 把B、C点坐标代入y=﹣x2+bx+c中,得 ‎-36+6b+c=0‎c=6‎‎,‎ 解得,b=5‎c=6‎,‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+5x+6;‎ ‎(2)设P(m,0),则M(m,﹣m2+5m+6),N(m,m﹣6),‎ 则MN=﹣m2+4m+12,‎ ‎∴△MDB的面积‎=‎1‎‎2‎MN⋅OB=-‎3m2+12m+36═﹣3(m﹣2)2+48,‎ ‎∴当m=2时,△MDB的面积最大,‎ 此时,P点的坐标为(2,0);‎ 第24页(共24页)‎ ‎(3)由(2)知,M(2,12),N(2,﹣4),‎ 当∠QMN=90°时,QM∥x轴,则Q(0,12);‎ 当∠MNQ=90°时,NQ∥x轴,则Q(0,﹣4);‎ 当∠MQN=90°时,设Q(0,n),则QM2+QN2=MN2,‎ 即4+(12﹣n)2+4+(n+4)2=(12+4)2,‎ 解得,n=4±2‎15‎,‎ ‎∴Q(0,4+2‎15‎)或(0,4﹣2‎15‎).‎ 综上,存在以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形.其Q点坐标为(0,12)或(0,﹣4)或(0,4+2‎15‎)或(0,4﹣2‎15‎).‎ 第24页(共24页)‎