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  • 2021-05-13 发布

上海中考数学压轴题专项训练

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‎24.(本题满分12分,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分5分)‎ ‎(第24题图)‎ 如图,已知抛物线经过、两点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2 求的值;‎ ‎(3)过点B作BC轴,垂足为点C,点M是抛物线上一点,直线MN平行于轴交直线AB于点N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.‎ ‎24.解:(1)将A(0,-1)、B(4,-3)分别代入 得, ………………………………………………………………(1分)‎ 解,得 …………………………………………………………………(1分)‎ 所以抛物线的解析式为 ……………………………………………(1分)‎ ‎(2)过点B作BC轴,垂足为C,过点A作AHOB,垂足为点H ………(1分)‎ 在中,OA=1, ……………………………(1分)‎ ‎∴,∴, ………………(1分)‎ 在中, ………………………………(1分)‎ ‎(3)直线AB的解析式为, ……………………………………………(1分)‎ 设点M的坐标为,点N坐标为 那么MN=; …………………………(1分)‎ ‎∵M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,∴MN=BC=3‎ 解方程=3得; ……………………………………………(1分)‎ 解方程得或; ………………………………………(1分)‎ 所以符合题意的点N有4个 ‎ ……………………………………………………………………………………(1分)‎ ‎25.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)‎ 在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,经过点B的直线l(l不与直线AB重合)与直线BC的夹角等于∠ABC,分别过点C、点A作直线l的垂线,垂足分别为点D、点E.‎ ‎(1)如图1,当点E与点B重合时,若AE=4,判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系并说明理由;‎ ‎(2)如图2,当点E在DB延长线上时,求证:AE=2CD;‎ A C D B(E)‎ l ‎(第25题图1)‎ ‎(3)记直线CE与直线AB相交于点F,若,CD = 4,求BD的长.‎ ‎(第25题图2)‎ A C D E l B ‎25.解:(1)过点C作CF⊥AB,垂足为点F. ……………………………………………(1分)‎ ‎∵∠AED=90°,∠ABC=∠CBD,∴∠ABC=∠CBD =45°,‎ ‎∵∠ACB=90°,∠ABC=45°,AE=4,∴CF=2,BC=,…………………………(1分)‎ 又∵∠CBD=∠ABC=45°,CD⊥l,∴CD=2, …………………………………………(1分)‎ ‎∴CD=CF=2,∴圆C与直线AB相切.……………………………………………………(1分)‎ ‎(2)证明:延长AC交直线l于点G. ………………………………………………(1分)‎ ‎∵∠ACB = 90°,∠ABC =∠GBC,∴∠BAC =∠BGC.‎ ‎∴AB = GB.…………………………………………………………………………………(1分)‎ ‎∴AC = GC.…………………………………………………………………………………(1分)‎ ‎∵AE⊥l,CD⊥l,∴AE∥CD.‎ ‎∴. …………………………………………………………………………(1分)‎ ‎∴AE = 2CD. ………………………………………………………………………………(1分)‎ ‎(3)(I)如图1,当点E在DB延长线上时:‎ ‎(第25题图1)‎ A C D E l G B H F 过点C作CG∥l交AB于点H,交AE于点G,则∠CBD =∠HCB.‎ ‎∵∠ABC =∠CBD,∴∠ABC =∠HCB.∴CH = BH.………(1分)‎ ‎∵∠ACB = 90°,∴∠ABC +∠BAC =∠HCB +∠HCA = 90°.‎ ‎∴∠BAC =∠HCA.∴CH = AH = BH.‎ B ‎(第25题图2)‎ A C D l G E H F ‎∵CG∥l,∴.‎ 设CH = 5x,则BE = 6x,AB = 10x.‎ 在Rt△ABE中,.‎ 由(2)知AE = 2CD = 8,∴,得.‎ ‎∴CH = 5,BE = 6,AB = 10.‎ ‎∵CG∥l,∴,∴HG=3.……………………(1分)‎ ‎∴CG = CH + HG = 8.‎ 易证四边形CDEG是矩形,∴DE = CG = 8.‎ ‎∴.…………………………………………(1分)‎ ‎(II)如图2,当点E在DB上时:‎ 同理可得CH = 5,BE = 6,HG = 3.…………………………(1分)‎ ‎∴.‎ ‎∴BD=DE + BE = 8.…………………………………………………………………………(1分)‎ 综上所述,BD的长为2或8.‎ ‎24.已知点A(2,﹣2)和点B(﹣4,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上.‎ ‎(1)求a的值及点B的坐标;‎ ‎(2)点P在y轴上,且△ABP是以AB为直角边的三角形,求点P的坐标;‎ ‎(3)将抛物线y=ax2(a≠0)向右并向下平移,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形ABB′A′为正方形,求此时抛物线的表达式.‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化-平移.‎ ‎【分析】(1)把点A(2,﹣2)代入y=ax2,得到a,再把点B代入抛物线解析式即可解决问题.‎ ‎(2)求出直线AB解析式,再分别求出过点A垂直于AB的直线的解析式,过点B垂直于直线AB的解析式即可解决问题.‎ ‎(3)先求出点A′坐标,确定是如何平移的,再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)把点A(2,﹣2)代入y=ax2,得到a=﹣,‎ ‎∴抛物线为y=﹣x2,‎ ‎∴x=﹣4时,y=﹣8,‎ ‎∴点B坐标(﹣4,﹣8),‎ ‎∴a=﹣,点B坐标(﹣4,﹣8).‎ ‎(2)设直线AB为y=kx+b,则有,解得,‎ ‎∴直线AB为y=x﹣4,‎ ‎∴过点B垂直AB的直线为y=﹣x﹣12,与y轴交于点P(0,﹣12),‎ 过点A垂直AB的直线为y=﹣x,与y轴交于点P′(0,0),‎ ‎∴点P在y轴上,且△ABP是以AB为直角边的三角形时.点P坐标为(0,0),或(0,﹣12).‎ ‎(3)如图四边形ABB′A′是正方形,过点A作y轴的垂线,过点B、点A′作x轴的垂线得到点E、F.‎ ‎∵直线AB解析式为y=﹣x﹣12,∴△ABF,△AA′E都是等腰直角三角形,‎ ‎∵AB=AA′==6,‎ ‎∴AE=A′E=6,‎ ‎∴点A′坐标为(8,﹣8),‎ ‎∴点A到点A′是向右平移6个单位,向下平移6个单位得到,‎ ‎∴抛物线y=﹣x2的顶点(0,0),向右平移6个单位,向下平移6个单位得到(6,﹣6),‎ ‎∴此时抛物线为y=﹣(x﹣6)2﹣6.‎ ‎25.已知,AB=5,tan∠ABM=,点C、D、E为动点,其中点C、D在射线BM上(点C在点D的左侧),点E和点D分别在射线BA的两侧,且AC=AD,AB=AE,∠CAD=∠BAE.‎ ‎(1)当点C与点B重合时(如图1),联结ED,求ED的长;‎ ‎(2)当EA∥BM时(如图2),求四边形AEBD的面积;‎ ‎(3)联结CE,当△ACE是等腰三角形时,求点B、C间的距离.‎ ‎【考点】三角形综合题.‎ ‎【分析】(1)如图1中,延长BA交DE于F,作AH⊥BD于H,先证明BF⊥DE,EF=DF,再利用△ABH∽△DBF,得=,求出DF即可解决问题.‎ ‎(2)先证明四边形ADBE是平行四边形,根据S平行四边形ADBE=BD•AH,计算即可.‎ ‎(3)由题意AC≠AE,EC≠AC,只有EA=EC,利用四点共圆先证明四边形ADBE是平行四边形,求出DH、CH即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)如图1中,延长BA交DE于F,作AH⊥BD于H.‎ 在RT△ABH中,∵∠AHB=90°,‎ ‎∴sin∠ABH==,‎ ‎∴AH=3,BH==4,‎ ‎∵AB=AD,AH⊥BD,‎ ‎∴BH=DH=4,‎ 在△ABE 和△ABD中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABD≌△ABE,‎ ‎∴BE=BD,∠ABE=∠ABD,‎ ‎∴BF⊥DE,EF=DF,‎ ‎∵∠ABH=∠DBF,∠AHB=∠BFD,‎ ‎∴△ABH∽△DBF,‎ ‎∴=,‎ ‎∴DF=,‎ ‎∴DE=2DF=.‎ ‎(2)如图2中,作AH⊥BD于H.‎ ‎∵AC=AD,AB=AE,∠CAD=∠BAE,‎ ‎∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC,‎ ‎∵AE∥BD,‎ ‎∴∠AEB+∠EBD=180°,‎ ‎∴∠EBD+∠ADC=180°,‎ ‎∴EB∥AD,‎ ‎∵AE∥BD,‎ ‎∴四边形ADBE是平行四边形,‎ ‎∴BD=AE=AB=5,AH=3,‎ ‎∴S平行四边形ADBE=BD•AH=15.‎ ‎(3)由题意AC≠AE,EC≠AC,只有EA=EC.‎ 如图3中,‎ ‎∵∠ACD=∠AEB(已证),‎ ‎∴A、C、B、E四点共圆,‎ ‎∵AE=EC=AB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴∠AEC=∠ABC,‎ ‎∴AE∥BD,‎ 由(2)可知四边形ADBE是平行四边形,‎ ‎∴AE=BD=AB=5,‎ ‎∵AH=3,BH=4,‎ ‎∴DH=BD﹣BH=1,‎ ‎∵AC=AD,AH⊥CD,‎ ‎∴CH=HD=1,‎ ‎∴BC=BD﹣CD=3.‎ ‎ ‎ ‎24.如图,已知二次函数y=x2+bx+c图象顶点为C,与直线y=x+m图象交于AB两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在y轴上.‎ ‎(1)求这个二次函数的解析式;‎ ‎(2)联结AC,求∠BAC的正切值;‎ ‎(3)点P为直线AB上一点,若△ACP为直角三角形,求点P的坐标.‎ ‎【分析】(1)先把A点坐标代入y=x+m求出m得到直线AB的解析式为y=x+1,这可求出直线与y轴的交点B的坐标,然后把A点和B点坐标代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的方程组,再解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式;‎ ‎(2)如图,先抛物线解析式配成顶点式得到C(1,0),再利用两点间的距离公式计算出BC2=2,AB2=18,AC2=20,然后利用勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,于是利用正切的定义计算tan∠BAC的值;‎ ‎(3)分类讨论:当∠APC=90°时,有(2)得点P在B点处,此时P点坐标为(0,1);当∠ACP=90°时,利用(2)中结论得tan∠PAC==,则PC=AC,设P(t,t+1),然后利用两点间的距离公式得到方程t2+(t+1﹣1)2=20,再解方程求出t即可得到时P点坐标.‎ ‎【解答】解:(1)把A(3,4)代入y=x+m得3+m=4,解得m=1‎ ‎∴直线AB的解析式为y=x+1,‎ ‎∵当x=0时,y=x+1=1,‎ ‎∴B(0,1),‎ 把B(0,1),A(3,4)代入y=x2+bx+c得,解得,‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+1;‎ ‎(2)如图,‎ ‎∵y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,‎ ‎∴C(1,0),‎ ‎∴BC2=12+12=2,AB2=32+(4﹣1)2=18,AC2=(3﹣1)2+42=20,‎ 而2+18=20,‎ ‎∴BC2+AB2=AC2,‎ ‎∴△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,‎ ‎∴tan∠BAC===;‎ ‎(3)当∠APC=90°时,点P在B点处,此时P点坐标为(0,1);‎ 当∠ACP=90°时,∵tan∠PAC==,‎ ‎∴PC=AC,‎ 设P(t,t+1),‎ ‎∴t2+(t+1﹣1)2=20,解得t1=﹣,t2=(舍去),此时P点坐标为(﹣,﹣ +1),‎ 综上所述,满足条件的P点坐标为(0,1)或(﹣,﹣ +1).‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征;能运用待定系数法求二次函数解析式;理解坐标与图形性质,记住两点间的距离公式;能利用勾股定理的逆定理证明直角三角形.‎ ‎ ‎ ‎25.如图,▱ABCD中,AB=8,AD=10,sinA=,E、F分别是边AB、BC上动点(点E不与A、B重合),且∠EDF=∠DAB,DF延长线交射线AB于G.‎ ‎(1)若DE⊥AB时,求DE的长度;‎ ‎(2)设AE=x,BG=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;‎ ‎(3)当△BGF为等腰三角形时,求AE的长度.‎ ‎【分析】(1)DE⊥AB时,根据sinA=即可解决问题.‎ ‎(2)如图2中,作DM⊥AB于M,根据DG2=DM2+MG2=AGEG,列出等式即可解决问题.‎ ‎(3)分三种情形①BF=BG,②FB=FG,③GB=GF,根据BF∥AD,得出比例式,列方程即可解决.‎ ‎【解答】解:(1)如图1中,‎ ‎∵DE⊥AB,‎ ‎∴sinA==,‎ ‎∵AD=10,‎ ‎∴DE=8.‎ ‎(2)如图2中,‎ 作DM⊥AB于M,由(1)可知DM=8,AM=6,MG=AB﹣AM=8﹣6=2,‎ ‎∴DG2=DM2+MG2,‎ ‎∵∠DGE=∠DGA,∠GDE=∠A,‎ ‎∴△DGE∽△AGD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴DG2=AGEG,‎ ‎∴DM2+MG2=AGEG,‎ ‎∴82+(2+y)2=(8+y)(8+y﹣x),‎ ‎∴y=(0<x<8)‎ ‎(3)①当BF=FG时,∵BF∥AD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AD=AG=10,‎ ‎∴y=2,即=2,解得x=2,‎ ‎∴AE=2.‎ ‎②当FB=FG时,∵BF∥AD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AD=DG=10,‎ ‎∵DM⊥AG,‎ ‎∴AM=MB=6,‎ ‎∴AG=12,‎ ‎∴y=4,即=4,‎ 解得x=.‎ ‎③当GB=GF时,∵BF∥AD,∠GBF=∠BFG,‎ ‎∴∠A=∠GBF,∠ADG=∠BFG,‎ ‎∴∠A=∠ADG,‎ ‎∵∠A=∠EDG,‎ ‎∴∠EDG=∠ADG,‎ ‎∴此时点E与点A重合,不合题意.‎ 综上所述AE=2或时,△BFG是等腰三角形.‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,学会用方程的思想解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎