青岛中考动点题专题训练 7页

中考24题专题讲解 平行、垂直、Rt△、等腰三角形的证明 一、 平行的证明 ‎1.已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ∥BC？‎ 思考与交流 ‎2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=，∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以 每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终 点D运动.设运动时间为t秒.‎ ‎（1）求BC的长度；‎ ‎（2）当MN∥AB时，求t的值；‎ ‎3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）． （1）设四边形PCQD的面积 为y，求y与t的关系式；‎ ‎（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？ （3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请简要说明理由．‎ ‎4.如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=8cm，CD=6cm，BC=10cm，点P以每秒1cm的速度从点C出发沿CD向点D运动，同时点E以每秒2cm的速度从点B出发沿BC向点C运动．过点E作EF⊥AB，交AB于点F，连结PA、PE．设运动时间为t秒．(0＜t＜5)‎ ‎（1）求边AB的长度；‎ ‎（2）当t为何值时，PE∥AB；‎ 一、 证明平行的证明 1. 添加高线、平行线，利用平行线分线段成比例或相似三角形对应边成比例、三角函数，建立相等关系，解方程，求时间t.‎ ‎2.转化的方法——将平行转化为垂直的证明.‎ 二、垂直的证明 ‎5.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）．‎ ‎（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式;‎ ‎（2）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． ‎ ‎（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求t的值．‎ ‎（4）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？‎ 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．（4）是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请简要说明理由．‎ ‎6.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）． （1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC；‎ ‎（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？‎ ‎（3）连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．‎ ‎7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来速度返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ与点D，交折线QB-BC-CP与点E .点P，Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设点P、Q 运动的时间是t秒（t＞0）.‎ ‎（4）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的相应值；若不能 请说明理由；‎ 二、垂直的证明 ‎1.添加高线，构造直角三角形，利用相似三角形对应边成比例，建立相等关系，解方程，求时间t. 2.添加高线，构造直角三角形，利用某个角的三角函数值，建立两边的比例关系，解方程，求时间t. 3.转化成平行的证明 三、Rt△的证明 ‎1.已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题 ‎（1）当t为何值时，△APQ为Rt△‎ ‎2.在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4㎝，BC=5 ㎝，点Ｄ在ＢＣ上，且CD=3 ㎝，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度，沿BC向终点C移动.过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ.设动点运动时间为x秒.‎ ‎（1）用含x的代数式表示AE=_____，DE=______；‎ ‎（3）当x为何值时，△EDQ为直角三角形.（画出草图）‎ 三、Rt△的证明方法—两种情况 ‎1. 利用相似三角形对应边成比例，建立相等关系，解方程，求时间t. 2. 利用某个角的三角函数值，建立两边的比例关系，解方程，求时间t. 3.用t的代数式表示出三边，运用勾股定理，建立等量关系，解方程（一次、二次）.‎ 四、等腰三角形的证明 思考与交流 ‎2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB= ，∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以 每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终 点D运动.设运动时间为t秒.（1）求BC=10的长度；（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形.‎ ‎1.已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：‎ ‎（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．‎ ‎5.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）．‎ ‎（4）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？‎ 四、等腰三角形的证明—三种情况 ‎1.直接用含t的代数式表示出两条腰； 2.作高运用底边上三线合一使得其中一条半线段等于底边的一半. 3.作高构造直角三角形，运动勾股定理，使得腰的平方相等；‎ 五、面积的求法 ‎1.已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：‎ ‎（4）若设△APQ的面积S，求S与t的函数关系式？‎ ‎8.在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4㎝，BC=5 ㎝，点Ｄ在ＢＣ上，且CD=3 ㎝，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度，沿BC向终点C移动.过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ.设动点运动时间为x秒.‎ ‎（4）若设△QDE的面积为S，‎ 求S与x的函数关系式 ‎3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）． （2）若设四边形PCQD的面积S，求出S与t的函数关系式 ‎4.如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=8cm，CD=6cm，BC=10cm，点P以每秒1cm的速度从点C出发沿CD向点D运动，同时点E以每秒2cm的速度从点B出发沿BC向点C运动．过点E作EF⊥AB，交AB于点F，连结PA、PE．设运动时间为t秒．(0＜t＜5)‎ ‎（1）求边AB的长度；‎ ‎（2）若设四边形APEF的面积为S，求S与t函数关系式 ‎6.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）． （2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？‎ 如图，已知矩形ABCD的边长AB=4，BC=6，点Q是BC边上的任意一点，连接AQ、DQ，动点P从A出发，沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位长度.过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.设点P的运动时间为t秒.‎ ‎（2）试求△PEF的面积S与运动时间t的函数关系式；‎ ‎（3）当t为何值时，△PEF的面积S取得最大值？最大值为多少？‎ ‎10. 已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC边的长为10，∠B和∠C都为锐角，‎ M为AB边上的一动点（M与点A、B不重合）.过点M作MN∥BC，交AC于点N.‎ 设MN=x.‎ ‎（1）如图，用x表示△AMN的面积S△AMN；‎ ‎（2）如图，将△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形ABCMNA'‎ BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点为A′，△A'MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y.‎ ‎①试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎②当x为何值时重叠部分的面积y最大，最大为多少？‎ ‎11. 如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2所示）.将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D1、D2、B始终在同一直线上），当点D1于点B重合时，停止平移.在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P.‎ ‎（1）当△AC1D1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D1E与D2 F的数量关系，并证明你的猜想；C1（C2）=BD1（D2）‎ ‎（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；‎ ‎（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原△ABC面积的.若存在，求x的值；若不存在，请说明理由. ‎