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  • 2021-05-13 发布

中考数学专题特训第四讲:因式分解(含详细参考答案)

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中考数学专题复习第四讲:因式分解 ‎【基础知识回顾】‎ 一、因式分解的定义:‎ ‎1、把一个 式化为几个整式 的形式,叫做把一个多项式因式分解。‎ ‎( )‎ ‎( )‎ ‎2、因式分解与整式乘法是 运算,即:多项式 整式的积 ‎【提醒:判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确,关键看等号右边是否为 的形式。】‎ 二、因式分解常用方法:‎ ‎1、提公因式法:‎ ‎ 公因式:一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。‎ ‎ 提公因式法分解因式可表示为:ma+mb+mc= 。‎ ‎【提醒:1、公因式的选择可以是单项式,也可以是 ,都遵循一个原则:取系数的 ,相同字母的 。2、提公因式时,若有一项被全部提出,则括号内该项为 ,不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题,特别是一个多项式首项为负时,一般应先提取负号,注意括号内各项都要 。】‎ ‎2、运用公式法:‎ 将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解,这种方法叫做公式法。①平方差公式:a2-b2= ,‎ ‎ ②完全平方公式:a2±2ab+b2= 。‎ ‎【提醒:1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点,‎ 找准里面a与b。如:x2-x+即是完全平方公式形式而x2- x+就不符合该公式。】‎ 一、 公式分解的一般步骤 1、 一提:如果多项式即各项有公因式,即分要先 ‎ 2、 二用:如果多项没有公因式,即可以尝试运用 法来分解。‎ 3、 三查:分解因式必须进行到每一个因式都解因为止。‎ ‎ 【提醒:分解因式不彻底是因式分解常见错误之一,中考中的因式分解题目一般为两点,做题时要特别注意,另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】‎ ‎【重点考点例析】‎ ‎ 考点一:因式分解的概念 例1 (2012•安徽)下面的多项式中,能因式分解的是(  )‎ A.m2+n B.m2-m+1 C.m2-n D.m2-2m+1‎ 思路分析:根据多项式特点和公式的结构特征,对各选项分析判断后利用排除法求解.‎ 解:A、m2+n不能分解因式,故本选项错误;‎ B、m2-m+1不能分解因式,故本选项错误;‎ C、m2-n不能分解因式,故本选项错误;‎ D、m2-2m+1是完全平方式,故本选项正确.‎ 故选D.‎ 点评:本题主要考查了因式分解的意义,熟练掌握公式的结构特点是解题的关键.‎ 对应训练 ‎1.(2012•凉山州)下列多项式能分解因式的是(  )‎ A.x2+y2 B.-x2-y2 C.-x2+2xy-y2 D.x2-xy+y2‎ ‎1.C ‎ 考点二:因式分解 例2 (2012•天门)分解因式:3a2b+6ab2= .‎ 思路分析:首先观察可得此题的公因式为:3ab,然后提取公因式即可求得答案.‎ 解:3a2b+6ab2=3ab(a+2b).‎ 故答案为:3ab(a+2b).‎ 点评:此题主要考查了提公因式法分解因式,关键是掌握找公因式的方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的.‎ 例3 (2012•广元)分解因式:3m3-18m2n+27mn2= .‎ 思路分析:先提取公因式3m,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.‎ 解:3m3-18m2n+27mn2‎ ‎=3m(m2-6mn+9n2)‎ ‎=3m(m-3n)2.‎ 故答案为:3m(m-3n)2.‎ 点评:本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.‎ 对应训练 ‎2.(2012•温州)把a2-4a多项式分解因式,结果正确的是(  )‎ A.a(a-4) B.(a+2)(a-2) C.a(a+2)(a-2) D.(a-2)2-4‎ ‎2.A.‎ ‎3.(2012•恩施州)a4b-6a3b+9a2b分解因式得正确结果为(  )‎ A.a2b(a2-6a+9) B.a2b(a-3)(a+3) C.b(a2-3)2 D.a2b(a-3)2‎ ‎3.D 考点三:因式分解的应用 例4 8.(2012•随州)设a2+2a-1=0,b4-2b2-1=0,且1-ab2≠0,则()5= .‎ 考点:因式分解的应用;分式的化简求值.‎ 分析:根据1-ab2≠0的题设条件求得b2=-a,代入所求的分式化简求值.‎ 解答:解:∵a2+2a-1=0,b4-2b2-1=0, ∴(a2+2a-1)-(b4-2b2-1)=0, 化简之后得到:(a+b2)(a-b2+2)=0, 若a-b2+2=0,即b2=a+2,则1-ab2=1-a(a+2)=1-a2-2a=0,与题设矛盾,所以a-b2+2≠0, 因此a+b2=0,即b2=-a, ∴()5 =()5 ‎ ‎=-()5 =()5 =(-2)5 =-32. 故答案为-32.‎ 点评:本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式,解题关键是注意1-ab2≠0的运用.‎ 对应训练 ‎4.(2012•苏州)若a=2,a+b=3,则a2+ab= .‎ ‎4.6‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1.(2012•济宁)下列式子变形是因式分解的是(  )‎ A.x2-5x+6=x(x-5)+6 B.x2-5x+6=(x-2)(x-3)‎ C.(x-2)(x-3)=x2-5x+6 D.x2-5x+6=(x+2)(x+3) ‎ ‎1.B.‎ ‎2.(2012•临沂)分解因式:a-6ab+9ab2= .‎ ‎2.a(1-3b)2.‎ ‎3.(2012•潍坊)分解因式:x3-4x2-12x= .‎ 考点:因式分解-十字相乘法等;因式分解-提公因式法.‎ 分析:首先提取公因式x,然后利用十字相乘法求解即可求得答案,注意分解要彻底.‎ 解答:解:x3-4x2-12x =x(x2-4x-12) =x(x+2)(x-6). 故答案为:x(x+2)(x-6).‎ 点评:此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识.此题比较简单,注意因式分解的步骤:先提公因式,再利用其它方法分解,注意分解要彻底.‎ ‎4.(2012•威海)分解因式:3x2y+12xy2+12y3= .‎ 考点:提公因式法与公式法的综合运用.‎ 分析:先提取公因式3y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.‎ 解答:解:3x2y+12xy2+12y3, =3y(x2+4xy+4y2), =3y(x+2y)2. 故答案为:3y(x+2y)2.‎ 点评:本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.‎ ‎【备考真题过关】‎ 一、选择题 ‎1.(2012•无锡)分解因式(x-1)2-2(x-1)+1的结果是(  )‎ A.(x-1)(x-2) B.x2 C.(x+1)2 D.(x-2)2‎ ‎1.D ‎2.(2012•呼和浩特)下列各因式分解正确的是(  )‎ A.-x2+(-2)2=(x-2)(x+2) B.x2+2x-1=(x-1)2‎ C.4x2-4x+1=(2x-1)2 D.x2-4x=x(x+2)(x-2) ‎ ‎2.C ‎3.(2012•台湾)下列四个选项中,哪一个为多项式8x2-10x+2的因式?(  )‎ A.2x-2 B.2x+2 C.4x+1 D.4x+2‎ ‎3.A ‎4.(2012•西宁)下列分解因式正确的是(  )‎ A.3x2-6x=x(3x-6) B.-a2+b2=(b+a)(b-a)‎ C.4x2-y2=(4x+y)(4x-y) D.4x2-2xy+y2=(2x-y)2‎ 考点:因式分解-运用公式法;因式分解-提公因式法.‎ 专题:计算题.‎ 分析:根据因式分解的定义,把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解,并根据提取公因式法,利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解.‎ 解答:解:A、3x2-6x=3x(x-2),故本选项错误; B、-a2+b2=(b+a)(b-a),故本选项正确; C、4x2-y2=(2x+y)(2x-y),故本选项错误; D、4x2-2xy+y2不能分解因式,故本选项错误. 故选B.‎ 点评:本题主要考查了因式分解的定义,熟记常用的提公因式法,运用公式法分解因式的方法是解题的关键.‎ ‎5.(2012•温州)把a2-4a多项式分解因式,结果正确的是(  )‎ A.a(a-4) B.(a+2)(a-2) C.a(a+2)(a-2) D.(a-2)2-4‎ 考点:因式分解-提公因式法.‎ 分析:直接提取公因式a即可.‎ 解答:解:a2-4a=a(a-4), 故选:A.‎ 点评:此题主要考查了提公因式法分解因式,关键是掌握找公因式的方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的.‎ 二、填空题 ‎6.(2012•湘潭)因式分解:m2-mn= .‎ ‎6.m(m-n)‎ ‎7.(2012•桂林)分解因式:4x2-2x= .‎ ‎7.2x(2x-1)‎ ‎8.(2012•沈阳)分解因式:m2-6m+9= .‎ ‎8.(x-3)2.‎ ‎9.(2012•黔西南州)分解因式:a4-16a2= .‎ ‎9.a2(a+4)(a-4).‎ ‎10.(2012•北海)因式分解:-m2+n2= .‎ ‎10.(n+m)(n-m)‎ ‎11.(2012•北京)分解因式:mn2+6mn+9m= .‎ ‎11.m(n+3)2. ‎ ‎12.(2012•益阳)写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式: .‎ ‎12.解:答案不唯一,如x2-3‎ ‎=x2-()2‎ ‎=(x+)(x-).‎ 故可填 x2-3.‎ ‎13.(2012•宜宾)分解因式:3m2-6mn+3n2= .‎ ‎13.3(m-n)2‎ ‎14.(2012•绥化)分解因式:a3b-2a2b2+ab3= .‎ ‎14.ab(a-b)2.‎ ‎15.(2012•宜宾)已知P=3xy-8x+1,Q=x-2xy-2,当x≠0时,3P-2Q=7恒成立,则y的值为 .‎ ‎15.解:∵P=3xy-8x+1,Q=x-2xy-2,‎ ‎∴3P-2Q=3(3xy-8x+1)-2(x-2xy-2)=7恒成立,‎ ‎∴9xy-24x+3-2x+4xy+4=7,‎ ‎13xy-26x=0,‎ ‎13x(y-2)=0,‎ ‎∵x≠0,‎ ‎∴y-2=0,‎ ‎∴y=2;‎ 故答案为:2.‎ ‎16.(2012•广东)分解因式:2x2-10x= .‎ 考点:因式分解-提公因式法.‎ 分析:首先确定公因式是2x,然后提公因式即可.‎ 解答:解:原式=2x(x-5). 故答案是:2x(x-5).‎ 点评:本题考查了提公因式法,正确确定公因式是关键.‎ ‎17.(2012•黄石)分解因式:x2+x-2= .‎ 考点:因式分解-十字相乘法等.‎ 专题:探究型.‎ 分析:因为(-1)×2=-2,2-1=1,所以利用十字相乘法分解因式即可.‎ 解答:解:∵(-1)×2=-2,2-1=1, ∴x2+x-2=(x-1)(x+2). 故答案为:(x-1)(x+2).‎ 点评:本题考查的是十字相乘法分解因式,运用十字相乘法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.‎ ‎18.(2012•黑河)因式分解:27x2-3y2= .‎ 考点:提公因式法与公式法的综合运用.‎ 分析:首先提公因式3,然后利用平方差公式分解.‎ 解答:解:原式=3(9x2-y2)=3(3x+y)(3x-y). 故答案是:3(3x+y)(3x-y).‎ 点评:本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止 ‎19.(2012•六盘水)分解因式:2x2+4x+2= .‎ 考点:提公因式法与公式法的综合运用.‎ 分析:先提取公因式2,再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.‎ 解答:解:2x2+4x+2 =2(x2+2x+1) =2(x+1)2. 故答案为:2(x+1)2.‎ 点评:本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解,注意分解要彻底.‎ ‎20.(2012•南充)分解因式:x2-4x-12= .‎ 考点:因式分解-十字相乘法等.‎ 专题:计算题.‎ 分析:因为-6×2=-12,-6+2=-4,所以利用十字相乘法分解因式即可.‎ 解答:解:x2-4x-12=(x-6)(x+2). 故答案为(x-6)(x+2).‎ 点评:本题考查十字相乘法分解因式,运用十字相乘法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.‎ ‎21.(2012•哈尔滨)把多项式a3-2a2+a分解因式的结果是 .‎ 考点:提公因式法与公式法的综合运用.‎ 分析:先提取公因式a,再利用完全平方公式进行二次分解因式 解答:解:a3-2a2+a =a(a2-2a+1) =a(a-1)2. 故答案为:a(a-1)2.‎ 点评:本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式,难点在于需要进行二次分解因式.‎ ‎22.(2012•广州)分解因式:a3-8a= .‎ 考点:提公因式法与公式法的综合运用.‎ 专题:常规题型.‎ 分析:先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.‎ 解答:解:a3-8a, =a(a2-8), =a(a+2)(a-2). 故答案为:a(a+2)(a-2).‎ 点评:本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.‎ ‎23.(2012•广西)分解因式:2xy-4x2= .‎ 考点:因式分解-提公因式法.‎ 分析:利用提取公因式法分解即可,公因式的确定方法是:公因式的系数是各项的系数的最大公约数,字母是各项中共同含有的字母,并且字母的次数是各项中字母的最低的次数作为公因式的次数.‎ 解答:解:原式=2x(y-2x). 故答案是:2x(y-2x).‎ 点评:本题考查了利用提公因式法分解因式,正确确定公因式是关键.‎ ‎24.(2012•大庆)分解因式:ab-ac+bc-b2= .‎ 考点:因式分解-分组分解法.‎ 分析:首先把前两项分成一组,后两项分成一组,每一组可以提公因式,然后再利用提公因式法即可.‎ 解答:解:ab-ac+bc-b2 =(ab-ac)+(bc-b2) =a(b-c)-b(b-c) =(b-c)(a-b). 故答案是:(b-c)(a-b).‎ 点评:本题考查了分组分解法分解因式,此题因式分解方法灵活,注意认真观察各项之间的联系.‎ 三、解答题 ‎25.(2012•扬州)(1)计算:-(-1)2+(-2012)0 (2)因式分解:m3n-9mn.‎ 考点:提公因式法与公式法的综合运用;实数的运算;零指数幂.‎ 专题:常规题型.‎ 分析:(1)根据算术平方根的定义,乘方的定义,以及任何非0数的0次幂等于1解答; (2)先提取公因式mn,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.‎ 解答:解:(1)-(-1)2+(-2012)0 =3-1+1 =3; (2)m3n-9mn =mn(m2-9) =mn(m+3)(m-3)‎ 点评:本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.‎