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- 2021-05-13 发布
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抛物线图像题型
一、选择题
1. 二次函数 图象上部分点的坐标满足下表:
则该函数图象的顶点坐标为
A. B. C. D.
2. 二次函数 的图象如图,点 在 轴的正半轴上,且 ,则
A. B. C. D. 以上都不是
3. 如图,二次函数 的图象过 ,则下列结论:① ;② ;③ ;④ ;⑤ .其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
4. 二次函数 图象如图,下列正确的个数为
① ;② ;③ ;④ 有两个解 ,,,,;⑤ ;⑥ 当 时, 随 增大而减小.
A. B. C. D.
5. 如图,已知二次函数 图象过点 ,顶点为 ,则结论:
① ;② 时,函数最大值是 ;③ ;④ ;⑤ .其中正确的结论有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 如图是抛物线 的部分图象,其顶点坐标为 ,且与 轴的一个交点在点 和 之间,则下列结论:
① ;
② ;
③ ;
④一元二次方程 有两个不相等的实根.
其中正确结论的个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 如图,抛物线 的对称轴为直线 ,与 轴的一个交点坐标为 ,其部分图象如图所示,下列结论:
① ;
②方程 的两个根是 ,;
③ ;
④当 时, 的取值范围是 ;
⑤当 时, 随 增大而增大;
其中结论正确的个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 已知抛物线 的顶点为 ,与 轴的一个交点在 和 之间,其部分图象如图,则以下结论:
;
;
;
方程 一定有实数根,
其中正确的结论为
A. B. C. D.
9. 二次函数 的部分图象如图所示,图象过点 ,对称轴为直线 ,下列结论:(1);(2);(3);(4)若点 、点 、点 在该函数图象上,则 ;(5)若方程 的两根为 和 ,且 ,则 .其中正确的结论有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10. 二次函数 ()的图象如图,给出下列四个结论:① ② ;③ ;④ ,
其中错误的结论是
A. ① B. ② C. ③ D. ④
11. 二次函数 的图象如图,给出下列四个结论:
① ;
② ;
③ ;
④ .
其中正确结论的个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题
12. 如图,抛物线 与 轴交于点 ,,下列判断:
① ;② ;③ ;④ .
其中判断一定正确的序号是 .
13. 已知二次函数 的图象如图所示,则下列 个结论正确的有 个.
① ;② ;③ ;④对于任意 均有 ;⑤ ;⑥ ;⑦当 时, 随着 的增大而减小.
14. 如图,是二次函数 的图象的一部分,给出下列命题:① ;② ;③ 的两根分别为 和 ;④ .其中正确的命题是 .(只要求填写正确命题的序号)
15. 小明从二次函数 的图象(如图)中观察得出了下面五条信息:① ;② ;③ ;④ ;⑤ .你认为其中正确的信息是 .
三、解答题
16. 如图,已知抛物线 与一直线相交于 , 两点,与 轴交于点 .其顶点为 .
(1)抛物线及直线 的函数关系式;
(2)设点 ,求使 的值最小时 的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线 相交于点 , 为直线 上的任意一点,过点 作 交抛物线于点 ,以 ,,, 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点 的坐标;若不能,请说明理由.
答案
第一部分
1. B 2. A 3. B 4. B 【解析】 抛物线开口向上,
,
对称轴在 轴右侧,
, 异号即 ,
抛物线与 轴的交点在负半轴,
,所以 ,故①正确.
② ,,
,故②错误.
③ 对称轴 ,,
,
,故③正确.
④ 二次函数 的图象与 轴的两个交点分别在原点的左右两侧,即方程 有两个解 ,,当 时,,,故④正解.
⑤由图形可知 时,,故⑤错误.
⑥ ,对称轴 ,
当 时, 随 增大而增大,故⑥错误.
综上所述,正确的结论是①③④,共 个.
5. C
6. C 7. B 8. C 【解析】因为抛物线与 轴有两个交点,
所以 ,所以 正确;
因为抛物线的顶点为 ,
所以 ,
因为抛物线的对称轴为直线 ,
所以 ,
所以 ,即 ,所以 正确;
因为抛物线的对称轴为直线 ,
因为抛物线与 轴的一个交点 在点 和 之间,
所以抛物线与 轴的另一个交点在点 和 之间,
所以当 时,,
所以 ,所以 正确;
因为抛物线的顶点为 ,
因为当 时,二次函数有最大值为 ,
所以方程 有两个相等的实数根,
因为 ,
所以方程 没有实数根,所以 错误
9. B 【解析】(1)正确.
,
.
(2)错误.
时,,
,
.
(3)正确.
由图象可知抛物线经过 和 ,
解得
,
,
.
(4)错误.
点 、点 、点 ,
,,
,
点 离对称轴的距离近,
,
,,
,
.
(5)正确.
,
,
即 ,
故 或 .
正确的有三个.
10. C
【解析】①根据图象与 轴有 个交点,可知 ,①正确;
②根据 时, 和对称轴是 ,
可知 ,,②正确;
③根据 时,,可知 ,③错误;
④根据当 时, 有最大值 ,
可知 ,,④正确.
11. B 【解析】∵抛物线和 轴有两个交点,
∴ ,
∴ .
∵对称轴是直线 ,和 轴的一个交点在点 和点 之间,
∴抛物线和 轴的另一个交点在 和 之间,
∴把 代入抛物线得:,
∴ .
∵把 代入抛物线得:,
∴ ,
∵ ,
∴ ,∴③正确;
∵抛物线的对称轴是直线 ,
∴ 的值最大,
即把 代入得:,
∴ ,
即 .
第二部分
12. ①②
13.
14. ①③
【解析】图象过点 故①正确;根据函数对称轴可知②错误,③正确;函数图象开口向上则 ,故④错误
15. ①②③⑤
【解析】 抛物线开口方向向上,
.
与 轴交点在 轴的下方,
.
,
.
,
.
,.
由此看来①②是正确的,而④是错误的;
当 ,,
而点 在第二象限,
③ 是正确的;
当 时,,
而点 在第一象限,
⑤ 正确.
第三部分
16. (1) 由抛物线 过点 及 ,得
解得
抛物线为 .
设直线为 ,过点 及 得
解得
直线 为 .
(2) 作 点关于直线 的对称点 .则 ,连接 .
由(1)得 ,
直线 的函数关系式为 .
当 在直线 上时, 的值最小,则 .
(3) 由(1),(2)得 ,.
点 在直线 上,设 .
(i)当点 在线段 上时,点 在点 上方,则 .
在抛物线上,
,
解得 或 .
.
(ii)当点 在线段 (或 )延长线上时,点 在点 下方,则 ,由 在抛物线上,
.
解得 或 .
或 .
满足条件的点 为 或 或 .