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- 2021-05-13 发布
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中考复习3 因式分解
知识考点:
因式分解是代数的重要内容,它是整式乘法的逆变形,在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等变形中有直接应用。重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解,以提高综合解题能力。
精典例题:
【例1】分解因式:
(1)
(2)
(3)
(4)
分析:①因式分解时,无论有几项,首先考虑提取公因式。提公因式时,不仅注意数,也要注意字母,字母可能是单项式也可能是多项式,一次提尽。
②当某项完全提出后,该项应为“1”
③注意,
④分解结果(1)不带中括号;(2)数字因数在前,字母因数在后;单项式在前,多项式在后;(3)相同因式写成幂的形式;(4)分解结果应在指定范围内不能再分解为止;若无指定范围,一般在有理数范围内分解。
答案:(1); (2);
(3); (4)
【例2】分解因式:
(1)
(2)
(3)
分析:对于二次三项齐次式,将其中一个字母看作“末知数”,另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后,由余下因式的项数为3项,可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解;如果项数为2,可考虑平方差、立方差、立方和公式。(3)题无公因式,项数
为2项,可考虑平方差公式先分解开,再由项数考虑选择方法继续分解。
答案:(1);(2);(3)
【例3】分解因式:
(1);
(2)
(3)
分析:对于四项或四项以上的多项式的因式分解,一般采用分组分解法,。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组,五项式一般采用“三、二”分组,分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。
答案:(1)(三、一分组后再用平方差)
(2)(三、二分组后再提取公因式)
(3)(三、二、一分组后再用十字相乘法)
【例4】在实数范围内分解因式:
(1);
(2)
答案:(1)
(2)
【例5】已知、、是△ABC的三边,且满足,求证:△ABC为等边三角形。
分析:此题给出的是三边之间的关系,而要证等边三角形,则须考虑证,从已知给出的等式结构看出,应构造出三个完全平方式,即可得证,将原式两边同乘以2即可。
略证:
∴
即△ABC为等边三角形。
探索与创新:
【问题一】
(1)计算:
分析:此题先分解因式后约分,则余下首尾两数。
解:原式=
=
=
(2)计算:
分析:分解后,便有规可循,再求1到2002的和。
解:原式=
=2002+2001+1999+1998+…+3+1
=
=2 005 003
【问题二】如果二次三项式(为整数)在整数范围内可以分解因式,那么 可以取那些值?
分析:由于为整数,而且在整数范围内可以分解因式,因此可以肯定能用形如型的多项式进行分解,其关键在于将-8分解为两个数的积,且使这两个数的和等于,由此可以求出所有可能的的值。
答案:的值可为7、-7、2、-2
跟踪训练:
一、填空题:
1、;;= 。
2、分解因式:
= ;
= ;
= 。
3、计算:1998×2002= ,= 。
4、若,那么= 。
5、如果为完全平方数,则= 。
6、、满足,分解因式= 。
二、选择题:
1、把多项式因式分解的结果是( )
A、 B、 C、 D、
2、如果二次三项式可分解为,则的值为( )
A、-1 B、1 C、-2 D、2
3、若是一个完全平方式,那么的值是( )
A、24 B、12 C、±12 D、±24
4、已知可以被在60~70之间的两个整数整除,则这两个数是( )
A、61、63 B、61、65 C、61、67 D、63、65
三、解答题:
1、因式分解:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2、已知,求的值。
3、计算:
4、观察下列等式:
……
想一想,等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系?猜一猜可引出什么规律?用等式将其规律表示出来: 。
5、已知、、是△ABC的三边,且满足,试判断△ABC的形状。
阅读下面解题过程:
解:由得:
①
②
即 ③
∴△ABC为Rt△。 ④
试问:以上解题过程是否正确: ;若不正确,请指出错在哪一步?(填代号) ;错误原因是 ;本题的结论应为 。
参考答案
一、填空题:
1、,,;2、,,
3、3 999 996 610;4、0;5、10或4;6、
二、选择题:DADD
三、解答题
1、(1); (2)
(3); (4)
(5)
2、
3、5050
4、
5、不正确,③,等式两边除以了可能为零的数,等腰或直角三角形。