2014备考 志鸿优化设计中考总复习数学人教版湖南专用单元检测三附答案含解析 6页

单元检测三　函数及其图象 (时间：120 分钟　总分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．在平面直角坐标系中，点 P(3，－x2－1)所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若反比例函数 y＝k x的图象经过点(－1,2)，则这个函数的图象一定经过点(　　) A．(2，－1) B．(－1 2，2) C．(－2，－1) D．(1 2，2 ) 3．如果一次函数 y＝kx＋b 的图象经过第一象限，且与 y 轴负半轴相交，那么(　　) A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 4．在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子 800 米耐力测试中，某考点同时起跑 的小 莹和小梅所跑的路程 s(米)与所用时间 t(秒)之间的函数图象分别为线段 OA 和折线 OBCD．下列说法正确的是(　　) A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C．在起跑后 180 秒时，两人相遇 D．在起跑后 50 秒时，小梅在小莹的前面 5．把抛物线 y＝－x2 向左平移 1 个单位长度，然后向上平移 3 个单位长度，则平移后 抛物线的解析式为(　　) A．y＝－(x－1)2－3 B．y＝－(x＋1)2－3 C．y＝－(x－1)2＋3 D．y＝－(x＋1)2＋ 3 6．矩形面积为 4，长为 y，宽为 x，y 是 x 的函数，其函数图象大致是(　　) 7．如图，A 是反比例函数 y＝k x图象上一点，过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B，点 P 在 x 轴 上，△ABP 的面积为 2，则 k 的值为(　　) [来源:1ZXXK] A．1 B．2 C．3 D．4 8．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离 水面 2 m，水面宽为 4 m．如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是(　　) A．y＝－2x2 B．y＝2x2 C．y＝－1 2x2 D．y＝1 2x2 9．函数 y＝x＋m 与 y＝m x(m≠0)在同一坐标系内的图象如图，可以是(　　) 10．函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，那么关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c－3＝ 0 的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11．在平面直角坐标系中，点 A(1,2)关于 y 轴对称的点为 B(a,2)，则 a＝__________. 12．函数 y＝－ x x－1中自变量 x 的取值范围是__________． 13．如图，l1 反映了某公司的销售收入与销量的关系，l2 反映了该公司产品的销售成本 与销量的关系，当该公司赢利(收入大于成本)时，销售量必须__________． 14．已知关于 x 的一次函数 y＝mx＋n 的图象如图所示，则|n－m|－ m2可化简为 __________． 15．函数 y1＝x(x≥0)，y2＝4 x(x＞0)的图象如图所示，则结论： ①两函数图象的交点 A 的坐标为(2,2)； ②当 x＞2 时，y2＞y1； ③当 x＝1 时，BC＝3； ④当 x 逐渐增大时，y1 随着 x 的增大而增大，y2 随着 x 的增大而减小． 其中正确结论的序号是__________． 16．抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的 2 个正确结论：____ ______，__________.(对称轴方程，图象与 x 轴正半轴、y 轴交点坐标例 外)[来源:Zxxk.Com] 17．在直线 y＝－x－1 上且位于 x 轴下方的所有点，它们的横坐标的取值范围是 ______． 18．对于每个非零自然数 n，抛物线 y＝x2－ 2n＋1 n(n＋1)x＋ 1 n(n＋1)与 x 轴交于 An，Bn 两点， 以 AnBn 表示这两点间的距离，则 A1B1＋A2B2＋…＋A2 011B2 011 的值是__________． 三、解答题(共 66 分) 19．(6 分)在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y＝k x的图象与 y＝3 x的图象关于 x 轴对 称，又与直线 y＝ax＋2 交于点 A(m,3)，试确定 a 的值． 20．(6 分)A 市有某种型号的农用车 50 辆，B 市有 40 辆，现要将这些农用车全部调往 C，D 两县，C 县需要该种农用车 42 辆，D 县需要 48 辆，从 A 市运往 C，D 两县农用车的 费用分别为每辆 300 元和 150 元，从 B 市运往 C，D 两县农用车的费用分别为每辆 200 元 和 250 元． (1)设从 A 市运往 C 县的农用车为 x 辆，此次调运总费用为 y 元，求 y 与 x 的函数关系 式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)若此次调运的总费用不超过 16 000 元，有哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？ 并求出最小费用． 21．(8 分)如图，一次函数 y＝ax＋b 的图象与反比例函数 y＝k x的图象相交于 A，B 两点， 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D，点 D 的坐标为(－2,0)，点 A 的横坐标是 2，tan∠CDO＝ 1 2. (1)求点 A 的坐标； (2)求一次函数和反比例函数的解析式； (3)求△AOB 的面积．[来源:学#科#网] 22．(8 分)某单位准备印制一批证书．现有两个印刷厂可供选择．甲厂费用分为制版费 和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用 y(千元)与证书 数量 x(千个)的函数关系图象分别如图中甲、乙所示． (1)请你直接写出甲厂的制版费及 y 甲与 x 的函数解析式，并求出其证书印刷单价． (2)当印制证书 8 千个时，应选择哪个印刷厂节省费用？节省费用多少元？ (3)如果甲厂想把 8 千个证书的 印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证 书最少降低多少元？ 23．(9 分)[探究]在图 1 中，已知线段 AB，CD，其中点分别为 E，F. (1)若 A(－1,0)，B(3,0)，则 E 点坐标为__________； (2)若 C(－2,2)，D(－2，－1)，则 F 点坐标为__________． [归纳]在图 2 中，无论线段 AB 处于坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为 A(a，b)， B(c，d)，AB 中点为 D(x，y)时，则 D 点坐标为________．(用含 a，b，c，d 的代数式 表示) [运用]在图 3 中，一次函数 y＝x－2 与反比例函数 y＝3 x的图象交点为 A，B． (1)求出交点 A，B 的坐标； (2)若以 A，O，B，P 为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点 P 的 坐标． 24．(9 分)阅读下列材料： 题目：已知实数 a，x 满足 a＞2 且 x＞2，试判断 ax 与 a＋x 的大小关系，并加以说 明． 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出 ax 与 a＋x 的差 y＝ax－(a＋x)，再 说明 y 的符号即可． 现给 出如下利用函数解决问题的方法： 简解：可将 y 的代数式整理成 y＝(a－1)x－a，要判断 y 的符号可借助函数 y＝(a－1)x－ a 的图象和性质解决． 参考以上解题思路解决以下问题： 已知 a，b，c 都是非负数，a＜5，且 a2－a－2b－2c＝0，a＋2b－2c＋3＝0. (1)分别用含 a 的代数式表示 4b,4c； (2)说明 a，b，c 之间的大小关系． 25．(10 分)近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分 是 CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中 CO 的浓度达到 4 mg/L，此后 浓度呈直线型增加，在第 7 小时达到最高值 46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的 CO 浓 度成反比例下降．如图，根据题中相关信息回答下列问题． (1)求爆炸前后空气中 CO 浓度 y 与时间 x 的函数关系式，并写出相应自变量的取值 范 围． (2)当空气中的 CO 浓度达到 34 mg/L 时，井下 3 km 的矿工接到自动报警信号，这时他 们至少要以多快的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的 CO 浓度降到 4 mg/L 及以下时，才能回到矿井开展生产自救， 求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井． 26．(10 分)如图，对称轴为直线 x＝7 2的抛物线经过点 A(6,0)和 B(0,4)． (1)求抛物线解析式及顶点坐标． (2)设点 E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线 的平行四边形．求 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范 围． ① OEAF 的面积为 24 时，请判断 OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点 E，使 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说 明理由． 参考答案 一、1.D 2．A　将(－1,2)代入 y＝k x，得 k＝－2，则 y＝－2 x，然后将 A 项的横坐标代入，得 y＝－ 2 2＝－1，可知 A 项符合，其他选项不符合． 3．B　∵当 k＜0，b＜0 时，一次函数 y＝kx＋b 的图象只能过第二、三、四象限，而不 过第一象限，又∵函数图象与 y 轴负半轴相交，∴b＜0，k＞0. 4．D 5．D　将抛物线向左平移 1 个单位长度得到 y＝－(x＋1)2，再向上平移 3 个单位长度得 到 y＝－(x＋1)2＋3. 6．B　7.D 8．C　根据题意设抛物线解析式为 y＝ax 2，点(2，－2)在函数图象上，所以代入 y＝ ax2，得 a＝－1 2， 故解析式为 y＝－1 2x2. 9．B　∵对于 y＝x＋m 中，k＝1＞0， ∴y 随 x 的增大而增大； 又∵当 m＞0 时，y＝m x(m≠0)的图象在第一、三象限内，且 y＝x＋m 的图象与 y 轴交于 正半轴，故知选 B.     10．C　由图象可知，4ac－b2 4a ＝3，可得 b2－4ac＝－12a.而一元二次方程 ax2＋bx＋c－3 ＝0 判别式为 b2－4a(c－3)＝b2－4ac＋12a＝－12a＋12a＝0，所以方程有两相等的实数根． 二、11.－1　12.x≥0，且 x≠1 13．大于 4　从图象上看，销量等于 4 时，销售收入和成本相等；销量大于 4 时，收入 大于成本． 14．n　由图象可知 m＜0，n＞0， ∴|n－m|－ m2＝n－m＋m＝n. 15．①③④　令 y1＝y2，即 x＝4 x，得 x＝±2， ∵x＞0，∴x＝2， ∴交点 A 的坐标为(2,2)，结论①正确；[来源:Z+xx+k.Com] 由两个函数图象可知，当 x＞2 时，函数 y2 在函数 y1 的下方，即当 x＞2 时，y2＜y1，所 以结论②错误； 当 x＝1 时，y1＝1，y2＝4，所以 BC＝y2－y1＝3，结论③正确； 由正比例函数、反比例函数的性质可知，结论④正确． 16．答案不唯一．如①c＝3；②b＋c＝1；③c－3b＝9；④b＝－2；⑤当 x＞－1 时，y 随 x 的增大而减小；⑥当 x＜－1 时，y 随 x 的增大而增大，等等． 17．x＞－1　18.2 011 2 012 三、19.解：由题意，得 k＝－3，即 y＝－3 x，把 A(m,3)代入得 m＝－1，即 A(－1,3)． 将 A(－1, 3)代入 y＝ax＋2，得－a＋2＝3，故 a＝－1. 20．解：(1)根据题意得：y＝300x＋200(42－x)＋150(50－x)＋250(x－2)， 即 y＝200x＋15 400. 又∵Error!且 x 为整数， 解得 2≤x≤42，且 x 为整数． ∴自变量 x 的取值范围是 2≤x≤42，且 x 为整数． (2)∵此次调运的总费用不超过 16 000 元， ∴200x＋15 400≤16 000. 解得 x≤3，∴x 可以取 2,3. 方案一：从 A 市运往 C 县的农用车为 2 辆，从 B 市运往 C 县的农用车为 40 辆，从 A 市运往 D 县的农用车为 48 辆，从 B 市运往 D 县的农用车为 0 辆； 方案二：从 A 市运往 C 县的农用车为 3 辆，从 B 市运往 C 县的农用车为 39 辆，从 A 市运往 D 县的农用车为 47 辆，从 B 市运往 D 县的农用车为 1 辆． ∵y＝200x＋15 400 是一次函数，且 k＝200＞0，y 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝2 时，y 最小，即方案一费用最小． 此时，y＝200×2＋15 400＝15 800. ∴最小费用是 15 800 元． 21．解：(1)过点 A 作 AE 垂直 x 轴于 E，因为 D(－2,0)，E(2,0)，所以 OD＝OE＝2.因为 在 Rt△ADE 中，∠AED＝90°，tan∠ADE＝AE DE，因为 tan∠CDO＝tan∠ADE＝1 2，OD＝2，OE ＝2，所以 AE＝tan∠ADE·DE＝1 2×4＝2，所以 A(2,2)． (2)因为反比例函数 y＝k x过点 A(2,2)，所以 k＝4，所以 y＝4 x.因为一次函数 y＝ax＋b 过 A(2,2)，D(－2,0)，所以Error!解得Error!所以 y＝1 2x＋1. (3)因为4 x＝1 2x＋1，所以 x2＋2x－8＝0，即(x＋4)(x－2)＝0，所以 x1＝－4，x2＝2，所以 B(－4，－1)，所以 S△AOB＝S△AOD＋S△BOD＝1 2×2×2＋1 2×2×1＝3. 22．解：(1)制版费 1 千元，y 甲＝1 2x＋1，证书单价 0.5 元． (2)把 x＝6 代入 y 甲＝1 2x＋1 中得 y 甲＝4. 当 x≥2 时，由图象可设 y 乙与 x 的函数关系式为 y 乙＝kx＋b，由已知得Error!解得Error! 得 y 乙＝1 4x＋5 2. 当 x＝8 时，y 甲＝1 2×8＋1＝5 ，y 乙＝1 4×8＋5 2＝9 2，5－9 2＝0.5(千元)． 即当印制 8 千张证书时，选择乙厂， 节省费用 500 元． (3)设甲厂每个证书的印刷费用应降低 a 元， 8 000a＝500， 解得 a＝0.062 5. 答：甲厂每个证书印刷费最少降低 0.062 5 元． 23．解：[探究](1)(1,0)　(2)(－2，1 2) [归纳](a＋c 2 ，b＋d 2 ) [运用](1)由题意得Error! 解得Error!或Error! ∴即交点的坐标为 A(－1，－3)，B(3,1)． (2)以 AB 为对角线时，由上面的结论知 AB 中点 M 的坐标为(1，－1)．∵平行四边形对 角线互相平分，∴OM＝MP，即 M 为 OP 的中点．∴P 点坐标为(2，－2)．同理可得分别以 OA，OB 为对角线时，点 P 坐标分别为(4,4)，(－4，－4)． ∴满足条件的点 P 有 3 个，坐标分别是(2 ，－2)，(4,4)，(－4，－4)． 24．解：(1)∵a2－a－2b－2c＝0，a＋2b－2c＋3＝0， ∴Error! 消去 b 并整理，得 4c＝a2＋3. 消去 c 并整理，得 4b＝a2－2a－3. (2)∵4b＝a2－2a－3＝(a－3)(a＋1)＝(a－1)2－4， 将 4b 看成 a 的函数，由函数 4b＝(a－1)2－4 的性质结合它的图象(如图 1 所示)，以及 a，b 均为非负数得 a≥3. 又∵a＜5， ∴3≤a＜5. ∵4(b－ a)＝a2－6a－3＝(a－3)2－12， 将 4(b－a)看成 a 的函数，由函数 4(b－a)＝(a－3)2－12 的性质结合它的图象(如图 2 所 示)可知，当 3≤a＜5 时，4(b－a)＜0. ∴b＜a. ∵4(c－a)＝a2－4a＋3＝(a－1)(a－3)，a≥3， ∴4(c－a)≥0. ∴c≥a.∴b＜a≤c.[来源:学*科*网] 25．解：(1)∵爆炸前浓度呈直线型增加， ∴可设 y 与 x 的函数关系式为 y＝k1x＋b. 由图象知 y＝k1x＋b 过点(0,4)与(7,46)， ∴Error!解得Error! ∴y＝6x＋4，此时自变量 x 的取值范围是 0≤x≤7. ∵爆炸后浓度成反比例下降， ∴可设 y 与 x 的函数关系式为 y＝k2 x . 由图象知 y＝k2 x 过点(7,46)，∴k2 7＝46，∴k2＝322， ∴y＝322 x ，此时自变量 x 的取值范围是 x＞7. (2)当 y＝34 时，由 y＝6x＋4 得 6x＋4＝34，x＝5. ∴撤离的最长时间为 7－5＝2(h)． ∴撤离的最小速度为 3÷2＝1.5(km/h)． (3)当 y＝4 时，由 y＝322 x 得 x＝80.5,80.5－7＝73.5(h)． ∴矿工至少在爆炸后 73.5 小时才能下井． 26．解：(1)由抛物线的对称轴是 x＝7 2，可设解析式为 y＝a(x－7 2 )2＋k， 把 A，B 两点坐标代入上式，得Error! 解得 a＝2 3，k＝－25 6 ，故抛物线解析式为 y＝2 3(x－7 2 )2－25 6 ，顶点为(7 2，－25 6 ). (2)∵点 E(x，y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合 y＝2 3(x－7 2 )2－25 6 ， ∴y＜0，即－y＞0，－y 表示点 E 到 OA 的距离． ∵OA 是 OEAF 的对角线， ∴S＝2S△OAE＝2×1 2×OA·|y|＝－6y＝－4(x－7 2 )2＋25. ∵抛物线与 x 轴的两个交点是(1,0)和(6,0)， ∴自变量 x 的取值范围是 1＜x＜6. ①根据题意，当 S＝24 时，即－4(x－7 2 )2＋25＝24， 化简，得 (x－7 2 )2＝1 4，解得 x1＝3，x2＝4， 故所求的点 E 有两个，分别为 E1(3，－4)，E2(4，－4)， 点 E1(3，－4)满足 OE＝AE，此时 OEAF 是菱形； 点 E2(4，－4)不满足 OE＝AE，此时 OEAF 不是菱形． ②当 OE⊥EA，且 OE＝EA 时， OEAF 是正方形，此时点 E 的坐标只能是(3，－3)， 而坐标为(3，－3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E，使 OEAF 为正方形．     