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  • 2021-05-13 发布

2017中考射影定理及其运用

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相似三角形------射影定理的推广及应用 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理,尽管义务教材中没有列入,但在几何证明及计算中应用很广泛,若能很好地掌握并灵活地运用它,常可取到事半功倍的效果。一般地,若将定理中的直角三角形条件非直角化,亦可得到类似的结论,而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路,熟练地掌握并巧妙地运用,定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时,“柳暗花明又一村”地迎刃而解。‎ 一、射影定理 ‎  射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项;且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 ‎ ‎ 如图(1):Rt△ABC中,若CD为高,‎ 则有CD2=BD•AD、‎ BC2=BD•AB或 AC2=AD•AB。‎ 二、变式推广 ‎  1.逆用  如图(1):若△ABC中,CD为高,且有DC2=BD•AD或AC2=AD•AB或BC2=BD•AB,则有∠DCB=∠A或∠ACD=∠B,均可等到△ABC为直角三角形。‎ ‎    ‎ ‎  2.一般化,若△ABC不为直角三角形,当点D满足一定条件时,类似地仍有部分结论成立。(后文简称:射影定理变式(2))‎ ‎   如图(2):△ABC中,D为AB上一点,若∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A,则有△CDB∽△ACB,可得BC2=BD•AB;反之,若△ABC中,D为AB上一点,且有BC2=BD•AB,则有△CDB∽△ACB,可得到∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A。‎ ‎       ‎ 三、应用 例1 如图(3),已知:等腰三角形ABC中,AB=AC,高AD、BE交于点H,求证:4DH•DA=BC2‎ 分析: 易证∠BAD=∠CAD=900-∠C=∠HBD,联想到射影定理变式(2),可得BD2=DH•DA,又BC=2BD,故有结论成立。‎ ‎(证明略)‎ ‎  ‎ 例2 如图(4):已知⊙O中,D为弧AC中点,过点D的弦BD被弦AC分为4和12两部分,‎ 求DC。‎ ‎  分析:易得到∠DBC=∠ABD=∠DCE,满足射影定理变式(2)的条件,故有CD2=DE•DB,易求得DC=8‎ ‎  (解略)‎ 例3 已知:如图(5),△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AB于点E,交AD于点H,交AC于点G,交BC的延长线于点F,‎ ‎    求证:DF2=CF•BF。‎ ‎    证明:连AF, ∵FH垂直平分AD, ‎ ‎      ∴FA=FD, ∠FAD=∠FDA,‎ ‎      ∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,‎ ‎      ∴∠FAD-∠CAD=∠FDA-∠BAD,‎ ‎      ∵∠B=∠FDA-∠BAD,‎ ‎      ∴∠FAC=∠B,又∠AFC公共,‎ ‎      ∴△AFC∽△BFA,∴=,‎ ‎∴AF2=CF•BF,∴DF2=CF•BF。‎ 射影定理练习 ‎【选择题】‎ ‎1、已知直角三角形中,斜边AB=5cm,BC=2cm,D为AC上的一点,交AB于E,且AD=3.2cm,则DE= ( )‎ A、1.24cm B、1.26cm C、1.28cm D、1.3cm ‎2、如图1-1,在Rt中,CD是斜别AB 上的高,在图中六条线段中,你认为只要知道( )线段的长,就可以求其他线段的长     ‎ A、1     B、2     C、3      D、4‎ ‎ ‎ ‎3、在Rt中,,于点D,若,则(   )‎ A、    B、     C、    D、‎ ‎【填空题】‎ ‎5、中,,于点D,AD=6,BD=12,则CD=   ,AC= ‎ ‎ ,= 。‎ ‎6、如图2-1,在Rt中,,,AC=6,AD=3.6,则BC=    .‎ ‎【解答题】‎ ‎7、已知CD是的高,,如图3-1,求证:‎ ‎8、已知,,,是正三角形,求证:‎ ‎10、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,点M在CD上,DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.求证: (1)△AED∽△CBM; (2)AE•CM=AC•CD .‎ ‎11、已知:如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,过点B做射线BG,交AD、AC于E、F两点,与过点C平行于AB的直线交于点G。‎ ‎ 求证: (1)BE2=EF•EG ‎ (2)若过点B的射线交ADAC 的射线AD、AC的延长线分别于E、F两点,与过C平行于AB的直线交于点G,则()的结论是否成立,若成立,请说明理由。‎ ‎ ‎