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- 2021-05-13 发布
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数学(一)参考答案及评分标准
一、选择题(每题3分,共24分)
1.A 2.C 3.D 4.D 5.A 6.B 7.C 8.B
二、填空题(每题3分,共21分)
9. 3 10. 30(或30°) 11.4 12.8 13. 14. 15. 或5
三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)
16.解:原式=•……………………… 2分
=-,……………………… 4分
方程变形得:(x-1)(x-3)= 0,[或用配方法:(x-2)2 =1] …………5分
解得:x=1或x=3,……………………… 6分
当x=1时,原式没有意义,舍去,()…………………7分
当x=3时,原式=-.……………………… 8分
17.解:(1)①△ODE≌△BOF;②△BOM≌△DON;③△ABD≌△CDB;④△AME≌△CFN;
⑤△MBF≌△NDE;(写对2个得一分,写出4个得2分)……………… 2分[来#@源%:中&^教网]
选法不唯一.但策略上能赢得时间.
如选①△DOE≌△BOF;[来~#源%*:^中国教育出版网]
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠EDO=∠FBO,∠E=∠F.……………………… 4分[中国~教育出@*版&网%]
又∵OD=OB,
∴△DOE≌△BOF(AAS).………………………5分[来源:中%^国#教育出~版网&]
选②△BOM≌△DON.[来源:中%^国教育出~版网#&]
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD.
∴∠MBO=∠NDO,∠BMO=∠DNO.
又∵BO=DO,
∴△BOM≌△DON(AAS).[来源~%:zz#st*ep.co&m]
选③△ABD≌△CDB.[来源&:中教网@*#^]
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AB=CD.
又∵BD=DB,
∴△ABD≌△CDB(SSS).[来源:中国教^育出&版@网~*]
(2)绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到.……………… 7分
(因为平行四边形是中心对称图形,各对全等三角形中的一个都是以其中一个三角形绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到.)[来@源*:中%&教#网]
(3)问题有多种.如①求证:∠AME=∠CNF;②本题蕴含了哪些数学思想?等等.
……………………… 9分[来#%源:中国教育&出版^网@]
点评: 本题考了全等三角形和平行四边形的性质和中心对称图形,比较容易.(1)的开放性(不限制证明△ODE≌△BOF),增加题目的“含金量”.
18. 解:(1)A组的频数是: 2;…………………… 2分
调查样本的容量是: 50 ;……………………… 4分
(2)C组的频数是:50×40%=20,
D组的频数是:50×28%=41
E组的频数是:50×8%=4 ……………5分
如图.…………………7分[ww#w%.zzstep^.c*om~]
(注:看图只被C组2分, 注明A、D、E频数1分)
(3)∵1500×(28%+8%)=540,
∴全社区月信息消费额不少于300元的户数是540户.…………………9分
19.(1)∵AB∥CD ∴∠ABC+∠BCD=180°………………… 1分
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G,
∴BO平分∠ABC,CO平分∠DCB,………………… 2分[来源%&:#中国教育出版~网*]
∴∠OBC= ,∠OCB= ,………………… 3分[来源%:#zzstep.&c^om*]
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠DCB)= ×180°=90°,………4分
∴∠BOC=90°,
∴BO⊥CO.………………… 5分
[中&国教育#*~出^版网]
(2)解:连接OF,则OF⊥BC,
∴Rt△BOF∽Rt△BCO,
∴ = ,………………… 6分
∵在Rt△BOF中,BO=6,CO=8,
∴BC= =10,
∴ = ,∴BF=3.6,…………………7分
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切,
∴BE=BF=3.6,CG=CF,…………………8分
∵CF=BC﹣BF=10﹣3.6=6.4.
∴CG=CF=6.4.………………… 9分
(1)证法二:连接OE、OF、 OG,
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G,
∴OE⊥AB,OG⊥DC,OF⊥BC,且OE=OG=OF……………1分
∵AB∥CD ∴EG是⊙O的直径………………… 2分
∴Rt△BOE≌Rt△BOF,Rt△COG≌Rt△COF,
∴∠EOB =∠FOB,∠GOC=∠FOC ………………… 3分
∴∠EOB+∠GOC=(∠FOB+∠FOC)=∠BOC ,
∴∠BOC = ×∠EOG = ×180°=90°,
∴BO⊥CO.………………… 5分
(2)解法二:在Rt△BOF中,BO=6,CO=8,[w#ww.zzs%~@tep^.com]
∴BC= =10,………………… 6分
∵OF⊥BC,∴OF ==………………7分[来源:~中@国^教#育%出版网]
在Rt△OEB中,BO=6,EO= ,
∴EB= = (=3.6) ………………… 8分
在Rt△OGC中,CO=8,GO= ,
∴GC= = (=6.4) ………………… 9分
20.解:如图所示,…………… 2分
AB代表小明所处位置到地面的距离,即米,
CD代表“中原第一高楼”的高,………………… 3分
作AE⊥CD于点E.[中国教育*出&@^#版网]
由题意可知,四边形ABD E是矩形,所以米.
在Rt△ADE中,∵,,
∴,∴ .…………… 5分
在Rt△AEC中,∵,,
∴,∴,…………… 7分
∴(米),
∴“中原第一高楼”高米. ……………9分
21.解:(1)设每件甲种玩具的进价为x元,乙种为y元,…………1分
由题意得,……………………………………2分
解得,……………………………………3分
答:件甲种玩具的进价是30元,每件乙种玩具的进价是27元;………4分
(2)当0<x≤20时,y=30x;…………………5分
当x>20时,y=20×30+(x﹣20)×30×0.7=21x+180;………………7分
(3)当x>20时,因为购进玩具x件甲种需要花费(21x+180)元,
而购乙种玩具x件需要花费27x元;
当27x=21x+180,则x=30
所以当购进玩具正好30件,购甲种、乙种玩具费用一样,选购其中一种即可;[来源:中国教*#育^&出版%网]
……………………………………8分
当x>30, 27x>21x+180
即当购进玩具超过30件,选择购甲种玩具省钱;…………………9分
当x<30,则27x<21x+180
即当购进玩具少于30件,选择购乙种玩具省钱.…………………10分[www.zz&^s#tep.c*om~]
点评: 此题考查二元一次方程组,一次函数,一元一次不等式的运用,理解题意,正确劣势解决问题.
22. 解:(2)AE=CD,AE⊥CD,
证明:设CD分别交AE、AB于K、O,[ww*&w.zzste^#p.c@om]
∵∠DBE=∠ABC=90°,
∴∠DBE+∠ABD=∠ABC+∠ABD,即∠ABE=∠DBC,
在△AEB和△CDB中,
∴△AEB≌△CDB(SAS)………………………………2分
∴AE=CD,∠EAB=∠DCB……………………………3分
∵∠DCB+∠COB=90°,∠AOK=∠COB
∴∠AOK+∠OAK=90°
∴∠AKC=90°∴AE⊥CD.………………………………5分
(3)AE= CD,(或CD=kAE)AE⊥CD,………………………………6分
证明:设CD分别交AE、AB于K、O,
在△AEB和△CDB中,[来&源:中教^@*#网]
∵BC=kAB,DB=kEB,
∴ = = ,………………………………7分
∵∠DBE=∠ABC=90°,[中国教@&育出*版网~#]
∴∠DBE+∠ABD=∠ABC+∠ABD,
∴∠ABE=∠DBC,[w@ww.zzs*&te#p.com~]
∴△AEB∽△CDB,………………………………8分
∴,∠EAB=∠DCB
∴AE= CD,
∵k>1,∴AE≠CD,
∵∠DCB+∠COB=90°,∠AOK=∠COB[中^国教育*~出版网]
∴∠AOK+∠OAK=90°
∴∠AKC=90°∴AE⊥CD.………………………………10分
23.(11分)解:(1)∵点(1, -5)和(-2, 4)在抛物线上
………………………………………2分[中&国教#育^@出*版网]
即…………………………………………………3分
∴抛物线解析式为……………………………………………………4分
(2)如图可知,∵
∴N(m, m),M(m, m2 - 2m - 4) P(m,0)…………………………………5分
由(1)知,
令,得,
即为抛物线与x轴两个交点的横坐标,
∴当,点N在点M的上方
∴MN = yN - yM
= m-(m2 - 2m- 4)[来源^@:~中国教育出版*网&]
= - m2 + 3m + 4…………………7分
(3)存在;
由(2)得MN = - m2 + 3m + 4
联立方程组解得
∴A(-1, -1),B(4, 4) ………………………………8分
作BC⊥MN于点C,则BC=4—m,OP=m,
S= MN•OP+ MN•BC=2(—m2+3m+4)
………………………………10分
∵—2<0,
∴当m= 时,S有最大值………………………………11分[中国教@育出版#~^网*]