全国各地中考数学模拟题分类 直角三角形与勾股定理含答案 13页

直角三角形与勾股定理 一、选择题 ‎1、(2011浙江杭州模拟14)如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处. 已知AB=, ∠B=30°, 则DE的长是( ).‎ A. 6 B. ‎4 C. D. 2‎ 答案：B ‎2.（2011湖北崇阳县城关中学模拟）直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（　　）‎ A. 5 B. C. 7 D. ‎ 答案：A ‎（第3题）‎ ‎3．（2011年杭州市上城区一模）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1 +S3 =4S2，则CD=（ ）‎ A. 2.5‎AB B. 3AB C. 3.5AB D. 4AB 答案：B ‎4．（2011年浙江省杭州市模2）直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（　　）‎ A. 5 B. C. 7 D. ‎ 答案：A 二、填空题B A C D ‎1、（2011年北京四中三模）如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为‎5cm，则正方形A、B、C、D的面积和是 ．‎ 答案：‎25cm2‎ ‎2．（2010－2011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）‎ 如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为3：4：5，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为SA，SB，已知SA+SB=13，则纸片的面积是 .‎ 第2题图 SA SB 答案：36‎ ‎3、(2011浙江杭州模拟15)如图，将含30°角的直角三角尺ABC绕点B顺时针旋转150°后得到△EBD，连结CD.若AB=‎4cm. 则△BCD的面积为　　　　．‎ 答案：‎ 第4题图 A C E D B F ‎30°‎ ‎45°‎ ‎4．(2011年宁夏银川)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=‎14cm，则阴影部分的面积_________cm2．‎ 答案：‎ ‎5.(2011浙江省杭州市8模)如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________；‎ 图2‎ A B C 图1‎ A B C ‎ (第5题图)‎ 答案:76‎ ‎6、（2011年浙江杭州二模）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=‎1.2米，BP=‎1.8米，PD=‎12米， 那么该古城墙的高度是 米.‎ A B P D C C 第6题图 答案：8‎ ‎7、（2011年浙江杭州八模）如图，小明在A时测得某树的影长为‎3米，B时又测得该树的影长为‎12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____米.‎ ‎（第7题）‎ A时 B时 图2‎ A B C 答案：6‎ 图1‎ A B C ‎ 第8题图 ‎8、（2011年浙江杭州八模）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________；‎ 答案：76‎ ‎9. (浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，将边长为的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交于点M、N，DFAB，垂足为D，AD＝1，则重叠部分的面积为 .‎ 答案： ‎ B组 ‎(第1题)‎ ‎1．（ 2011年杭州三月月考）将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MD重合.已知AB=AC=‎8 cm,将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积是 ▲ cm2‎ 答案： ‎ ‎2．（2011年重庆江津区七校联考一模）一元二次方程的两根恰好是一直角三角形的两边长，则该直角三角形的面积为 。‎ 答案： 6或 ‎3、（2011年浠水模拟2）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个 直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_______________；‎ 图2‎ A B C 图1‎ A B C 答案：76‎ ‎4. （2011年杭州市模拟）侧棱长为cm的直三棱柱的三个侧面面积分别为、和，则该棱柱上底面的面积为　　　　　　．‎ 答案：‎ ‎5. （2011年海宁市盐官片一模）已知是直角三角形的三条边，且，斜边上的高为，则下列说法中正确的是 。（只填序号）‎ ‎①；②；‎ ‎③由可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是.‎ 答案：②③‎ ‎6．（2011北京四中一模）在数学活动课上名师带领学生去测量河两岸A，B两处之间的距离，先从A处出发与AB成90°方向，向前走了‎10米到C处，在C处测得∠ACB＝60°(如图所示)，那么A，B之间的距离约为 米（计算结果精确到‎0.1米)‎ 答案：17‎ ‎7. （2011深圳市中考模拟五）等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于 ．‎ 答案: 15°或75°‎ 三、解答题 ‎1、(2011浙江杭州模拟14)‎ 如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．‎ ‎（1）当时，求线段的长；‎ ‎（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由． ‎ ‎（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围；‎ 答案：‎ 解：（1）由Rt△AQM∽Rt△CAD． ……………………………………………2分 ‎∴． 即，∴． …………………………………1分 ‎（2）或或4． ……………………………………………3分 ‎（3）当0＜t＜2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E 由（1）可得． 即QM=2t．∴QE=4-2t．………………………2分 ‎ ∴S△PQC =PC·QE= ………………………………………………1分 ‎ 即 当＞2时，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H.‎ ‎．‎ 由题意得，．‎ ‎∴ ． ∴．‎ ‎∴ ． ∴．‎ ‎∴ 四边形AMQP为矩形． ‎ ‎∴ PQ∥．CH⊥PQ，HF=AP=6- t ‎∴ CH=AD=HF= t-2 …………………………………………………………1分 ‎∴S△PQC =PQ·CH= ………………………………………1分 ‎ 即y=‎ 综上所述 或y= ( 2<<6) …………………1分 ‎2、(2011浙江杭州模拟16)‎ 数形结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即 “以数解形”；或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即 “以形助数”。 ‎ 如浙教版九上课本第109页作业题第2题：如图1，已知在△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，D 为垂足。易证得两个结论：(1)AC·BC = AB·CD (2)AC2= AD·AB ‎（1）请你用数形结合的“以数解形”思想来解：如图2，已知在△ABC中（AC>BC），∠ACB=900，CD⊥AB，D为垂足， CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x2-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长。‎ ‎（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解： 设a、b、c、d都是正数，满足a：b=c：d,且a最大。求证：a+d>b+c（提示：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c，构造图1）‎ 答案：‎ 解：（1）显然，方程x2-14x+48=0的两根为6和8， 1分 又AC>BC ∴AC=8，BC=6 由勾股定理AB=10 △ACD∽△ABC，得AC2= AD·AB ∴AD=6.4 -------------------------------2分 ∵CM平分∠ACB ∴AM：MB=AC：CB 解得，AM=--------------------------------- 1分 ∴MD=AD-AM=-----------------------------1分 ‎（2）解：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c 由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC 2AB·CD=‎2AC·BC -------------------------1分 又勾股定理，得AB2=AC2+BC2 ∴AB2+2AB·CD =AC2+BC2+‎2AC·BC(等式性质) ∴AB2+2AB·CD =（AC+BC）2----------------------1分 ‎∴AB2+2AB·CD+CD2 >（AC+BC）2--------------------2分 ‎∴(AB+CD) 2 >（AC+BC）2 又AB、CD、AC、BC均大于零 ∴AB+CD>AC+BC即a+d>b+c--------------------1分 ‎3. （2011年北京四中中考全真模拟17）如图，有两棵树，一棵高‎10米，另一棵高‎4米，两树相距‎8米. 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？‎ ‎1、探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和 ‎（或差）的有关问题，这种方法称为面积法。请你运用面积法求解下列问题：在等腰三 角形ABC中，AB=AC,BD为腰AC上的高。‎ ‎(1)若BD=h，M时直线BC上的任意一点，M到AB、AC的距离分别为。‎ ① ‎ 若M在线段BC上，请你结合图形①证明：= h； 图①‎ y x E D O F ② 当点M在BC的延长线上时，，h之间的关系为 .‎ ‎（请直接写出结论，不必证明） ‎ ‎（2）如图②，在平面直角坐标系中有两条直线：y = x + 6 ； ：y = -3x+6 ‎ 若上的一点M到的距离是3，请你利用以上结论求解点M的坐标。‎ ‎（1）证明：连结AM ‎①∵, EM⊥AB , MF⊥AC, BD⊥AC ‎ ‎∴AC.h = AB. + AC.‎ y x E D O F 又∵AB = AC ‎ ‎∴h = + ………………………………………………2分 ‎② - = h ………………………………………………3分 ‎（2）由题意可知，DE = DF =10,‎ ‎∴△EDF是等腰三角形。………………………………………4分 当点M在线段EF上时，依据（1）中结论，‎ ‎∵h = EO=6，∴M到DF（即x轴）的距离也为3.‎ ‎∴点M的纵坐标为3，此时可求得M(1,3)……………………6分 当点M在射线FE上时，依据（1）中结论 ‎∵h = EO=6，∴M到DF（即x轴）的距离也为9.‎ ‎∴点M的纵坐标为9，此时可求得M(-1,9)………………………………8分 故点M的坐标为(1,3)或(-1,9)‎ ‎4、（2011年江苏盐都中考模拟）‎ 解：原式=（4分）‎ ‎5．（2011年黄冈中考调研六）(满分14分) 如图,以等边△OAB的边OB所在直线为x轴,点O为坐标原点,使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动,点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止。‎ x y O A B x y O A B x y O A B ① 点A坐标为_____________，P、Q两点相遇时交点的坐标为________________;‎ ② 当t=2时，____________;当t=3时，____________;‎ ③ 设△OPQ的面积为S，试求S关于t的函数关系式;‎ ④ 当△OPQ的面积最大时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是Rt△，若能找到请求出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由。‎ 答案．‎ (1) A点坐标为、交点坐标为（‎ (2) 当t=2时，； 当t=3时，‎ (1) (2) 对（3）中的分段函数进行计算后得知当t=2，S有最大值，此时P与A重合，OP=6，OQ=4，过P作PC⊥OB于C点，计算得OC=3，AC=，CQ=1，PQ=‎ ① 如图①，过P作PM⊥PQ交y轴于M点，过M作MN⊥AC于N，则MN=OC=3，易得Rt△PMN∽△QPC，有即，得PN=，MO=NC=‎ 故M点坐标为 ② 过Q作MQ⊥PQ交y轴于M点，通过△MOQ∽△QCP，求得M坐标为 ③ 以PQ为直径作⊙D，则⊙D半径r为，再过P作PE⊥y轴于E点，过D作DF⊥y轴于F点，由梯形中位线求得DF=，显然r＜DF，故⊙D与y同无交点，那么此时在y轴上无M点使得△MPQ为直角三角形.‎ 综上所述，满足要求的M点或 ‎6. (2011浙江省杭州市8模)（本题满分8分）某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”。小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心（即图中的C处）固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上作些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去。小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O，过点O的木杆CD长为260㎝,OA、OB为圆弧的半径长为90㎝（作为木杆的支架），且OA、OB关于CD对称，弧AB的长为30㎝。当木杆CD向右摆动使点B 落在地面上（即圆弧与直线l相切于点B）时，木杆的顶端点D到直线l的距离DF是多少㎝？‎ O A B D l A C C D E B F O 解：由弧AB的长可得，∠AOB＝60°，‎ 从而∠BOE＝∠COB＝30°，（2分）‎ ‎∵OB＝‎90cm，‎ ‎∴OE＝cm，（2分）‎ ‎∴DE＝170+ cm， （2分）‎ ‎∴DF＝180+ cm （2分）‎ ‎7.（2011广东南塘二模）如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟‎30m B C A 东 西 ‎45°‎ ‎60°‎ 的速度沿着仰角为60°的方向上升，20分钟后升到B处，这时 气球上的人发现在A的正西方向俯角为45°的C处有一着火点，‎ 求气球的升空点A与着火点C的距离（结果保留根号）.‎ 答案：过B作BD⊥CA于D，‎ 则AB＝‎600m，AD＝‎300m，BD＝CD＝‎300‎m，CA＝300(－1)m。‎ ‎8. （2011深圳市全真中考模拟一）△ABC中，BC＝，AC＝，AB＝c．若，如图l，根据勾股定理，则。若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．‎ 答案：解：若△ABC是锐角三角形，则有 …… (1分)‎ ‎ 若△ABC是钝角三角形，为钝角，则有。 (2分)‎ ‎ 当△ABC是锐角三角形时，‎ 证明：过点A作ADBC，垂足为D，设CD为，则有BD＝……（3分）‎ 根据勾股定理，得 即。‎ ‎∴…………………………（5分）‎ ‎∵，‎ ‎∴。‎ ‎∴。…………………………（6分）‎ 当△ABC是钝角三角形时，‎ 证明：过B作BDAC，交AC的延长线于D。‎ 设CD为，则有…………………………（7分）‎ 根据勾股定理，得．‎ 即。…………………………（9分）‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴。…………………………（10分）‎