重庆市中考数学一轮复习几何初步等腰三角形试题 10页

第四节 等腰三角形 课标呈现 指引方向 ‎1．了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。‎ ‎2．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。‎ ‎3．探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。‎ ‎4．理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。‎ 考点梳理 夯实基础 ‎1．等腰三角形的性质 ‎（1）等腰三角形的两底角 ，简称为“等边对 ”‎ ‎ 【答案】相等 　　等角 ‎（2）等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高线 ；‎ ‎ 【答案】三线合一 ‎（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 ．‎ ‎ 【答案】底边的垂直平分线 ‎2．等腰三角形的判定 ‎（1）有两边相等的三角形是等腰三角形；‎ ‎（2）如果一个三角形有 相等，那么这个三角形是等腰三角形，简称为“等角对 ”．‎ ‎ 【答案】两角 等边 ‎3．等边三角形的性质 ‎（1）等边三角形的三个内角都 ，且都等于 ．‎ ‎ 【答案】相等 60° ‎ ‎（2）等边三角形的每条边上都有 ；‎ ‎ 【答案】三线合一 ‎（3）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有 条．‎ ‎ 【答案】3‎ ‎4．等边三角形的判定 ‎（1） 相等的三角形是等边三角形；‎ ‎ 【答案】三边 ‎（2）有两个角是 的三角形是等边三角形；‎ ‎ 【答案】60°‎ ‎（3）有一个角为 的等腰三角形是等边三角形．‎ ‎ 【答案】60°‎ ‎5．角平分线的性质和判定 ‎（1）性质：角平分线上的点到角两边的 ．‎ ‎ 【答案】距离相等 ‎（2）判定：到角两边距离相等的点在这个角的 ．‎ ‎ 【答案】角平分线上 ‎6．线段的垂直平分线的性质和判定定理 ‎（1）性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离 ．‎ ‎ 【答案】相等 ‎（2）判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．‎ 考点精析 专项突破 考点一 等腰三角形的性质和判定 ‎【例1】（1）（2016泰安）如图，在△PAB中，PA＝PB，M、N、K分别是边PA、PB、AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（ ）‎ ‎ A．44° B．66° C．88° D．92°‎ ‎【答案】D 解题点拨：通过题中所给的条件AM＝BK，BN＝AK，以及由PA＝PB，可证∠A＝∠B所以△AKM≌△BNK，得到对应角相等，再利用外角等于不相邻的两个内角和，便可求出∠A与∠MKN相等，最后由三角形的内角和求出∠P的度数．‎ ‎（2）（2015巴中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连接DH，则线段DH的长为 ．‎ ‎【答案】1‎ 解题点拨：由全等三角形的知识可证得△AFC是等腰三角形，所以H为FC中点，再由已知条件可得DH为△CBF的中位线，利用中位线的性质即可求出线段DH的长．‎ 考点二 等边三角形的性质与判定 ‎【例2】如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．‎ ‎（1）证明：AG＝AD;‎ ‎（2）证明：GF＝FC＋AG．‎ 解题点拨：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．‎ 解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠A＝60°，‎ ‎∵DG⊥AC，‎ ‎∴∠AGD＝90°，‎ ‎∵∠ADG＝30°，‎ ‎∴AG＝AD；‎ ‎（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，‎ ‎∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，‎ ‎∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，‎ ‎∴△ADH是等边三角形，‎ ‎∴DH＝AD，‎ ‎∵AD＝CE ‎∴DH＝CE 在△DHF和△ECF中，‎ ‎ ，‎ ‎∴△DHF≌△ECF（AAS），‎ ‎∴HF＝FC，‎ 又∵AG＝GH ‎∴GF＝GH＋HF＝AG＋FC．‎ 课堂训练 当堂检测 ‎1．（2016安顺）已知实数x、y满足，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）‎ A．20或16 B．‎20 C．16 D．以上答案均不对 ‎【答案】B ‎2．（2016武汉）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）‎ A．5 B．‎6 ‎ C．7 D．8‎ ‎【答案】A ‎3．（2016达州）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为　　　　　．‎ ‎【答案】24＋9 ‎4．（2016菏泽）如图，△ACB 和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． ‎ ‎（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，‎ ‎① 求证：AD＝BE；‎ ‎② 求∠AEB的度数．‎ ‎（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE＝2CM＋BN．‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ 图1 ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ M ‎ E ‎ N ‎ 图2 ‎ 解：（1）①证明：∵△ACB 和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，CD＝CE． ‎ ‎∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE．‎ ‎②解：由①得△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE．‎ 在△ABE中，∠AEB＝180°―∠EAB―∠ABE＝180°―∠EAB―∠ABC－∠CBE＝180°―∠EAB―∠ABC－∠CAD＝180°―∠CAB－∠ABC＝180°－50°－50°＝80°．‎ ‎（2）证明：在等腰△DCE中，∵CD＝CE，∠DCE＝120°，CM⊥DE，∴∠DCM＝∠DCE＝60°，DM＝EM．‎ 在Rt△CDM中，DM＝CM·tan∠DCM＝ CM·tan60°＝CM，∴DE＝2CM．‎ 由（1）中②，得∠AEB＝180°―∠CAB－∠ABC＝180°―(180°－120°)＝120°，∴∠BEN＝60°．‎ 在Rt△BEN中，sin∠BEN＝，∴BE＝BN÷sin60°＝BN．‎ 由（1）中①知AD＝BE，∴AD＝BN．‎ ‎∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BN，即AE＝2CM＋BN．‎ 中考达标 模拟自测 A组 基础训练 一、选择题 ‎1．（2016荆门）)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )　　‎ ‎　　A．5 　　　 B．‎6 ‎ 　　　 C．8 　　　　　 D．10‎ ‎ ‎D C B A 第1题图 ‎【答案】C ‎2．（2016黄石）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC ‎＝（　　）‎ A．50° B．100° C．120° D．130°‎ ‎【答案】B．‎ ‎3．（2016荆门）已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋‎2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为( )‎ ‎　　A．7 　　　B．10 　　　　 C．11 　　　　　 D．10或11‎ ‎【答案】D ‎4．（2016扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是 ( ) ‎ A．6 B．‎3 ‎ 　　　 C．2.5 　　　D．2‎ ‎【答案】C 二、填空题 ‎5．（2016资阳）如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是　　　　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎6．（2016乐山）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝ ．‎ ‎【答案】15°‎ ‎7．（2015南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝ ．‎ ‎【答案】52°‎ 三、解答题 ‎8．（2016贺州）如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，求∠AOB的度数．‎ ‎ ‎ 解：如图：AC与BD交于点H．‎ ‎∵△ACD，△BCE都是等边三角形，‎ ‎∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，‎ ‎∴∠DCB＝∠ACE，‎ 在△DCB和△ACE中，，‎ ‎∴△DCB≌△ACE，‎ ‎∴∠CAE＝∠CDB，‎ ‎∵∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，‎ ‎∴∠AOH＝∠DCH＝60°，‎ ‎∴∠AOB＝180°﹣∠AOH＝120°．‎ ‎9．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：BE＝CF．‎ 解：（1）连接DB、DC，‎ ‎∵DG⊥BC且平分BC，‎ ‎∴DB＝DC．‎ ‎∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，‎ ‎∴DE＝DF．∠AED＝∠BED＝∠ACD＝∠DCF＝90°‎ 在Rt△DBE和Rt△DCF中 ‎， ‎ Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），‎ ‎∴BE＝CF．‎ B组 提高练习 ‎10．（2016内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（ ）‎ A． B． C． D．不能确定 ‎【答案】B．．‎ ‎【提示】解：如图，过点A作AG⊥BC于G，连接PA，PB，PC，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠ABC＝60°， BC＝AC＝AB．‎ ‎∴AG＝AB·sin60°＝3×＝‎ ‎∵S△ABC＝BC·PD＋AC·PE＋AB·PF＝BC·AG ‎∴PD＋PE＋PF＝AG＝，‎ ‎11．（2016江西）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　　　　　　．‎ ‎【答案】5或4或5．‎ 解：如图所示：‎ ‎①当AP＝AE＝5时，‎ ‎∵∠BAD＝90°，‎ ‎∴△AEP是等腰直角三角形，‎ ‎∴底边PE＝AE＝5；‎ ‎②当PE＝AE＝5时，‎ ‎∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，‎ ‎∴PB＝，‎ ‎∴底边AP＝；‎ ‎③当PA＝PE时，底边AE＝5；‎ 综上所述：等腰三角形AEP的对边长为5或4或5；‎ ‎12．（2016沈阳）在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为，点B的对应点为D，点C的对应点为E，连接BD，BE．‎ ‎（1）如图，当时，延长BE交AD于点F．‎ ‎①求证：△ABD是等边三角形；‎ ‎②求证：BF⊥AD，AF＝DF；‎ ‎③请直接写出BE的长；‎ ‎（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值．‎ 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．‎ ‎ ‎ 解：（1）①证明：‎ ‎∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE ‎∴AB＝AD，∠BAD＝60°‎ ‎∴△ABD是等边三角形．‎ ‎②证明：由①得△ABD是等边三角形 ‎∴AB＝BD ‎∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE ‎∴AC＝AE，BC＝DE 又∵AC＝BC ‎∴EA＝ED ‎∴点B，E在AD的中垂线上 ‎∴BE是AD的中垂线 ‎∵点F在BE的延长线上 ‎∴BF⊥AD，AF＝DF．‎ ‎③‎ 由②知BF⊥AD，AF＝DF．‎ ‎∴AF＝DF＝3，‎ ‎∵AE＝AC＝5，‎ ‎∴EF＝4，‎ ‎∵在等边三角形ABD中，BF＝AB·sin∠BAF＝6×＝3，‎ ‎∴BE＝BF－EF＝3－4;‎ ‎（2）13‎ 如图所示，‎ ‎∵∠DAG＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，‎ ‎∴∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝∠DAG＋∠DAE＋∠ABC＝180°，‎ 又∠DAG＋∠DAE＋∠BAE＝180°，‎ ‎∴∠BAE＝∠ABC，‎ ‎∵AC＝BC＝AE，‎ ‎∴∠BAC＝∠ABC，‎ ‎∴∠BAE＝∠BAC，‎ ‎∴AB⊥CE，且CH＝HE＝CE，‎ ‎∵AC＝BC，‎ ‎∴AH＝BH＝AB＝3，‎ 则DE＝2CH ＝8，BE ＝5，‎