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- 2021-05-13 发布
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中考数学压轴题总结(动点)
(一) 因动点产生的相似三角形问题
例1,已知抛物线的方程C1: (m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
图1
思路点拨
1.第(3)题是典型的“牛喝水”问题,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.
2.第(4)题的解题策略是:先分两种情况画直线BF,作∠CBF=∠EBC=45°,或者作BF//EC.再用含m的式子表示点F的坐标.然后根据夹角相等,两边对应成比例列关于m的方程.
满分解答
(1)将M(2, 2)代入,得.解得m=4.
(2)当m=4时,.所以C(4, 0),E(0, 2).
所以S△BCE=.
(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.
设对称轴与x轴的交点为P,那么.
因此.解得.所以点H的坐标为.
(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.
由于∠BCE=∠FBC,所以当,即时,△BCE∽△FBC.
设点F的坐标为,由,得.
解得x=m+2.所以F′(m+2, 0).
由,得.所以.
由,得.
整理,得0=16.此方程无解.
图2 图3 图4
②如图4,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,
由于∠EBC=∠CBF,所以,即时,△BCE∽△BFC.
在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得.
解得x=2m.所以F′.所以BF′=2m+2,.
由,得.解得.
综合①、②,符合题意的m为.
例2,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的 点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
,
图1
思路点拨
1.已知抛物线与x轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便.
2.数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长.
3.按照两条直角边对应成比例,分两种情况列方程.
4.把△DCA可以分割为共底的两个三角形,高的和等于OA.
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(4,0)、B(1,0)两点,设抛物线的解析式为,代入点C的 坐标(0,-2),解得.所以抛物线的解析式为.
(2)设点P的坐标为.
①如图2,当点P在x轴上方时,1<x<4,,.
如果,那么.解得不合题意.
如果,那么.解得.
此时点P的坐标为(2,1).
②如图3,当点P在点A的右侧时,x>4,,.
解方程,得.此时点P的坐标为.
解方程,得不合题意.
③如图4,当点P在点B的左侧时,x<1,,.
解方程,得.此时点P的坐标为.
解方程,得.此时点P与点O重合,不合题意.
综上所述,符合条件的 点P的坐标为(2,1)或或.
图2 图3 图4
(3)如图5,过点D作x轴的垂线交AC于E.直线AC的解析式为.
设点D的横坐标为m,那么点D的坐标为,点E的坐标为.所以.
因此.
当时,△DCA的面积最大,此时点D的坐标为(2,1).
(二) 因动点产生的等腰三角形问题
例3,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图1 .
思路点拨
1.第(2)题是典型的“牛喝水”问题,点P在线段BC上时△PAC的周长最小.
2.第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3, 0)两点,设y=a(x+1)(x-3),
代入点C(0 ,3),得-3a=3.解得a=-1.
所以抛物线的函数关系式是y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.
当点P落在线段BC上时,PA+PC最小,△PAC的周长最小.
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.
由,BO=CO,得PH=BH=2.
所以点P的坐标为(1, 2).
图2
(3)点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0).
考点伸展
第(3)题的解题过程是这样的:
设点M的坐标为(1,m).
在△MAC中,AC2=10,MC2=1+(m-3)2,MA2=4+m2.
①如图3,当MA=MC时,MA2=MC2.解方程4+m2=1+(m-3)2,得m=1.
此时点M的坐标为(1, 1).
②如图4,当AM=AC时,AM2=AC2.解方程4+m2=10,得.
此时点M的坐标为(1,)或(1,).
③如图5,当CM=CA时,CM2=CA2.解方程1+(m-3)2=10,得m=0或6.
当M(1, 6)时,M、A、C三点共线,所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0).
图3 图4 图5
例4,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
思路点拨
1.用代数法探求等腰三角形分三步:先分类,按腰相等分三种情况;再根据两点间的距离公式列方程;然后解方程并检验.
2.本题中等腰三角形的角度特殊,三种情况的点P重合在一起.
满分解答
(1)如图2,过点B作BC⊥y轴,垂足为C.
在Rt△OBC中,∠BOC=30°,OB=4,所以BC=2,.
所以点B的坐标为.
(2)因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),
代入点B,.解得.
所以抛物线的解析式为.
(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2, y).
①当OP=OB=4时,OP2=16.所以4+y2=16.解得.
当P在时,B、O、P三点共线(如图2).
②当BP=BO=4时,BP2=16.所以.解得.
③当PB=PO时,PB2=PO2.所以.解得.
综合①、②、③,点P的坐标为,如图2所示.
图2 图3
考点伸展
如图3,在本题中,设抛物线的顶点为D,那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形.
由,得抛物线的顶点为.
因此.所以∠DOA=30°,∠ODA=120°.
(三) 因动点产生的直角三角形问题
例5:在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).
(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;
(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.
思路点拨
1.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标可以知道,反比例函数的解析式就是
.题目中的k都是一致的.
2.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标还可以知道,A、B关于原点O对称,以AB为直径的圆的圆心就是O.
3.根据直径所对的圆周角是直角,当Q落在⊙O上是,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.
满分解答
(1)因为反比例函数的图象过点A(1,k),所以反比例函数的解析式是.
当k=-2时,反比例函数的解析式是.
(2)在反比例函数中,如果y随x增大而增大,那么k<0.
当k<0时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,y随x增大而增大.
抛物线y=k(x2+x+1)=的对称轴是直线. 图1
所以当k<0且时,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.
(3)抛物线的顶点Q的坐标是,A、B关于原点O中心对称,
当OQ=OA=OB时,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.
由OQ2=OA2,得.
解得(如图2),(如图3).
图2 图3
考点伸展
如图4,已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线(k>0)交于A、B和C、D,那么AB与CD互相平分,所以四边形ACBD是平行四边形.
问平行四边形ABCD能否成为矩形?能否成为正方形?
如图5,当A、C关于直线y=x对称时,AB与CD互相平分且相等,四边形ABCD是矩形.
因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上,所以OA与OC无法垂直,因此四边形ABCD不能成为正方形.
图4 图5
例6,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求直线BC的函数表达式;
(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.
①当线段时,求tan∠CED的值;
②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.
温馨提示:考生可以根据第(3)问的题意,在图中补出图形,以便作答.
图1
思路点拨
1.第(1)、(2)题用待定系数法求解析式,它们的结果直接影响后续的解题.
2.第(3)题的关键是求点E的坐标,反复用到数形结合,注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系.
3.根据C、D的坐标,可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形,这样写点E的坐标就简单了.
满分解答
(1)设抛物线的函数表达式为,代入点C(0,-3),得.所以抛物线的函数表达式为.
(2)由,知A(-1,0),B(3,0).设直线BC的函数表达式为,代入点B(3,0)和点C(0,-3),得 解得,.所以直线BC的函数表达式为.
(3)①因为AB=4,所以.因为P、Q关于直线x=1对称,所以点P的横坐标为.于是得到点P的坐标为,点F的坐标为.所以,.
进而得到,点E的坐标为.
直线BC:与抛物线的对称轴x=1的交点D的坐标为(1,-2).
过点D作DH⊥y轴,垂足为H.
在Rt△EDH中,DH=1,,所以tan∠CED.
②,.
图2 图3 图4
考点伸展
第(3)题②求点P的坐标的步骤是:
如图3,图4,先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标,再求出CE的中点F的坐标,把点F的纵坐标代入抛物线的解析式,解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标.
(四) 因动点产生的平行四边形问题
例7,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.
图1
思路点拨
1.把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形,高的和等于AD.
2.用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来.
3.构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形,再用邻边相等列方程验证菱形是否存在.
满分解答
(1)A(1, 4).因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,
代入点C(3, 0),可得a=-1.
所以抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.
(2)因为PE//BC,所以.因此.
所以点E的横坐标为.
将代入抛物线的解析式,y=-(x-1)2+4=.
所以点G的纵坐标为.于是得到.
因此.
所以当t=1时,△ACG面积的最大值为1.
(3)或.
考点伸展
第(3)题的解题思路是这样的:
因为FE//QC,FE=QC,所以四边形FECQ是平行四边形.再构造点F关于PE轴对称的点H′,那么四边形EH′CQ也是平行四边形.
再根据FQ=CQ列关于t的方程,检验四边形FECQ是否为菱形,根据EQ=CQ列关于t的方程,检验四边形EH′CQ是否为菱形.
,,,.
如图2,当FQ=CQ时,FQ2=CQ2,因此.
整理,得.解得,(舍去).
如图3,当EQ=CQ时,EQ2=CQ2,因此.
整理,得..所以,(舍去).
图2 图3
(五) 因动点产生的梯形问题
例8:已知直线y=3x-3分别与x轴、y轴交于点A,B,抛物线y=ax2+2x+c经过点A,B.
(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)记该抛物线的对称轴为直线l,点B关于直线l的对称点为C,若点D在y轴的正半轴上,且四边形ABCD为梯形.
①求点D的坐标;
②将此抛物线向右平移,平移后抛物线的顶点为P,其对称轴与直线y=3x-3交于点E,若,求四边形BDEP的面积.
图1
思路点拨
1.这道题的最大障碍是画图,A、B、C、D四个点必须画准确,其实抛物线不必画出,画出对称轴就可以了.
2.抛物线向右平移,不变的是顶点的纵坐标,不变的是D、P两点间的垂直距离等于7.
3.已知∠DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7,那么点P向右平移到直线x=3时,就停止平移.
满分解答
(1)直线y=3x-3与x轴的交点为A(1,0),与y轴的交点为B(0,-3).
将A(1,0)、B(0,-3)分别代入y=ax2+2x+c,
得 解得
所以抛物线的表达式为y=x2+2x-3.
对称轴为直线x=-1,顶点为(-1,-4).
(2)①如图2,点B关于直线l的对称点C的坐标为(-2,-3).
因为CD//AB,设直线CD的解析式为y=3x+b,
代入点C(-2,-3),可得b=3.
所以点D的坐标为(0,3).
②过点P作PH⊥y轴,垂足为H,那么∠PDH=∠DPE.
由,得.
而DH=7,所以PH=3.
因此点E的坐标为(3,6).
所以.
图2 图3
考点伸展
第(2)①用几何法求点D的坐标更简便:
因为CD//AB,所以∠CDB=∠ABO.
因此.所以BD=3BC=6,OD=3.因此D(0,3).
例9:已知,矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示,点A的坐标为(4,0),点C的坐标为,直线与边BC相交于点D.
(1)求点D的坐标;
(2)抛物线经过点A、D、O,求此抛物线的表达式;
(3)在这个抛物线上是否存在点M,使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形?
若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
思路点拨
1.用待定系数法求抛物线的解析式,设交点式比较简便.
2.过△AOD的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交,可以确定存在三个梯形.
3.用抛物线的解析式可以表示点M的坐标.
满分解答
(1)因为BC//x轴,点D在BC上,C(0,-2),所以点D的纵坐标为-2.把y=-2代入,求得x=3.所以点D的坐标为(3,-2).
(2)由于抛物线与x轴交于点O、A(4,0),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),代入D (3,-2),得.所求的二次函数解析式为.
(3) 设点M的坐标为.
①如图2,当OM//DA时,作MN⊥x轴,DQ⊥x轴,垂足分别为N、Q.由tan∠MON=tan∠DAQ,得.
因为x=0时点M与O重合,因此,解得x=7.此时点M的坐标为(7,14).
②如图3,当AM//OD时,由tan∠MAN=tan∠DOQ,得.
因为x=4时点M与A重合,因此,解得x=-1.此时点M的坐标为.
③如图4,当DM//OA时,点M与点D关于抛物线的对称轴对称,此时点M的坐标为(1,-2).
图2 图3 图4
(六) 因动点产生的面积问题
例10,在平面直角坐标系中,直线与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.
(1)求a、b及sin∠ACP的值;
(2)设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连结PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9∶10?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
图1
思路点拨
1.第(1)题由于CP//y轴,把∠ACP转化为它的同位角.
2.第(2)题中,PD=PCsin∠ACP,第(1)题已经做好了铺垫.
3.△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.
4.两个三角形的面积比为9∶10,要分两种情况讨论.
满分解答
(1)设直线与y轴交于点E,那么A(-2,0),B(4,3),E(0,1).
在Rt△AEO中,OA=2,OE=1,所以.所以.
因为PC//EO,所以∠ACP=∠AEO.因此.
将A(-2,0)、B(4,3)分别代入y=ax2+bx-3,得
解得,.
(2)由,,
得.
所以.
所以PD的最大值为.
(3)当S△PCD∶S△PCB=9∶10时,;
当S△PCD∶S△PCB=10∶9时,.
图2
考点伸展
第(3)题的思路是:△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.
而,
BM=4-m.
①当S△PCD∶S△PCB=9∶10时,.解得.
②当S△PCD∶S△PCB=10∶9时,.解得.
(七)因动点产生的相切问题
例11,A(-5,0),B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD//AB,∠CDA=90°.点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动,运动时间为t秒.
(1)求点C的坐标;
(2)当∠BCP=15°时,求t的值;
(3)以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.
图1
答案 (1)点C的坐标为(0,3).
(2)如图2,当P在B的右侧,∠BCP=15°时,∠PCO=30°,;
如图3,当P在B的左侧,∠BCP=15°时,∠CPO=30°,.
图2 图3
(3)如图4,当⊙P与直线BC相切时,t=1;
如图5,当⊙P与直线DC相切时,t=4;
如图6,当⊙P与直线AD相切时,t=5.6.
图4 图5 图6
(八)因动点产生的线段和差问题
例12,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标;
(2)点P是x轴上的一个动点,过P作直线l//AC交抛物线于点Q.试探究:随着点P的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标.
图1
思路点拨
1.第(2)题探究平行四边形,按照AP为边或者对角线分两种情况讨论.
2.第(3)题是典型的“牛喝水”问题,构造点B关于“河流”AC的对称点B′,那么M落在B′D上时,MB+MD最小,△MBD的周长最小.
满分解答
(1)由y=-x2+2x+3=-(x+1)(x-3)=-(x-1)2+4,
得A(-1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4).
直线AC的解析式是y=3x+3.
(2)Q1(2, 3),Q2(),Q3().
(3)设点B关于直线AC的对称点为B′,联结BB′交AC于F.
联结B′D,B′D与交AC的交点就是要探求的点M.
作B′E⊥x轴于E,那么△BB′E∽△BAF∽△CAO.
在Rt△BAF中,,AB=4,所以.
在Rt△BB′E中,,,所以,.
所以.所以点B′的坐标为.
因为点M在直线y=3x+3上,设点M的坐标为(x, 3x+3).
由,得.所以.
解得.所以点M的坐标为.
图2 图3
考点伸展
第(2)题的解题思路是这样的:
①如图4,当AP是平行四边形的边时,CQ//AP,所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称,点Q的坐标为(2, 3).
②如图5,当AP是平行四边形的对角线时,点C、Q分居x轴两侧,C、Q到x轴的距离相等.
解方程-x2+2x+3=-3,得.所以点Q的坐标为()或 ().