中考数学压轴题动点 19页

中考数学压轴题总结（动点）‎ ‎（一） 因动点产生的相似三角形问题 ‎ 例1，已知抛物线的方程C1： (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．‎ ‎（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；‎ ‎（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；‎ ‎（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ 图1‎ 思路点拨 ‎1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．‎ ‎2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．‎ 满分解答 ‎（1）将M(2, 2)代入，得．解得m＝4．‎ ‎（2）当m＝4时，．所以C(4, 0)，E(0, 2)．‎ 所以S△BCE＝．‎ ‎（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．‎ 设对称轴与x轴的交点为P，那么．‎ 因此．解得．所以点H的坐标为．‎ ‎（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．‎ 由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．‎ 设点F的坐标为，由，得．‎ 解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．‎ 由，得．所以．‎ 由，得．‎ 整理，得0＝16．此方程无解．‎ 图2 图3 图4‎ ‎②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，‎ 由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC．‎ 在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．‎ 解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．‎ 由，得．解得．‎ 综合①、②，符合题意的m为．‎ 例2，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．‎ ‎,‎ 图1‎ 思路点拨 ‎1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．‎ ‎2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．‎ ‎3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．‎ ‎4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．‎ 满分解答 ‎ ‎（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，－2），解得．所以抛物线的解析式为．‎ ‎（2）设点P的坐标为．‎ ‎①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，，．‎ 如果，那么．解得不合题意．‎ 如果，那么．解得．‎ 此时点P的坐标为（2，1）．‎ ‎②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，，．‎ 解方程，得．此时点P的坐标为．‎ 解方程，得不合题意．‎ ‎③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．‎ 解方程，得．此时点P的坐标为．‎ 解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意．‎ 综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或．‎ ‎ ‎ 图2 图3 图4‎ ‎（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．‎ 设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为．所以．‎ 因此．‎ 当时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．‎ ‎ ‎ ‎（二） 因动点产生的等腰三角形问题 例3，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 图1 ．‎ 思路点拨 ‎1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．‎ ‎2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．‎ 满分解答 ‎（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，‎ 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．‎ 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．‎ ‎（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．‎ 当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．‎ 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．‎ 由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．‎ 所以点P的坐标为(1, 2)．‎ 图2‎ ‎（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)．‎ 考点伸展 第（3）题的解题过程是这样的：‎ 设点M的坐标为(1,m)．‎ 在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．‎ ‎①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．‎ 此时点M的坐标为(1, 1)．‎ ‎②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．‎ 此时点M的坐标为(1,)或(1,)．‎ ‎③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．‎ 当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．‎ 图3 图4 图5‎ 例4，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 图1‎ 思路点拨 ‎1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．‎ ‎2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．‎ 满分解答 ‎（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．‎ 在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．‎ 所以点B的坐标为．‎ ‎（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，‎ 代入点B，．解得．‎ 所以抛物线的解析式为．‎ ‎（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．‎ ‎①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．‎ 当P在时，B、O、P三点共线（如图2）．‎ ‎②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．‎ ‎③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．‎ 综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．‎ 图2 图3‎ 考点伸展 如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．‎ 由，得抛物线的顶点为．‎ 因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．‎ ‎（三） 因动点产生的直角三角形问题 例5：在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．‎ ‎（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；‎ ‎（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．‎ 思路点拨 ‎1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是 ‎．题目中的k都是一致的．‎ ‎2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．‎ ‎3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．‎ 满分解答 ‎（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是．‎ 当k＝－2时，反比例函数的解析式是．‎ ‎（2）在反比例函数中，如果y随x增大而增大，那么k＜0．‎ 当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．‎ 抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝的对称轴是直线． 图1‎ 所以当k＜0且时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．‎ ‎（3）抛物线的顶点Q的坐标是，A、B关于原点O中心对称，‎ 当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．‎ 由OQ2＝OA2，得．‎ 解得（如图2），（如图3）．‎ 图2 图3‎ 考点伸展 如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．‎ 问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？‎ 如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．‎ 因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．‎ 图4 图5‎ 例6，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）求直线BC的函数表达式；‎ ‎（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．‎ ‎①当线段时，求tan∠CED的值；‎ ‎②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．‎ 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．‎ 图1‎ 思路点拨 ‎1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．‎ ‎2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．‎ ‎3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．‎ 满分解答 ‎（1）设抛物线的函数表达式为，代入点C(0，－3)，得．所以抛物线的函数表达式为．‎ ‎（2）由，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达式为，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得 解得，．所以直线BC的函数表达式为．‎ ‎（3）①因为AB＝4，所以．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P的横坐标为．于是得到点P的坐标为，点F的坐标为．所以，．‎ 进而得到，点E的坐标为．‎ 直线BC:与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）．‎ 过点D作DH⊥y轴，垂足为H．‎ 在Rt△EDH中，DH＝1，，所以tan∠CED．‎ ‎②，．‎ 图2 图3 图4‎ 考点伸展 第（3）题②求点P的坐标的步骤是：‎ 如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标．‎ ‎（四） 因动点产生的平行四边形问题 例7，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？‎ ‎（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．‎ 图1‎ 思路点拨 ‎1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD．‎ ‎2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．‎ ‎3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．‎ 满分解答 ‎（1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，‎ 代入点C(3, 0)，可得a＝－1．‎ 所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．‎ ‎（2）因为PE//BC，所以．因此．‎ 所以点E的横坐标为．‎ 将代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．‎ 所以点G的纵坐标为．于是得到．‎ 因此．‎ 所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．‎ ‎（3）或．‎ 考点伸展 第（3）题的解题思路是这样的：‎ 因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．‎ 再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．‎ ‎，，，．‎ 如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此．‎ 整理，得．解得，（舍去）．‎ 如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此．‎ 整理，得．．所以，（舍去）．‎ 图2 图3‎ ‎（五） 因动点产生的梯形问题 例8：已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．‎ ‎①求点D的坐标；‎ ‎②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若，求四边形BDEP的面积．‎ 图1 ‎ 思路点拨 ‎1．这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了．‎ ‎2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于7．‎ ‎3．已知∠DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7，那么点P向右平移到直线x＝3时，就停止平移．‎ 满分解答 ‎（1）直线y＝3x－3与x轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为B(0,－3)．‎ 将A(1，0)、B(0,－3)分别代入y＝ax2＋2x＋c，‎ 得 解得 ‎ 所以抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．‎ 对称轴为直线x＝－1，顶点为(－1,－4)．‎ ‎（2）①如图2，点B关于直线l的对称点C的坐标为(－2,－3)．‎ 因为CD//AB，设直线CD的解析式为y＝3x＋b，‎ 代入点C(－2,－3)，可得b＝3．‎ 所以点D的坐标为（0，3）．‎ ‎②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH＝∠DPE．‎ 由，得．‎ 而DH＝7，所以PH＝3．‎ 因此点E的坐标为（3，6）．‎ 所以．‎ 图2 图3‎ 考点伸展 第（2）①用几何法求点D的坐标更简便：‎ 因为CD//AB，所以∠CDB＝∠ABO．‎ 因此．所以BD＝3BC＝6，OD＝3．因此D（0，3）．‎ 例9：已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为，直线与边BC相交于点D．‎ ‎(1)求点D的坐标；‎ ‎(2)抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；‎ ‎(3)在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？‎ 若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 图1‎ 思路点拨 ‎1．用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便．‎ ‎2．过△AOD的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交，可以确定存在三个梯形．‎ ‎3．用抛物线的解析式可以表示点M的坐标．‎ 满分解答 ‎(1)因为BC//x轴，点D在BC上，C(0,－2)，所以点D的纵坐标为－2．把y＝－2代入，求得x＝3．所以点D的坐标为(3,－2)．‎ ‎(2)由于抛物线与x轴交于点O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入D (3,－2)，得．所求的二次函数解析式为．‎ ‎(3) 设点M的坐标为．‎ ‎①如图2，当OM//DA时，作MN⊥x轴，DQ⊥x轴，垂足分别为N、Q．由tan∠MON＝tan∠DAQ，得．‎ 因为x＝0时点M与O重合，因此，解得x＝7．此时点M的坐标为（7，14）．‎ ‎②如图3，当AM//OD时，由tan∠MAN＝tan∠DOQ，得．‎ 因为x＝4时点M与A重合，因此，解得x＝－1．此时点M的坐标为．‎ ‎③如图4，当DM//OA时，点M与点D关于抛物线的对称轴对称，此时点M的坐标为（1，－2）．‎ ‎ ‎ 图2 图3 图4‎ （六） 因动点产生的面积问题 例10，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．‎ ‎（1）求a、b及sin∠ACP的值；‎ ‎（2）设点P的横坐标为m．‎ ‎①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；‎ ‎②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 图1‎ 思路点拨 ‎1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．‎ ‎2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．‎ ‎3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．‎ ‎4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．‎ 满分解答 ‎（1）设直线与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．‎ 在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．‎ 因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．‎ 将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得 解得，．‎ ‎（2）由，，‎ 得．‎ 所以．‎ 所以PD的最大值为．‎ ‎（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，；‎ 当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．‎ 图2‎ 考点伸展 第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．‎ 而，‎ BM＝4－m．‎ ‎①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，．解得．‎ ‎②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．解得．‎ ‎（七）因动点产生的相切问题 例11，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；‎ ‎（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．‎ ‎ 图1‎ 答案 （1）点C的坐标为(0,3)．‎ ‎（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，；‎ 如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，．‎ 图2 图3‎ ‎（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；‎ 如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；‎ 如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．‎ 图4 图5 图6‎ ‎（八）因动点产生的线段和差问题 例12，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．‎ ‎（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；‎ ‎（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．‎ 图1‎ 思路点拨 ‎1．第（2）题探究平行四边形，按照AP为边或者对角线分两种情况讨论．‎ ‎2．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点B关于“河流”AC的对称点B′，那么M落在B′D上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小．‎ 满分解答 ‎（1）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)＝－(x－1)2＋4，‎ 得A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)．‎ 直线AC的解析式是y＝3x＋3．‎ ‎（2）Q1(2, 3)，Q2()，Q3()．‎ ‎（3）设点B关于直线AC的对称点为B′，联结BB′交AC于F．‎ 联结B′D，B′D与交AC的交点就是要探求的点M．‎ 作B′E⊥x轴于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO．‎ 在Rt△BAF中，，AB＝4，所以．‎ 在Rt△BB′E中，，，所以，．‎ 所以．所以点B′的坐标为．‎ 因为点M在直线y＝3x＋3上，设点M的坐标为(x, 3x＋3)．‎ 由，得．所以．‎ 解得．所以点M的坐标为．‎ 图2 图3‎ 考点伸展 第（2）题的解题思路是这样的：‎ ‎①如图4，当AP是平行四边形的边时，CQ//AP，所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称，点Q的坐标为(2, 3)．‎ ‎②如图5，当AP是平行四边形的对角线时，点C、Q分居x轴两侧，C、Q到x轴的距离相等．‎ 解方程－x2＋2x＋3＝－3，得．所以点Q的坐标为()或 ()．‎