中考数学模拟试卷含解析6 13页

‎2016年广东省惠州市惠东县中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.‎ ‎1．﹣2的倒数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎2．我国建造的长江三峡水电站，估计总装机容量达16780000千瓦，16780000用科学记数法表示为（　　）‎ A．16.7×106 B．1.68×107 C．1.678×107 D．1.678×108‎ ‎3．某班10名学生体育测试的成绩分别为（单位：分）58，60，59，52，58，55，57，58，49，57（体育测试这次规定满分为60分），你们这组数据的众数，中位数分别是（　　）‎ A．58，57.5 B．57，57.5 C．58，58 D．58，57‎ ‎4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC=70°，则∠AOC的度数等于（　　）‎ A．140° B．130° C．120° D．110°‎ ‎5．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）‎ A．正三角形 B．菱形 C．平行四边形 D．正六边形 ‎6．计算：（﹣2x）3=（　　）‎ A．6x3 B．﹣6x3 C．﹣8x3 D．8x3‎ ‎7．数据2、﹣1、0、5、中，比0小的数是（　　）‎ A．2 B．﹣1 C． D．5‎ ‎8．如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个实数根，那么实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（　　）‎ A．120° B．90° C．60° D．30°‎ ‎10．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．‎ ‎11．正五边形的外角和等于　　　　　　（度）．‎ ‎12．如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过　　　　　　次旋转而得到，每一次旋转　　　　　　度．‎ ‎13．分解因式：2ax﹣6ay=　　　　　　．‎ ‎14．如果两个相似三角形的一组对应边分别为3cm和5cm，且较小三角形的周长为15cm，则较大三角形周长为　　　　　　cm．‎ ‎15．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是　　　　　　．‎ ‎16．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有　　　　　　个，第n幅图中共有　　　　　　个．‎ ‎　‎ 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）‎ ‎17．计算：（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|﹣|．‎ ‎18．先化简，再求值：，其中．‎ ‎19．如图，Rt△ABC的斜边AB=5，AC=3．‎ ‎（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；‎ ‎（2）若直线l与AB、AC分别相交于D、E两点，求DE的长度．‎ ‎　‎ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）‎ ‎20．某商场在今年“六•一”儿童节举行了购物摸奖活动．摸奖箱里有四个标号分别为1，2，3，4的质地、大小都相同的小球，任意摸出一个小球，记下小球的标号后，放回箱里并摇匀，再摸出一个小球，又记下小球的标号．商场规定：两次摸出的小球的标号之和为“8”或“6”时才算中奖．请结合“树状图法”或“列表法”，求出顾客小彦参加此次摸奖活动时中奖的概率．‎ ‎21．如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．‎ ‎（1）求证：EF∥BC；‎ ‎（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．‎ ‎22．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．求第一次每支铅笔的进价是多少元？‎ ‎　‎ 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎23．为促进资源节约型和环境友好型社会建设，根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，广州市决定从‎2012年7月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准（非夏季标准）见下表：‎ 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时）‎ 不超过200千瓦时的部分 ‎0.61‎ 超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分 ‎0.66‎ 超过400千瓦时的部分 ‎0.91‎ ‎（1）如果小明家3月用电120度，则需交电费多少元？‎ ‎（2）求“超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分”每月电费y（元）与用电量x（千瓦时）之间的函数关系式；‎ ‎（3）试行“阶梯电价”收费以后，小明家用电量多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.71元？‎ ‎24．如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．‎ ‎（1）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）求FG的长；‎ ‎（3）求tan∠FGD的值．‎ ‎25．如图，已知直线y=kx﹣6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．‎ ‎　‎ ‎2016年广东省惠州市惠东县中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.‎ ‎1．﹣2的倒数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎【考点】倒数．‎ ‎【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．‎ ‎【解答】解：∵﹣2×（）=1，‎ ‎∴﹣2的倒数是﹣．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．我国建造的长江三峡水电站，估计总装机容量达16780000千瓦，16780000用科学记数法表示为（　　）‎ A．16.7×106 B．1.68×107 C．1.678×107 D．1.678×108‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将16780000用科学记数法表示为：1.678×107．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．某班10名学生体育测试的成绩分别为（单位：分）58，60，59，52，58，55，57，58，49，57（体育测试这次规定满分为60分），你们这组数据的众数，中位数分别是（　　）‎ A．58，57.5 B．57，57.5 C．58，58 D．58，57‎ ‎【考点】众数；中位数．‎ ‎【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ ‎【解答】解：数据58出现了3次，出现次数最多，故这组数据的众数是58；‎ 将这组数据从小到大的顺序排列49，52，55，57，57，58，58，58，59，60，‎ 所以中位数是（57+58）÷2=57.5．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC=70°，则∠AOC的度数等于（　　）‎ A．140° B．130° C．120° D．110°‎ ‎【考点】圆周角定理．‎ ‎【分析】欲求∠AOC，又已知一圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．‎ ‎【解答】解：∵∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，‎ ‎∴∠AOC=2∠ABC=140°；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）‎ A．正三角形 B．菱形 C．平行四边形 D．正六边形 ‎【考点】中心对称图形；轴对称图形．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项正确；‎ B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．计算：（﹣2x）3=（　　）‎ A．6x3 B．﹣6x3 C．﹣8x3 D．8x3‎ ‎【考点】幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】直接利用积的乘方运算法则化简求出答案．‎ ‎【解答】解：（﹣2x）3=﹣8x3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．数据2、﹣1、0、5、中，比0小的数是（　　）‎ A．2 B．﹣1 C． D．5‎ ‎【考点】有理数大小比较．‎ ‎【分析】根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵﹣1＜0＜＜2＜5，‎ ‎∴比0小的数是﹣1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个实数根，那么实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】根的判别式；解一元一次不等式．‎ ‎【分析】由方程有两个实数根结合根的判别式，得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个实数根，‎ ‎∴△=（﹣6）2﹣4×1×2k=36﹣8k≥0，‎ 解得：k≤．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（　　）‎ A．120° B．90° C．60° D．30°‎ ‎【考点】旋转的性质．‎ ‎【分析】利用旋转的性质计算．‎ ‎【解答】解：∵∠ABC=60°，‎ ‎∴旋转角∠CBC1=180°﹣60°=120°．‎ ‎∴这个旋转角度等于120°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．‎ ‎【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=，与y轴的交点坐标为（0，c）．‎ ‎【解答】解：解法一：逐项分析 A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；‎ B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；‎ C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；‎ D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；‎ 解法二：系统分析 当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，‎ 一次函数图象过一、二、三象限．‎ 当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，‎ 对称轴x=＜0，‎ 这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，‎ 一次函数图象过二、三、四象限．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．‎ ‎11．正五边形的外角和等于　360　（度）．‎ ‎【考点】多边形内角与外角．‎ ‎【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．‎ ‎【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和为360°．‎ 故答案为：360°．‎ ‎　‎ ‎12．如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过　4　次旋转而得到，每一次旋转　72　度．‎ ‎【考点】旋转的性质．‎ ‎【分析】根据题意，五角星的五个角全等，根据图形间的关系可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，‎ 这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过4次旋转而得到，‎ 每次旋转的度数为360°除以5，为72度．‎ 故答案为：4；72．‎ ‎　‎ ‎13．分解因式：2ax﹣6ay=　2a（x﹣3y）　．‎ ‎【考点】因式分解-提公因式法．‎ ‎【分析】直接提取公因式2a，得出答案即可．‎ ‎【解答】解：2ax﹣6ay=2a（x﹣3y）．‎ 故答案为：2a（x﹣3y）．‎ ‎　‎ ‎14．如果两个相似三角形的一组对应边分别为3cm和5cm，且较小三角形的周长为15cm，则较大三角形周长为　25　cm．‎ ‎【考点】相似三角形的性质．‎ ‎【分析】依据相似三角形周长的比等于相似比，即可求解．‎ ‎【解答】解：设较大的三角形的周长是xcm．‎ 根据题意得：15：x=3：5．解得x=25cm．‎ ‎　‎ ‎15．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是　m＜﹣2　．‎ ‎【考点】反比例函数的性质．‎ ‎【分析】反比例函数的图象在二四象限，让比例系数小于0列式求值即可．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，‎ ‎∴m+2＜0，‎ 解得m＜﹣2，‎ 故答案为m＜﹣2．‎ ‎　‎ ‎16．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有　7　个，第n幅图中共有　2n﹣1　个．‎ ‎【考点】规律型：图形的变化类．‎ ‎【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1=3个，第3幅图中有2×3﹣1=5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．‎ ‎【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．‎ 第2幅图中有2×2﹣1=3个．‎ 第3幅图中有2×3﹣1=5个．‎ 第4幅图中有2×4﹣1=7个．‎ ‎…．‎ 可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．‎ 故第n幅图中共有（2n﹣1）个．‎ 故答案为：7；2n﹣1．‎ ‎　‎ 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）‎ ‎17．计算：（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|﹣|．‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．‎ ‎【分析】根据实数的运算顺序计算，注意：（﹣2）0=1，（）﹣1=3，cos30°=，|﹣|=2．‎ ‎【解答】解：原式=1+3+4×﹣‎ ‎=4+2﹣2‎ ‎=4．‎ ‎　‎ ‎18．先化简，再求值：，其中．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】首先将分式的分子与分母进行因式分解，再正确进行分式的约分，最后准确代值计算．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎=+，‎ ‎=+1，‎ ‎=，‎ 当时，原式===﹣6．‎ ‎　‎ ‎19．如图，Rt△ABC的斜边AB=5，AC=3．‎ ‎（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；‎ ‎（2）若直线l与AB、AC分别相交于D、E两点，求DE的长度．‎ ‎【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．‎ ‎【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出直线l；‎ ‎（2）利用相似三角形的判定与性质得出△ADE∽△ABC进而求出DE=BC，再利用勾股定理得出DE的长．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：‎ ‎（2）∵直线l垂直平分线段AC，‎ ‎∴CE=AE，‎ 又∵BC⊥AC，‎ ‎∴DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC ‎∴．‎ ‎∴DE=BC，‎ ‎∵在Rt△ABC中，AB=5，AC=3，‎ ‎∴BC===4，‎ ‎∴DE=2．‎ ‎　‎ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）‎ ‎20．某商场在今年“六•一”儿童节举行了购物摸奖活动．摸奖箱里有四个标号分别为1，2，3，4的质地、大小都相同的小球，任意摸出一个小球，记下小球的标号后，放回箱里并摇匀，再摸出一个小球，又记下小球的标号．商场规定：两次摸出的小球的标号之和为“8”或“6”时才算中奖．请结合“树状图法”或“列表法”，求出顾客小彦参加此次摸奖活动时中奖的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】列举出所有情况，让两次摸出的小球的标号之和为“8”或“6”的情况数除以总情况数即为所求的概率．‎ ‎【解答】解：画出如图的树状图3分 ‎6=2+4=3+3=4+2，8=4+4，‎ ‎∴小彦中奖的概率．6分 ‎　‎ ‎21．如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．‎ ‎（1）求证：EF∥BC；‎ ‎（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．‎ ‎【分析】（1）首先判定△ADC是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到点F是AD的中点，然后得到EF是△ABD的中位线，利用中位线的定理证得到平行即可；‎ ‎（2）根据上题证得的平行可以判定△AEF∽ABD，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求的△ABD的面积．‎ ‎【解答】（1）证明：∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，‎ ‎∴F为AD的中点，‎ ‎∵点E是AB的中点，‎ ‎∴EF为△ABD的中位线，‎ ‎∴EF∥BC；‎ ‎（2）解：∵EF为△ABD的中位线，‎ ‎∴，EF∥BD，‎ ‎∴△AEF∽△ABD，‎ ‎∴S△AEF：S△ABD=1：4，‎ ‎∴S△AEF：S四边形BDFE=1：3，‎ ‎∵四边形BDFE的面积为6，‎ ‎∴S△AEF=2，‎ ‎∴S△ABD=S△AEF+S四边形BDFE=2+6=8．‎ ‎　‎ ‎22．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．求第一次每支铅笔的进价是多少元？‎ ‎【考点】分式方程的应用．‎ ‎【分析】设第一次每支铅笔进价为x元，根据第二次购买数量比第一次少30支，可得出方程，解出即可．‎ ‎【解答】解：设第一次每支铅笔进价为x元，‎ 根据题意列方程得，﹣=30，‎ 解得：x=4，‎ 检验：当x=4时，分母不为0，故x=4是原分式方程的解．‎ 答：第一次每只铅笔的进价为4元．‎ ‎　‎ 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎23．为促进资源节约型和环境友好型社会建设，根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，广州市决定从‎2012年7月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准（非夏季标准）见下表：‎ 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时）‎ 不超过200千瓦时的部分 ‎0.61‎ 超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分 ‎0.66‎ 超过400千瓦时的部分 ‎0.91‎ ‎（1）如果小明家3月用电120度，则需交电费多少元？‎ ‎（2）求“超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分”每月电费y（元）与用电量x（千瓦时）之间的函数关系式；‎ ‎（3）试行“阶梯电价”收费以后，小明家用电量多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.71元？‎ ‎【考点】一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）根据表格可知，当居民生活用电一个月不超过200千瓦时，电费价格为0.61元/千瓦时，所以如果小明家3月用电120度，则需交电费0.61×120，计算即可求解；‎ ‎（2）根据表格可知，当用电量x超过200千瓦时，但不超过400千瓦时时，每月电费y=0.61×200+0.66×（x﹣200），化简即可；‎ ‎（3）根据当居民月用电量x≤200时，0.61x≤0.71x，当居民月用电量x满足200＜x≤400时，0.66x﹣10≤0.71x，当居民月用电量x满足x＞400时，0.91x﹣110≤0.71x，分别得出即可．‎ ‎【解答】解：（1）0.61×120=73.2（元）．‎ 答：如果小明家3月用电120度，则需交电费73.2元；‎ ‎（2）当200＜x≤400时，y=0.61×200+0.66×（x﹣200）=0.66x﹣10，‎ 即每月电费y（元）与用电量x（千瓦时）之间的函数关系式为y=0.66x﹣10；‎ ‎（3）当居民月用电量x≤200时，y=0.61x，‎ 由0.61x≤0.71x，解得x≥0，‎ 当居民月用电量x满足200＜x≤400时，‎ ‎0.66x﹣10≤0.71x，解得：x＞﹣200，‎ 当居民月用电量x满足x＞400时，y=0.61×200+0.66×+0.91×（x﹣400）=0.91x﹣110，‎ ‎0.91x﹣110≤0.71x，‎ 解得：x≤550，‎ 综上所述，试行“阶梯电价”收费以后，小明家用电量不超过550千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.71元．‎ ‎　‎ ‎24．如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．‎ ‎（1）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）求FG的长；‎ ‎（3）求tan∠FGD的值．‎ ‎【考点】切线的判定；等边三角形的性质；解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）连结OD，根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，所以∠ODB=60°=∠C，于是可判断OD∥AC，又DF⊥AC，则OD⊥DF，根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）先证明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6．在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=3，所以AF=AC﹣CF=9，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长；‎ ‎（3）过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH，根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH=BD=3，DH=BH=3．解Rt△AFG，得AG=AF=，则GH=AB﹣AG﹣BH=，于是根据正切函数的定义得到tan∠GDH==，则tan∠FGD可求．‎ ‎【解答】（1）证明：连结OD，如图，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠C=∠A=∠B=60°，‎ 而OD=OB，‎ ‎∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°，‎ ‎∴∠ODB=∠C，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∵DF⊥AC，‎ ‎∴OD⊥DF，‎ ‎∴DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点，‎ ‎∴OD为△ABC的中位线，‎ ‎∴BD=CD=6．‎ 在Rt△CDF中，∠C=60°，‎ ‎∴∠CDF=30°，‎ ‎∴CF=CD=3，‎ ‎∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，‎ 在Rt△AFG中，∵∠A=60°，‎ ‎∴FG=AF×sinA=9×=；‎ ‎（3）解：过D作DH⊥AB于H．‎ ‎∵FG⊥AB，DH⊥AB，‎ ‎∴FG∥DH，‎ ‎∴∠FGD=∠GDH．‎ 在Rt△BDH中，∠B=60°，‎ ‎∴∠BDH=30°，‎ ‎∴BH=BD=3，DH=BH=3．‎ 在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，‎ ‎∴AG=AF=，‎ ‎∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=，‎ ‎∴tan∠GDH===，‎ ‎∴tan∠FGD=tan∠GDH=．‎ ‎　‎ ‎25．如图，已知直线y=kx﹣6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解．‎ ‎（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=﹣x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件．‎ ‎（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论．找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）把A（1，﹣4）代入y=kx﹣6，得k=2，‎ ‎∴y=2x﹣6，‎ 令y=0，解得：x=3，‎ ‎∴B的坐标是（3，0）．‎ ‎∵A为顶点，‎ ‎∴设抛物线的解析为y=a（x﹣1）2﹣4，‎ 把B（3，0）代入得：4a﹣4=0，‎ 解得a=1，‎ ‎∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．‎ ‎（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，‎ 此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=﹣x．‎ 设P（m，﹣m），则﹣m=m2﹣2m﹣3，解得m=（m=＞0，舍），‎ ‎∴P（，）．‎ ‎（3）①如图，当∠Q1AB=90°时，△DAQ1∽△DOB，‎ ‎∴=，即=，∴DQ1=，‎ ‎∴OQ1=，即Q1（0，）；‎ ‎②如图，当∠Q2BA=90°时，△BOQ2∽△DOB，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴OQ2=，即Q2（0，）；‎ ‎③如图，当∠AQ3B=90°时，作AE⊥y轴于E，‎ 则△BOQ3∽△Q3EA，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴OQ32﹣4OQ3+3=0，∴OQ3=1或3，‎ 即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．‎ 综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．‎