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  • 2021-05-13 发布

2018中考数学专题二次函数

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‎2018中考数专题二次函数 ‎ ‎(共40题)‎ ‎1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点,直线AC:y=﹣x﹣6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.‎ ‎(1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式;‎ ‎(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标;‎ ‎(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标;‎ ‎②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求AM+CM它的最小值.‎ ‎2.如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D.‎ ‎(1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示);‎ ‎(2)设S△BCD:S△ABD=k,求k的值;‎ ‎(3)当△BCD是直角三角形时,求对应抛物线的解析式.‎ ‎3.如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(﹣4,0)、B(0,3),抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C.‎ ‎(1)求直线y=kx+b的函数解析式;‎ ‎(2)若点P(x,y)是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;‎ ‎(3)若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值.‎ ‎4.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相交于点B,对称轴是直线x=1‎ ‎(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标.‎ ‎(2)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,同时动点N从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动,当N点到达A点时,M、N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒.‎ ‎①当t为何值时,四边形OMPN为矩形.‎ ‎②当t>0时,△BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.‎ ‎5.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直X轴于点D,链接AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎6.我们知道,经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示,对于这样的抛物线:‎ ‎(1)当抛物线经过点(﹣2,0)和(﹣1,3)时,求抛物线的表达式;‎ ‎(2)当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时,求b的值;‎ ‎(3)如图,现有一组这样的抛物线,它们的顶点A1、A2、…,An在直线y=﹣2x上,横坐标依次为﹣1,﹣2,﹣3,…,﹣n(n为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1、B2,…,Bn,以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn,如果这组抛物线中的某一条经过点Dn,求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长.‎ ‎7.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点P是直线BC下方抛物线上一动点.‎ ‎(1)求这个二次函数的解析式;‎ ‎(2)是否存在点P,使△POC是以OC为底边的等腰三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)动点P运动到什么位置时,△PBC面积最大,求出此时P点坐标和△PBC的最大面积.‎ ‎8.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,且OA=4,OC=3,若抛物线经过O,A两点,且顶点在BC边上,对称轴交BE于点F,点D,E的坐标分别为(3,0),(0,1).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)猜想△EDB的形状并加以证明;‎ ‎(3)点M在对称轴右侧的抛物线上,点N在x轴上,请问是否存在以点A,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎9.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点;‎ ‎①连接BC、CD,设直线BD交线段AC于点E,△CDE的面积为S1,△BCE的面积为S2,求的最大值;‎ ‎②过点D作DF⊥AC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎10.已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1,‎ ‎①当b=1时,求这个二次函数的对称轴的方程; ‎ ‎②若c=﹣b2﹣2b,问:b为何值时,二次函数的图象与x轴相切?‎ ‎③若二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,与y轴的正半轴交于点M,以AB为直径的半圆恰好过点M,二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F,且满足=,求二次函数的表达式.‎ ‎11.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接BD.‎ ‎(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;‎ ‎(2)点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐标;‎ ‎(3)若点M是抛物线上的动点,过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在坐标平面内,以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请写出点Q的坐标.‎ ‎12.抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0).‎ ‎(1)求该抛物线所对应的函数解析式;‎ ‎(2)该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交于点M、N.‎ ‎①连结PC、PD,如图1,在点P运动过程中,△PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由;‎ ‎②连结PB,过点C作CQ⊥PM,垂足为点Q,如图2,是否存在点P,使得△CNQ与△PBM相似?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎13.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交与点C(0,3),与x轴交于A、B两点,点B坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x=1.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点M从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点N从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设△MBN的面积为S,点M运动时间为t,试求S与t的函数关系,并求S的最大值;‎ ‎(3)在点M运动过程中,是否存在某一时刻t,使△MBN为直角三角形?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.‎ ‎14.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣3,0),B(﹣2,3),C(0,3),其顶点为D.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)设点M(1,m),当MB+MD的值最小时,求m的值;‎ ‎(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值;‎ ‎(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N,E为直线AC上任意一点,过点E作EF∥ND交抛物线于点F,以N,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由.‎ ‎15.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(﹣1,0)、B(4,0)、C(0,2)三点.‎ ‎(1)求该二次函数的解析式;‎ ‎(2)点D是该二次函数图象上的一点,且满足∠DBA=∠CAO(O是坐标原点),求点D的坐标;‎ ‎(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点,连接PA分别交BC、y轴于点E、F,若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2,求S1﹣S2的最大值.‎ ‎16.如图,抛物线y=x2+bx+c经过B(﹣1,0),D(﹣2,5)两点,与x轴另一交点为A,点H是线段AB上一动点,过点H的直线PQ⊥x轴,分别交直线AD、抛物线于点Q,P.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)是否存在点P,使∠APB=90°,若存在,求出点P的横坐标,若不存在,说明理由;‎ ‎(3)连接BQ,一动点M从点B出发,沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q,再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止,当点Q的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时t最少?‎ ‎17.如图1,抛物线C1:y=x2+ax与C2:y=﹣x2+bx相交于点O、C,C1与C2分别交x轴于点B、A,且B为线段AO的中点.‎ ‎(1)求 的值;‎ ‎(2)若OC⊥AC,求△OAC的面积;‎ ‎(3)抛物线C2的对称轴为l,顶点为M,在(2)的条件下:‎ ‎①点P为抛物线C2对称轴l上一动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;‎ ‎②如图2,点E在抛物线C2上点O与点M之间运动,四边形OBCE的面积是否存在最大值?若存在,求出面积的最大值和点E的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎18.如图,已知直角坐标系中,A、B、D三点的坐标分别为A(8,0),B(0,4),D(﹣1,0),点C与点B关于x轴对称,连接AB、AC.‎ ‎(1)求过A、B、D三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)有一动点E从原点O出发,以每秒2个单位的速度向右运动,过点E作x轴的垂线,交抛物线于点P,交线段CA于点M,连接PA、PB,设点E运动的时间为t(0<t<4)秒,求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;‎ ‎(3)抛物线的对称轴上是否存在一点H,使得△‎ ABH是直角三角形?若存在,请直接写出点H的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎19.如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)若点D是y轴上的一点,且以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,求点D的坐标;‎ ‎(3)如图2,CE∥x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别相交于点F,G,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标及最大面积;‎ ‎(4)若点K为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM的周长最小,求出点P,Q的坐标.‎ ‎20.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,2),直线y=x+1与抛物线交于B,D两点,以BD为直径作圆,圆心为点C,圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)证明:圆C与x轴相切;‎ ‎(3)过点B作BE⊥m,垂足为E,再过点D作DF⊥m,垂足为F,求BE:MF的值.‎ ‎21.如图1,抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣2,0)、B(0,﹣2)两点,点C在y轴上,△ABC为等边三角形,点D从点A出发,沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动,设运动时间为t秒(t>0),过点D作DE⊥AC于点E,以DE为边作矩形DEGF,使点F在x轴上,点G在AC或AC的延长线上.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)将矩形DEGF沿GF所在直线翻折,得矩形D'E'GF,当点D的对称点D'落在抛物线上时,求此时点D'的坐标;‎ ‎(3)如图2,在x轴上有一点M(2,0),连接BM、CM,在点D的运动过程中,设矩形DEGF与四边形ABMC重叠部分的面积为S,直接写出S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.‎ ‎22.如图,在平面直角坐标系中,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A,B两点,其中点A,C的坐标分别为(1,0),(﹣4,0),抛物线的顶点为点D.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点(不与A,B重合),过点E作x轴的垂线,交抛物线于点F,当线段FE的长度最大时,求点E的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使△‎ PEF是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎23.如图1,点A坐标为(2,0),以OA为边在第一象限内作等边△OAB,点C为x轴上一动点,且在点A右侧,连接BC,以BC为边在第一象限内作等边△BCD,连接AD交BC于E.‎ ‎(1)①直接回答:△OBC与△ABD全等吗?‎ ‎②试说明:无论点C如何移动,AD始终与OB平行;‎ ‎(2)当点C运动到使AC2=AE•AD时,如图2,经过O、B、C三点的抛物线为y1.试问:y1上是否存在动点P,使△BEP为直角三角形且BE为直角边?若存在,求出点P坐标;若不存在,说明理由;‎ ‎(3)在(2)的条件下,将y1沿x轴翻折得y2,设y1与y2组成的图形为M,函数y=x+m的图象l与M有公共点.试写出:l与M的公共点为3个时,m的取值.‎ ‎24.如图,抛物线y=ax2﹣2x+c(a≠0)与x轴、y轴分别交于点A,B,C三点,已知点A(﹣2,0),点C(0,﹣8),点D是抛物线的顶点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;‎ ‎(2)如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点P,将△EBP沿直线EP折叠,使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上,求点P的坐标;‎ ‎(3)如图2,设BC交抛物线的对称轴于点F,作直线CD,点M是直线CD上的动点,点N是平面内一点,当以点B,F,M,N为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点M的坐标.‎ ‎25.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(m,0),与y轴交于C.‎ ‎(1)若m=﹣3,求抛物线的解析式,并写出抛物线的对称轴;‎ ‎(2)如图1,在(1)的条件下,设抛物线的对称轴交x轴于D,在对称轴左侧的抛物线上有一点E,使S△ACE=S△ACD,求点E的坐标;‎ ‎(3)如图2,设F(﹣1,﹣4),FG⊥y于G,在线段OG上是否存在点P,使∠OBP=∠FPG?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎26.如图,⊙M的圆心M(﹣1,2),⊙M经过坐标原点O,与y轴交于点A.经过点A的一条直线l解析式为:y=﹣x+‎ ‎4与x轴交于点B,以M为顶点的抛物线经过x轴上点D(2,0)和点C(﹣4,0).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)求证:直线l是⊙M的切线;‎ ‎(3)点P为抛物线上一动点,且PE与直线l垂直,垂足为E;PF∥y轴,交直线l于点F,是否存在这样的点P,使△PEF的面积最小.若存在,请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值;若不存在,请说明理由.‎ ‎27.如图,抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A,并经过B(4,4)和C(6,0)两点,点D的坐标为(4,0),连接AD,BC,点E从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿线段AD向点D运动,到达点D后,以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动,设点E的运动时间为t秒,过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F,以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)当点G落在第一象限内的抛物线上时,求出t的值;‎ ‎(3)设点E从点A出发时,点E,F,G都与点A重合,点E在运动过程中,当△BCG的面积为4时,直接写出相应的t值,并直接写出点G从出发到此时所经过的路径长.‎ ‎28.抛物线y=ax2+bx+c过A(2,3),B(4,3),C(6,﹣5)三点.‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)如图①,抛物线上一点D在线段AC的上方,DE⊥AB交AC于点E,若满足=,求点D的坐标;‎ ‎(3)如图②,F为抛物线顶点,过A作直线l⊥AB,若点P在直线l上运动,点Q在x轴上运动,是否存在这样的点P、Q,使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似,若存在,求P、Q的坐标,并求此时△BPQ的面积;若不存在,请说明理由.‎ ‎29.如图,已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于丁C,且A(2,0),C(0,﹣4),直线l:y=﹣x﹣4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点,过点P作PE⊥x轴,垂足为E,交直线l于点F.‎ ‎(1)试求该抛物线表达式;‎ ‎(2)如图(1),过点P在第三象限,四边形PCOF是平行四边形,求P点的坐标;‎ ‎(3)如图(2),过点P作PH⊥y轴,垂足为H,连接AC.‎ ‎①求证:△ACD是直角三角形;‎ ‎②试问当P点横坐标为何值时,使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似?‎ ‎30.如图,已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A,B,C三点,其中C(0,3),∠‎ BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线l与射线AC,AB分别交于点M,N.‎ ‎(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴;‎ ‎(2)点P为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD为等腰三角形,求出点P的坐标;‎ ‎(3)证明:当直线l绕点D旋转时,+均为定值,并求出该定值.‎ ‎31.《函数的图象与性质》拓展学习片段展示:‎ ‎【问题】如图①,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x﹣2)2﹣经过原点O,与x轴的另一个交点为A,则a=   .‎ ‎【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方,将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G,如图②.直接写出图象G对应的函数解析式.‎ ‎【探究】在图②中,过点B(0,1)作直线l平行于x轴,与图象G的交点从左至右依次为点C,D,E,F,如图③.求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围.‎ ‎【应用】P是图③中图象G上一点,其横坐标为m,连接PD,PE.直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围.‎ ‎32.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B坐标为(4,t)(t>0),二次函数y=x2+bx(b<0)的图象经过点B,顶点为点D.‎ ‎(1)当t=12时,顶点D到x轴的距离等于   ;‎ ‎(2)点E是二次函数y=x2+bx(b<0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O不重合),求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式;‎ ‎(3)矩形OABC的对角线OB、AC交于点F,直线l平行于x轴,交二次函数y=x2+bx(b<‎ ‎0)的图象于点M、N,连接DM、DN,当△DMN≌△FOC时,求t的值.‎ ‎33.在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+1交y轴于点B,交x轴于点A,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B,与直线y=﹣x+1交于点C(4,﹣2).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)如图,横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上,过点M作ME∥y轴交直线BC于点E,以ME为直径的圆交直线BC于另一点D,当点E在x轴上时,求△DEM的周长.‎ ‎(3)将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°,得到△A1O1B1,点A,O,B的对应点分别是点A1,O1,B1,若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的坐标.‎ ‎34.已知,抛物线y=ax2+bx+3(a<0)与x轴交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1,D为抛物线的顶点,点E在y轴C点的上方,且CE=.‎ ‎(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;‎ ‎(2)求证:直线DE是△ACD外接圆的切线;‎ ‎(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使S△ACP=S△ACD,求点P的坐标;‎ ‎(4)在坐标轴上找一点M,使以点B、C、M为顶点的三角形与△‎ ACD相似,直接写出点M的坐标.‎ ‎35.如图①,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒.连接PQ.‎ ‎(1)填空:b=   ,c=   ;‎ ‎(2)在点P,Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;‎ ‎(3)在x轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由;‎ ‎(4)如图②,点N的坐标为(﹣,0),线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q′的坐标.‎ ‎36.如图,已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线 y=﹣x2+bx+c经过A,B两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以每秒1个单位的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以每秒个单位的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)问:当t为何值时,△APQ为直角三角形;‎ ‎(3)过点P作PE∥y轴,交AB于点E,过点Q作QF∥y轴,交抛物线于点F,连接EF,当EF∥PQ时,求点F的坐标;‎ ‎(4)设抛物线顶点为M,连接BP,BM,MQ,问:是否存在t的值,使以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎37.如图,直线y=﹣x+3与x轴,y轴分别相交于点B,C,经过B,C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.‎ ‎(1)求该抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)请问在抛物线上是否存在点Q,使得以点B,C,Q为顶点的三角形为直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)过S(0,4)的动直线l交抛物线于M,N两点,试问抛物线上是否存在定点T,使得不过定点T的任意直线l都有∠MTN=90°?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎38.如图,抛物线C1:y1=ax2+2ax(a>0)与x轴交于点A,顶点为点P.‎ ‎(1)直接写出抛物线C1的对称轴是   ,用含a的代数式表示顶点P的坐标   ;‎ ‎(2)把抛物线C1绕点M(m,0)旋转180°得到抛物线C2(其中m>0),抛物线C2与x轴右侧的交点为点B,顶点为点Q.‎ ‎①当m=1时,求线段AB的长;‎ ‎②在①的条件下,是否存在△ABP为等腰三角形,若存在请求出a的值,若不存在,请说明理由;‎ ‎③当四边形APBQ为矩形时,请求出m与a之间的数量关系,并直接写出当a=3时矩形APBQ的面积.‎ ‎39.已知二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2(a<0)图象的顶点G在直线AB上,其中 A(﹣,0)、B(0,3),对称轴与x轴交于点E.‎ ‎(1)求二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2的关系式;‎ ‎(2)点P在对称轴右侧的抛物线上,且AP平分四边形GAEP的面积,求点P坐标;‎ ‎(3)在x轴上方,是否存在整数m,使得当<x≤时,抛物线y随x增大而增大?若存在,求出所有满足条件的m值;若不存在,请说明理由.‎ ‎40.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线y=x﹣3经过B、C两点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个动点,且在抛物线对称轴的右侧,过点P作PE⊥x轴于点E,PE交CD于点F,交BC于点M,连接AC,过点M作MN⊥AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);‎ ‎(3)在(2)的条件下,连接PC,过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上),BQ交CD于点T,连接OQ交CD于点S,当ST=TD时,求线段MN的长.‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 ‎(共40题)‎ ‎1.(2017•兰州)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点,直线AC:y=﹣x﹣6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.‎ ‎(1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式;‎ ‎(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标;‎ ‎(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标;‎ ‎②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求AM+CM它的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)∵点A(﹣4,﹣4),B(0,4)在抛物线y=﹣x2+bx+c上,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4;‎ ‎(2)设直线AB的解析式为y=kx+n过点A,B,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴直线AB的解析式为y=2x+4,‎ 设E(m,2m+4),‎ ‎∴G(m,﹣m2﹣2m+4),‎ ‎∵四边形GEOB是平行四边形,‎ ‎∴EG=OB=4,‎ ‎∴|﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4|=4,‎ ‎∴m=﹣2或m=2+2或m=2﹣2,‎ ‎∴G(﹣2,4)或(2+2,﹣12﹣12)或(2﹣2,﹣12+12).‎ ‎(3)①如图1,‎ 由(2)知,直线AB的解析式为y=2x+4,‎ ‎∴设E(a,2a+4),‎ ‎∵直线AC:y=﹣x﹣6,‎ ‎∴F(a,﹣a﹣6),‎ 设H(0,p),‎ ‎∵以点A,E,F,H为顶点的四边形是矩形,‎ ‎∵直线AB的解析式为y=2x+4,直线AC:y=﹣x﹣6,‎ ‎∴AB⊥AC,‎ ‎∴EF为对角线,‎ ‎∴(﹣4+0)=(a+a),(﹣4+p)=(2a+4﹣a﹣6),‎ ‎∴a=﹣2,P=﹣1,‎ ‎∴E(﹣2,0).H(0,﹣1);‎ ‎②如图2,‎ 由①知,E(﹣2,0),H(0,﹣1),A(﹣4,﹣4),‎ ‎∴EH=,AE=2,‎ 设AE交⊙E于G,取EG的中点P,‎ ‎∴PE=,‎ 连接PC交⊙E于M,连接EM,‎ ‎∴EM=EH=,‎ ‎∴=,‎ ‎∵=,‎ ‎∴=,∵∠PEM=∠MEA,‎ ‎∴△PEM∽△MEA,‎ ‎∴,‎ ‎∴PM=AM,‎ ‎∴AM+CM的最小值=PC,‎ 设点P(p,2p+4),‎ ‎∵E(﹣2,0),‎ ‎∴PE2=(p+2)2+(2p+4)2=5(p+2)2,‎ ‎∵PE=,‎ ‎∴5(p+2)2=,‎ ‎∴p=﹣或p=﹣(由于E(﹣2,0),所以舍去),‎ ‎∴P(﹣,﹣1),‎ ‎∵C(0,﹣6),‎ ‎∴PC==,‎ 即:AM+CM=.‎ ‎2.(2017•贵港)如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D.‎ ‎(1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示);‎ ‎(2)设S△BCD:S△ABD=k,求k的值;‎ ‎(3)当△BCD是直角三角形时,求对应抛物线的解析式.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)在y=a(x﹣1)(x﹣3),令x=0可得y=3a,‎ ‎∴C(0,3a),‎ ‎∵y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3)=a(x﹣2)2﹣a,‎ ‎∴D(2,﹣a);‎ ‎(2)在y=a(x﹣1)(x﹣3)中,令y=0可解得x=1或x=3,‎ ‎∴A(1,0),B(3,0),‎ ‎∴AB=3﹣1=2,‎ ‎∴S△ABD=×2×a=a,‎ 如图,设直线CD交x轴于点E,设直线CD解析式为y=kx+b,‎ 把C、D的坐标代入可得,解得,‎ ‎∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a,令y=0可解得x=,‎ ‎∴E(,0),‎ ‎∴BE=3﹣=‎ ‎∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××(3a+a)=3a,‎ ‎∴S△BCD:S△ABD=(3a):a=3,‎ ‎∴k=3;‎ ‎(3)∵B(3,0),C(0,3a),D(2,﹣a),‎ ‎∴BC2=32+(3a)2=9+9a2,CD2=22+(﹣a﹣3a)2=4+16a2,BD2=(3﹣2)2+a2=1+a2,‎ ‎∵∠BCD<∠BCO<90°,‎ ‎∴△BCD为直角三角形时,只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况,‎ ‎①当∠CBD=90°时,则有BC2+BD2=CD2,即9+9a2+1+a2=4+16a2,解得a=﹣1(舍去)或a=1,此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;‎ ‎②当∠CDB=90°时,则有CD2+BD2=BC2,即4+16a2+1+a2=9+9a2,解得a=﹣(舍去)或a=,此时抛物线解析式为y=x2﹣2x+;‎ 综上可知当△BCD是直角三角形时,抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+.‎ ‎3.(2017•滨州)如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(﹣4,0)、B(0,3),抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C.‎ ‎(1)求直线y=kx+b的函数解析式;‎ ‎(2)若点P(x,y)是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;‎ ‎(3)若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)由题意可得,解得,‎ ‎∴直线解析式为y=x+3;‎ ‎(2)如图1,过P作PH⊥AB于点H,过H作HQ⊥x轴,过P作PQ⊥y轴,两垂线交于点Q,‎ 则∠AHQ=∠ABO,且∠AHP=90°,‎ ‎∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°,‎ ‎∴∠PHQ=∠BAO,且∠AOB=∠PQH=90°,‎ ‎∴△PQH∽△BOA,‎ ‎∴==,‎ 设H(m,m+3),则PQ=x﹣m,HQ=m+3﹣(﹣x2+2x+1),‎ ‎∵A(﹣4,0),B(0,3),‎ ‎∴OA=4,OB=3,AB=5,且PH=d,‎ ‎∴==,‎ 整理消去m可得d=x2﹣x+=(x﹣)2+,‎ ‎∴d与x的函数关系式为d=(x﹣)2+,‎ ‎∵>0,‎ ‎∴当x=时,d有最小值,此时y=﹣()2+2×+1=,‎ ‎∴当d取得最小值时P点坐标为(,);‎ ‎(3)如图2,设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′,由对称的性质可得CE=C′E,‎ ‎∴CE+EF=C′E+EF,‎ ‎∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小,‎ ‎∵C(0,1),‎ ‎∴C′(2,1),‎ 由(2)可知当x=2时,d=×(2﹣)2+=,‎ 即CE+EF的最小值为.‎ ‎4.(2017•广安)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相交于点B,对称轴是直线x=1‎ ‎(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标.‎ ‎(2)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,同时动点N从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动,当N点到达A点时,M、N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒.‎ ‎①当t为何值时,四边形OMPN为矩形.‎ ‎②当t>0时,△BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴是直线x=1,‎ ‎∴﹣=1,解得b=2,‎ ‎∵抛物线过A(0,3),‎ ‎∴c=3,‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3,‎ 令y=0可得﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1或x=3,‎ ‎∴B点坐标为(3,0);‎ ‎(2)①由题意可知ON=3t,OM=2t,‎ ‎∵P在抛物线上,‎ ‎∴P(2t,﹣4t2+4t+3),‎ ‎∵四边形OMPN为矩形,‎ ‎∴ON=PM,‎ ‎∴3t=﹣4t2+4t+3,解得t=1或t=﹣(舍去),‎ ‎∴当t的值为1时,四边形OMPN为矩形;‎ ‎②∵A(0,3),B(3,0),‎ ‎∴OA=OB=3,且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3,‎ ‎∴当t>0时,OQ≠OB,‎ ‎∴当△BOQ为等腰三角形时,有OB=QB或OQ=BQ两种情况,‎ 由题意可知OM=2t,‎ ‎∴Q(2t,﹣2t+3),‎ ‎∴OQ==,BQ==|2t﹣3|,‎ 又由题意可知0<t<1,‎ 当OB=QB时,则有|2t﹣3|=3,解得t=(舍去)或t=;‎ 当OQ=BQ时,则有=|2t﹣3|,解得t=;‎ 综上可知当t的值为或时,△BOQ为等腰三角形.‎ ‎5.(2017•宜宾)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直X轴于点D,链接AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5;‎ ‎(2)∵AD=5,且OA=1,‎ ‎∴OD=6,且CD=8,‎ ‎∴C(﹣6,8),‎ 设平移后的点C的对应点为C′,则C′点的纵坐标为8,‎ 代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5,解得x=1或x=3,‎ ‎∴C′点的坐标为(1,8)或(3,8),‎ ‎∵C(﹣6,8),‎ ‎∴当点C落在抛物线上时,向右平移了7或9个单位,‎ ‎∴m的值为7或9;‎ ‎(3)∵y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9,‎ ‎∴抛物线对称轴为x=2,‎ ‎∴可设P(2,t),‎ 由(2)可知E点坐标为(1,8),‎ ‎①当BE为平行四边形的边时,连接BE交对称轴于点M,过E作EF⊥x轴于点F,过Q作对称轴的垂线,垂足为N,如图,‎ 则∠BEF=∠BMP=∠QPN,‎ 在△PQN和△EFB中 ‎∴△PQN≌△EFB(AAS),‎ ‎∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4,‎ 设Q(x,y),则QN=|x﹣2|,‎ ‎∴|x﹣2|=4,解得x=﹣2或x=6,‎ 当x=﹣2或x=6时,代入抛物线解析式可求得y=﹣7,‎ ‎∴Q点坐标为(﹣2,﹣7)或(6,﹣7);‎ ‎②当BE为对角线时,‎ ‎∵B(5,0),E(1,8),‎ ‎∴线段BE的中点坐标为(3,4),则线段PQ的中点坐标为(3,4),‎ 设Q(x,y),且P(2,t),‎ ‎∴x+2=3×2,解得x=4,把x=4代入抛物线解析式可求得y=5,‎ ‎∴Q(4,5);‎ 综上可知Q点的坐标为(﹣2,﹣7)或(6,﹣7)或(4,5).‎ ‎6.(2017•贵阳)我们知道,经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示,对于这样的抛物线:‎ ‎(1)当抛物线经过点(﹣2,0)和(﹣1,3)时,求抛物线的表达式;‎ ‎(2)当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时,求b的值;‎ ‎(3)如图,现有一组这样的抛物线,它们的顶点A1、A2、…,An在直线y=﹣2x上,横坐标依次为﹣1,﹣2,﹣3,…,﹣n(n为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1、B2,…,Bn,以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn,如果这组抛物线中的某一条经过点Dn,求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长.‎ ‎【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx经过点(﹣2,0)和(﹣1,3),‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴抛物线的表达式为y=﹣3x2﹣6x;‎ ‎(2)∵抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是(﹣,﹣),且该点在直线y=﹣2x上,‎ ‎∴﹣=﹣2×(﹣),‎ ‎∵a≠0,∴﹣b2=4b,‎ 解得b1=﹣4,b2=0;‎ ‎(3)这组抛物线的顶点A1、A2、…,An在直线y=﹣2x上,‎ 由(2)可知,b=4或b=0.‎ ‎①当b=0时,抛物线的顶点在坐标原点,不合题意,舍去;‎ ‎②当b=﹣4时,抛物线的表达式为y=ax2﹣4x.‎ 由题意可知,第n条抛物线的顶点为An(﹣n,2n),则Dn(﹣3n,2n),‎ ‎∵以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn,设第n+k(k为正整数)条抛物线经过点Dn,此时第n+k条抛物线的顶点坐标是An+k(﹣n﹣k,2n+2k),‎ ‎∴﹣=﹣n﹣k,∴a==﹣,‎ ‎∴第n+k条抛物线的表达式为y=﹣x2﹣4x,‎ ‎∵Dn(﹣3n,2n)在第n+k条抛物线上,‎ ‎∴2n=﹣×(﹣3n)2﹣4×(﹣3n),解得k=n,‎ ‎∵n,k为正整数,且n≤12,‎ ‎∴n1=5,n2=10.‎ 当n=5时,k=4,n+k=9;‎ 当n=10时,k=8,n+k=18>12(舍去),‎ ‎∴D5(﹣15,10),‎ ‎∴正方形的边长是10.‎ ‎7.(2017•毕节市)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点P是直线BC下方抛物线上一动点.‎ ‎(1)求这个二次函数的解析式;‎ ‎(2)是否存在点P,使△POC是以OC为底边的等腰三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)动点P运动到什么位置时,△PBC面积最大,求出此时P点坐标和△PBC的最大面积.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,‎ 把A、B、C三点坐标代入可得,解得,‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4;‎ ‎(2)作OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点P,如图1,‎ ‎∴PO=PD,此时P点即为满足条件的点,‎ ‎∵C(0,﹣4),‎ ‎∴D(0,﹣2),‎ ‎∴P点纵坐标为﹣2,‎ 代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2,解得x=(小于0,舍去)或x=,‎ ‎∴存在满足条件的P点,其坐标为(,﹣2);‎ ‎(3)∵点P在抛物线上,‎ ‎∴可设P(t,t2﹣3t﹣4),‎ 过P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点F,如图2,‎ ‎∵B(4,0),C(0,﹣4),‎ ‎∴直线BC解析式为y=x﹣4,‎ ‎∴F(t,t﹣4),‎ ‎∴PF=(t﹣4)﹣(t2﹣3t﹣4)=﹣t2+4t,‎ ‎∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•(OE+BE)=PF•OB=(﹣t2+4t)×4=﹣2(t﹣2)2+8,‎ ‎∴当t=2时,S△PBC最大值为8,此时t2﹣3t﹣4=﹣6,‎ ‎∴当P点坐标为(2,﹣6)时,△PBC的最大面积为8.‎ ‎8.(2017•西宁)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,且OA=4,OC=3,若抛物线经过O,A两点,且顶点在BC边上,对称轴交BE于点F,点D,E的坐标分别为(3,0),(0,1).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)猜想△EDB的形状并加以证明;‎ ‎(3)点M在对称轴右侧的抛物线上,点N在x轴上,请问是否存在以点A,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)在矩形OABC中,OA=4,OC=3,‎ ‎∴A(4,0),C(0,3),‎ ‎∵抛物线经过O、A两点,‎ ‎∴抛物线顶点坐标为(2,3),‎ ‎∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3,‎ 把A点坐标代入可得0=a(4﹣2)2+3,解得a=﹣,‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣2)2+3,即y=﹣x2+3x;‎ ‎(2)△EDB为等腰直角三角形.‎ 证明:‎ 由(1)可知B(4,3),且D(3,0),E(0,1),‎ ‎∴DE2=32+12=10,BD2=(4﹣3)2+32=10,BE2=42+(3﹣1)2=20,‎ ‎∴DE2+BD2=BE2,且DE=BD,‎ ‎∴△EDB为等腰直角三角形;‎ ‎(3)存在.理由如下:‎ 设直线BE解析式为y=kx+b,‎ 把B、E坐标代入可得,解得,‎ ‎∴直线BE解析式为y=x+1,‎ 当x=2时,y=2,‎ ‎∴F(2,2),‎ ‎①‎ 当AF为平行四边形的一边时,则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等,即M到x轴的距离为2,‎ ‎∴点M的纵坐标为2或﹣2,‎ 在y=﹣x2+3x中,令y=2可得2=﹣x2+3x,解得x=,‎ ‎∵点M在抛物线对称轴右侧,‎ ‎∴x>2,‎ ‎∴x=,‎ ‎∴M点坐标为(,2);‎ 在y=﹣x2+3x中,令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x,解得x=,‎ ‎∵点M在抛物线对称轴右侧,‎ ‎∴x>2,‎ ‎∴x=,‎ ‎∴M点坐标为(,﹣2);‎ ‎②当AF为平行四边形的对角线时,‎ ‎∵A(4,0),F(2,2),‎ ‎∴线段AF的中点为(3,1),即平行四边形的对称中心为(3,1),‎ 设M(t,﹣t2+3t),N(x,0),‎ 则﹣t2+3t=2,解得t=,‎ ‎∵点M在抛物线对称轴右侧,‎ ‎∴x>2,‎ ‎∴t=,‎ ‎∴M点坐标为(,2);‎ 综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(,2)或(,﹣2).‎ ‎9.(2017•盐城)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点;‎ ‎①连接BC、CD,设直线BD交线段AC于点E,△CDE的面积为S1,△BCE的面积为S2,求的最大值;‎ ‎②过点D作DF⊥AC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意得A(﹣4,0),C(0,2),‎ ‎∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴y=﹣x2﹣x+2;‎ ‎(2)①如图,令y=0,‎ ‎∴﹣x2﹣x+2=0,‎ ‎∴x1=﹣4,x2=1,‎ ‎∴B(1,0),‎ 过D作DM⊥x轴交AC于点M,过B作BN⊥x轴交于AC于N,‎ ‎∴DM∥BN,‎ ‎∴△DME∽△BNE,‎ ‎∴==,‎ 设D(a,﹣a2﹣a+2),‎ ‎∴M(a,a+2),‎ ‎∵B(1,0),‎ ‎∴N(1,),‎ ‎∴==(a+2)2+;‎ ‎∴当a=﹣2时,的最大值是;‎ ‎②∵A(﹣4,0),B(1,0),C(0,2),‎ ‎∴AC=2,BC=,AB=5,‎ ‎∴AC2+BC2=AB2,‎ ‎∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,取AB的中点P,‎ ‎∴P(﹣,0),‎ ‎∴PA=PC=PB=,‎ ‎∴∠CPO=2∠BAC,‎ ‎∴tan∠CPO=tan(2∠BAC)=,‎ 过D作x轴的平行线交y轴于R,交AC的延长线于G,‎ 情况一:如图,∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG,‎ ‎∴∠CDG=∠BAC,‎ ‎∴tan∠CDG=tan∠BAC=,‎ 即,‎ 令D(a,﹣a2﹣a+2),‎ ‎∴DR=﹣a,RC=﹣a2﹣a,‎ ‎∴,‎ ‎∴a1=0(舍去),a2=﹣2,‎ ‎∴xD=﹣2,‎ 情况二,∴∠FDC=2∠BAC,‎ ‎∴tan∠FDC=,‎ 设FC=4k,‎ ‎∴DF=3k,DC=5k,‎ ‎∵tan∠DGC==,‎ ‎∴FG=6k,‎ ‎∴CG=2k,DG=3k,‎ ‎∴RC=k,RG=k,‎ DR=3k﹣k=k,‎ ‎∴==,‎ ‎∴a1=0(舍去),a2=﹣,‎ 点D的横坐标为﹣2或﹣.‎ ‎10.(2017•株洲)已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1,‎ ‎①当b=1时,求这个二次函数的对称轴的方程; ‎ ‎②若c=﹣b2﹣2b,问:b为何值时,二次函数的图象与x轴相切?‎ ‎③若二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,与y轴的正半轴交于点M,以AB为直径的半圆恰好过点M,二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F,且满足=,求二次函数的表达式.‎ ‎【解答】解:①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=,‎ 当b=1时,=,‎ ‎∴当b=1时,求这个二次函数的对称轴的方程为x=.‎ ‎②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为(,),‎ ‎∵二次函数的图象与x轴相切且c=﹣b2﹣2b,‎ ‎∴,解得:b=,‎ ‎∴b为,二次函数的图象与x轴相切.‎ ‎③∵AB是半圆的直径,‎ ‎∴∠AMB=90°,‎ ‎∴∠OAM+∠OBM=90°,‎ ‎∵∠AOM=∠MOB=90°,‎ ‎∴∠OAM+∠OMA=90°,‎ ‎∴∠OMA=∠OBM,‎ ‎∴△OAM∽△OMB,‎ ‎∴,‎ ‎∴OM2=OA•OB,‎ ‎∵二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),‎ ‎∴OA=﹣x1,OB=x2,x1+x2,=b,x1•x2=﹣(c+1),‎ ‎∵OM=c+1,‎ ‎∴(c+1)2=c+1,‎ 解得:c=0或c=﹣1(舍去),‎ ‎∴c=0,OM=1,‎ ‎∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F,且满足=,‎ ‎∴AD=BD,DF=4DE,‎ DF∥OM,‎ ‎∴△BDE∽△BOM,△AOM∽△ADF,‎ ‎∴,,‎ ‎∴DE=,DF=,‎ ‎∴×4,‎ ‎∴OB=4OA,即x2=﹣4x1,‎ ‎∵x1•x2=﹣(c+1)=﹣1,‎ ‎∴,解得:,‎ ‎∴b=﹣+2=,‎ ‎∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+1.‎ ‎11.(2017•枣庄)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接BD.‎ ‎(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;‎ ‎(2)点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐标;‎ ‎(3)若点M是抛物线上的动点,过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在坐标平面内,以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请写出点Q的坐标.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得,解得,‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6,‎ ‎∵y=﹣x2+2x+6=﹣(x﹣2)2+8,‎ ‎∴D(2,8);‎ ‎(2)如图1,过F作FG⊥x轴于点G,‎ 设F(x,﹣x2+2x+6),则FG=|﹣x2+2x+6|,‎ ‎∵∠FBA=∠BDE,∠FGB=∠BED=90°,‎ ‎∴△FBG∽△BDE,‎ ‎∴=,‎ ‎∵B(6,0),D(2,8),‎ ‎∴E(2,0),BE=4,DE=8,OB=6,‎ ‎∴BG=6﹣x,‎ ‎∴=,‎ 当点F在x轴上方时,有=,解得x=﹣1或x=6(舍去),此时F点的坐标为(﹣1,);‎ 当点F在x轴下方时,有=﹣,解得x=﹣3或x=6(舍去),此时F点的坐标为(﹣3,﹣);‎ 综上可知F点的坐标为(﹣1,)或(﹣3,﹣);‎ ‎(3)如图2,设对角线MN、PQ交于点O′,‎ ‎∵点M、N关于抛物线对称轴对称,且四边形MPNQ为正方形,‎ ‎∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点,点Q在抛物线的对称轴上,‎ 设Q(2,2n),则M坐标为(2﹣n,n),‎ ‎∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上,‎ ‎∴n=﹣(2﹣n)2+2(2﹣n)+6,解得n=﹣1+或n=﹣1﹣,‎ ‎∴满足条件的点Q有两个,其坐标分别为(2,﹣2+2)或(2,﹣2﹣2).‎ ‎12.(2017•海南)抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0).‎ ‎(1)求该抛物线所对应的函数解析式;‎ ‎(2)该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交于点M、N.‎ ‎①连结PC、PD,如图1,在点P运动过程中,△‎ PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由;‎ ‎②连结PB,过点C作CQ⊥PM,垂足为点Q,如图2,是否存在点P,使得△CNQ与△PBM相似?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0),‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴该抛物线对应的函数解析式为y=x2﹣x+3;‎ ‎(2)①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,‎ ‎∴可设P(t,t2﹣t+3)(1<t<5),‎ ‎∵直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交于点M、N,‎ ‎∴M(t,0),N(t,t+3),‎ ‎∴PN=t+3﹣(t2﹣t+3)=﹣(t﹣)2+‎ 联立直线CD与抛物线解析式可得,解得或,‎ ‎∴C(0,3),D(7,),‎ 分别过C、D作直线PN的直线,垂足分别为E、F,如图1,‎ 则CE=t,DF=7﹣t,‎ ‎∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=PN•CE+PN•DF=PN=[﹣(t﹣)2+]=﹣(t﹣)2+,‎ ‎∴当t=时,△PCD的面积有最大值,最大值为;‎ ‎②存在.‎ ‎∵∠CQN=∠PMB=90°,‎ ‎∴当△CNQ与△PBM相似时,有或=两种情况,‎ ‎∵CQ⊥PM,垂足为Q,‎ ‎∴Q(t,3),且C(0,3),N(t,t+3),‎ ‎∴CQ=t,NQ=t+3﹣3=t,‎ ‎∴=,‎ ‎∵P(t,t2﹣t+3),M(t,0),B(5,0),‎ ‎∴BM=5﹣t,PM=0﹣(t2﹣t+3)=﹣t2+t﹣3,‎ 当时,则PM=BM,即﹣t2+t﹣3=(5﹣t),解得t=2或t=5(舍去),此时P(2,﹣);‎ 当=时,则BM=PM,即5﹣t=(﹣t2+t﹣3),解得t=或t=5(舍去),此时P(,﹣);‎ 综上可知存在满足条件的点P,其坐标为(2,﹣)或(,﹣).‎ ‎ ‎ ‎13.(2017•内江)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交与点C(0,3),与x轴交于A、B两点,点B坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x=1.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点M从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点N从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设△MBN的面积为S,点M运动时间为t,试求S与t的函数关系,并求S的最大值;‎ ‎(3)在点M运动过程中,是否存在某一时刻t,使△MBN为直角三角形?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)∵点B坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x=1.‎ ‎∴A(﹣2,0),‎ 把点A(﹣2,0)、B(4,0)、点C(0,3),分别代入y=ax2+bx+c(a≠0),得 ‎,‎ 解得 ,‎ 所以该抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+3;‎ ‎(2)设运动时间为t秒,则AM=3t,BN=t.‎ ‎∴MB=6﹣3t.‎ 由题意得,点C的坐标为(0,3).‎ 在Rt△BOC中,BC==5.‎ 如图1,过点N作NH⊥AB于点H.‎ ‎∴NH∥CO,‎ ‎∴△BHN∽△BOC,‎ ‎∴,即=,‎ ‎∴HN=t.‎ ‎∴S△MBN=MB•HN=(6﹣3t)•t=﹣t2+t=﹣(t﹣1)2+,‎ 当△PBQ存在时,0<t<2,‎ ‎∴当t=1时,‎ S△PBQ最大=.‎ 答:运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是;‎ ‎(3)如图2,‎ 在Rt△OBC中,cos∠B==.‎ 设运动时间为t秒,则AM=3t,BN=t.‎ ‎∴MB=6﹣3t.‎ 当∠MNB=90°时,cos∠B==,即=,‎ 化简,得17t=24,解得t=,‎ 当∠BMN=90°时,cos∠B==,‎ 化简,得19t=30,解得t=,‎ 综上所述:t=或t=时,△MBN为直角三角形.‎ ‎14.(2017•广元)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣3,0),B(﹣2,3),C(0,3),其顶点为D.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)设点M(1,m),当MB+MD的值最小时,求m的值;‎ ‎(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值;‎ ‎(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N,E为直线AC上任意一点,过点E作EF∥ND交抛物线于点F,以N,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)将A,B,C点的坐标代入解析式,得 ‎,‎ 解得,‎ 抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3‎ ‎(2)配方,得y=﹣(x+1)2+4,顶点D的坐标为(﹣1,4)‎ 作B点关于直线x=1的对称点B′,如图1,‎ 则B′(4,3),由(1)得D(﹣1,4),‎ 可求出直线DB′的函数关系式为y=﹣x+,‎ 当M(1,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,‎ 则m=﹣×1+=.‎ ‎(3)作PE⊥x轴交AC于E点,如图2,‎ AC的解析式为y=x+3,设P(m,﹣m2﹣2m+3),E(m,m+3),‎ PE=﹣m2﹣2m+3﹣(m+3)=﹣m2﹣3m S△APC=PE•|xA|=(﹣m2﹣3m)×3=﹣(m+)2+,‎ 当m=﹣时,△APC的面积的最大值是;‎ ‎(4)由(1)、(2)得D(﹣1,4),N(﹣1,2)‎ 点E在直线AC上,设E(x,x+3),‎ ‎①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,﹣x2﹣2x+3),‎ ‎∵EF=DN ‎∴﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=4﹣2=2,‎ 解得,x=﹣2或x=﹣1(舍去),‎ 则点E的坐标为:(﹣2,1).‎ ‎②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,﹣x2﹣2x+3),‎ ‎∵EF=DN,‎ ‎∴(x+3)﹣(﹣x2﹣2x+3)=2,‎ 解得x=或x=,‎ 即点E的坐标为:(,)或(,)‎ 综上可得满足条件的点E为E(﹣2,1)或:(,)或(,).‎ ‎15.(2017•泸州)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(﹣1,0)、B(4,0)、C(0,2)三点.‎ ‎(1)求该二次函数的解析式;‎ ‎(2)点D是该二次函数图象上的一点,且满足∠DBA=∠CAO(O是坐标原点),求点D的坐标;‎ ‎(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点,连接PA分别交BC、y轴于点E、F,若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2,求S1﹣S2的最大值.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)由题意可得,解得,‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2;‎ ‎(2)当点D在x轴上方时,过C作CD∥AB交抛物线于点D,如图1,‎ ‎∵A、B关于对称轴对称,C、D关于对称轴对称,‎ ‎∴四边形ABDC为等腰梯形,‎ ‎∴∠CAO=∠DBA,即点D满足条件,‎ ‎∴D(3,2);‎ 当点D在x轴下方时,‎ ‎∵∠DBA=∠CAO,‎ ‎∴BD∥AC,‎ ‎∵C(0,2),‎ ‎∴可设直线AC解析式为y=kx+2,把A(﹣1,0)代入可求得k=2,‎ ‎∴直线AC解析式为y=2x+2,‎ ‎∴可设直线BD解析式为y=2x+m,把B(4,0)代入可求得m=﹣8,‎ ‎∴直线BD解析式为y=2x﹣8,‎ 联立直线BD和抛物线解析式可得,解得或,‎ ‎∴D(﹣5,﹣18);‎ 综上可知满足条件的点D的坐标为(3,2)或(﹣5,﹣18);‎ ‎(3)过点P作PH∥y轴交直线BC于点H,如图2,‎ 设P(t,﹣t2+t+2),‎ 由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+2,‎ ‎∴H(t,﹣t+2),‎ ‎∴PH=yP﹣yH=﹣t2+t+2﹣(﹣t+2)=﹣t2+2t,‎ 设直线AP的解析式为y=px+q,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴直线AP的解析式为y=(﹣t+2)(x+1),令x=0可得y=2﹣t,‎ ‎∴F(0,2﹣t),‎ ‎∴CF=2﹣(2﹣t)=t,‎ 联立直线AP和直线BC解析式可得,解得x=,即E点的横坐标为,‎ ‎∴S1=PH(xB﹣xE)=(﹣t2+2t)(4﹣),S2=••,‎ ‎∴S1﹣S2=(﹣t2+2t)(4﹣)﹣••=﹣t2+4t=﹣(t﹣)2+,‎ ‎∴当t=时,有S1﹣S2有最大值,最大值为.‎ ‎16.(2017•锦州)如图,抛物线y=x2+bx+‎ c经过B(﹣1,0),D(﹣2,5)两点,与x轴另一交点为A,点H是线段AB上一动点,过点H的直线PQ⊥x轴,分别交直线AD、抛物线于点Q,P.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)是否存在点P,使∠APB=90°,若存在,求出点P的横坐标,若不存在,说明理由;‎ ‎(3)连接BQ,一动点M从点B出发,沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q,再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止,当点Q的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时t最少?‎ ‎【解答】解:(1)把B(﹣1,0),D(﹣2,5)代入y=x2+bx+c,‎ 得,解得,‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣3;‎ ‎(2)存在点P,使∠APB=90°.‎ 当y=0时,即x2﹣2x﹣3=0,解得:x1=﹣1,x2=3,‎ ‎∴OB=1,OA=3.‎ 设P(m,m2﹣2m﹣3),则﹣1≤m≤3,PH=﹣(m2﹣2m﹣3),BH=1+m,AH=3﹣m,‎ ‎∵∠APB=90°,PH⊥AB,‎ ‎∴∠PAH=∠BPH=90°﹣∠APH,∠AHP=∠PHB,‎ ‎∴△AHP∽△PHB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴PH2=BH•AH,‎ ‎∴[﹣(m2﹣2m﹣3)]2=(1+m)(3﹣m),‎ 解得m1=1+,m2=1﹣,‎ ‎∴点P的横坐标为:1+或1﹣;‎ ‎(3)如图,过点D作DN⊥x轴于点N,则DN=5,ON=2,AN=3+2=5,‎ ‎∴tan∠DAB===1,‎ ‎∴∠DAB=45°.‎ 过点D作DK∥x轴,则∠KDQ=∠DAB=45°,DQ=QG.‎ 由题意,动点M运动的路径为折线BQ+QD,运动时间:t=BQ+DQ,‎ ‎∴t=BQ+QG,即运动的时间值等于折线BQ+QG的长度值.‎ 由垂线段最短可知,折线BQ+QG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.‎ 过点B作BH⊥DK于点H,则t最小=BH,BH与直线AD的交点,即为所求之Q点.‎ ‎∵A(3,0),D(﹣2,5),‎ ‎∴直线AD的解析式为:y=﹣x+3,‎ ‎∵B点横坐标为﹣1,‎ ‎∴y=1+3=4,‎ ‎∴Q(﹣1,4).‎ ‎17.(2017•乐山)如图1,抛物线C1:y=x2+ax与C2:y=﹣x2+bx相交于点O、C,C1与C2分别交x轴于点B、A,且B为线段AO的中点.‎ ‎(1)求 的值;‎ ‎(2)若OC⊥AC,求△OAC的面积;‎ ‎(3)抛物线C2的对称轴为l,顶点为M,在(2)的条件下:‎ ‎①点P为抛物线C2对称轴l上一动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;‎ ‎②如图2,点E在抛物线C2上点O与点M之间运动,四边形OBCE的面积是否存在最大值?若存在,求出面积的最大值和点E的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)在y=x2+ax中,当y=0时,x2+ax=0,x1=0,x2=﹣a,‎ ‎∴B(﹣a,0),‎ 在y=﹣x2+bx中,当y=0时,﹣x2+bx=0,x1=0,x2=b,‎ ‎∴A(0,b),‎ ‎∵B为OA的中点,‎ ‎∴b=﹣2a,‎ ‎∴;‎ ‎(2)联立两抛物线解析式可得,消去y整理可得2x2+3ax=0,解得x1=0,,‎ 当时,,‎ ‎∴,‎ 过C作CD⊥x轴于点D,如图1,‎ ‎∴,‎ ‎∵∠OCA=90°,‎ ‎∴△OCD∽△CAD,‎ ‎∴,‎ ‎∴CD2=AD•OD,即,‎ ‎∴a1=0(舍去),(舍去),,‎ ‎∴,,‎ ‎∴;‎ ‎(3)①抛物线,‎ ‎∴其对称轴,‎ 点A关于l2的对称点为O(0,0),,‎ 则P为直线OC与l2的交点,‎ 设OC的解析式为y=kx,‎ ‎∴,得,‎ ‎∴OC的解析式为,‎ 当时,,‎ ‎∴;‎ ‎②设,‎ 则,‎ 而,,‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b,‎ 由,解得,‎ ‎∴直线BC的解析式为,‎ 过点E作x轴的平行线交直线BC于点N,如图2,‎ 则,即x=,‎ ‎∴EN=,‎ ‎∴‎ ‎∴S四边形OBCE=S△OBE+S△EBC==,‎ ‎∵,‎ ‎∴当时,,‎ 当时,,‎ ‎∴,.‎ ‎18.(2017•黔南州)如图,已知直角坐标系中,A、B、D三点的坐标分别为A(8,0),B(0,4),D(﹣1,0),点C与点B关于x轴对称,连接AB、AC.‎ ‎(1)求过A、B、D三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)有一动点E从原点O出发,以每秒2个单位的速度向右运动,过点E作x轴的垂线,交抛物线于点P,交线段CA于点M,连接PA、PB,设点E运动的时间为t(0<t<4)秒,求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;‎ ‎(3)抛物线的对称轴上是否存在一点H,使得△ABH是直角三角形?若存在,请直接写出点H的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)∵A(8,0),D(﹣1,0),‎ 设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣8),将B(0,4)代入得﹣8a=4,‎ ‎∴a=﹣,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣(x+1)(x﹣8)=﹣x2+x+4;‎ ‎(2)△ABC中,AB=AC,AO⊥BC,则OB=OC=4,‎ ‎∴C(0,﹣4).‎ 由A(8,0)、B(0,4),得:直线AB:y=﹣x+4;‎ 依题意,知:OE=2t,即 E(2t,0);‎ ‎∴P(2t,﹣2t2+7t+4)、Q(2t,﹣t+4),PQ=(﹣2t2+7t+4)﹣(﹣t+4)=﹣2t2+8t;‎ S=S△ABC+S△PAB=×8×8+×(﹣2t2+8t)×8=﹣8t2+32t+32=﹣8(t﹣2)2+64;‎ ‎∴当t=2时,S有最大值,且最大值为64;‎ ‎(3)存在,‎ ‎∵抛物线的对称轴为:x==,‎ ‎∴设H(,m),‎ ‎∵A(8,0),B(0,4),‎ ‎∴AH2=(8﹣)2+m2=+m2,AB2=82+42=80,BH2=()2+(4﹣m)2=m2﹣8m+①当∠ABH=90°时,AH2=BH2+AB2,即+m2=m2﹣8m++80,‎ 解得:m=11,‎ ‎∴H(,11),‎ ‎②当∠AHB=90°时,AH2+BH2=AB2,+m2+m2﹣8m+=80,‎ 解得:m=2±,‎ ‎∴H(,2+),(,2﹣),‎ ‎③当∠BAH=90°时,AB2+AH2=HB2,即80++m2=m2﹣8m+,‎ 解得:m=﹣9,‎ ‎∴H(,﹣9),‎ 综上所述,H(,11)或(,2+)或(,2﹣)或(,﹣9).‎ ‎19.(2017•怀化)如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)若点D是y轴上的一点,且以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,求点D的坐标;‎ ‎(3)如图2,CE∥x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别相交于点F,G,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标及最大面积;‎ ‎(4)若点K为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM的周长最小,求出点P,Q的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)∵点A(﹣1,0),B(5,0)在抛物线y=ax2+bx﹣5上,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5,‎ ‎(2)如图1,令x=0,则y=﹣5,‎ ‎∴C(0,﹣5),‎ ‎∴OC=OB,‎ ‎∴∠OBC=∠OCB=45°,‎ ‎∴AB=6,BC=5,‎ 要使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,则有或,‎ ‎①当时,‎ CD=AB=6,‎ ‎∴D(0,1),‎ ‎②当时,‎ ‎∴,‎ ‎∴CD=,‎ ‎∴D(0,),‎ 即:D的坐标为(0,1)或(0,);‎ ‎(3)设H(t,t2﹣4t﹣5),‎ ‎∵CE∥x轴,‎ ‎∴点E的纵坐标为﹣5,‎ ‎∵E在抛物线上,‎ ‎∴x2﹣4x﹣5=﹣5,‎ ‎∴x=0(舍)或x=4,‎ ‎∴E(4,﹣5),‎ ‎∴CE=4,‎ ‎∵B(5,0),C(0,﹣5),‎ ‎∴直线BC的解析式为y=x﹣5,‎ ‎∴F(t,t﹣5),‎ ‎∴HF=t﹣5﹣(t2﹣4t﹣5)=﹣(t﹣)2+,‎ ‎∵CE∥x轴,HF∥y轴,‎ ‎∴CE⊥HF,‎ ‎∴S四边形CHEF=CE•HF=﹣2(t﹣)2+,‎ 当t=时,四边形CHEF的面积最大为.‎ 当t=时,t2﹣4t﹣5=﹣10﹣5=﹣,‎ ‎∴H(,﹣);‎ ‎(4)如图2,∵K为抛物线的顶点,‎ ‎∴K(2,﹣9),‎ ‎∴K关于y轴的对称点K'(﹣2,﹣9),‎ ‎∵M(4,m)在抛物线上,‎ ‎∴M(4,﹣5),‎ ‎∴点M关于x轴的对称点M'(4,5),‎ ‎∴直线K'M'的解析式为y=x﹣,‎ ‎∴P(,0),Q(0,﹣).‎ ‎20.(2017•绵阳)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,2),直线y=x+1与抛物线交于B,D两点,以BD为直径作圆,圆心为点C,圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)证明:圆C与x轴相切;‎ ‎(3)过点B作BE⊥m,垂足为E,再过点D作DF⊥m,垂足为F,求BE:MF的值.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)∵已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1),‎ ‎∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+1,‎ ‎∵抛物线经过点(4,2),‎ ‎∴2=a(4﹣2)2+1,解得a=,‎ ‎∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2+1=x2﹣x+2;‎ ‎(2)联立直线和抛物线解析式可得,解得或,‎ ‎∴B(3﹣,﹣),D(3+,+),‎ ‎∵C为BD的中点,‎ ‎∴点C的纵坐标为=,‎ ‎∵BD==5,‎ ‎∴圆的半径为,‎ ‎∴点C到x轴的距离等于圆的半径,‎ ‎∴圆C与x轴相切;‎ ‎(3)如图,过点C作CH⊥m,垂足为H,连接CM,‎ 由(2)可知CM=,CH=﹣1=,‎ 在Rt△CMH中,由勾股定理可求得MH=2,‎ ‎∵HF==,‎ ‎∴MF=HF﹣MH=﹣2,‎ ‎∵BE=﹣﹣1=﹣,‎ ‎∴==.‎ ‎21.(2017•辽阳)如图1,抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣2,0)、B(0,﹣2)两点,点C在y轴上,△ABC为等边三角形,点D从点A出发,沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动,设运动时间为t秒(t>0),过点D作DE⊥AC于点E,以DE为边作矩形DEGF,使点F在x轴上,点G在AC或AC的延长线上.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)将矩形DEGF沿GF所在直线翻折,得矩形D'E'GF,当点D的对称点D'落在抛物线上时,求此时点D'的坐标;‎ ‎(3)如图2,在x轴上有一点M(2‎ ‎,0),连接BM、CM,在点D的运动过程中,设矩形DEGF与四边形ABMC重叠部分的面积为S,直接写出S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)把A(﹣2,0)、B(0,﹣2)代入抛物线的解析式得:,解得:,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2.‎ ‎(2)A(﹣2,0)、B(0,﹣2),‎ ‎∴OA=2,OB=2.‎ ‎∵AD=2t,∠DEA=90°,∠BAC=60°,‎ ‎∴AE=t,DE=t.‎ ‎∵△ABC为等边三角形,‎ ‎∴∠BAC=60°.‎ ‎∵AO⊥BC,‎ ‎∴∠CAO=∠BAO=30°.‎ ‎∵四边形DEGF为矩形,‎ ‎∴DF∥AC,GF=DE=t.‎ ‎∴∠DFA=∠CAO=30°,‎ ‎∴AF=2GF=2t.‎ ‎∴∠DFA=∠BAO=30°.‎ ‎∴DF=AD=2t.‎ 过点D′作D′H⊥x轴与点H.‎ ‎∵∠D′FH=∠AFD=30°,‎ ‎∴D′H=D′F=t,FH=D′H=t.‎ ‎∴AH=AF+FH=3t.‎ ‎∴OH=AH﹣AO=3t﹣2.‎ ‎∴D′(3t﹣2,t).‎ 把点D′(3t﹣2,t)代入y=x2+x﹣2得:t=(3t﹣2)2+(3t﹣2)﹣2.整理得:9t2﹣10t=0,‎ 解得t=或t=0(舍去).‎ ‎∴D′(,).‎ ‎(3)由(2)可知:DE=t,DF=2t,AE=t.‎ 如图2所示:当AE+EG≤AC时,即t+2t≤4,解得:t≤.‎ ‎∴当0<t≤时,S=ED•DF=2t2.‎ 当<t≤2时,如图3所示:‎ ‎∵CG=AG﹣AC,‎ ‎∴CG=3t﹣4,‎ ‎∴GN=3t﹣4.‎ ‎∴S=ED•DF﹣CG•GN=2t2﹣(3t﹣4)×(3t﹣4)=﹣t2+12t﹣8.‎ 综上所述,S与t的函数关系式为S=.‎ ‎22.(2017•贺州)如图,在平面直角坐标系中,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A,B两点,其中点A,C的坐标分别为(1,0),(﹣4,0),抛物线的顶点为点D.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点(不与A,B重合),过点E作x轴的垂线,交抛物线于点F,当线段FE的长度最大时,求点E的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使△PEF是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)∵A,C的坐标分别为(1,0),(﹣4,0),‎ ‎∴AC=5.‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形,∠C=90°,‎ ‎∴BC=AC=5.‎ ‎∴B(﹣4,﹣5).‎ 将点A和点B的坐标代入得:,解得:,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3.‎ ‎(2)如图1所示:‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b,将点A和点B的坐标代入得:,解得:k=1,b=﹣1.‎ 所以直线AB的解析式为y=x﹣1.‎ 设点E的坐标为(t,t﹣1),则点F的坐标为(t,﹣t2﹣2t+3).‎ ‎∴EF=﹣t2﹣2t+3﹣(t﹣1)=﹣t2﹣3t+4=(t+)2+.‎ ‎∴当t=﹣时,FE取最大值,此时,点E的坐标为(﹣,﹣).‎ ‎(3)存在点P,能使△PEF是以EF为直角边的直角三角形.‎ 理由:如图所示:过点F作直线a⊥EF,交抛物线于点P,过点E作直线b⊥EF,交抛物线P′、P″.‎ 由(2)可知点E的坐标为(t,t﹣1),则点F的坐标为(t,﹣t2﹣2t+3),t=﹣,‎ ‎∴点E(﹣,﹣)、F(﹣,).‎ ‎①当﹣t2﹣2t+3=时,解得:x=﹣或x=﹣(舍去).‎ ‎∴点P的坐标为(﹣,).‎ ‎②当﹣t2﹣2t+3=﹣时,解得:x=﹣1+或x=﹣1﹣.‎ ‎∴点P′(﹣1﹣,﹣),P″(﹣1+,﹣).‎ 综上所述,点P的坐标为(﹣,)或(﹣1﹣,﹣)或P″(﹣1+,﹣).‎ ‎23.(2017•达州)如图1,点A坐标为(2,0),以OA为边在第一象限内作等边△OAB,点C为x轴上一动点,且在点A右侧,连接BC,以BC为边在第一象限内作等边△BCD,连接AD交BC于E.‎ ‎(1)①直接回答:△OBC与△ABD全等吗?‎ ‎②试说明:无论点C如何移动,AD始终与OB平行;‎ ‎(2)当点C运动到使AC2=AE•AD时,如图2,经过O、B、C三点的抛物线为y1.试问:y1上是否存在动点P,使△BEP为直角三角形且BE为直角边?若存在,求出点P坐标;若不存在,说明理由;‎ ‎(3)在(2)的条件下,将y1沿x轴翻折得y2,设y1与y2组成的图形为M,函数y=x+m的图象l与M有公共点.试写出:l与M的公共点为3个时,m的取值.‎ ‎【解答】解:(1)①△OBC与△ABD全等,‎ 理由是:如图1,∵△OAB和△BCD是等边三角形,‎ ‎∴∠OBA=∠CBD=60°,‎ OB=AB,BC=BD,‎ ‎∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC,‎ 即∠OBC=∠ABD,‎ ‎∴△OBC≌△ABD(SAS);‎ ‎②∵△OBC≌△ABD,‎ ‎∴∠BAD=∠BOC=60°,‎ ‎∴∠OBA=∠BAD,‎ ‎∴OB∥AD,‎ ‎∴无论点C如何移动,AD始终与OB平行;‎ ‎(2)如图2,∵AC2=AE•AD,‎ ‎∴,‎ ‎∵∠EAC=∠DAC,‎ ‎∴△AEC∽△ACD,‎ ‎∴∠ECA=∠ADC,‎ ‎∵∠BAD=∠BAO=60°,‎ ‎∴∠DAC=60°,‎ ‎∵∠BED=∠AEC,‎ ‎∴∠ACB=∠ADB,‎ ‎∴∠ADB=∠ADC,‎ ‎∵BD=CD,‎ ‎∴DE⊥BC,‎ Rt△ABE中,∠BAE=60°,‎ ‎∴∠ABE=30°,‎ ‎∴AE=AB=×2=1,‎ Rt△AEC中,∠EAC=60°,‎ ‎∴∠ECA=30°,‎ ‎∴AC=2AE=2,‎ ‎∴C(4,0),‎ 等边△OAB中,过B作BH⊥x轴于H,‎ ‎∴BH==,‎ ‎∴B(1,),‎ 设y1的解析式为:y=ax(x﹣4),‎ 把B(1,)代入得:=a(1﹣4),‎ a=﹣,‎ ‎∴设y1的解析式为:y1=﹣x(x﹣4)=﹣x2+x,‎ 过E作EG⊥x轴于G,‎ Rt△AGE中,AE=1,‎ ‎∴AG=AE=,‎ EG==,‎ ‎∴E(,),‎ 设直线AE的解析式为:y=kx+b,‎ 把A(2,0)和E(,)代入得:,‎ 解得:,‎ ‎∴直线AE的解析式为:y=x﹣2,‎ 则,‎ 解得:,,‎ ‎∴P(3,)或(﹣2,﹣4);‎ 由(2)知:OB∥AD,‎ ‎∴∠OBE=∠AEC=90°,‎ ‎∴△OBE是直角三角形,‎ ‎∴P在点O处时,也符合条件,‎ 综上所述,点P的坐标为:(3,)或(﹣2,﹣4)或(0,0);‎ ‎(3)如图3,‎ y1=﹣x2+x=﹣(x﹣2)2+,‎ 顶点(2,),‎ ‎∴抛物线y2的顶点为(2,﹣),‎ ‎∴y2=(x﹣2)2﹣,‎ ‎∵直线y=x+m和组成图形M的抛物线y1有两个交点或一个交点或没有交点,‎ 抛物线y2有两个交点或一个交点或没有交点,‎ 要图象M和直线y=x+m只有3个交点,则直线y=x+m和y1或y2相切,‎ 当y2与l相切时,直线l与y2只有一个公共点,即:l与图形M有3个公共点,‎ 则,‎ ‎=﹣,‎ x2﹣7x﹣3m=0,‎ ‎△=(﹣7)2﹣4×1×(﹣3m)=0,‎ m=﹣,‎ 当y1与l相切时,直线l与y1只有一个公共点,l与图形M有3个公共点,‎ ‎∴,‎ ‎∴x2﹣x+3m=0,‎ ‎∴△=1﹣12m=0,‎ ‎∴m=,‎ 当直线经过(0,0)或(4,0)时,也符合题意,此时m=0或﹣4‎ ‎∴当l与M的公共点为3个时,m的取值是:m=﹣或m=或0或﹣4.‎ ‎24.(2017•葫芦岛)如图,抛物线y=ax2﹣2x+c(a≠0)与x轴、y轴分别交于点A,B,C三点,已知点A(﹣2,0),点C(0,﹣8),点D是抛物线的顶点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;‎ ‎(2)如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点P,将△EBP沿直线EP折叠,使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上,求点P的坐标;‎ ‎(3)如图2,设BC交抛物线的对称轴于点F,作直线CD,点M是直线CD上的动点,点N是平面内一点,当以点B,F,M,N为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点M的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得:,‎ 解得:a=1,c=﹣8.‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8.‎ ‎∵y=(x﹣1)2﹣9,‎ ‎∴D(1,﹣9).‎ ‎(2)将y=0代入抛物线的解析式得:x2﹣2x﹣8=0,解得x=4或x=﹣2,‎ ‎∴B(4,0).‎ ‎∵y=(x﹣1)2﹣9,‎ ‎∴抛物线的对称轴为x=1,‎ ‎∴E(1,0).‎ ‎∵将△EBP沿直线EP折叠,使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上,‎ ‎∴EP为∠BEF的角平分线.‎ ‎∴∠BEP=45°.‎ 设直线EP的解析式为y=﹣x+b,将点E的坐标代入得:﹣1+b=0,解得b=1,‎ ‎∴直线EP的解析式为y=﹣x+1.‎ 将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得:﹣x+1=x2﹣2x﹣8,解得:x=或x=.‎ ‎∵点P在第四象限,‎ ‎∴x=.‎ ‎∴y=.‎ ‎∴P(,).‎ ‎(3)设CD的解析式为y=kx﹣8,将点D的坐标代入得:k﹣8=﹣9,解得k=﹣1,‎ ‎∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8.‎ 设直线CB的解析式为y=k2x﹣8,将点B的坐标代入得:4k2﹣8=0,解得:k2=2.‎ ‎∴直线BC的解析式为y=2x﹣8.‎ 将x=1代入直线BC的解析式得:y=﹣6,‎ ‎∴F(1,﹣6).‎ 设点M的坐标为(a,﹣a﹣8).‎ 当MF=MB时,(a﹣4)2+(a+8)2=(a﹣1)2+(a+2)2,整理得:6a=﹣75,解得:a=﹣.‎ ‎∴点M的坐标为(﹣,).‎ 当FM=FB时,(a﹣1)2+(a+2)2=(4﹣1)2+(﹣6﹣0)2,整理得:a2+a﹣20=0,解得:a=4或a=﹣5.‎ ‎∴点M的坐标为(4,﹣12)或(﹣5,﹣3).‎ 综上所述,点M的坐标为(﹣,)或(4,﹣12)或(﹣5,﹣3).‎ ‎25.(2017•十堰)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(m,0),与y轴交于C.‎ ‎(1)若m=﹣3,求抛物线的解析式,并写出抛物线的对称轴;‎ ‎(2)如图1,在(1)的条件下,设抛物线的对称轴交x轴于D,在对称轴左侧的抛物线上有一点E,使S△ACE=S△ACD,求点E的坐标;‎ ‎(3)如图2,设F(﹣1,﹣4),FG⊥y于G,在线段OG上是否存在点P,使∠OBP=∠FPG?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)当m=﹣3时,B(﹣3,0),‎ 把A(1,0),B(﹣3,0)代入到抛物线y=x2+bx+c中得:‎ ‎,解得,‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4;‎ 对称轴是:直线x=﹣1;‎ ‎(2)如图1,设E(m,m2+2m﹣3),‎ 由题意得:AD=1+1=2,OC=3,‎ S△ACE=S△ACD=×AD•OC=×2×3=10,‎ 设直线AE的解析式为:y=kx+b,‎ 把A(1,0)和E(m,m2+2m﹣3)代入得,‎ ‎,‎ 解得:,‎ ‎∴直线AE的解析式为:y=(m+3)x﹣m﹣3,‎ ‎∴F(0,﹣m﹣3),‎ ‎∵C(0,﹣3),‎ ‎∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m,‎ ‎∴S△ACE=FC•(1﹣m)=10,‎ ‎﹣m(1﹣m)=20,‎ m2﹣m﹣20=0,‎ ‎(m+4)(m﹣5)=0,‎ m1=﹣4,m2=5(舍),‎ ‎∴E(﹣4,5);‎ ‎(3)设点P(0,y).‎ ‎①当m<0时,‎ 如图2,△POB∽△FGP 得=‎ ‎∴m=y2+4y=(y+2)2﹣4‎ ‎∵﹣4<y<0,‎ ‎∴﹣4≤m<0.‎ ‎②当m>0时,‎ 如图3,△POB∽△FGP ‎∴=‎ ‎∴=‎ ‎∴m=﹣y2﹣4y=﹣(y+2)2+4‎ ‎∴﹣4<y<0‎ ‎∴0<m≤4‎ 综上所述,m的取值范围是﹣4≤m≤4且m≠0.‎ ‎ 26.(2017•黔东南州)如图,⊙M的圆心M(﹣1,2),⊙M经过坐标原点O,与y轴交于点A.经过点A的一条直线l解析式为:y=﹣x+4与x轴交于点B,以M为顶点的抛物线经过x轴上点D(2,0)和点C(﹣4,0).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)求证:直线l是⊙M的切线;‎ ‎(3)点P为抛物线上一动点,且PE与直线l垂直,垂足为E;PF∥y轴,交直线l于点F,是否存在这样的点P,使△PEF的面积最小.若存在,请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)(x+4),将点M的坐标代入得:﹣9a=2,解得:a=﹣.‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+.‎ ‎(2)连接AM,过点M作MG⊥AD,垂足为G.‎ 把x=0代入y=﹣x+4得:y=4,‎ ‎∴A(0,4).‎ 将y=0代入得:0=﹣x+4,解得x=8,‎ ‎∴B(8,0).‎ ‎∴OA=4,OB=8.‎ ‎∵M(﹣1,2),A(0,4),‎ ‎∴MG=1,AG=2.‎ ‎∴tan∠MAG=tan∠ABO=.‎ ‎∴∠MAG=∠ABO.‎ ‎∵∠OAB+∠ABO=90°,‎ ‎∴∠MAG+∠OAB=90°,即∠MAB=90°.‎ ‎∴l是⊙M的切线.‎ ‎(3)∵∠PFE+∠FPE=90°,∠FBD+∠PFE=90°,‎ ‎∴∠FPE=∠FBD.‎ ‎∴tan∠FPE=.‎ ‎∴PF:PE:EF=:2:1.‎ ‎∴△PEF的面积=PE•EF=×PF•PF=PF2.‎ ‎∴当PF最小时,△PEF的面积最小.‎ 设点P的坐标为(x,﹣x2﹣x+),则F(x,﹣x+4).‎ ‎∴PF=(﹣x+4)﹣(﹣x2﹣x+)=﹣x+4+x2+x﹣=x2﹣x+=(x﹣)2+.‎ ‎∴当x=时,PF有最小值,PF的最小值为.‎ ‎∴P(,).‎ ‎∴△PEF的面积的最小值为=×()2=.‎ ‎27.(2017•抚顺)如图,抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A,并经过B(4,4)和C(6,0)两点,点D的坐标为(4,0),连接AD,BC,点E从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿线段AD向点D运动,到达点D后,以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动,设点E的运动时间为t秒,过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F,以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)当点G落在第一象限内的抛物线上时,求出t的值;‎ ‎(3)设点E从点A出发时,点E,F,G都与点A重合,点E在运动过程中,当△BCG的面积为4时,直接写出相应的t值,并直接写出点G从出发到此时所经 过的路径长.‎ ‎【解答】解:(1)将B(4,4)和C(6,0)代入抛物线y=ax2+bx+4得:‎ ‎,‎ 解得:,‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+4;‎ ‎(2)如图1,由题意得:AE=t,‎ ‎∵A(0,4),B(4,4),‎ ‎∴AB⊥y轴,且AB∥x轴,‎ ‎∵OA=OD=4,‎ ‎∴△AOD是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠ADO=∠BAD=45°,‎ ‎∴△AFE是等腰直角三角形,‎ ‎∴AF=EF=t,‎ ‎∵△EFG是等腰直角三角形,‎ ‎∴G(t+t,4﹣t),‎ 即:点G(,4﹣t),‎ 将点G(,4﹣t)代入到抛物线得:‎ ‎4﹣t=﹣()2++4,‎ 解得:t1=0(舍),t2=,‎ 答:当t=时,点G落在抛物线上;‎ ‎(3)如图2,连接BD,当G在BD上时,‎ ‎=4,‎ t=,‎ ‎①当0≤t≤时,如图3,‎ 过G作GH⊥x轴于H,延长HG交AB于M,则GM⊥AB,‎ ‎∵B(4,4),D(4,0),‎ ‎∴BD⊥x轴,‎ ‎∴S△BCG=S梯形GHDB+S△BDC﹣S△GHC,‎ ‎4=(4﹣+4)(4﹣)+×4×(6﹣4)﹣(6﹣)(4﹣t),‎ ‎4=t,‎ 解得:t=,‎ ‎∴AM==×=,‎ GM=t=×=,‎ 在Rt△AGM中,由勾股定理得:AG===;‎ ‎∴当t=时,此时点G运动的路径长为;‎ ‎②当G在BC上时,如图4,‎ tan∠C==2,‎ ‎∴GH=2HC,‎ ‎∴4﹣t=2(6﹣),‎ t=,‎ 当<t≤时,如图5,‎ S△BCG=S△BDC﹣S梯形BDHG﹣S△GHC,‎ ‎4=×4×2﹣(4﹣+4)(t﹣4)﹣×,‎ t=(不在此范围内,不符合题意),‎ ‎③当E与D重合时,F与B重合,如图6,‎ t==4,‎ ‎∴G(6,2),‎ ‎∴AG==2,‎ ‎∴S△BCG=S梯形BDCG﹣S△BDC=×2×(4+2)﹣×2×4=2,‎ ‎∴当t>4时,如图7,‎ 由题意得:DE=t﹣4,‎ ‎∴OE=t﹣4+4=t,‎ ‎∴OH=OE+EH=t+2,‎ EH=2,GM=GH=2,‎ BM=t+2﹣4=t﹣2,‎ CH=t+2﹣6=t﹣4,‎ 过G作MH⊥x轴,交x轴于H,交直线AB于M,‎ ‎∴S△BGC=S梯形BCHM﹣S△BGM﹣S△GCH,‎ ‎4=(t﹣4+t﹣2)×4﹣×2×(t﹣2)﹣×2×(t﹣4),‎ t=5,‎ 当t=5时,点G的运动路径分为两部分组成:‎ i)点G从A运动到D时,运动路径为:如图6中的AG长,即为2;‎ ii)点G从D点继续在射线DC上运动1秒时,路径为1;‎ 所以当t=5时,此时点G运动的路径长度为1+2.‎ 综上所述:当t1=秒,此时路径长度为,‎ 当t2=5秒,此时路径长度为1+2.‎ ‎28.(2017•莱芜)抛物线y=ax2+bx+c过A(2,3),B(4,3),C(6,﹣5)三点.‎ ‎(1)求抛物线的表达式;‎ ‎(2)如图①,抛物线上一点D在线段AC的上方,DE⊥AB交AC于点E,若满足=‎ ‎,求点D的坐标;‎ ‎(3)如图②,F为抛物线顶点,过A作直线l⊥AB,若点P在直线l上运动,点Q在x轴上运动,是否存在这样的点P、Q,使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似,若存在,求P、Q的坐标,并求此时△BPQ的面积;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意,设抛物线表达式为y=a(x﹣3)2+h.‎ 把B(4,3),C(6,﹣5)代入得:,‎ 解得:,‎ 故抛物线的表达式为:y=﹣(x﹣3)2+4=﹣x2+6x﹣5;‎ ‎(2)设直线AC的表达式为y=kx+n,‎ 则:,‎ 解得:k=﹣2,n=7,‎ ‎∴直线AC的表达式为y=﹣2x+7,‎ 设点D(m,﹣m+6m﹣5),2<m<6,则点E(m,﹣2m+7),‎ ‎∴DE=(﹣m2+6m﹣5)﹣(﹣2m+7)=﹣m2+8m﹣12,‎ 设直线DE与直线AB交于点G,‎ ‎∵AG⊥EG,‎ ‎∴AG=m﹣2,EG=3﹣(﹣2m+7)=2(m﹣2),‎ m﹣2>0,‎ 在Rt△AEG中,‎ ‎∴AE=(m﹣2),‎ 由,得=,‎ 化简得,2m2﹣11m+14=0,‎ 解得:m1=,m2=2(舍去),‎ 则D(,).‎ ‎(3)根据题意得:△ABF为等腰直角三角形,假设存在满足条件的点P、Q,则△BPQ为等腰直角三角形,‎ 分三种情况:‎ ‎①若∠BPQ=90°,BP=PQ,‎ 如图2,过P作MN∥x轴,过Q作QM⊥MN于M,过B作BN⊥MN于N,‎ 易证得:△BAP≌△QMP,‎ ‎∴AB=QM=2,PM=AP=3+2=5,‎ ‎∴P(2,﹣2),Q(﹣3,0),‎ 在Rt△QMP中,PM=5,QM=2,‎ 由勾股定理得:PQ==,‎ ‎∴S△BPQ=PQ•PB=;‎ 如图3,易证得:△BAP≌△PMQ,‎ ‎∴AB=PM=2,AP=MQ=3﹣2=1,‎ ‎∴P(2,2),Q(3,0),‎ 在Rt△QMP中,PM=2,QM=1,‎ 由勾股定理得:PQ=,‎ ‎∴S△BPQ=PQ•PB=;‎ ‎②若∠BQP=90°,BQ=PQ,‎ 如图4,易得:△BNQ≌△QMP,‎ ‎∴NQ=PM=3,NG=PM﹣AG=3﹣2=1,‎ ‎∴BN=MQ=4+1=5,‎ ‎∴P(2,﹣5),Q(﹣1,0)‎ ‎∴PQ==,‎ ‎∴S△BPQ=PQ•PB==17;‎ 如图5,易得△QNB≌△PMQ,‎ ‎∴NQ=PM=3,‎ ‎∴P(2,﹣1),Q(5,0),‎ ‎∴PQ=,‎ ‎∴S△BPQ=PQ•PB==5,‎ ‎③若∠PBQ=90°,BQ=BP,如图6,‎ 过Q作QN⊥AB,交AB的延长线于N,‎ 易得:△PAB≌△BNQ,‎ ‎∵AB=2,NQ=3,AB≠NQ ‎∴此时不存在符合条件的P、Q.‎ ‎29.(2017•郴州)如图,已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于丁C,且A(2,0),C(0,﹣4),直线l:y=﹣x﹣4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点,过点P作PE⊥x轴,垂足为E,交直线l于点F.‎ ‎(1)试求该抛物线表达式;‎ ‎(2)如图(1),过点P在第三象限,四边形PCOF是平行四边形,求P点的坐标;‎ ‎(3)如图(2),过点P作PH⊥y轴,垂足为H,连接AC.‎ ‎①求证:△ACD是直角三角形;‎ ‎②试问当P点横坐标为何值时,使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似?‎ ‎【解答】解:(1)由题意得:,解得:,‎ ‎∴抛物线的表达式为y=x2+x﹣4.‎ ‎(2)设P(m,m2+m﹣4),则F(m,﹣m﹣4).‎ ‎∴PF=(﹣m﹣4)﹣(m2+m﹣4)=﹣m2﹣m.‎ ‎∵PE⊥x轴,‎ ‎∴PF∥OC.‎ ‎∴PF=OC时,四边形PCOF是平行四边形.‎ ‎∴﹣m2﹣m=4,解得:m=﹣或m=﹣8.‎ 当m=﹣时,m2+m﹣4=﹣,‎ 当m=﹣8时,m2+m﹣4=﹣4.‎ ‎∴点P的坐标为(﹣,﹣)或(﹣8,﹣4).‎ ‎(3)①证明:把y=0代入y=﹣x﹣4得:﹣x﹣4=0,解得:x=﹣8.‎ ‎∴D(﹣8,0).‎ ‎∴OD=8.‎ ‎∵A(2,0),C(0,﹣4),‎ ‎∴AD=2﹣(﹣8)=10.‎ 由两点间的距离公式可知:AC2=22+42=20,DC2=82+42=80,AD2=100,‎ ‎∴AC2+CD2=AD2.‎ ‎∴△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°.‎ ‎②由①得∠ACD=90°.‎ 当△ACD∽△CHP时,=,即=或=,‎ 解得:n=0(舍去)或n=﹣5.5或n=﹣10.5.‎ 当△ACD∽△PHC时,=,即=或即=.‎ 解得:n=0(舍去)或n=2或n=﹣18.‎ 综上所述,点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时,使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似.‎ ‎30.(2017•南宁)如图,已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A,B,C三点,其中C(0,3),∠BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线l与射线AC,AB分别交于点M,N.‎ ‎(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴;‎ ‎(2)点P为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD为等腰三角形,求出点P的坐标;‎ ‎(3)证明:当直线l绕点D旋转时,+均为定值,并求出该定值.‎ ‎【解答】解:(1)∵C(0,3).‎ ‎∴﹣9a=3,解得:a=﹣.‎ 令y=0得:ax2﹣2 x﹣9a=0,‎ ‎∵a≠0,‎ ‎∴x2﹣2 x﹣9=0,解得:x=﹣或x=3.‎ ‎∴点A的坐标为(﹣,0),B(3,0).‎ ‎∴抛物线的对称轴为x=.‎ ‎(2)∵OA=,OC=3,‎ ‎∴tan∠CAO=,‎ ‎∴∠CAO=60°.‎ ‎∵AE为∠BAC的平分线,‎ ‎∴∠DAO=30°.‎ ‎∴DO=AO=1.‎ ‎∴点D的坐标为(0,1)‎ 设点P的坐标为(,a).‎ 依据两点间的距离公式可知:AD2=4,AP2=12+a2,DP2=3+(a﹣1)2.‎ 当AD=PA时,4=12+a2,方程无解.‎ 当AD=DP时,4=3+(a﹣1)2,解得a=0或a=2(舍去),‎ ‎∴点P的坐标为(,0).‎ 当AP=DP时,12+a2=3+(a﹣1)2,解得a=﹣4.‎ ‎∴点P的坐标为(,﹣4).‎ 综上所述,点P的坐标为(,0)或(,﹣4).‎ ‎(3)设直线AC的解析式为y=mx+3,将点A的坐标代入得:﹣m+3=0,解得:m=,‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x+3.‎ 设直线MN的解析式为y=kx+1.‎ 把y=0代入y=kx+1得:kx+1=0,解得:x=﹣,‎ ‎∴点N的坐标为(﹣,0).‎ ‎∴AN=﹣+=.‎ 将y=x+3与y=kx+1联立解得:x=.‎ ‎∴点M的横坐标为.‎ 过点M作MG⊥x轴,垂足为G.则AG=+.‎ ‎∵∠MAG=60°,∠AGM=90°,‎ ‎∴AM=2AG=+2=.‎ ‎∴+=+=+===.‎ ‎31.(2017•吉林)《函数的图象与性质》拓展学习片段展示:‎ ‎【问题】如图①,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x﹣2)2﹣经过原点O,与x轴的另一个交点为A,则a=  .‎ ‎【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方,将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G,如图②.直接写出图象G对应的函数解析式.‎ ‎【探究】在图②中,过点B(0,1)作直线l平行于x轴,与图象G的交点从左至右依次为点C,D,E,F,如图③.求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围.‎ ‎【应用】P是图③中图象G上一点,其横坐标为m,连接PD,PE.直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围.‎ ‎【解答】解:【问题】‎ ‎∵抛物线y=a(x﹣2)2﹣经过原点O,‎ ‎∴0=a(0﹣2)2﹣,‎ a=,‎ 故答案为:;‎ ‎【操作】:如图①,抛物线:y=(x﹣2)2﹣,‎ 对称轴是:直线x=2,由对称性得:A(4,0),‎ 沿x轴折叠后所得抛物线为:y=﹣(x﹣2)2+‎ 如图②,图象G对应的函数解析式为:y=;‎ ‎【探究】:如图③,由题意得:‎ 当y=1时,(x﹣2)2﹣=1,‎ 解得:x1=2+,x2=2﹣,‎ ‎∴C(2﹣,1),F(2+,1),‎ 当y=1时,﹣(x﹣2)2+=1,‎ 解得:x1=3,x2=1,‎ ‎∴D(1,1),E(3,1),‎ 由图象得:图象G在直线l上方的部分,当1<x<2或x>2+时,函数y随x增大而增大;‎ ‎【应用】:∵D(1,1),E(3,1),‎ ‎∴DE=3﹣1=2,‎ ‎∵S△PDE=DE•h≥1,‎ ‎∴h≥1;‎ ‎①当P在C的左侧或F的右侧部分时,设P[m,],‎ ‎∴h=(m﹣2)2﹣﹣1≥1,‎ ‎(m﹣2)2≥10,‎ m﹣2≥或m﹣2≤﹣,‎ m≥2+或m≤2﹣,‎ ‎②如图③,作对称轴交抛物线G于H,交直线CD于M,交x轴于N,‎ ‎∵H(2,),‎ ‎∴HM=﹣1=<1,‎ ‎∴点P不可能在DE的上方;‎ ‎③∵MN=1,‎ 且O(0,0),A(4,0),‎ ‎∴P不可能在CO(除O点)、OD、EA(除A点)、AF上,‎ ‎∴P与O或A重合时,符合条件,‎ ‎∴m=0或m=4;‎ 综上所述,△PDE的面积不小于1时,m的取值范围是:m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+.‎ ‎32.(2017•镇江)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B坐标为(4,t)(t>0),二次函数y=x2+bx(b<0)的图象经过点B,顶点为点D.‎ ‎(1)当t=12时,顶点D到x轴的距离等于  ;‎ ‎(2)点E是二次函数y=x2+bx(b<0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O不重合),求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式;‎ ‎(3)矩形OABC的对角线OB、AC交于点F,直线l平行于x轴,交二次函数y=x2+bx(b<0)的图象于点M、N,连接DM、DN,当△DMN≌△FOC时,求t的值.‎ ‎【解答】解:(1)当t=12时,B(4,12).‎ 将点B的坐标代入抛物线的解析式得:16+4b=12,解得:b=﹣1,‎ ‎∴抛物线的解析式y=x2﹣x.‎ ‎∴y=(x﹣)2﹣.‎ ‎∴D(,).‎ ‎∴顶点D与x轴的距离为.‎ 故答案为:.‎ ‎(2)将y=0代入抛物线的解析式得:x2+bx=0,解得x=0或x=﹣b,‎ ‎∵OA=4,‎ ‎∴AE=4﹣(﹣b)=4+b.‎ ‎∴OE•AE=﹣b(4+b)=﹣b2﹣4b=﹣(b+2)2+4,‎ ‎∴OE•AE的最大值为4,此时b的值为﹣2,‎ ‎∴抛物线的表达式为y=x2﹣2x.‎ ‎(3)过D作DG⊥MN,垂足为G,过点F作FH⊥CO,垂足为H.‎ ‎∵△DMN≌△FOC,‎ ‎∴MN=CO=t,DG=FH=2.‎ ‎∵D(﹣,﹣),‎ ‎∴N(﹣+,﹣+2),即(,).‎ 把点N和坐标代入抛物线的解析式得:=()2+b•(),‎ 解得:t=±2.‎ ‎∵t>0,‎ ‎∴t=2.‎ ‎33.(2017•绥化)在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+1交y轴于点B,交x轴于点A,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B,与直线y=﹣x+1交于点C(4,﹣2).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)如图,横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上,过点M作ME∥‎ y轴交直线BC于点E,以ME为直径的圆交直线BC于另一点D,当点E在x轴上时,求△DEM的周长.‎ ‎(3)将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°,得到△A1O1B1,点A,O,B的对应点分别是点A1,O1,B1,若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)∵直线y=﹣x+1交y轴于点B,‎ ‎∴B(0,1),‎ ‎∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B和点C(4,﹣2).‎ ‎∴,‎ 解得:,‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+1;‎ ‎(2)如图1,∵直线y=﹣x+1交x轴于点A,‎ 当y=0时,﹣x+1=0,‎ x=,‎ ‎∴A(,0),‎ ‎∴OA=,‎ 在Rt△AOB中,‎ ‎∵OB=1,‎ ‎∴AB=,‎ ‎∴sin∠ABO=,cos∠ABO==,‎ ‎∵ME∥x轴,‎ ‎∴∠DEM=∠ABO,‎ ‎∵以ME为直径的圆交直线BC于另一点D,‎ ‎∴∠EDM=90°,‎ ‎∴DE=ME•cos∠DEM=ME,‎ DM=ME•sin∠DEM=ME,‎ 当点E在x轴上时,E和A重合,则m=OA=,‎ 当x=时,y=﹣×+×+1=;‎ ‎∴ME=,‎ ‎∴DE==,DM==,‎ ‎∴△DEM的周长=DE+DM+ME=++=;‎ ‎(3)由旋转可知:O1A1⊥x轴,O1B1⊥y轴,设点A1的横坐标为x,则点B1的横坐标为x+1,‎ ‎∵O1A1⊥x轴,‎ ‎∴点O1,A1不可能同时落在抛物线上,分以下两种情况:‎ ‎①如图2,当点O1,B1同时落在抛物线上时,‎ 点O1,B1的纵坐标相等,‎ ‎∴﹣=﹣(x+1)2+(x+1)+1,‎ 解得:x=,‎ 此时点A1的坐标为(,),‎ ‎②如图3,当点A1,B1同时落在抛物线上时,‎ 点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大,‎ ‎﹣=﹣(x+1)2+(x+1)+1,‎ 解得:x=﹣,‎ 此时A1(﹣,),‎ 综上所述,点A1(,)或(﹣,).‎ ‎34.(2017•鄂州)已知,抛物线y=ax2+bx+3(a<0)与x轴交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1,D为抛物线的顶点,点E在y轴C点的上方,且CE=.‎ ‎(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;‎ ‎(2)求证:直线DE是△ACD外接圆的切线;‎ ‎(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使S△ACP=S△ACD,求点P的坐标;‎ ‎(4)在坐标轴上找一点M,使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似,直接写出点M的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)∵抛物线的对称轴是直线x=1,点A(3,0),‎ ‎∴根据抛物线的对称性知点B的坐标为(﹣1,0),OA=3,‎ 将A(3,0),B(﹣1,0)代入抛物线解析式中得:,‎ 解得:,‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;‎ 当x=1时,y=4,‎ ‎∴顶点D(1,4).‎ ‎(2)当=0时,‎ ‎∴点C的坐标为(0,3),‎ ‎∴AC==3,CD==,AD==2,‎ ‎∴AC2+CD2=AD2,‎ ‎∴△ACD为直角三角形,∠ACD=90°.‎ ‎∴AD为△ACD外接圆的直径,‎ ‎∵点E在 轴C点的上方,且CE=.‎ ‎∴E(0,)‎ ‎∴AE==DE==,‎ ‎∴DE2+AD2=AE2,‎ ‎∴△AED为直角三角形,∠ADE=90°.‎ ‎∴AD⊥DE,‎ 又∵AD为△ACD外接圆的直径,‎ ‎∴DE是△ACD外接圆的切线;‎ ‎(3)设直线AC的解析式为y=kx+b,‎ 根据题意得:,‎ 解得:,∴直线AC的解析式为y=﹣x+3,‎ ‎∵A(3,0),D(1,4),‎ ‎∴线段AD的中点N的坐标为(2,2),‎ 过点N作NP∥AC,交抛物线于点P,‎ 设直线NP的解析式为y=﹣x+c,‎ 则﹣2+c=2,解得:c=4,‎ ‎∴直线NP的解析式为y=﹣x+4,‎ 由y=﹣x+4,y=﹣x2+2x+3联立得:﹣x2+2x+3=﹣x+4,‎ 解得:x=或x=,‎ ‎∴y=,或y=‎ ‎∴P(,)或(,);‎ ‎(4)分三种情况:①M恰好为原点,满足△CMB∽△ACD,M(0,0);‎ ‎②M在x轴正半轴上,△MCB∽△ACD,此时M(9,0);‎ ‎③M在y轴负半轴上,△CBM∽△ACD,此时M(0,﹣);‎ 综上所述,点M的坐标为(0,0)或(9,0)或(0,﹣).‎ ‎35.(2017•淮安)如图①,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒.连接PQ.‎ ‎(1)填空:b=  ,c= 4 ;‎ ‎(2)在点P,Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;‎ ‎(3)在x轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由;‎ ‎(4)如图②,点N的坐标为(﹣,0),线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q′的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣4).将a=﹣代入得:y=﹣x2+x+4,‎ ‎∴b=,c=4.‎ ‎(2)在点P、Q运动过程中,△APQ不可能是直角三角形.‎ 理由如下:连结QC.‎ ‎∵在点P、Q运动过程中,∠PAQ、∠PQA始终为锐角,‎ ‎∴当△APQ是直角三角形时,则∠APQ=90°.‎ 将x=0代入抛物线的解析式得:y=4,‎ ‎∴C(0,4).‎ ‎∵AP=OQ=t,‎ ‎∴PC=5﹣t,‎ ‎∵在Rt△AOC中,依据勾股定理得:AC=5,在Rt△COQ中,依据勾股定理可知:CQ2=t2+16,在Rt△CPQ中依据勾股定理可知:PQ2=CQ2﹣CP2,在Rt△APQ中,AQ2﹣AP2=PQ2,‎ ‎∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2,即(3+t)2﹣t2=t2+16﹣(5﹣t)2,解得:t=4.5.‎ ‎∵由题意可知:0≤t≤4,‎ ‎∴t=4.5不和题意,即△APQ不可能是直角三角形.‎ ‎(3)如图所示:‎ 过点P作DE∥x轴,分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE,垂足分别为D、E,MD交x轴与点F,过点P作PG⊥x轴,垂足为点G,则PG∥y轴,∠E=∠D=90°.‎ ‎∵PG∥y轴,‎ ‎∴△PAG∽△ACO,‎ ‎∴==,即==,‎ ‎∴PG=t,AG=t,‎ ‎∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣t+t=3+t,DF=GP=t.‎ ‎∵∠MPQ=90°,∠D=90°,‎ ‎∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°,‎ ‎∴∠DMP=∠EPQ.‎ 又∵∠D=∠E,PM=PQ,‎ ‎∴△MDP≌PEQ,‎ ‎∴PD=EQ=t,MD=PE=3+t,‎ ‎∴FM=MD﹣DF=3+t﹣t=3﹣t,OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+t﹣t=3+t,‎ ‎∴M(﹣3﹣t,﹣3+t).‎ ‎∵点M在x轴下方的抛物线上,‎ ‎∴﹣3+t=﹣×(﹣3﹣t)2+×(﹣3﹣t)+4,解得:t=.‎ ‎∵0≤t≤4,‎ ‎∴t=.‎ ‎(4)如图所示:连结OP,取OP的中点R,连结RH,NR,延长NR交线段BC与点Q′.‎ ‎∵点H为PQ的中点,点R为OP的中点,‎ ‎∴EH=QO=t,RH∥OQ.‎ ‎∵A(﹣3,0),N(﹣,0),‎ ‎∴点N为OA的中点.‎ 又∵R为OP的中点,‎ ‎∴NR=AP=t,‎ ‎∴RH=NR,‎ ‎∴∠RNH=∠RHN.‎ ‎∵RH∥OQ,‎ ‎∴∠RHN=∠HNO,‎ ‎∴∠RNH=∠HNO,即NH是∠QNQ′的平分线.‎ 设直线AC的解析式为y=mx+n,把点A(﹣3,0)、C(0,4)代入得:,‎ 解得:m=,n=4,‎ ‎∴直线AC的表示为y=x+4.‎ 同理可得直线BC的表达式为y=﹣x+4.‎ 设直线NR的函数表达式为y=x+s,将点N的坐标代入得:×(﹣)+s=0,解得:s=2,‎ ‎∴直线NR的表述表达式为y=x+2.‎ 将直线NR和直线BC的表达式联立得:,解得:x=,y=,‎ ‎∴Q′(,).‎ ‎36.(2017•雨城区校级自主招生)如图,已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线 y=﹣x2+bx+c经过A,B两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以每秒1个单位的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以每秒个单位的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)问:当t为何值时,△APQ为直角三角形;‎ ‎(3)过点P作PE∥y轴,交AB于点E,过点Q作QF∥y轴,交抛物线于点F,连接EF,当EF∥PQ时,求点F的坐标;‎ ‎(4)设抛物线顶点为M,连接BP,BM,MQ,问:是否存在t的值,使以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)当y=0时,﹣x+3=0,解得x=3,则A点坐标为(3,0),‎ 当x=0时,y=﹣x+3=3,则B点坐标为(0,3),‎ 将A(3,0),B(0,3)代入y=﹣x2+bx+c得,解得,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;‎ ‎(2)OP=t,AQ=t,则PA=3﹣t,‎ ‎∵OA=OB=3,∠BOA=90°,‎ ‎∴∠QAP=45°.‎ 当∠PQA=90°时,如图①,PA=AQ,即3﹣t=•t,解得t=1;‎ 当∠APQ=90°时,如图②,AQ=AP,即t=•(3﹣t),解得t=;‎ 综上所述,当t=1或t=时,△PQA是直角三角形;‎ ‎(3)如图③,延长FQ交x轴于点H,设点P的坐标为(t,0),则点E的坐标为(t,﹣t+3),‎ 易得△AQH为等腰直角三角形,‎ ‎∴AH=HQ=AQ=•t=t,‎ ‎∴点Q的坐标为(3﹣t,t),点F的坐标为[3﹣t,﹣(3﹣t)2+2(3﹣t)+3)],‎ ‎∴FQ=﹣(3﹣t)2+2(3﹣t)+3)﹣t=﹣t2+3t,‎ ‎∵EP∥FQ,EF∥PQ,‎ ‎∴四边形PQFE为平行四边形,‎ ‎∴EP=FQ.即3﹣t=3t﹣t2,解得t1=1,t2=3(舍去),‎ ‎∴点F的坐标为(2,3);‎ ‎(4)存在.‎ 如图④所示:OP=t,AQ=t,则BQ=3﹣t,‎ ‎∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,‎ ‎∴点M的坐标为(1,4),‎ ‎∴MB==,‎ 而AB=3,AM==2,‎ ‎∴AB2+BM2=AM2,‎ ‎∴△ABM为直角三角形,∠ABM=90°,‎ ‎∵∠QBM=∠BOP,‎ ‎∴当=时,△BOP∽△QBM时,即=,‎ 整理得t2﹣3t+3=0,△=32﹣4×1×3<0,方程无实数解:‎ 当=时,△BOP∽△MBQ,即=,解得t=,‎ 综上所述,当t=时,以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形相似.‎ ‎37.(2017•余姚市校级自主招生)如图,直线y=﹣x+3与x轴,y轴分别相交于点B,C,经过B,C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.‎ ‎(1)求该抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)请问在抛物线上是否存在点Q,使得以点B,C,Q为顶点的三角形为直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)过S(0,4)的动直线l交抛物线于M,N两点,试问抛物线上是否存在定点T,使得不过定点T的任意直线l都有∠MTN=90°?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴,y轴分别相交于点B,C,‎ ‎∴B(3,0),C(0,3),‎ ‎∵对称轴为直线x=2,‎ ‎∴设该抛物线的函数表达式为y=a(x﹣1)(x﹣3),‎ 把C(0,3)代入得3a=3,解得a=1,‎ ‎∴该抛物线的函数表达式y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3;‎ ‎(2)存在,设过B点垂直BC的直线的解析式为y=x+b,‎ 把B(3,0)代入得b=﹣3,‎ 则直线的解析式为y=x﹣3,‎ 依题意有,‎ 解得,,‎ ‎∴Q1(2,﹣1),‎ 过C点垂直BC的直线解析式为y=x+3,‎ 依题意有,‎ 解得,,‎ ‎∴Q2(5,8),‎ 以BC为斜边,设β(a,a2﹣4a+3),则 a2+(a2﹣4a)2+(a﹣3)2+(a2﹣4a+3)2=18,‎ a3﹣8a2+20a﹣15=0,‎ ‎(a﹣3)(a2﹣5a+5)=0,‎ 解得a1=3,a2=,‎ ‎∴Q3(,),Q4(,),‎ ‎∴存在点Q,使得以点B,C,Q为顶点的三角形为直角三角形;‎ ‎(3)设M(x1,y1),N(x2,y2),T(a,b),‎ 过T作PQ∥x轴,过M,N作MP⊥PQ于P,NQ⊥PQ于Q,‎ 则∠MTN=90°,‎ 则△MPT∽△TQN,‎ ‎∴=,‎ a(x1+x2)﹣a2﹣x1x2=y1y2﹣b(y1+y2)+b2,‎ 其中x1,x2,y1,y2是的解,‎ ‎∴x2﹣(4+k)x﹣1=0,‎ x1x2=﹣1,‎ x1+x2=k+4,‎ y1y2=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=﹣k2+4k(k+4)+16,‎ y1+y2=k(k+4)+8,‎ ‎1+a(k+4)﹣a2=﹣k2+4k(k+4)+16﹣b(k2+4k+8)+b2,‎ ‎1+ak+4a﹣a2=﹣k3+4k2+16k+16﹣bk2﹣4bk﹣8b+b2,‎ ‎∴(3﹣b)k2+(16﹣4b﹣a)k+a2﹣4a﹣8b+b2+15=0,‎ ‎∵y=kx+b有无数条,‎ ‎∴k为任何实数,3﹣b=0,16﹣4b﹣a=0,a2﹣4a﹣8b+b2+15=0,‎ 解得a=4,b=3,‎ 存在点T(4,3)使得不过定点T的任意直线l都有∠MTN=90°.‎ ‎38.(2017•信丰县自主招生)如图,抛物线C1:y1=ax2+2ax(a>0)与x轴交于点A,顶点为点P.‎ ‎(1)直接写出抛物线C1的对称轴是 直线x=﹣1 ,用含a的代数式表示顶点P的坐标 (﹣1,﹣a) ;‎ ‎(2)把抛物线C1绕点M(m,0)旋转180°得到抛物线C2(其中m>0),抛物线C2与x轴右侧的交点为点B,顶点为点Q.‎ ‎①当m=1时,求线段AB的长;‎ ‎②在①的条件下,是否存在△ABP为等腰三角形,若存在请求出a的值,若不存在,请说明理由;‎ ‎③当四边形APBQ为矩形时,请求出m与a之间的数量关系,并直接写出当a=3时矩形APBQ的面积.‎ ‎【解答】解:(1)∵抛物线C1:y1=ax2+2ax=a(x+1)2﹣a,‎ ‎∴x=﹣1,P(﹣1,﹣a)‎ 故答案为:直线x=﹣1,(﹣1,﹣a),‎ ‎(2)①由旋转知,MA=MB,‎ 当y1=0时,x1=﹣2,x2=0,‎ ‎∴A(﹣2,0),‎ ‎∴AO=2,‎ ‎∵M(1,0),‎ ‎∴AM=3,‎ ‎∴AB=2MA=2×3=6;‎ ‎②∵A(﹣2,0),AB=6,‎ ‎∴B(4,0)‎ ‎∵A(﹣2,0),P(﹣1,﹣a),‎ ‎∴,‎ 当AB=AP时,1+a2=62,解得:(负值已舍去);‎ 当AB=BP时,25+a2=62,解得:(负值已舍去);‎ 当AP=BP时,1+a2=25+a2,不成立,‎ 即当a 取或时,△ABP为等腰三角形;‎ ‎③如图,过点P作PH⊥x轴于H,‎ ‎∵点A与点B,点P与点Q均关于M点成中心对称,‎ 故四边形APBQ为平行四边形,‎ 当∠APB=90°时,四边形APBQ为矩形,‎ 此时△APH∽△PBH,‎ ‎∴,‎ 即,‎ ‎∴a2=2m+3,‎ ‎∴,‎ 当a=3时,,‎ ‎∴S=(2m+4)a=(2×3+4)×3=30.‎ ‎39.(2017•江阴市自主招生)已知二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2(a<0)图象的顶点G在直线AB上,其中 A(﹣,0)、B(0,3),对称轴与x轴交于点E.‎ ‎(1)求二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2的关系式;‎ ‎(2)点P在对称轴右侧的抛物线上,且AP平分四边形GAEP的面积,求点P坐标;‎ ‎(3)在x轴上方,是否存在整数m,使得当<x≤时,抛物线y随x增大而增大?若存在,求出所有满足条件的m值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解(1)设直线AB的关系式为y=kx+b,‎ 将点A(﹣,0)、B(0,3)代入y=kx+b中,‎ ‎,解得:,‎ ‎∴直线AB的关系式为y=2x+3.‎ ‎∵抛物线y=ax2﹣4ax+a2+2=a(x﹣2)2+a2﹣4a+2,‎ ‎∴点G(2,a2﹣4a+2).‎ ‎∵点G在直线AB上,‎ ‎∴a2﹣4a+2=4+3=7,‎ ‎∴a=﹣1,a=5(舍去),‎ ‎∴二次函数关系式为y=﹣x2+4x+3.‎ ‎(2)∵AP平分四边形GAEP的面积,‎ ‎∴2S△AEP=S四边形GAEP.‎ 设点P的坐标为(t,﹣t2+4t+3),‎ ‎∴2××(2+)(﹣t2+4t+3)=×7×(2+)+×7×(t﹣2),‎ 整理得:2t2﹣6 t﹣3=0,‎ 解得:t1=,t2=(舍去),‎ ‎∴点P的坐标为(,6+).‎ ‎(3)当y=﹣x2+4x+3=0时,x1=2﹣,x2=2+,‎ ‎∴抛物线与x轴交点C(2﹣,0),D(2+,0).‎ ‎∵在x轴上方,抛物线y随x增大而增大,‎ ‎∴2﹣<x≤2.‎ 又∵<x≤,‎ ‎∴,‎ 解得:4﹣3≤m≤﹣.‎ ‎∵整数m为整数,‎ ‎∴m为﹣3,﹣2、﹣1.‎ 又∵<,‎ ‎∴m>﹣,‎ ‎∴m取﹣2、﹣1.‎ ‎40.(2017•哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线y=x﹣3经过B、C两点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个动点,且在抛物线对称轴的右侧,过点P作PE⊥x轴于点E,PE交CD于点F,交BC于点M,连接AC,过点M作MN⊥AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);‎ ‎(3)在(2)的条件下,连接PC,过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上),BQ交CD于点T,连接OQ交CD于点S,当ST=TD时,求线段MN的长.‎ ‎【解答】解:(1)∵直线y=x﹣3经过B、C两点,‎ ‎∴B(3,0),C(0,﹣3),‎ ‎∵y=x2+bx+c经过B、C两点,‎ ‎∴,‎ 解得,‎ 故抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;‎ ‎(2)如图1,y=x2﹣2x﹣3,‎ y=0时,x2﹣2x﹣3=0,‎ 解得x1=﹣1,x2=3,‎ ‎∴A(﹣1,0),‎ ‎∴OA=1,OB=OC=3,‎ ‎∴∠ABC=45°,AC=,AB=4,‎ ‎∵PE⊥x轴,‎ ‎∴∠EMB=∠EBM=45°,‎ ‎∵点P的横坐标为1,‎ ‎∴EM=EB=3﹣t,‎ 连结AM,‎ ‎∵S△ABC=S△AMC+S△AMB,‎ ‎∴AB•OC=AC•MN+AB•EM,‎ ‎∴×4×3=×d+×4(3﹣t),‎ ‎∴d=t;‎ ‎(3)如图2,‎ ‎∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,‎ ‎∴对称轴为x=1,‎ ‎∴由抛物线对称性可得D(2,﹣3),‎ ‎∴CD=2,‎ 过点B作BK⊥CD交直线CD于点K,‎ ‎∴四边形OCKB为正方形,‎ ‎∴∠OBK=90°,CK=OB=BK=3,‎ ‎∴DK=1,‎ ‎∵BQ⊥CP,‎ ‎∴∠CQB=90°,‎ 过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H,OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R,OG⊥OS交KB于G,‎ ‎∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°,‎ ‎∴四边形OHQI为矩形,‎ ‎∵∠OCQ+∠OBQ=180°,‎ ‎∴∠OBG=∠OCS,‎ ‎∵OB=OC,∠BOG=∠COS,‎ ‎∴△OBG≌△OCS,‎ ‎∴QG=OS,∠GOB=∠SOC,‎ ‎∴∠SOG=90°,‎ ‎∴∠ROG=45°,‎ ‎∵OR=OR,‎ ‎∴△OSR≌△OGR,‎ ‎∴SR=GR,‎ ‎∴SR=CS+BR,‎ ‎∵∠BOR+∠OBI=90°,∠IBO+∠TBK=90°,‎ ‎∴∠BOR=∠TBK,‎ ‎∴tan∠BOR=tan∠TBK,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BR=TK,‎ ‎∵∠CTQ=∠BTK,‎ ‎∴∠QCT=∠TBK,‎ ‎∴tan∠QCT=tan∠TBK,‎ 设ST=TD=m,‎ ‎∴SK=2m+1,CS=2﹣2m,TK=m+1=BR,SR=3﹣m,RK=2﹣m,‎ 在Rt△SKR中,‎ ‎∵SK2+RK2=SR2,‎ ‎∴(2m+1)2+(2﹣m)2=(3﹣m)2,‎ 解得m1=﹣2(舍去),m2=;‎ ‎∴ST=TD=,TK=,‎ ‎∴tan∠TBK==÷3=,‎ ‎∴tan∠PCD=,‎ 过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′,‎ ‎∵CF′=OE′=t,‎ ‎∴PF′=t,‎ ‎∴PE′=t+3,‎ ‎∴P(t,﹣t﹣3),‎ ‎∴﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3,‎ 解得t1=0(舍去),t2=.‎ ‎∴MN=d=t=×=.‎