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- 2021-05-13 发布
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2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷
一.选择题(共12小题)
1.如图,两个三角形的面积分别是9,6,对应阴影部分的面积分别是m,n,则m﹣n等于( )
A.2 B.3 C.4 D.无法确定
2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( )
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的角平分线
D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)
3.如图,AD是△ABC的角平分线,则AB:AC等于( )
A.BD:CD B.AD:CD C.BC:AD D.BC:AC
4.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
5.平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.如图,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积是( )
A.10 B.8 C.6 D.4
7.如图,在下列三角形中,若AB=AC,则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A. B. C. D.
8.如图,P为边长为2的正三角形内任意一点,过P点分别作三边的垂线,垂足分别为D,E,F,则PD+PE+PF的值为( )
A. B. C.2 D.2
9.如图,△ABC的面积为20,点D是BC边上一点,且BD=BC,点G是AB上一点,点H在△ABC内部,且四边形BDHG是平行四边形,则图中阴影部分的面积是( )
A.5 B.10 C.15 D.20
10.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E、F分别是AD、CD的中点,连接BE、BF、EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为( )
A.2 B. C. D.3
二.填空题(共14小题)
11.如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE= .
12.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:S△BCO:S△CAO= .
13.如图,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC= .
14.如图,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上,若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF=EH,那么EH的长为 .
15.在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B,C重合)是BC上任意一点,将此三角形纸片按下列方式折叠,若EF的长度为a,则△DEF的周长为 (用含a的式子表示).
16.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=3,AC的垂直平分线DE分别交AB,AC于D,E两点,则CD的长为 .
17.如图,△ABC中,∠C=90°,CA=CB,点M在线段AB上,∠GMB=∠A,BG⊥MG,垂足为G,MG与BC相交于点H.若MH=8cm,则BG= cm.
18.如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10= .
19.如图,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A、D关于点F对称,过点F作FG∥CD,交AC边于点G,连接GE.若AC=18,BC=12,则△CEG的周长为 .
20.如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边△ABC“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如果这样连续经过2017次变换后,等边△ABC的顶点C的坐标为 .
21.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为 .
22.如图,在一张长为7cm,宽为5cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上),则剪下的等腰三角形的面积为 .
23.在△ABC中,AB=13,AC=20,BC边上的高为12,则△
ABC的面积为 .
24.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5,则四边形ABCD的面积为= ,BD的长为 .
三.解答题(共4小题)
25.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.
(1)若AD=2,求AB;
(2)若AB+CD=2+2,求AB.
26.如图:在矩形ABCD中,AD=60cm,CD=120cm,E、F为AB边的三等分点,以EF为边在矩形内作等边三角形MEF,N为AB边上一点,EN=10cm;
请在矩形内找一点P,使△PMN为等边三角形(画出图形,并直接写出△PMF的面积).
27.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD、CB相交于点H、E,AH=2CH.
(1)求sinB的值;
(2)如果CD=,求BE的值.
28.如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
(1)如图1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证:AD=BE;
②求∠AEB的度数.
(2)如图2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM为△DCE中DE边上的高,BN为△ABE中AE边上的高,试证明:AE=2CM+BN.
2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.如图,两个三角形的面积分别是9,6,对应阴影部分的面积分别是m,n,则m﹣n等于( )
A.2 B.3 C.4 D.无法确定
【分析】设空白出的面积为x,根据题意列出关系式,相减即可求出m﹣n的值.
【解答】解:设空白出图形的面积为x,
根据题意得:m+x=9,n+x=6,
则m﹣n=9﹣6=3.
故选B.
【点评】本题考查了三角形的面积;设出未知数,根据三角形的面积得出关系式是解决问题的关键.
2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( )
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的角平分线
D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)
【分析】根据角平分线的性质分析,作∠E的平分线,点P到AB和CD的距离相等,即可得到S△PAB=S△PCD.
【解答】解:作∠E的平分线,
可得点P到AB和CD的距离相等,
因为AB=CD,
所以此时点P满足S△PAB=S△PCD.
故选D.
【点评】此题考查角平分线的性质,关键是根据AB=CD和三角形等底作出等高即可.
3.如图,AD是△ABC的角平分线,则AB:AC等于( )
A.BD:CD B.AD:CD C.BC:AD D.BC:AC
【分析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E,由于BE∥AC,利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质,可得∴△BDE∽△CDA,∠E=∠DAC,再利用相似三角形的性质可有=,而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD,于是BE=AB,等量代换即可证.
【解答】解:如图
过点B作BE∥AC交AD延长线于点E,
∵BE∥AC,
∴∠DBE=∠C,∠E=∠CAD,
∴△BDE∽△CDA,
∴=,
又∵AD是角平分线,
∴∠E=∠DAC=∠BAD,
∴BE=AB,
∴=,
∴AB:AC=BD:CD.
故选:A.
【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论.关键是作平行线.
4.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数,再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形.
【解答】解:∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形;
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°,
∴∠A=∠ABD=36°,
∴BD=AD,
∴△ABD是等腰三角形;
在△BCD中,∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°,
∴∠C=∠BDC=72°,
∴BD=BC,
∴△BCD是等腰三角形;
∵BE=BC,
∴BD=BE,
∴△BDE是等腰三角形;
∴∠BED=(180°﹣36°)÷2=72°,
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°,
∴∠A=∠ADE,
∴DE=AE,
∴△ADE是等腰三角形;
∴图中的等腰三角形有5个.
故选D.
【点评】此题考查了等腰三角形的判定,用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等,解题时要找出所有的等腰三角形,不要遗漏.
5.平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【分析】由点A、B的坐标可得到AB=2,然后分类讨论:若AC=AB;若BC=AB;若CA=CB,确定C点的个数.
【解答】解:∵点A、B的坐标分别为(2,2)、B(4,0).
∴AB=2,
①若AC=AB,以A为圆心,AB为半径画弧与坐标轴有3个交点(含B点),即(0,0)、(4,0)、(0,4),
∵点(0,4)与直线AB共线,
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个;
②若BC=AB,以B为圆心,BA为半径画弧与坐标轴有2个交点(A点除外),即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个;
③若CA=CB,作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点,即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个;
综上所述:点C在坐标轴上,△ABC是等腰三角形,符合条件的点C共有5个.
故选A
【点评】本题考查了等腰三角形的判定,也考查了通过坐标确定图形的性质以及分类讨论思想的运用.
6.如图,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积是( )
A.10 B.8 C.6 D.4
【分析】延长BD交AC于点E,则可知△ABE为等腰三角形,则S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE,可得出S△ADC=S△ABC.
【解答】解:如图,延长BD交AC于点E,
∵AD平分∠BAE,AD⊥BD,
∴∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE,
在△ABD和△AED中,
,
∴△ABD≌△AED(ASA),
∴BD=DE,
∴S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE,
∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC,
∴S△ADC═S△ABC=×12=6,
故选C.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用,由BD=DE得到S△ABD=S△
ADE,S△BDC=S△CDE是解题的关键.
7.如图,在下列三角形中,若AB=AC,则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A. B. C. D.
【分析】A、D是黄金三角形,C、过A点作BC的垂线即可;只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形.
【解答】解:A、中作∠B的角平分线即可;
C、过A点作BC的垂线即可;
D、中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可;
只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形.
故选B.
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握,此题的4个选项中只有D选项有点难度,所以此题属于中档题.
8.如图,P为边长为2的正三角形内任意一点,过P点分别作三边的垂线,垂足分别为D,E,F,则PD+PE+PF的值为( )
A. B. C.2 D.2
【分析】首先连接PA、PB、PC,再根据正三角形的面积的求法,求出边长为2的正三角形的面积是多少;然后判断出SABC=SAPB+SAPC+SBPC=PD+PE+PF,据此求出PD+PE+PF的值为多少即可.
【解答】解:如图,连接PA、PB、PC,,
∵△ABC是边长为2的正三角形,
∴△ABC的面积为:
;
∵SABC=SAPB+SAPC+SBPC
=×2×PD+×2×PF+×2×PE
=PD+PE+PF
∴PD+PE+PF=,
即PD+PE+PF的值为.
故选:B.
【点评】(1)此题主要考查了等边三角形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°.②等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;③它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对称轴.
(2)此题还考查了等边三角形的面积的求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:边长是a的等边三角形的面积是a2.
9.如图,△ABC的面积为20,点D是BC边上一点,且BD=BC,点G是AB上一点,点H在△ABC内部,且四边形BDHG是平行四边形,则图中阴影部分的面积是( )
A.5 B.10 C.15 D.20
【分析】设△ABC底边BC上的高为h,△AGH底边GH上的高为h1,△CGH底边GH上的高为h2,根据图形可知h=h1+h2.利用三角形的面积公式结合平行四边形的性质即可得出S阴影=S△ABC,由此即可得出结论.
【解答】解:设△ABC底边BC上的高为h,△AGH底边GH上的高为h1,△CGH底边GH上的高为h2,
则有h=h1+h2,S△ABC=BC•h=2,
∴S阴影=S△AGH+S△CGH=GH•h1+GH•h2=GH•(h1+h2)=GH•h.
∵四边形BDHG是平行四边形,且BD=BC,
∴GH=BD=BC,
∴S阴影=×( BC•h)=S△ABC=5.
故选A.
【点评】本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质,解题的关键是找出S阴影=S△ABC.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据三角形的面积公式找出阴影部分的面积与△ABC的面积之间的关系是关键.
10.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E、F分别是AD、CD的中点,连接BE、BF、EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为( )
A.2 B. C. D.3
【分析】连接AC,过B作EF的垂线,利用勾股定理可得AC,易得△ABC的面积,可得BG和△ADC的面积,三角形ABC与三角形ACD同底,利用面积比可得它们高的比,而GH又是△ACD以AC为底的高的一半,可得GH,易得BH,由中位线的性质可得EF的长,利用三角形的面积公式可得结果.
【解答】解:连接AC,过B作EF的垂线交AC于点G,交EF于点H,
∵∠ABC=90°,AB=BC=2,
∴AC===4,
∵△ABC为等腰三角形,BH⊥AC,
∴△ABG,△BCG为等腰直角三角形,
∴AG=BG=2
∵S△ABC=•AB•BC=×2×2=4,
∴S△ADC=2,
∵=2,
∵△DEF∽△DAC,
∴GH=BG=,
∴BH=,
又∵EF=AC=2,
∴S△BEF=•EF•BH=×2×=,
故选C.
方法二:S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED,
易知S△ABE+S△BCF=S四边形ABCD=3,S△EDF=,
∴S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED=6﹣3﹣=.
故选C.
【点评】此题主要考查了三角形面积的运算,作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键.
二.填空题(共14小题)
11.如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE= 3 .
【分析】由已知条件易证△ABE≌△
ACD,再根据全等三角形的性质得出结论.
【解答】解:△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD(AAS),
∴AD=AE=2,AC=AB=5,
∴CE=BD=AB﹣AD=3,
故答案为3.
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定,熟记定理是解题的关键.
12.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:S△BCO:S△CAO= 4:5:6 .
【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,由OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,根据角平分线的性质,可得OD=OE=OF,又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,即可求得S△ABO:S△BCO:S△CAO的值.
【解答】解:过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,
∵OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,
∴OD=OE=OF,
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,
∴S△ABO:S△BCO:S△CAO=(AB•OD):(BC•OF):(AC•OE)=AB:BC:AC=40:50:60=4:5:6.
故答案为:4:5:6.
【点评】此题考查了角平分线的性质.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
13.如图,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC= 70° .
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=(∠B+∠B+∠1+∠2);最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数.
【解答】解:∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,
∴∠EAC=∠DAC,∠ECA=∠ACF;
又∵∠B=40°(已知),∠B+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理),
∴∠DAC+∠ACF=(∠B+∠2)+(∠B+∠1)=(∠B+∠B+∠1+∠2)=110°(外角定理),
∴∠AEC=180°﹣(∠DAC+∠ACF)=70°.
故答案为:70°.
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质,熟练应用角平分线的性质是解题关键.
14.如图,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上,若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF=EH,那么EH的长为 .
【分析】设EH=3x,表示出EF,由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高,根据三角形AEH与三角形ABC相似,利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值,即为EH的长.
【解答】解:如图所示:
∵四边形EFGH是矩形,
∴EH∥BC,
∴△AEH∽△ABC,
∵AM⊥EH,AD⊥BC,
∴,
设EH=3x,则有EF=2x,AM=AD﹣EF=2﹣2x,
∴,
解得:x=,
则EH=.
故答案为:.
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,以及矩形的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.
15.在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B,C重合)是BC上任意一点,将此三角形纸片按下列方式折叠,若EF的长度为a,则△DEF的周长为 3a (用含a的式子表示).
【分析】由折叠的性质得出BE=EF=a,DE=BE,则BF=2a,由含30°角的直角三角形的性质得出DF=BF=a,即可得出△DEF的周长.
【解答】解:由折叠的性质得:B点和D点是对称关系,DE=BE,
则BE=EF=a,
∴BF=2a,
∵∠B=30°,
∴DF=BF=a,
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a;
故答案为:3a.
【点评】本题考查了翻折变换的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形周长的计算;熟练掌握翻折变换的性质,由含30°角的直角三角形的性质得出DF=a是解决问题的关键.
16.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=3,AC的垂直平分线DE分别交AB,AC于D,E两点,则CD的长为 .
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD,故AB=BD+AD=BD+CD,设CD=x,则BD=4﹣x,在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可.
【解答】解:∵DE是AC的垂直平分线,
∴CD=AD,
∴AB=BD+AD=BD+CD,
设CD=x,则BD=4﹣x,
在Rt△BCD中,
CD2=BC2+BD2,即x2=32+(4﹣x)2,
解得x=.
故答案为:.
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质,熟知垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.
17.如图,△ABC中,∠C=90°,CA=CB,点M在线段AB上,∠GMB=∠A,BG⊥MG,垂足为G,MG与BC相交于点H.若MH=8cm,则BG= 4 cm.
【分析】如图,作MD⊥BC于D,延长DE交BG的延长线于E,构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD,利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到:BE=MH,所以BG=MH=4.
【解答】解:如图,作MD⊥BC于D,延长MD交BG的延长线于E,
∵△ABC中,∠C=90°,CA=CB,
∴∠ABC=∠A=45°,
∵∠GMB=∠A,
∴∠GMB=∠A=22.5°,
∵BG⊥MG,
∴∠BGM=90°,
∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°,
∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°.
∵MD∥AC,
∴∠BMD=∠A=45°,
∴△BDM为等腰直角三角形
∴BD=DM,
而∠GBH=22.5°,
∴GM平分∠BMD,
而BG⊥MG,
∴BG=EG,即BG=BE,
∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°,
∴∠MHD=∠E,
∵∠GBD=90°﹣∠E,∠HMD=90°﹣∠E,
∴∠GBD=∠HMD,
∴在△BED和△MHD中,
,
∴△BED≌△MHD(AAS),
∴BE=MH,
∴BG=MH=4.
故答案是:4.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的对应边相等.也考查了等腰直角三角形的性质.
18.如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10= π .
【分析】(1)图1,作辅助线构建正方形OECF,设圆O的半径为r,根据切线长定理表示出AD和BD的长,利用AD+BD=5列方程求出半径r=(a、b是直角边,c为斜边),运用圆面积公式=πr2求出面积=π;
(2)图2,先求斜边上的高CD的长,再由勾股定理求出AD和BD,利用半径r=(a、b是直角边,c为斜边)求两个圆的半径,从而求出两圆的面积和=π;
(3)图3,继续求高DM和CM、BM,利用半径r=(a、b是直角边,c为斜边)求三个圆的半径,从而求出三个圆的面积和=π;
综上所述:发现S1+S2+S3+…+S10=π.
【解答】解:(1)图1,过点O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足为E、F,则∠OEC=∠OFC=90°
∵∠C=90°
∴四边形OECF为矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF为正方形
设圆O的半径为r,则OE=OF=r,AD=AE=3﹣r,BD=4﹣r
∴3﹣r+4﹣r=5,r==1
∴S1=π×12=π
(2)图2,由S△ABC=×3×4=×5×CD
∴CD=
由勾股定理得:AD==,BD=5﹣=
由(1)得:⊙O的半径==,⊙E的半径==
∴S1+S2=π×+π×=π
(3)图3,由S△CDB=××=×4×MD
∴MD=
由勾股定理得:CM==,MB=4﹣=
由(1)得:⊙O的半径=,:⊙E的半径==,:⊙F的半径==
∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π
∴图4中的S1+S2+S3+S4=π
则S1+S2+S3+…+S10=π
故答案为:π.
【点评】本题考查了直角三角形的内切圆,这是一个图形变化类的规律题,首先应找出图形哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解;解决此题的思路为:①先找出计算直角三角形内切圆半径的规律:半径r=(a、b是直角边,c为斜边);②利用面积相等计算斜边上的高;③运用勾股定理计算直角三角形的边长.
19.如图,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A、D关于点F对称,过点F作FG∥CD,交AC边于点G,连接GE.若AC=18,BC=12,则△CEG的周长为 27 .
【分析】先根据点A、D关于点F对称可知点F是AD的中点,再由CD⊥AB,FG∥CD可知FG是△ACD的中位线,故可得出CG的长,再根据点E是AB的中点可知GE是△ABC的中位线,故可得出GE的长,由此可得出结论.
【解答】解:∵点A、D关于点F对称,
∴点F是AD的中点.
∵CD⊥AB,FG∥CD,
∴FG是△ACD的中位线,AC=18,BC=12,
∴CG=AC=9.
∵点E是AB的中点,
∴GE是△ABC的中位线,
∵CE=CB=12,
∴GE=BC=6,
∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27.
故答案为:27.
【点评】本题考查的是三角形中位线定理,熟知三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解答此题的关键.
20.如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边△ABC“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如果这样连续经过2017次变换后,等边△ABC的顶点C的坐标为 (﹣2015,﹣﹣1) .
【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴下方,然后求出点A纵坐标,再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标,最后写出即可.
【解答】解:∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2,
∴点C到x轴的距离为1+2×=+1,
横坐标为2,
∴C(2,+1),
第2017次变换后的三角形在x轴下方,
点C的纵坐标为﹣﹣1,
横坐标为2﹣2017×1=﹣2015,
所以,点C的对应点C′的坐标是(﹣2015,﹣﹣1),
故答案为:(﹣2015,﹣﹣1).
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移,等边三角形的性质,读懂题目信息,确定出连续2016次这样的变换得到三角形在x轴上方是解题的关键.
21.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为 2或2或2 .
【分析】利用分类讨论,当∠ABP=90°时,如图2,由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°,易得∠BPO=30°,易得BP的长,利用勾股定理可得AP的长;当∠APB=90°时,分两种情况讨论,情况一:如图1,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO,易得△BOP为等边三角形,利用锐角三角函数可得AP的长;易得BP,利用勾股定理可得AP的长;情况二:如图3,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论.
【解答】解:当∠APB=90°时(如图1),
∵AO=BO,
∴PO=BO,
∵∠AOC=60°,
∴∠BOP=60°,
∴△BOP为等边三角形,
∵AB=BC=4,
∴AP=AB•sin60°=4×=2;
当∠ABP=90°时(如图2),
∵∠AOC=∠BOP=60°,
∴∠BPO=30°,
∴BP===2,
在直角三角形ABP中,
AP==2,
情况二:如图3,∵AO=BO,∠APB=90°,
∴PO=AO,
∵∠AOC=60°,
∴△AOP为等边三角形,
∴AP=AO=2,
故答案为:2或2或2.
【点评】本题主要考查了勾股定理,含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线,分类讨论,数形结合是解答此题的关键.
22.如图,在一张长为7cm,宽为5cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上),则剪下的等腰三角形的面积为 8cm2或2cm2或2cm2 .
【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确,所以分三种情况进行讨论:
(1)△AEF为等腰直角三角形,直接利用面积公式求解即可;
(2)先利用勾股定理求出AE边上的高BF,再代入面积公式求解;
(3)先求出AE边上的高DF,再代入面积公式求解.
【解答】解:分三种情况计算:
(1)当AE=AF=4时,如图:
∴S△AEF=AE•AF=×4×4=8(cm2);
(2)当AE=EF=4时,如图:
则BE=5﹣4=1,
BF===,
∴S△AEF=•AE•BF=×4×=2(cm2);
(3)当AE=EF=4时,如图:
则DE=7﹣4=3,
DF===,
∴S△AEF=AE•DF=×4×=2(cm2);
故答案为:8或2或2.
【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用,要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论,有一定的难度.
23.在△ABC中,AB=13,AC=20,BC边上的高为12,则△ABC的面积为 126或66 .
【分析】分两种情况:①∠B为锐角;②∠B为钝角;利用勾股定理求出BD、CD,即可求出BC的长.
【解答】解:分两种情况:①当∠B为锐角时,如图1所示,
在Rt△ABD中,
BD===5,
在Rt△ADC中,
CD===16,
∴BC=BD+CD=21,
∴△ABC的面积为×21×12=126;
②当∠B为钝角时,如图2所示,
在Rt△ABD中,
BC=CD﹣BD=16﹣5=11,
所以△ABC的面积为×11×12=66;
故答案为:126或66.
【点评】本题主要考查了勾股定理;熟练掌握勾股定理,画出图形,分类讨论是解答此题的关键.
24.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5,则四边形ABCD的面积为= 31 ,BD的长为 2 .
【分析】连接AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理求出AC的长,利用勾股定理的逆定理,说明△ACD是直角三角形.利用Rt△ABC和Rt△ACD的面积和求出四边形ABCD的面积.过点D作DE⊥BC,交BC的延长线与点E.易证明△ABC∽△CED,求出DE、CE的长,再利用勾股定理求出BD的长,
【解答】解:连接AC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线与点E.
因为∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
∴AC==5,
由于AC2+CD2=25+100=125,AD2=(5)2=125,
∴AC2+CD2=AD2.
所以∠ACD=90°.
所以S四边形ABCD=S△ABD+S△ACD
=
=×3×4+×5×10
=6+25=31.
∵∠DEC=90°,∴∠DCE+∠CDE=90°,
所以∠DCE+∠ACB=90°,
∴∠CDE=∠ACB,又∵∠ABC=90°,
∴△ABC∽△CED
∴CE=6,DE=8.
∴BE=BC+CE=10,
在Rt△DEB中,
DB=
==2
故答案为:31,2
【点评】本题考查了直角三角形的勾股定理和逆定理及相似三角形的判定.解决本题的关键是连接AC利用直角三角形的面积求出四边形的面积.
三.解答题(共4小题)
25.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.
(1)若AD=2,求AB;
(2)若AB+CD=2+2,求AB.
【分析】(1)在四边形ABCD中,由∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°,得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°,△ADE与△BCF为等腰直角三角形,求得AE,利用锐角三角函数得BE,得AB;
(2)设DE=x,利用(1)的某些结论,特殊角的三角函数和勾股定理,表示AB,CD,得结果.
【解答】解:(1)过D点作DE⊥AB,过点B作BF⊥CD,
∵∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°,
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°,
∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°,
△ADE与△BCF为等腰直角三角形,
∵AD=2,
∴AE=DE==,
∵∠ABC=105°,
∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°,
∴BE===,
∴AB=;
(2)设DE=x,则AE=x,BE===,
∴BD==2x,
∵∠BDF=60°,
∴∠DBF=30°,
∴DF==x,
∴BF===,
∴CF=,
∵AB=AE+BE=,
CD=DF+CF=x,
AB+CD=2+2,
∴AB=+1
【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质,解题的关键是作辅助线DE、BF,构造直角三角形,求出相应角的度数.
26.如图:在矩形ABCD中,AD=60cm,CD=120cm,E、F为AB边的三等分点,以EF为边在矩形内作等边三角形MEF,N为AB边上一点,EN=10cm;
请在矩形内找一点P,使△PMN为等边三角形(画出图形,并直接写出△
PMF的面积).
【分析】如图,以MN为边容易作出等边三角形,结合等边三角形的性质,连接PE,可证明△MPE≌△MNF,可证明PE∥MF,容易求得S△PMF=S△MEF,可求得答案.
【解答】解:如图,以MN为边,可作等边三角形PMN;
△PMF的面积为400.(求解过程如下).
连接PE,
∵△MEF和△PMN为等边三角形,
∴∠PMN=∠EMF=∠MFE=60°,MN=MP,ME=MF,
∴∠PME=∠NMF,
在△MPE和△MNF中,
,
∴△MPE≌△MNF(SAS),
∴∠MEP=∠MFE=60°,
∴∠PEN=60°,
∴PE∥MF,
∴S△PMF=S△MEF=EF2=400.
【点评】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的性质和判定,利用全等证得PE∥MF,得到S△PMF=S△MEF是解题的关键.
27.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD、CB相交于点H、E,AH=2CH.
(1)求sinB的值;
(2)如果CD=,求BE的值.
【分析】(1)根据∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,可得出CD=BD,则∠B=∠BCD,再由AE⊥CD,可证明∠B=∠CAH,由AH=2CH,可得出CH:AC=1:,即可得出sinB的值;
(2)根据sinB的值,可得出AC:AB=1:,再由AB=2,得AC=2,则CE=1,从而得出BE.
【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,
∴CD=BD,
∴∠B=∠BCD,
∵AE⊥CD,
∴∠CAH+∠ACH=90°,
又∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACH=90°
∴∠B=∠BCD=∠CAH,即∠B=∠CAH,
∵AH=2CH,
∴由勾股定理得AC=CH,
∴CH:AC=1:,
∴sinB=;
(2)∵sinB=,
∴AC:AB=1:,
∴AC=2.
∵∠CAH=∠B,
∴sin∠CAH=sinB==,
设CE=x(x>0),则AE=x,则x2+22=(x)2,
∴CE=x=1,AC=2,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
∵AB=2CD=2,
∴BC=4,
∴BE=BC﹣CE=3.
【点评】本题考查了解直角三角形,以及直角三角形斜边上的中线,注意性质的应用,难度不大.
28.如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
(1)如图1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证:AD=BE;
②求∠AEB的度数.
(2)如图2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM为△DCE中DE边上的高,BN为△ABE中AE边上的高,试证明:AE=2CM+BN.
【分析】(1)①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE,再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC,DC=EC”,利用全等三角形的判定(SAS)即可证出△ACD≌△BCE,由此即可得出结论AD=BE;
②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC,再通过角的计算即可算出∠AEB的度数;
(2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数,即可得出底角的度数,利用(1)的结论,通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度,二者相加即可证出结论.
【解答】(1)①证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,
∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°.
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE.
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形,
∴AC=BC,DC=EC.
在△ACD和△BCE中,有,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
②解:∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC.
∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°,
∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°,
∴∠BEC=130°.
∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°.
(2)证明:∵△ACB和△DCE均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=120°,
∴∠CDM=∠CEM=×(180°﹣120°)=30°.
∵CM⊥DE,
∴∠CMD=90°,DM=EM.
在Rt△CMD中,∠CMD=90°,∠CDM=30°,
∴DE=2DM=2×=2CM.
∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°,∠BEC=∠CEM+∠AEB,
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°,
∴∠BEN=180°﹣120°=60°.
在Rt△BNE中,∠BNE=90°,∠BEN=60°,
∴BE==BN.
∵AD=BE,AE=AD+DE,
∴AE=BE+DE=BN+2CM.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算,解题的关键是:(1)通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE;(2)找出线段AD、DE的长.本题属于中档题,难度不大,但稍显繁琐,解决该题型题目时,利用角的计算找出相等的角,再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角,最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键.
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