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- 2021-05-13 发布
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2016年中考数学压轴题70题精选(含答案)
【001】如图13,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),ΔABC的面积为。
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。
【002】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD
向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E,①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t值。
【003】抛物线的顶点为M,与轴的交点为A、B(点B在点A的右侧),△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b。若关于的一元二次方程有两个相等的实数根。
(1)判断△ABM的形状,并说明理由。
(2)当顶点M的坐标为(-2,-1)时,求抛物线的解析式,并画出该抛物线的大致图形。
(3)若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点,以CD为直径的圆恰好与轴相切,求该圆的圆心坐标。
【004】一次函数的图象分别与轴、轴交于点,与反比例函数的图象相交于点.过点分别作轴,轴,垂足分别为;过点分别作轴,轴,垂足分别为与交于点,连接.
(1)若点在反比例函数的图象的同一分支上,如图1,试证明:
①;
②.
O
C
F
M
D
E
N
K
y
x
(第25题图1)
O
C
D
K
F
E
N
y
x
M
(第25题图2)
(2)若点分别在反比例函数的图象的不同分支上,如图2,则与还相等吗?试证明你的结论.
【005】如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),
点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式;
(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,当 t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.
【006】如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于C点,且经过点,对称轴是直线,顶点是.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)经过两点作直线与轴交于点,在抛物线上是否存在这样的点,使以点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设直线与y轴的交点是,在线段上任取一点(不与重合),经过三点的圆交直线于点,试判断的形状,并说明理由;
(4)当是直线上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论).
O
B
x
y
A
M
C
1
(第26题图)
【007】如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点.
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点,求的值和这个一次函数的解析式;
(3)第(2)问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式;
y
x
O
C
D
B
A
3
3
6
(4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足:?若存在,求点E的坐标;
若不存在,请说明理由.
【008】如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于四点.抛物线与轴交于点,与直线交于点,且分别与圆相切于点和点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交轴于点,连结,并延长交圆于,求的长.
(3)过点作圆的切线交的延长线于点,判断点是否在抛物线上,说明理由.
O
x
y
N
C
D
E
F
B
M
A
【009】如图,抛物线经过三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标.
O
x
y
A
B
C
4
1
(第26题图)
【010】如图,抛物线经过、两点,与轴交于另一点.
(1)求抛物线的解析式;
y
x
O
A
B
C
(2)已知点在第一象限的抛物线上,求点关于直线对称的点的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接,点为抛物线上一点,
且,求点的坐标.
【011】如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式;
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;
⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
【012】如图,已知抛物线经过,两点,顶点为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将绕点顺时针旋转90°后,点落到点的位置,将抛物线沿轴平移后经过点,求平移后所得图象的函数关系式;
(3)设(2)中平移后,所得抛物线与轴的交点为,顶点为,若点在平移后的抛物线上,且满足的面积是面积的2倍,求点的坐标.
y
x
B
A
O
D
(第26题)
【013】如图,点P是双曲线上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y= (0<k2<|k1|)于E、F两点.
(1)图1中,四边形PEOF的面积S1= ▲ (用含k1、k2的式子表示);
(2)图2中,设P点坐标为(-4,3).
①判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论;
②记,S2是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由。
【014】一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC.
(1)若m为常数,求抛物线的解析式;
(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BCD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
【015】如图,已知抛物线与交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与轴交于点B(0,3)。
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3) △AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
【016】如图,已知为直角三角形,,,点、在轴上,点坐标为(,)(),线段与轴相交于点,以(1,0)为顶点的抛物线过点、.
(1)求点的坐标(用表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)设点为抛物线上点至点之间的一动点,连结并延长交于点,连结 并延长交于点,试证明:为定值.
【017】阅读材料:
如图12-1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题:
如图12-2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及;
图12-2
x
C
O
y
A
B
D
1
1
(3)是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【018】已知二次函数。
(1)求证:不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点。
(2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式。
(3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为,若存在求出P点坐标,若不存在请说明理由。
【019】如图,已知射线DE与轴和轴分别交于点和点.动点从点出发,以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为秒.
(1)请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标;
O
x
y
E
P
D
A
B
M
C
(2)以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),连接PA、PB.
①当与射线DE有公共点时,求的取值范围;
②当为等腰三角形时,求的值.
【020】已知抛物线()与轴相交于点,顶点为.直线分别与轴,轴相交于两点,并且与直线相交于点.
(1)填空:试用含的代数式分别表示点与的坐标,则;
(2)如图,将沿轴翻折,若点的对应点′恰好落在抛物线上,′与轴交于点,连结,求的值和四边形的面积;
(3)在抛物线()上是否存在一点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,试说明理由.
第(2)题
x
y
B
C
O
D
A
M
N
N′
x
y
B
C
O
A
M
N
备用图
(第24题)
【021】已知:如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
26题图
y
x
D
B
C
A
E
E
O
【022】已知平行于x轴的直线与函数和函数的图像分别交于点A和点B,又有定点P(2,0) .[来源:Zxxk.Com]
(1)若,且tan∠POB=,求线段AB的长;
(2)在过A,B两点且顶点在直线上的抛物线中,已知线段AB=,且在它的对称轴左边时,y随着x的增大而增大,试求出满足条件的抛物线的解析式;
(3)已知经过A,B,P三点的抛物线,平移后能得到的图像,求点P到直线AB的距离。
【023】如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线上.
(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标;
(2) 平移抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.
① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线的函数解析式;
② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
(第24题)
4
x
2
2
A
8
-2
O
-2
-4
y
6
B
C
D
-4
4
【024】已知函数为方程的两个根,点在函数的图象上.
(Ⅰ)若,求函数的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若函数与的图象的两个交点为,当的面积为时,求的值; (Ⅲ)若,当时,试确定三者之间的大小关系,并说明理由.
【025】如图,已知直线与轴交于点A,与轴交于点D,抛物线与直线交于A、E两点,与轴交于B、C两点,且B点坐标为 (1,0)。
⑴求该抛物线的解析式;
⑵动点P在轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M,使的值最大,求出点M的坐标。
【026】如图9,已知抛物线y=x2–2x+1的顶点为P,A为抛物线与y轴的交点,过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B,与抛物线对称轴交于点O′,过点B和P的直线l交y轴于点C,连结O′C,将△ACO′沿O′C翻折后,点A落在点D的位置.
(1) 求直线l的函数解析式;
(2) 求点D的坐标;
(3) 抛物线上是否存在点Q,使得S△DQC= S△DPB? 若存在,求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
图9
【027】如图11,抛物线与轴相交于A、B两点(点A在点B右侧),过点A的直线交抛物线于另一点C,点C的坐标为(-2,6).
(1)求a的值及直线AC的函数关系式;
(2)P是线段AC上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点M,交x轴于点N.
①求线段PM长度的最大值;
②在抛物线上是否存在这样的点M,使得△CMP与△APN相似?如果存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标(不必写解答过程);如果不存在,请说明理由。
【028】已知:抛物线的对称轴为与轴交于两点,与轴交于点其中、
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P,使得的周长最小.请求出点P的坐标.
(3)若点是线段上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作交轴于点连接、.设的长为,的面积为.求与之间的函数关系式.试说明是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
[来源:学科网]
A
C
x
y
B
O
【029】如图14(1),抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,).[图14(2)、图14(3)为解答备用图]
(1) ,点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)设抛物线的顶点为M,求四边形ABMC的面积;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在抛物线上求点Q,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形.
图14(1) 图14(2) 图14(3)
【030】如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线()经过,,三点,其顶点为,连接,点是线段上一个动点(不与重合),过点作轴的垂线,垂足为,连接.
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点的坐标;
(2)如果点的坐标为,的面积为,求与的函数关系式,写出自变量的取值范围,并求出的最大值;
1
2
3
3
1
D
y
C
B
A
P
2
E
x
O
(3)在(2)的条件下,当取得最大值时,过点作的垂线,垂足为,连接,把沿直线折叠,点的对应点为,请直接写出点坐标,并判断点是否在该抛物线上.
【031】如图18,抛物线F:的顶点为P,抛物线:与y轴交于点A,与直线OP交于点B.过点P作PD⊥x轴于点D,平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′:,抛物线F′与x轴的另一个交点为C.
⑴当a = 1,b=-2,c = 3时,求点C的坐标(直接写出答案);
⑵若a、b、c满足了
①求b:b′的值;
②探究四边形OABC的形状,并说明理由.
图 18
【032】已知二次函数()的图象经过点,,,直线()与轴交于点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在直线()上有一点(点在第四象限),使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似,求点坐标(用含的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点,使得四边形为平行四边形?若存在,请求出的值及四边形的面积;若不存在,请说明理由.
y
x
O
【033】如图,在直角坐标系中,矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上,点A、C的坐标分
别为(0,1)、(2,4).点P从点A出发,沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动,到
点C停止;点Q在x轴上,横坐标为点P的横、纵坐标之和.抛物线
经过A、C两点.过点P作x轴的垂线,垂足为M,交抛物线于点R.设点P的运动时间为t(秒),△PQR的面积为S(平方单位).
(1)求抛物线对应的函数关系式. (2)分别求t=1和t=4时,点Q的坐标.
(3)当0<≤5时,求S与t之间的函数关系式,并直接写出S的最大值.
【034】在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点,点,如图所示:抛物线经过点.
(1)求点的坐标; (2)求抛物线的解析式;
B
A
C
x
y
(0,2)
(-1,0)
(第25题)
(3)在抛物线上是否还存在点(点除外),使仍然是以为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点的坐标;若不存在,请说明理由.
【035】如图,已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标.
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
C
P
B
y
A
(3)在轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
【036】已知:如图所示,关于的抛物线与轴交于点、点,与轴交于点.
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点,使四边形为等腰梯形,写出点的坐标,并求出直线的解析式;
B
A
O
C
y
x
(第26题图)
(3)在(2)中的直线交抛物线的对称轴于点,抛物线上有一动点,轴上有一动点.是否存在以为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
B
O
A
·
x
y
第28题图
【037】如图,抛物线的顶点为A,与y 轴交于点B.
(1)求点A、点B的坐标.
(2)若点P是x轴上任意一点,求证:.
(3)当最大时,求点P的坐标.
【038】如图13-1至图13-5,⊙O均作无滑动滚动,⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置,⊙O的周长为c.
阅读理解:
图13-1
A
O1
O
O2
B
B
图13-2
A
C
n°
D
O1
O2
B
图13-3
O2
O3
O
A
O1
C
O4
(1)如图13-1,⊙O从⊙O1的位置出发,沿AB滚动到
⊙O2的位置,当AB = c时,⊙O恰好自转1周.
(2)如图13-2,∠ABC相邻的补角是n°,⊙O在
∠ABC外部沿A-B-C滚动,在点B处,必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置,⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2 = n°,⊙O在点B处自转周.
实践应用:
(1)在阅读理解的(1)中,若AB = 2c,则⊙O自转 周;若AB = l,则⊙O自转 周.在阅读理解的(2)中,若∠ABC = 120°,则⊙O在点B处自转 周;若∠ABC = 60°,则⊙O在点B处自转 周.
(2)如图13-3,∠ABC=90°,AB=BC=c.⊙O从⊙O1的位置出发,在∠ABC外部沿A-B-C滚动到⊙O4的位置,⊙O自转 周.
O
A
B
C
图13-4
D
拓展联想:
(1)如图13-4,△ABC的周长为l,⊙O从与AB相切于点D的位置出发,在△ABC外部,按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB相切于点D的位置,⊙O自转了多少周?请说明理由.
D
图13-5
O
(2)如图13-5,多边形的周长为l,⊙O从与某边相切于点D的位置出发,在多边形外部,按顺时针方向沿多边形滚动,又回到与该边相切于点D的位置,直接写
出⊙O自转的周数.
【039】如图已知直线L:,它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。
(1)求点A、点B的坐标。
(2)设F为x轴上一动点,用尺规作图作出⊙P,使⊙P经过点B且与x轴相切于点F(不写作法,保留作图痕迹)。
(3)设92)中所作的⊙P的圆心坐标为P(x,y),求y关于x的函数关系式。
(4)是否存在这样的⊙P,既与x轴相切又与直线L相切于点B,若存在,求出圆心P的坐标,若不存在,请说明理由。
【040】如图12,已知抛物线交轴于A、B两点,交轴于点C,抛物线的对称轴交轴于点E,点B的坐标为(,0).
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)在平面直角坐标系中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
O
D
B
C
A
E
图12
(3)连结CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由.
【041】如图11,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,∠ABC=60º. (1)求⊙O的直径;
(2)若D是AB延长线上一点,连结CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切;
(3)若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动,同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为,连结EF,当为何值时,△BEF为直角三角形.
图10(3)
A
B
C
O
E
F
A
B
C
O
D
图10(1)
A
B
O
E
F
C
图10(2)
【042】如图,反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=-x+的图象交于A、B两点,点C的坐标为(1,),连接AC,AC∥y轴.
(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标;
(2)现有一个直角三角板,让它的直角顶点P在反比例函数图象上A、B之间的部分滑动(不与A、B重合),两直角边始终分别平行于x轴、y轴,且与线段AB交于M、N两点,试判断P点在滑动过程中△PMN是否与△CBA总相似?简要说明判断理由.
【043】如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90º,AB=12cm,AD=8cm,BC=22cm,AB为⊙O的直径,动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动,P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?
(2)当t为何值时,PQ与⊙O相切?
A
B
O
C
D
P
Q
044】如图11,已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、,与轴的交点为.设的外接圆的圆心为点.
(1)求与轴的另一个交点D的坐标;
(2)如果恰好为的直径,且的面积等于,求和的值.
【045】已知:抛物线的对称轴为与轴交于两点,与轴交于点其中、
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P,使得的周长最小.请求出点P的坐标.
(3)若点是线段上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作交轴于点连接、.设的长为,的面积为.求与之间的函数关系式.试说明是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
A
C
x
y
B
O
(第24题图)
【046】)如图,半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.
(1)求证:PA·PB=PC·PD;
(2)设BC的中点为F,连结FP并延长交AD于E,求证:EF⊥AD:
(3)若AB=8,CD=6,求OP的长.
第23题图
【047】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,以点为圆心,8为半径的圆与轴交于两点,过作直线与轴负方向相交成60°的角,且交轴于点,以点为圆心的圆与轴相切于点. (1)求直线的解析式;
O
y
x
C
D
B
A
O1
O2
60°
(第22题)
l
(2)将以每秒1个单位的速度沿轴向左平移,当第一次与外切时,求平移的时间.
【048】如图11,已知抛物线()与轴的一个交点为,与y轴的负半轴交于点C,顶点为D.
(1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点A的坐标;
(2)以AD为直径的圆经过点C. ①求抛物线的解析式;
O
x
y
A
B
C
D
图11
②点在抛物线的对称轴上,点在抛物线上,且以四点为顶点的四边形为平行四边形,求点的坐标.
【049】如图,在平面直角坐标系中,若、的长是关于的一元二次方程的两个根,且
(1)求的值.
(2)若为轴上的点,且求经过、两点的直线的解析式,并判断与是否相似?
x
y
A
D
B
O
C
28题图
(3)若点在平面直角坐标系内,则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【050】如图,已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点, A点的坐标为(-1,0),过点C的直线y=x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)填空:点C的坐标是_▲_,b=_▲_,c=_▲_;
(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.
【051】如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,AB2=AF·AC,cos∠ABD=,AD=12.
⑴求证:△ANM≌△ENM;
⑵求证:FB是⊙O的切线;
⑶证明四边形AMEN是菱形,并求该菱形的面积S.
【052】如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,四边形OBHC为矩形,CH的延长线交抛物线于点D(5,2),连结BC、AD.
(1)求C点的坐标及抛物线的解析式;
(2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后 再沿x轴对折得到
△BEF(点C与点E对应),判断点E是否落在抛物线上,并说明理由;
(3)设过点E的直线交AB边于点P,交CD边于点Q. 问是否存在点P,使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
【053】已知直线与轴轴分别交于点A和点B,点B的坐标为(0,6)
(1)求的值和点A的坐标;
(2)在矩形OACB中,点P是线段BC上的一动点,直线PD⊥AB于点D,与轴交于点E,设BP=,梯形PEAC的面积为。
①求与的函数关系式,并写出的取值范围;
②⊙Q是△OAB的内切圆,求当PE与⊙Q相交的弦长为2.4时点P的坐标。
【054】在直角坐标平面内,为原点,点的坐标为,点的坐标为,直线轴(如图7所示).点与点关于原点对称,直线(为常数)经过点,且与直线相交于点,联结.
(1)求的值和点的坐标;
(2)设点在轴的正半轴上,若是等腰三角形,求点的坐标;
(3)在(2)的条件下,如果以为半径的圆与圆外切,求圆的半径.
C
M
O
x
y
1
2
3
4
图7
A
1
B
D
【055】如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.
(1)求点B的坐标; (2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.
B
A
O
y
x
【056】如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x-8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P.
(1)连结PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;
(2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?
O
x
y
N
C
D
E
F
B
M
A
【057】如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于四点.抛物线与轴交于点,与直线交于点,且分别与圆相切于点和点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交轴于点,连结,并延长
交圆于,求的长.
(1) 过点作圆的切线交的延长线于点,
(2) 判断点是否在抛物线上,说明理由.
【058】如图①, 已知抛物线(a≠0)与轴交于点A(1,0)和点B (-3,0),与y轴交于点C.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3) 如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
【059】如图所示,已知在直角梯形中,轴于点.动点从点出发,沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过点作垂直于直线,垂足为.设点移动的时间为秒(),与直角梯形重叠部分的面积为.
(1)求经过三点的抛物线解析式;
(2)求与的函数关系式;
(3)将绕着点顺时针旋转,是否存在,使得的顶点或在抛物线上?若存在,直接写出的值;若不存在,请说明理由.
2
O
A
B
C
x
y
1
1
3
P
第26题图
Q
【060】如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过矩形ABCD的两个顶点A、B,AB平行于x轴,对角线BD与抛物线交于点P,点A的坐标为(0,2),AB=4.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若S△APO=,求矩形ABCD的面积.
A
B
C
D
y
P
x
O
(第23题图)
【061】如图(9)-1,抛物线经过A(,0),C(3,)两点,与轴交于点D,与轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线将四边形ABCD面积二等分,求的值;
(3)如图(9)-2,过点E(1,1)作EF⊥轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ(点M、N、Q分别与点A、E、F对应),使点M、N在抛物线上,作MG⊥轴于点G,若线段MG︰AG=1︰2,求点M,N的坐标.
D
O
B
A
x
y
C
y=kx+1
图(9)-1
E
F
M
N
G
O
B
A
x
y
图(9)-2
Q
【062】已知二次函数y=x2-x+c.
(1)若点A(-1,a)、B(2,2n-1)在二次函数y=x2-x+c的图象上,求此二次函数的最小值;
(2)若点D(x1,y1)、E(x2,y2)、P(m,n)(m>n)在二次函数y=x2-x+c的图象上,且D、E两点关于坐标原点成中心对称,连接OP.当2≤OP≤2+时,试判断直线DE与抛物线y=x2-x+c+的交点个数,并说明理由.
【063】已知在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为、,点D的坐标为,点P是直线AC上的一动点,直线DP与轴交于点M.问:
(1)当点P运动到何位置时,直线DP平分矩形OABC的面积,请简要说明理由,并求出此时直线DP的函数解析式;
(2)当点P沿直线AC移动时,是否存在使与相似的点M,若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当点P沿直线AC移动时,以点P为圆心、半径长为R(R>0)画圆,所得到的圆称为动圆P.若设动圆P的直径长为AC,过点D作动圆P的两条切线,切点分别为点E、F.请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S,若存在,请求出S的值;若不存在,请说明理由.
注:第(3)问请用备用图解答.备用图
y
x
O
C
D
B
A
1
2
【064】在平面直角坐标系中,已知,,且以为直径的圆交轴的正半轴于点,过点作圆的切线交轴于点.
(1)求过三点的抛物线的解析式
(2)求点的坐标
(3)设平行于轴的直线交抛物线于两点,
问:是否存在以线段为直径的圆,恰好
与轴相切?若存在,求出该圆的半径,
若不存在,请说明理由?
【065】已知:直角梯形OABC的四个顶点是O(0,0),A(,1), B(s,t),C(,0),抛物线y=x2+mx-m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点,m为常数.
(1)求s与t的值,并在直角坐标系中画出直角梯形OABC;
(2)当抛物线y=x2+mx-m与直角梯形OABC的边AB相交时,求m的取值范围.
(第24
【066】)如图1,已知:抛物线与轴交于两点,与轴交于点,经过两点的直线是,连结.
(1)两点坐标分别为(_____,_____)、(_____,_____),抛物线的函数关系式为______________;
(2)判断的形状,并说明理由;
(3)若内部能否截出面积最大的矩形(顶点在各边上)?若能,求出在边上的矩形顶点的坐标;若不能,请说明理由.
C
A
O
B
x
y
C
A
O
B
x
y
图1
图2(备用)
(第26题)
[抛物线的顶点坐标是]
【067】如图12,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为 (2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图12所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图13所示).
① 当t=时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
图13
B
C
O
A
D
E
M
y
x
P
N
·
图12
B
C
O
(A)
D
E
M
y
x
② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
【068】矩形在平面直角坐标系中位置如图13所示,两点的坐标分别为,,直线与边相交于点.
(1)求点的坐标;
(2)若抛物线经过点,试确定此抛物线的表达式;
(3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线交于点,点为对称轴上一动点,以为顶点的三角形与相似,求符合条件的点的坐标.
y
O
C
D
B
6
A
x
图13
【069】我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究:根据给定的(或构造的)几何图形提出相关的概念和问题(或者根据问题构造图形),并加以研究.
例如:在平面上根据两条直线的各种构图,可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念;若增加第三条直线,则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题(包括研究的思想和方法).
请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究:
(1) 如图1,在圆O所在平面上,放置一条直线(和圆O分别交于点A、B),根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些(直接写出两个即可)?
(2) 如图2,在圆O所在平面上,请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线和(与圆O分别交于点A、B,与圆O分别交于点C、D).
请你根据所构造的图形提出一个结论,并证明之.
(3) 如图3,其中AB是圆O的直径,AC是弦,D是ABC
的中点,弦DE⊥AB于点F. 请找出点C和点E重合的条件,并说明理由.
A
B
O
m
第25题图1
O
第25题图2
A
B
O
E
第25题图3
D
C
F
G
D
C
【70】如图,已知抛物线(a≠0)经过点,抛物线的顶点为,过作射线.过顶点平行于轴的直线交射线于点,在轴正半轴上,连结.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点从点出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线运动,设点运动的时间为.问当为何值时,四边形分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?
(3)若,动点和动点分别从点和点同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为,连接,当为何值时,四边形的面积最小?并求出最小值及此时的长.
x
y
M
C
D
P
Q
O
A
B