山东省济宁市中考数学专项复习 因式分解鲁教 6页

因式分解 一、提公因式法. a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．‎ 二、运用公式法. a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；‎ 三、分组分解法. an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；‎ an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；‎ an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．‎ ‎（一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：‎ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。‎ 解：原式=‎ ‎ = 每组之间还有公因式！ ‎ ‎ = ‎ 思考：此题还可以怎样分组？‎ 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。‎ 例2、分解因式：‎ 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；‎ 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。‎ 解：原式= 原式=‎ ‎ = =‎ ‎ = =‎ 练习：分解因式1、 2、‎ ‎（二）分组后能直接运用公式 ‎ 例3、分解因式：‎ 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。‎ ‎ 解：原式= ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ 例4、分解因式：‎ ‎ 解：原式=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ 注意这两个例题的区别！‎ 练习：分解因式3、 4、‎ 综合练习：（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ ‎（9） （10）‎ ‎（11）（12）‎ 四、十字相乘法.‎ ‎（一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——进行分解。‎ 特点：（1）二次项系数是1；‎ ‎ （2）常数项是两个数的乘积；‎ ‎（3）一次项系数是常数项的两因数的和。‎ ‎ 例5、分解因式：‎ 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。‎ ‎ 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2‎ 解：= 1 3 ‎ ‎ = 1×2+1×3=5‎ 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。‎ 例6、分解因式：‎ 解：原式= 1 -1 ‎ ‎= 1 -6 ‎ ‎（-1）+（-6）= -7‎ 练习5、分解因式(1) (2) (3)‎ 练习6、分解因式(1) (2) (3)‎ ‎（二）二次项系数不为1的二次三项式——‎ 条件：（1） ‎ ‎（2） ‎ ‎（3） ‎ 分解结果：=‎ 例7、分解因式：‎ 分析： 1 -2‎ ‎ 3 -5 ‎ ‎ （-6）+（-5）= -11‎ 解：=‎ 练习7、分解因式：（1） （2）‎ ‎ （3） （4）‎ ‎（三）二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式：‎ 分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。‎ ‎ 1 8b ‎ 1 -16b ‎ ‎ 8b+(-16b)= -8b ‎ 解：=‎ ‎ =‎ 练习8、分解因式(1)(2)(3)‎ ‎（四）二次项系数不为1的齐次多项式 例9、 例10、‎ ‎ 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 ‎ ‎ 2 -3y 1 -2 ‎ ‎ (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 ‎ 解：原式= 解：原式=‎ 练习9、分解因式：（1） （2）‎ 综合练习10、（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7）（8）‎ ‎（9）（10）‎ 思考：分解因式：‎ 五、主元法.‎ ‎ 例11、分解因式： 5 -2‎ 解法一：以为主元 2 -1 ‎ 解：原式= (-5)+(-4)= -9‎ ‎ = 1 -(5y-2)‎ ‎ = 1 (2y-1) ‎ ‎ = -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)‎ 解法二：以为主元 1 -1‎ ‎ 解：原式= 1 2 ‎ ‎= -1+2=1‎ ‎= 2 (x-1)‎ ‎= 5 -(x+2) ‎ ‎= 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)‎ 练习11、分解因式(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ 六、双十字相乘法。‎ 定义：双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。‎ 条件：（1），，‎ ‎（2），，‎ 即： ‎ ‎ ‎ ‎，，‎ 则 例12、分解因式（1）‎ ‎ （2）‎ 解：（1）‎ 应用双十字相乘法： ‎ ‎ ‎ ‎，，‎ ‎∴原式=‎ ‎ （2）‎ 应用双十字相乘法： ‎ ‎ ‎ ‎，，‎ ‎∴原式=‎ 练习12、分解因式（1）‎ ‎ （2）‎ 七、换元法。‎ 例13、分解因式（1）‎ ‎ （2）‎ 解：（1）设2005=，则原式=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。‎ ‎ 原式=‎ 设，则 ‎∴原式==‎ ‎ ==‎ 练习13、分解因式（1）‎ ‎（2） （3）‎ 例14、分解因式（1）‎ 观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。‎ 方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。‎ 解：原式==‎ 设，则 ‎∴原式==‎ ‎ ==‎ ‎ ==‎ ‎ =‎ ‎ （2）‎ 解：原式==‎ ‎ 设，则 ‎ ∴原式==‎ ‎ ==‎ 练习14、（1）（2）‎ 八、添项、拆项、配方法。‎ ‎ 例15、分解因式（1） ‎ 解法1——拆项。 解法2——添项。‎ 原式= 原式=‎ ‎= =‎ ‎ = =‎ ‎ = =‎ ‎ = =‎ ‎（2）‎ 解：原式=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 练习15、分解因式（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ 九、待定系数法。例16、分解因式 分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为 解：设=‎ ‎∵=‎ ‎∴=‎ 对比左右两边相同项的系数可得，解得 ‎∴原式=‎ 例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。‎ ‎ （2）如果有两个因式为和，求的值。‎ ‎（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为 解：设=‎ ‎ 则=‎ 比较对应的系数可得：，解得：或 ‎∴当时，原多项式可以分解；‎ 当时，原式=；‎ 当时，原式=‎ ‎（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。‎ 解：设=‎ ‎ 则=‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴=21‎