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中考数学试题分类汇编：考点 21 全等三角形 一．选择题（共 9 小题） 1．（2018•安顺）如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O 点， 已知 AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ） A．∠B=∠CB．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD 【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知 AB=AC，可根据全等三角形判定定理 AAS、 SAS、ASA 添加条件，逐一证明即可． 【解答】解：∵AB=AC，∠A 为公共角， A、如添加∠B=∠C，利用 ASA 即可证明△ABE≌△ACD； B、如添 AD=AE，利用 SAS 即可证明△ABE≌△ACD； C、如添 BD=CE，等量关系可得 AD=AE，利用 SAS 即可证明△ABE≌△ACD； D、如添 BE=CD，因为 SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加 的条件． 故选：D． 2．（2018•黔南州）下列各图中 a、b、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三 角形和左侧△ABC 全等的是（ ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC 全等，甲与△ABC 不全 等． 【解答】解：乙和△ABC 全等；理由如下： 在△ABC 和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS， 所以乙和△ABC 全等； 在△ABC 和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS， 所以丙和△ABC 全等； 不能判定甲与△ABC 全等； 故选：B． 3．（2018•河北）已知：如图，点 P 在线段 AB 外，且 PA=PB，求证：点 P 在线 段 AB 的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是 （ ） A．作∠APB 的平分线 PC 交 AB 于点 C B．过点 P 作 PC⊥AB 于点 C 且 AC=BC C．取 AB 中点 C，连接 PC D．过点 P 作 PC⊥AB，垂足为 C 【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论． 【解答】解：A、利用 SAS 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°， ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，符合题意； C、利用 SSS 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，符合题意； D、利用 HL 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， 符合题意， B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意； 故选：B． 4．（2018•南京）如图，AB⊥CD，且 AB=CD．E、F 是 AD 上两点，CE⊥AD，BF ⊥AD．若 CE=a，BF=b，EF=c，则 AD 的长为（ ） A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c 【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得 AF=CE=a，BF=DE=b，推出 AD=AF+DF=a+ （b﹣c）=a+b﹣c； 【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°， ∴∠A=∠C，∵AB=CD， ∴△ABF≌△CDE， ∴AF=CE=a，BF=DE=b， ∵EF=c， ∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c， 故选：D． 5．（2018•临沂）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点 D、E，AD=3，BE=1，则 DE 的长是（ ） A． B．2 C．2 D． 【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得 出 BE=DC，就可以求出 DE 的值． 【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E=∠ADC=90°， ∴∠EBC+∠BCE=90°． ∵∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠EBC=∠DCA． 在△CEB 和△ADC 中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE=DC=1，CE=AD=3． ∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2 故选：B． 6．（2018•台湾）如图，五边形 ABCDE 中有一正三角形 ACD，若 AB=DE，BC=AE， ∠E=115°，则∠BAE 的度数为何？（ ） A．115 B．120 C．125 D．130 【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC 与△AED 全等，进而得出∠B= ∠E，利用多边形的内角和解答即可． 【解答】解：∵正三角形 ACD， ∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°， ∵AB=DE，BC=AE， ∴△ABC≌△AED， ∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE， ∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°， ∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°， 故选：C． 7．（2018•成都）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌ △DCB 的是（ ） A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC 【分析】全等三角形的判定方法有 SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即 可． 【解答】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合 AAS，即能推出△ABC ≌△DCB，故本选项错误； B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合 ASA，即能推出△ABC≌△DCB， 故本选项错误； C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出 △ABC≌△DCB，故本选项正确； D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合 SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选 项错误； 故选：C． 8．（2018•黑龙江）如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°， 则四边形 ABCD 的面积为（ ） A．15 B．12.5 C．14.5 D．17 【分析】过 A 作 AE⊥AC，交 CB 的延长线于 E，判定△ACD≌△AEB，即可得到 △ACE 是等腰直角三角形，四边形 ABCD 的面积与△ACE 的面积相等，根据 S△ACE= ×5×5=12.5，即可得出结论． 【解答】解：如图，过 A 作 AE⊥AC，交 CB 的延长线于 E， ∵∠DAB=∠DCB=90°， ∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC， ∴∠D=∠ABE， 又∵∠DAB=∠CAE=90°， ∴∠CAD=∠EAB， 又∵AD=AB， ∴△ACD≌△AEB， ∴AC=AE，即△ACE 是等腰直角三角形， ∴四边形 ABCD 的面积与△ACE 的面积相等， ∵S△ACE= ×5×5=12.5， ∴四边形 ABCD 的面积为 12.5， 故选：B． 9．（2018•绵阳）如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD， △ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上，若 AE= ，AD= ，则两个三角形重叠 部分的面积为（ ） A． B．3 C． D．3 【分析】如图设 AB 交 CD 于 O，连接 BD，作 OM⊥DE 于 M，ON⊥BD 于 N．想 办法求出△AOB 的面积．再求出 OA 与 OB 的比值即可解决问题； 【解答】解：如图设 AB 交 CD 于 O，连接 BD，作 OM⊥DE 于 M，ON⊥BD 于 N． ∵∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ECA=∠DCB， ∵CE=CD，CA=CB， ∴△ECA≌△DCB， ∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD= ， ∵∠EDC=45°， ∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°， 在 Rt△ADB 中，AB= =2 ， ∴AC=BC=2， ∴S△ABC= ×2×2=2， ∵OD 平分∠ADB，OM⊥DE 于 M，ON⊥BD 于 N， ∴OM=ON， ∵ = = = = ， ∴S△AOC=2× =3﹣ ， 故选：D． 二．填空题（共 4 小题） 10．（2018•金华）如图，△ABC 的两条高 AD，BE 相交于点 F，请添加一个条件， 使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 AC=BC ． 【分析】添加 AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC= ∠DAC，然后再添加 AC=BC 可利用 AAS 判定△ADC≌△BEC． 【解答】解：添加 AC=BC， ∵△ABC 的两条高 AD，BE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°， ∴∠EBC=∠DAC， 在△ADC 和△BEC 中 ， ∴△ADC≌△BEC（AAS）， 故答案为：AC=BC． 11．（2018•衢州）如图，在△ABC 和△DEF 中，点 B，F，C，E 在同一直线上， BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AB=ED （只需写一个，不添加辅助线）． 【分析】根据等式的性质可得 BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加 AB=ED 可利用 SAS 判定△ABC≌△DEF． 【解答】解：添加 AB=ED， ∵BF=CE， ∴BF+FC=CE+FC， 即 BC=EF， ∵AB∥DE， ∴∠B=∠E， 在△ABC 和△DEF 中 ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故答案为：AB=ED． 12．（2018•绍兴）等腰三角形 ABC 中，顶角 A 为 40°，点 P 在以 A 为圆心，BC 长为半径的圆上，且 BP=BA，则∠PBC 的度数为 30°或 110° ． 【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题； 【解答】解：如图，当点 P 在直线 AB 的右侧时．连接 AP． ∵AB=AC，∠BAC=40°， ∴∠ABC=∠C=70°， ∵AB=AB，AC=PB，BC=PA， ∴△ABC≌△BAP， ∴∠ABP=∠BAC=40°， ∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30°， 当点 P′在 AB 的左侧时，同法可得∠ABP′=40°， ∴∠P′BC=40°+70°=110°， 故答案为 30°或 110°． 13．（2018•随州）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD 且 BC＞AB，BD=8．给 出以下判断： ①AC 垂直平分 BD； ②四边形 ABCD 的面积 S=AC•BD； ③顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形； ④当 A，B，C，D 四点在同一个圆上时，该圆的半径为 ； ⑤将△ABD 沿直线 BD 对折，点 A 落在点 E 处，连接 BE 并延长交 CD 于点 F，当 BF⊥CD 时，点 F 到直线 AB 的距离为 ． 其中正确的是 ①③④ ．（写出所有正确判断的序号） 【分析】依据 AB=AD=5，BC=CD，可得 AC 是线段 BD 的垂直平分线，故①正确； 依据四边形 ABCD 的面积 S= ，故②错误；依据 AC=BD，可得顺次连接四边 形 ABCD 的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当 A，B，C，D 四点在 同一个圆上时，设该圆的半径为 r，则 r2=（r﹣3）2+42，得 r= ，故④正确；连 接 AF，设点 F 到直线 AB 的距离为 h，由折叠可得，四边形 ABED 是菱形， AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，依据 S△BDE= ×BD×OE= ×BE×DF，可得 DF= ， 进而得出 EF= ，再根据 S△ABF=S 梯形 ABFD﹣S△ADF，即可得到 h= ，故⑤错误． 【解答】解：∵在四边形 ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD， ∴AC 是线段 BD 的垂直平分线，故①正确； 四边形 ABCD 的面积 S= ，故②错误； 当 AC=BD 时，顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形是正方形，故③正 确； 当 A，B，C，D 四点在同一个圆上时，设该圆的半径为 r，则 r2=（r﹣3）2+42， 得 r= ，故④正确； 将△ABD 沿直线 BD 对折，点 A 落在点 E 处，连接 BE 并延长交 CD 于点 F，如图 所示， 连接 AF，设点 F 到直线 AB 的距离为 h， 由折叠可得，四边形 ABED 是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4， ∴AO=EO=3， ∵S△BDE= ×BD×OE= ×BE×DF， ∴DF= = ， ∵BF⊥CD，BF∥AD， ∴AD⊥CD，EF= = ， ∵S△ABF=S 梯形 ABFD﹣S△ADF， ∴ ×5h= （5+5+ ）× ﹣ ×5× ， 解得 h= ，故⑤错误； 故答案为：①③④． 三．解答题（共 23 小题） 14．（2018•柳州）如图，AE 和 BD 相交于点 C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC ≌△EDC． 【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断． 【解答】证明：∵在△ABC 和△EDC 中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）． 15．（2018•云南）如图，已知 AC 平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC． 【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，利用 SAS 定理判断即可． 【解答】证明：∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， 在△ABC 和△ADC 中， ， ∴△ABC≌△ADC． 16．（2018•泸州）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C． 【分析】欲证明∠F=∠C，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可； 【解答】证明：∵DA=BE， ∴DE=AB， 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠C=∠F． 17．（2018•衡阳）如图，已知线段 AC，BD 相交于点 E，AE=DE，BE=CE． （1）求证：△ABE≌△DCE； （2）当 AB=5 时，求 CD 的长． 【分析】（1）根据 AE=DE，BE=CE，∠AEB 和∠DEC 是对顶角，利用 SAS 证明△ AEB≌△DEC 即可． （2）根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：在△AEB 和△DEC 中， ， ∴△AEB≌△DEC（SAS）． （2）解：∵△AEB≌△DEC， ∴AB=CD， ∵AB=5， ∴CD=5． 18．（2018•通辽）如图，△ABC 中，D 是 BC 边上一点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于 F，且 AF=CD，连接 CF． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）若 AB=AC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论． 【分析】（1）由 AF∥BC 得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE 即可 判定全等； （2）根据 AB=AC，且 AD 是 BC 边上的中线可得∠ADC=90°，由四边形 ADCF 是矩 形可得答案． 【解答】证明：（1）∵E 是 AD 的中点， ∴AE=DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB， ∴△AEF≌△DEB（AAS）； （2）连接 DF， ∵AF∥CD，AF=CD， ∴四边形 ADCF 是平行四边形， ∵△AEF≌△DEB， ∴BE=FE， ∵AE=DE， ∴四边形 ABDF 是平行四边形， ∴DF=AB， ∵AB=AC， ∴DF=AC， ∴四边形 ADCF 是矩形． 19．（2018•泰州）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB 相交于点 O．求证： OB=OC． 【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知 Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所 以 AB=CD，证明△ABO 与△CDO 全等，所以有 OB=OC． 【解答】证明：在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO． 20．（2018•南充）如图，已知 AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC． 求证：∠C=∠E． 【分析】由∠BAE=∠DAC 可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△BAC≌△ DAE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E． 【解答】解：∵∠BAE=∠DAC， ∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE， 在△ABC 和△ADE 中， ∵ ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠C=∠E． 21．（2018•恩施州）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC ∥FD，AD 交 BE 于 O． 求证：AD 与 BE 互相平分． 【分析】连接 BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得 AB=DE，依据 AB∥DE， 即可得出四边形 ABDE 是平行四边形，进而得到 AD 与 BE 互相平分． 【解答】证明：如图，连接 BD，AE， ∵FB=CE， ∴BC=EF， 又∵AB∥ED，AC∥FD， ∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE， 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB=DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形 ABDE 是平行四边形， ∴AD 与 BE 互相平分． 22．（2018•哈尔滨）已知：在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 E，且 AC⊥BD，作 BF⊥CD，垂足为点 F，BF 与 AC 交于点 C，∠BGE=∠ADE． （1）如图 1，求证：AD=CD； （2）如图 2，BH 是△ABE 的中线，若 AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的 情况下，请直接写出图 2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的 2 倍． 【分析】（1）由 AC⊥BD、BF⊥CD 知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE= ∠ADE=∠CGF 得出∠DAE=∠GCF 即可得； （2）设 DE=a，先得出 AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知 S△ ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE 得 BE=AE=2a，再分别求出 S△ABE、S△ACE、S△BHG， 从而得出答案． 【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF， ∴∠ADE=∠CGF， ∵AC⊥BD、BF⊥CD， ∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF， ∴∠DAE=∠GCF， ∴AD=CD； （2）设 DE=a， 则 AE=2DE=2a，EG=DE=a， ∴S△ADE= AE•DE= •2a•a=a2， ∵BH 是△ABE 的中线， ∴AH=HE=a， ∵AD=CD、AC⊥BD， ∴CE=AE=2a， 则 S△ADC= AC•DE= •（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE； 在△ADE 和△BGE 中， ∵ ， ∴△ADE≌△BGE（ASA）， ∴BE=AE=2a， ∴S△ABE= AE•BE= •（2a）•2a=2a2， S△ACE= CE•BE= •（2a）•2a=2a2， S△BHG= HG•BE= •（a+a）•2a=2a2， 综上，面积等于△ADE 面积的 2 倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG． 23．（2018•武汉）如图，点 E、F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF 与 DE 交于点 G，求证：GE=GF． 【分析】求出 BF=CE，根据 SAS 推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角 形的判定可得结论． 【解答】证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE， 在△ABF 和△DCE 中 ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠GEF=∠GFE， ∴EG=FG． 24．（2018•咸宁）已知：∠AOB． 求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB （1）如图 1，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 C、D； （2）如图 2，画一条射线 O′A′，以点 O′为圆心，OC 长为半径间弧，交 O′A′于点 C′； （3）以点 C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第 2 步中所而的弧交于点 D′； （4）过点 D′画射线 O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB． 根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB． 【分析】由基本作图得到 OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，则根据“SSS“可证明△OCD ≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB． 【解答】证明：由作法得 OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′， 在△OCD 和△O′C′D′中 ， ∴△OCD≌△O′C′D′， ∴∠COD=∠C′O′D′， 即∠A'O'B′=∠AOB． 25．（2018•安顺）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点， 过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F，连接 CF． （1）求证：AF=DC； （2）若 AC⊥AB，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论． 【分析】（1）连接 DF，由 AAS 证明△AFE≌△DBE，得出 AF=BD，即可得出答案； （2）根据平行四边形的判定得出平行四边形 ADCF，求出 AD=CD，根据菱形的判 定得出即可； 【解答】（1）证明：连接 DF， ∵E 为 AD 的中点， ∴AE=DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， 在△AFE 和△DBE 中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴EF=BE， ∵AE=DE， ∴四边形 AFDB 是平行四边形， ∴BD=AF， ∵AD 为中线， ∴DC=BD， ∴AF=DC； （2）四边形 ADCF 的形状是菱形，理由如下： ∵AF=DC，AF∥BC， ∴四边形 ADCF 是平行四边形， ∵AC⊥AB， ∴∠CAB=90°， ∵AD 为中线， ∴AD= BC=DC， ∴平行四边形 ADCF 是菱形； 26．（2018•广州）如图，AB 与 CD 相交于点 E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠ C． 【分析】根据 AE=EC，DE=BE，∠AED 和∠CEB 是对顶角，利用 SAS 证明△ADE ≌△CBE 即可． 【解答】证明：在△AED 和△CEB 中， ， ∴△AED≌△CEB（SAS）， ∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）． 27．（2018•宜宾）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD． 【分析】由全等三角形的判定定理 AAS 证得△ABC≌△ADC，则其对应边相等． 【解答】证明：如图，∵∠1=∠2， ∴∠ACB=∠ACD． 在△ABC 与△ADC 中， ， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴CB=CD． 28．（2018•铜仁市）已知：如图，点 A、D、C、B 在同一条直线上，AD=BC， AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF． 【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出 AE∥BF； 【解答】证明：∵AD=BC，∴AC=BD， 在△ACE 和△BDF 中， ， ∴△ACE≌△BDF（SSS） ∴∠A=∠B， ∴AE∥BF； 29．（2018•温州）如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，AD∥EC，∠AED= ∠B． （1）求证：△AED≌△EBC． （2）当 AB=6 时，求 CD 的长． 【分析】（1）利用 ASA 即可证明； （2）首先证明四边形 AECD 是平行四边形，推出 CD=AE= AB 即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵AD∥EC， ∴∠A=∠BEC， ∵E 是 AB 中点， ∴AE=EB， ∵∠AED=∠B， ∴△AED≌△EBC． （2）解：∵△AED≌△EBC， ∴AD=EC， ∵AD∥EC， ∴四边形 AECD 是平行四边形， ∴CD=AE， ∵AB=6， ∴CD= AB=3． 30．（2018•菏泽）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出 DF 与 AE 的数量关 系，并证明你的结论． 【分析】结论：DF=AE．只要证明△CDF≌△BAE 即可； 【解答】解：结论：DF=AE． 理由：∵AB∥CD， ∴∠C=∠B， ∵CE=BF， ∴CF=BE，∵CD=AB， ∴△CDF≌△BAE， ∴DF=AE． 31．（2018•苏州）如图，点 A，F，C，D 在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求 证：BC∥EF． 【分析】由全等三角形的性质 SAS 判定△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB=∠DFE， 故证得结论． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠A=∠D， ∵AF=DC， ∴AC=DF． ∴在△ABC 与△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB=∠DFE， ∴BC∥EF． 32．（2018•嘉兴）已知：在△ABC 中，AB=AC，D 为 AC 的中点，DE⊥AB，DF ⊥BC，垂足分别为点 E，F，且 DE=DF．求证：△ABC 是等边三角形． 【分析】只要证明 Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出 BA=BC，又 AB=AC， 即可推出 AB=BC=AC； 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点 E，F， ∴∠AED=∠CFD=90°， ∵D 为 AC 的中点， ∴AD=DC， 在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF， ∴∠A=∠C， ∴BA=BC，∵AB=AC， ∴AB=BC=AC， ∴△ABC 是等边三角形． 33．（2018•滨州）已知，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D 为 BC 的中点． （1）如图①，若点 E、F 分别为 AB、AC 上的点，且 DE⊥DF，求证：BE=AF； （2）若点 E、F 分别为 AB、CA 延长线上的点，且 DE⊥DF，那么 BE=AF 吗？请 利用图②说明理由． 【分析】（1）连接 AD，根据等腰三角形的性质可得出 AD=BD、∠EBD=∠FAD， 根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA）， 再根据全等三角形的性质即可证出 BE=AF； （2）连接 AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、 BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA （ASA），再根据全等三角形的性质即可得出 BE=AF． 【解答】（1）证明：连接 AD，如图①所示． ∵∠A=90°，AB=AC， ∴△ABC 为等腰直角三角形，∠EBD=45°． ∵点 D 为 BC 的中点， ∴AD= BC=BD，∠FAD=45°． ∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°， ∴∠BDE=∠ADF． 在△BDE 和△ADF 中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE=AF； （2）BE=AF，证明如下： 连接 AD，如图②所示． ∵∠ABD=∠BAD=45°， ∴∠EBD=∠FAD=135°． ∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°， ∴∠EDB=∠FDA． 在△EDB 和△FDA 中， ， ∴△EDB≌△FDA（ASA）， ∴BE=AF． 34．（2018•怀化）已知：如图，点 A．F，E．C 在同一直线上，AB∥DC，AB=CD， ∠B=∠D． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若点 E，G 分别为线段 FC，FD 的中点，连接 EG，且 EG=5，求 AB 的长． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证 明即可； （2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵AB∥DC， ∴∠A=∠C， 在△ABE 与△CDF 中 ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）∵点 E，G 分别为线段 FC，FD 的中点， ∴ED= CD， ∵EG=5， ∴CD=10， ∵△ABE≌△CDF， ∴AB=CD=10． 35．（2018•娄底）如图，已知四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 OA=OC，OB=OD，过 O 点作 EF⊥BD，分别交 AD、BC 于点 E、F． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由． 【分析】（1）首先证明四边形 ABCD 是平行四边形，再利用 ASA 证明△AOE≌ △COF； （2）结论：四边形 BEDF 是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； 【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， 在△AOE 和△COF 中， ， ∴△AOE≌△COF． （2）解：结论：四边形 BEDF 是菱形， ∵△AOE≌△COF， ∴AE=CF， ∵AD=BC， ∴DE=BF，∵DE∥BF， ∴四边形 BEDF 是平行四边形， ∵OB=OD，EF⊥BD， ∴EB=ED， ∴四边形 BEDF 是菱形． 36．（2018•桂林）如图，点 A、D、C、F 在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF． （1）求证：△ABC≌DEF； （2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F 的度数． 【分析】（1）求出 AC=DF，根据 SSS 推出△ABC≌△DEF． （2）由（1）中全等三角形的性质得到：∠A=∠EDF，进而得出结论即可． 【解答】证明：（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且 AD=CF ∴AC=DF 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF（SSS） （2）由（1）可知，∠F=∠ACB ∵∠A=55°，∠B=88° ∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（55°+88°）=37° ∴∠F=∠ACB=37°