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  • 2021-05-13 发布

中考数学试题分类汇编考点21:全等三角形

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中考数学试题分类汇编:考点 21 全等三角形 一.选择题(共 9 小题) 1.(2018•安顺)如图,点 D,E 分别在线段 AB,AC 上,CD 与 BE 相交于 O 点, 已知 AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( ) A.∠B=∠CB.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD 【分析】欲使△ABE≌△ACD,已知 AB=AC,可根据全等三角形判定定理 AAS、 SAS、ASA 添加条件,逐一证明即可. 【解答】解:∵AB=AC,∠A 为公共角, A、如添加∠B=∠C,利用 ASA 即可证明△ABE≌△ACD; B、如添 AD=AE,利用 SAS 即可证明△ABE≌△ACD; C、如添 BD=CE,等量关系可得 AD=AE,利用 SAS 即可证明△ABE≌△ACD; D、如添 BE=CD,因为 SSA,不能证明△ABE≌△ACD,所以此选项不能作为添加 的条件. 故选:D. 2.(2018•黔南州)下列各图中 a、b、c 为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三 角形和左侧△ABC 全等的是( ) A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有丙 【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC 全等,甲与△ABC 不全 等. 【解答】解:乙和△ABC 全等;理由如下: 在△ABC 和图乙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:SAS, 所以乙和△ABC 全等; 在△ABC 和图丙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:AAS, 所以丙和△ABC 全等; 不能判定甲与△ABC 全等; 故选:B. 3.(2018•河北)已知:如图,点 P 在线段 AB 外,且 PA=PB,求证:点 P 在线 段 AB 的垂直平分线上,在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是 ( ) A.作∠APB 的平分线 PC 交 AB 于点 C B.过点 P 作 PC⊥AB 于点 C 且 AC=BC C.取 AB 中点 C,连接 PC D.过点 P 作 PC⊥AB,垂足为 C 【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论. 【解答】解:A、利用 SAS 判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∠PCA=∠PCB=90°, ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,符合题意; C、利用 SSS 判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∠PCA=∠PCB=90°,∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,符合题意; D、利用 HL 判断出△PCA≌△PCB,∴CA=CB,∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上, 符合题意, B、过线段外一点作已知线段的垂线,不能保证也平分此条线段,不符合题意; 故选:B. 4.(2018•南京)如图,AB⊥CD,且 AB=CD.E、F 是 AD 上两点,CE⊥AD,BF ⊥AD.若 CE=a,BF=b,EF=c,则 AD 的长为( ) A.a+c B.b+c C.a﹣b+c D.a+b﹣c 【分析】只要证明△ABF≌△CDE,可得 AF=CE=a,BF=DE=b,推出 AD=AF+DF=a+ (b﹣c)=a+b﹣c; 【解答】解:∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD, ∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°, ∴∠A=∠C,∵AB=CD, ∴△ABF≌△CDE, ∴AF=CE=a,BF=DE=b, ∵EF=c, ∴AD=AF+DF=a+(b﹣c)=a+b﹣c, 故选:D. 5.(2018•临沂)如图,∠ACB=90°,AC=BC.AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点 D、E,AD=3,BE=1,则 DE 的长是( ) A. B.2 C.2 D. 【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°,进而得出△CEB≌△ADC,就可以得 出 BE=DC,就可以求出 DE 的值. 【解答】解:∵BE⊥CE,AD⊥CE, ∴∠E=∠ADC=90°, ∴∠EBC+∠BCE=90°. ∵∠BCE+∠ACD=90°, ∴∠EBC=∠DCA. 在△CEB 和△ADC 中, , ∴△CEB≌△ADC(AAS), ∴BE=DC=1,CE=AD=3. ∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2 故选:B. 6.(2018•台湾)如图,五边形 ABCDE 中有一正三角形 ACD,若 AB=DE,BC=AE, ∠E=115°,则∠BAE 的度数为何?( ) A.115 B.120 C.125 D.130 【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC 与△AED 全等,进而得出∠B= ∠E,利用多边形的内角和解答即可. 【解答】解:∵正三角形 ACD, ∴AC=AD,∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°, ∵AB=DE,BC=AE, ∴△ABC≌△AED, ∴∠B=∠E=115°,∠ACB=∠EAD,∠BAC=∠ADE, ∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°, ∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°, 故选:C. 7.(2018•成都)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌ △DCB 的是( ) A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBC C.AC=DB D.AB=DC 【分析】全等三角形的判定方法有 SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理逐个判断即 可. 【解答】解:A、∠A=∠D,∠ABC=∠DCB,BC=BC,符合 AAS,即能推出△ABC ≌△DCB,故本选项错误; B、∠ABC=∠DCB,BC=CB,∠ACB=∠DBC,符合 ASA,即能推出△ABC≌△DCB, 故本选项错误; C、∠ABC=∠DCB,AC=BD,BC=BC,不符合全等三角形的判定定理,即不能推出 △ABC≌△DCB,故本选项正确; D、AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC,符合 SAS,即能推出△ABC≌△DCB,故本选 项错误; 故选:C. 8.(2018•黑龙江)如图,四边形 ABCD 中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°, 则四边形 ABCD 的面积为( ) A.15 B.12.5 C.14.5 D.17 【分析】过 A 作 AE⊥AC,交 CB 的延长线于 E,判定△ACD≌△AEB,即可得到 △ACE 是等腰直角三角形,四边形 ABCD 的面积与△ACE 的面积相等,根据 S△ACE= ×5×5=12.5,即可得出结论. 【解答】解:如图,过 A 作 AE⊥AC,交 CB 的延长线于 E, ∵∠DAB=∠DCB=90°, ∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC, ∴∠D=∠ABE, 又∵∠DAB=∠CAE=90°, ∴∠CAD=∠EAB, 又∵AD=AB, ∴△ACD≌△AEB, ∴AC=AE,即△ACE 是等腰直角三角形, ∴四边形 ABCD 的面积与△ACE 的面积相等, ∵S△ACE= ×5×5=12.5, ∴四边形 ABCD 的面积为 12.5, 故选:B. 9.(2018•绵阳)如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD, △ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上,若 AE= ,AD= ,则两个三角形重叠 部分的面积为( ) A. B.3 C. D.3 【分析】如图设 AB 交 CD 于 O,连接 BD,作 OM⊥DE 于 M,ON⊥BD 于 N.想 办法求出△AOB 的面积.再求出 OA 与 OB 的比值即可解决问题; 【解答】解:如图设 AB 交 CD 于 O,连接 BD,作 OM⊥DE 于 M,ON⊥BD 于 N. ∵∠ECD=∠ACB=90°, ∴∠ECA=∠DCB, ∵CE=CD,CA=CB, ∴△ECA≌△DCB, ∴∠E=∠CDB=45°,AE=BD= , ∵∠EDC=45°, ∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°, 在 Rt△ADB 中,AB= =2 , ∴AC=BC=2, ∴S△ABC= ×2×2=2, ∵OD 平分∠ADB,OM⊥DE 于 M,ON⊥BD 于 N, ∴OM=ON, ∵ = = = = , ∴S△AOC=2× =3﹣ , 故选:D. 二.填空题(共 4 小题) 10.(2018•金华)如图,△ABC 的两条高 AD,BE 相交于点 F,请添加一个条件, 使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是 AC=BC . 【分析】添加 AC=BC,根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°,再证明∠EBC= ∠DAC,然后再添加 AC=BC 可利用 AAS 判定△ADC≌△BEC. 【解答】解:添加 AC=BC, ∵△ABC 的两条高 AD,BE, ∴∠ADC=∠BEC=90°, ∴∠DAC+∠C=90°,∠EBC+∠C=90°, ∴∠EBC=∠DAC, 在△ADC 和△BEC 中 , ∴△ADC≌△BEC(AAS), 故答案为:AC=BC. 11.(2018•衢州)如图,在△ABC 和△DEF 中,点 B,F,C,E 在同一直线上, BF=CE,AB∥DE,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是 AB=ED (只需写一个,不添加辅助线). 【分析】根据等式的性质可得 BC=EF,根据平行线的性质可得∠B=∠E,再添加 AB=ED 可利用 SAS 判定△ABC≌△DEF. 【解答】解:添加 AB=ED, ∵BF=CE, ∴BF+FC=CE+FC, 即 BC=EF, ∵AB∥DE, ∴∠B=∠E, 在△ABC 和△DEF 中 , ∴△ABC≌△DEF(SAS), 故答案为:AB=ED. 12.(2018•绍兴)等腰三角形 ABC 中,顶角 A 为 40°,点 P 在以 A 为圆心,BC 长为半径的圆上,且 BP=BA,则∠PBC 的度数为 30°或 110° . 【分析】分两种情形,利用全等三角形的性质即可解决问题; 【解答】解:如图,当点 P 在直线 AB 的右侧时.连接 AP. ∵AB=AC,∠BAC=40°, ∴∠ABC=∠C=70°, ∵AB=AB,AC=PB,BC=PA, ∴△ABC≌△BAP, ∴∠ABP=∠BAC=40°, ∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30°, 当点 P′在 AB 的左侧时,同法可得∠ABP′=40°, ∴∠P′BC=40°+70°=110°, 故答案为 30°或 110°. 13.(2018•随州)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD=5,BC=CD 且 BC>AB,BD=8.给 出以下判断: ①AC 垂直平分 BD; ②四边形 ABCD 的面积 S=AC•BD; ③顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形; ④当 A,B,C,D 四点在同一个圆上时,该圆的半径为 ; ⑤将△ABD 沿直线 BD 对折,点 A 落在点 E 处,连接 BE 并延长交 CD 于点 F,当 BF⊥CD 时,点 F 到直线 AB 的距离为 . 其中正确的是 ①③④ .(写出所有正确判断的序号) 【分析】依据 AB=AD=5,BC=CD,可得 AC 是线段 BD 的垂直平分线,故①正确; 依据四边形 ABCD 的面积 S= ,故②错误;依据 AC=BD,可得顺次连接四边 形 ABCD 的四边中点得到的四边形是正方形,故③正确;当 A,B,C,D 四点在 同一个圆上时,设该圆的半径为 r,则 r2=(r﹣3)2+42,得 r= ,故④正确;连 接 AF,设点 F 到直线 AB 的距离为 h,由折叠可得,四边形 ABED 是菱形, AB=BE=5=AD=GD,BO=DO=4,依据 S△BDE= ×BD×OE= ×BE×DF,可得 DF= , 进而得出 EF= ,再根据 S△ABF=S 梯形 ABFD﹣S△ADF,即可得到 h= ,故⑤错误. 【解答】解:∵在四边形 ABCD 中,AB=AD=5,BC=CD, ∴AC 是线段 BD 的垂直平分线,故①正确; 四边形 ABCD 的面积 S= ,故②错误; 当 AC=BD 时,顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形是正方形,故③正 确; 当 A,B,C,D 四点在同一个圆上时,设该圆的半径为 r,则 r2=(r﹣3)2+42, 得 r= ,故④正确; 将△ABD 沿直线 BD 对折,点 A 落在点 E 处,连接 BE 并延长交 CD 于点 F,如图 所示, 连接 AF,设点 F 到直线 AB 的距离为 h, 由折叠可得,四边形 ABED 是菱形,AB=BE=5=AD=GD,BO=DO=4, ∴AO=EO=3, ∵S△BDE= ×BD×OE= ×BE×DF, ∴DF= = , ∵BF⊥CD,BF∥AD, ∴AD⊥CD,EF= = , ∵S△ABF=S 梯形 ABFD﹣S△ADF, ∴ ×5h= (5+5+ )× ﹣ ×5× , 解得 h= ,故⑤错误; 故答案为:①③④. 三.解答题(共 23 小题) 14.(2018•柳州)如图,AE 和 BD 相交于点 C,∠A=∠E,AC=EC.求证:△ABC ≌△EDC. 【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断. 【解答】证明:∵在△ABC 和△EDC 中, , ∴△ABC≌△EDC(ASA). 15.(2018•云南)如图,已知 AC 平分∠BAD,AB=AD.求证:△ABC≌△ADC. 【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC,利用 SAS 定理判断即可. 【解答】证明:∵AC 平分∠BAD, ∴∠BAC=∠DAC, 在△ABC 和△ADC 中, , ∴△ABC≌△ADC. 16.(2018•泸州)如图,EF=BC,DF=AC,DA=EB.求证:∠F=∠C. 【分析】欲证明∠F=∠C,只要证明△ABC≌△DEF(SSS)即可; 【解答】证明:∵DA=BE, ∴DE=AB, 在△ABC 和△DEF 中, , ∴△ABC≌△DEF(SSS), ∴∠C=∠F. 17.(2018•衡阳)如图,已知线段 AC,BD 相交于点 E,AE=DE,BE=CE. (1)求证:△ABE≌△DCE; (2)当 AB=5 时,求 CD 的长. 【分析】(1)根据 AE=DE,BE=CE,∠AEB 和∠DEC 是对顶角,利用 SAS 证明△ AEB≌△DEC 即可. (2)根据全等三角形的性质即可解决问题. 【解答】(1)证明:在△AEB 和△DEC 中, , ∴△AEB≌△DEC(SAS). (2)解:∵△AEB≌△DEC, ∴AB=CD, ∵AB=5, ∴CD=5. 18.(2018•通辽)如图,△ABC 中,D 是 BC 边上一点,E 是 AD 的中点,过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于 F,且 AF=CD,连接 CF. (1)求证:△AEF≌△DEB; (2)若 AB=AC,试判断四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论. 【分析】(1)由 AF∥BC 得∠AFE=∠EBD,继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE 即可 判定全等; (2)根据 AB=AC,且 AD 是 BC 边上的中线可得∠ADC=90°,由四边形 ADCF 是矩 形可得答案. 【解答】证明:(1)∵E 是 AD 的中点, ∴AE=DE, ∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DBE,∠EAF=∠EDB, ∴△AEF≌△DEB(AAS); (2)连接 DF, ∵AF∥CD,AF=CD, ∴四边形 ADCF 是平行四边形, ∵△AEF≌△DEB, ∴BE=FE, ∵AE=DE, ∴四边形 ABDF 是平行四边形, ∴DF=AB, ∵AB=AC, ∴DF=AC, ∴四边形 ADCF 是矩形. 19.(2018•泰州)如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,AC、DB 相交于点 O.求证: OB=OC. 【分析】因为∠A=∠D=90°,AC=BD,BC=BC,知 Rt△BAC≌Rt△CDB(HL),所 以 AB=CD,证明△ABO 与△CDO 全等,所以有 OB=OC. 【解答】证明:在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中 , ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL), ∴∠OBC=∠OCB, ∴BO=CO. 20.(2018•南充)如图,已知 AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC. 求证:∠C=∠E. 【分析】由∠BAE=∠DAC 可得到∠BAC=∠DAE,再根据“SAS”可判断△BAC≌△ DAE,根据全等的性质即可得到∠C=∠E. 【解答】解:∵∠BAE=∠DAC, ∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE,即∠BAC=∠DAE, 在△ABC 和△ADE 中, ∵ , ∴△ABC≌△ADE(SAS), ∴∠C=∠E. 21.(2018•恩施州)如图,点 B、F、C、E 在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC ∥FD,AD 交 BE 于 O. 求证:AD 与 BE 互相平分. 【分析】连接 BD,AE,判定△ABC≌△DEF(ASA),可得 AB=DE,依据 AB∥DE, 即可得出四边形 ABDE 是平行四边形,进而得到 AD 与 BE 互相平分. 【解答】证明:如图,连接 BD,AE, ∵FB=CE, ∴BC=EF, 又∵AB∥ED,AC∥FD, ∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE, 在△ABC 和△DEF 中, , ∴△ABC≌△DEF(ASA), ∴AB=DE, 又∵AB∥DE, ∴四边形 ABDE 是平行四边形, ∴AD 与 BE 互相平分. 22.(2018•哈尔滨)已知:在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 E,且 AC⊥BD,作 BF⊥CD,垂足为点 F,BF 与 AC 交于点 C,∠BGE=∠ADE. (1)如图 1,求证:AD=CD; (2)如图 2,BH 是△ABE 的中线,若 AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的 情况下,请直接写出图 2 中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的 2 倍. 【分析】(1)由 AC⊥BD、BF⊥CD 知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF,根据∠BGE= ∠ADE=∠CGF 得出∠DAE=∠GCF 即可得; (2)设 DE=a,先得出 AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a,据此知 S△ ADC=2a2=2S△ADE,证△ADE≌△BGE 得 BE=AE=2a,再分别求出 S△ABE、S△ACE、S△BHG, 从而得出答案. 【解答】解:(1)∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF, ∴∠ADE=∠CGF, ∵AC⊥BD、BF⊥CD, ∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF, ∴∠DAE=∠GCF, ∴AD=CD; (2)设 DE=a, 则 AE=2DE=2a,EG=DE=a, ∴S△ADE= AE•DE= •2a•a=a2, ∵BH 是△ABE 的中线, ∴AH=HE=a, ∵AD=CD、AC⊥BD, ∴CE=AE=2a, 则 S△ADC= AC•DE= •(2a+2a)•a=2a2=2S△ADE; 在△ADE 和△BGE 中, ∵ , ∴△ADE≌△BGE(ASA), ∴BE=AE=2a, ∴S△ABE= AE•BE= •(2a)•2a=2a2, S△ACE= CE•BE= •(2a)•2a=2a2, S△BHG= HG•BE= •(a+a)•2a=2a2, 综上,面积等于△ADE 面积的 2 倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG. 23.(2018•武汉)如图,点 E、F 在 BC 上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF 与 DE 交于点 G,求证:GE=GF. 【分析】求出 BF=CE,根据 SAS 推出△ABF≌△DCE,得对应角相等,由等腰三角 形的判定可得结论. 【解答】证明:∵BE=CF, ∴BE+EF=CF+EF, ∴BF=CE, 在△ABF 和△DCE 中 ∴△ABF≌△DCE(SAS), ∴∠GEF=∠GFE, ∴EG=FG. 24.(2018•咸宁)已知:∠AOB. 求作:∠A'O'B',使∠A'O′B'=∠AOB (1)如图 1,以点 O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交 OA,OB 于点 C、D; (2)如图 2,画一条射线 O′A′,以点 O′为圆心,OC 长为半径间弧,交 O′A′于点 C′; (3)以点 C′为圆心,CD 长为半径画弧,与第 2 步中所而的弧交于点 D′; (4)过点 D′画射线 O′B',则∠A'O'B'=∠AOB. 根据以上作图步骤,请你证明∠A'O'B′=∠AOB. 【分析】由基本作图得到 OD=OC=O′D′=O′C′,CD=C′D′,则根据“SSS“可证明△OCD ≌△O′C′D′,然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB. 【解答】证明:由作法得 OD=OC=O′D′=O′C′,CD=C′D′, 在△OCD 和△O′C′D′中 , ∴△OCD≌△O′C′D′, ∴∠COD=∠C′O′D′, 即∠A'O'B′=∠AOB. 25.(2018•安顺)如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 的中点, 过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F,连接 CF. (1)求证:AF=DC; (2)若 AC⊥AB,试判断四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论. 【分析】(1)连接 DF,由 AAS 证明△AFE≌△DBE,得出 AF=BD,即可得出答案; (2)根据平行四边形的判定得出平行四边形 ADCF,求出 AD=CD,根据菱形的判 定得出即可; 【解答】(1)证明:连接 DF, ∵E 为 AD 的中点, ∴AE=DE, ∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DBE, 在△AFE 和△DBE 中, , ∴△AFE≌△DBE(AAS), ∴EF=BE, ∵AE=DE, ∴四边形 AFDB 是平行四边形, ∴BD=AF, ∵AD 为中线, ∴DC=BD, ∴AF=DC; (2)四边形 ADCF 的形状是菱形,理由如下: ∵AF=DC,AF∥BC, ∴四边形 ADCF 是平行四边形, ∵AC⊥AB, ∴∠CAB=90°, ∵AD 为中线, ∴AD= BC=DC, ∴平行四边形 ADCF 是菱形; 26.(2018•广州)如图,AB 与 CD 相交于点 E,AE=CE,DE=BE.求证:∠A=∠ C. 【分析】根据 AE=EC,DE=BE,∠AED 和∠CEB 是对顶角,利用 SAS 证明△ADE ≌△CBE 即可. 【解答】证明:在△AED 和△CEB 中, , ∴△AED≌△CEB(SAS), ∴∠A=∠C(全等三角形对应角相等). 27.(2018•宜宾)如图,已知∠1=∠2,∠B=∠D,求证:CB=CD. 【分析】由全等三角形的判定定理 AAS 证得△ABC≌△ADC,则其对应边相等. 【解答】证明:如图,∵∠1=∠2, ∴∠ACB=∠ACD. 在△ABC 与△ADC 中, , ∴△ABC≌△ADC(AAS), ∴CB=CD. 28.(2018•铜仁市)已知:如图,点 A、D、C、B 在同一条直线上,AD=BC, AE=BF,CE=DF,求证:AE∥BF. 【分析】可证明△ACE≌△BDF,得出∠A=∠B,即可得出 AE∥BF; 【解答】证明:∵AD=BC,∴AC=BD, 在△ACE 和△BDF 中, , ∴△ACE≌△BDF(SSS) ∴∠A=∠B, ∴AE∥BF; 29.(2018•温州)如图,在四边形 ABCD 中,E 是 AB 的中点,AD∥EC,∠AED= ∠B. (1)求证:△AED≌△EBC. (2)当 AB=6 时,求 CD 的长. 【分析】(1)利用 ASA 即可证明; (2)首先证明四边形 AECD 是平行四边形,推出 CD=AE= AB 即可解决问题; 【解答】(1)证明:∵AD∥EC, ∴∠A=∠BEC, ∵E 是 AB 中点, ∴AE=EB, ∵∠AED=∠B, ∴△AED≌△EBC. (2)解:∵△AED≌△EBC, ∴AD=EC, ∵AD∥EC, ∴四边形 AECD 是平行四边形, ∴CD=AE, ∵AB=6, ∴CD= AB=3. 30.(2018•菏泽)如图,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.请写出 DF 与 AE 的数量关 系,并证明你的结论. 【分析】结论:DF=AE.只要证明△CDF≌△BAE 即可; 【解答】解:结论:DF=AE. 理由:∵AB∥CD, ∴∠C=∠B, ∵CE=BF, ∴CF=BE,∵CD=AB, ∴△CDF≌△BAE, ∴DF=AE. 31.(2018•苏州)如图,点 A,F,C,D 在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求 证:BC∥EF. 【分析】由全等三角形的性质 SAS 判定△ABC≌△DEF,则对应角∠ACB=∠DFE, 故证得结论. 【解答】证明:∵AB∥DE, ∴∠A=∠D, ∵AF=DC, ∴AC=DF. ∴在△ABC 与△DEF 中, , ∴△ABC≌△DEF(SAS), ∴∠ACB=∠DFE, ∴BC∥EF. 32.(2018•嘉兴)已知:在△ABC 中,AB=AC,D 为 AC 的中点,DE⊥AB,DF ⊥BC,垂足分别为点 E,F,且 DE=DF.求证:△ABC 是等边三角形. 【分析】只要证明 Rt△ADE≌Rt△CDF,推出∠A=∠C,推出 BA=BC,又 AB=AC, 即可推出 AB=BC=AC; 【解答】证明:∵DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点 E,F, ∴∠AED=∠CFD=90°, ∵D 为 AC 的中点, ∴AD=DC, 在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中, , ∴Rt△ADE≌Rt△CDF, ∴∠A=∠C, ∴BA=BC,∵AB=AC, ∴AB=BC=AC, ∴△ABC 是等边三角形. 33.(2018•滨州)已知,在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,点 D 为 BC 的中点. (1)如图①,若点 E、F 分别为 AB、AC 上的点,且 DE⊥DF,求证:BE=AF; (2)若点 E、F 分别为 AB、CA 延长线上的点,且 DE⊥DF,那么 BE=AF 吗?请 利用图②说明理由. 【分析】(1)连接 AD,根据等腰三角形的性质可得出 AD=BD、∠EBD=∠FAD, 根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF,由此即可证出△BDE≌△ADF(ASA), 再根据全等三角形的性质即可证出 BE=AF; (2)连接 AD,根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、 BD=AD,根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF,由此即可证出△EDB≌△FDA (ASA),再根据全等三角形的性质即可得出 BE=AF. 【解答】(1)证明:连接 AD,如图①所示. ∵∠A=90°,AB=AC, ∴△ABC 为等腰直角三角形,∠EBD=45°. ∵点 D 为 BC 的中点, ∴AD= BC=BD,∠FAD=45°. ∵∠BDE+∠EDA=90°,∠EDA+∠ADF=90°, ∴∠BDE=∠ADF. 在△BDE 和△ADF 中, , ∴△BDE≌△ADF(ASA), ∴BE=AF; (2)BE=AF,证明如下: 连接 AD,如图②所示. ∵∠ABD=∠BAD=45°, ∴∠EBD=∠FAD=135°. ∵∠EDB+∠BDF=90°,∠BDF+∠FDA=90°, ∴∠EDB=∠FDA. 在△EDB 和△FDA 中, , ∴△EDB≌△FDA(ASA), ∴BE=AF. 34.(2018•怀化)已知:如图,点 A.F,E.C 在同一直线上,AB∥DC,AB=CD, ∠B=∠D. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)若点 E,G 分别为线段 FC,FD 的中点,连接 EG,且 EG=5,求 AB 的长. 【分析】(1)根据平行线的性质得出∠A=∠C,进而利用全等三角形的判定证 明即可; (2)利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可. 【解答】证明:(1)∵AB∥DC, ∴∠A=∠C, 在△ABE 与△CDF 中 , ∴△ABE≌△CDF(ASA); (2)∵点 E,G 分别为线段 FC,FD 的中点, ∴ED= CD, ∵EG=5, ∴CD=10, ∵△ABE≌△CDF, ∴AB=CD=10. 35.(2018•娄底)如图,已知四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,且 OA=OC,OB=OD,过 O 点作 EF⊥BD,分别交 AD、BC 于点 E、F. (1)求证:△AOE≌△COF; (2)判断四边形 BEDF 的形状,并说明理由. 【分析】(1)首先证明四边形 ABCD 是平行四边形,再利用 ASA 证明△AOE≌ △COF; (2)结论:四边形 BEDF 是菱形.根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明; 【解答】(1)证明:∵OA=OC,OB=OD, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠EAO=∠FCO, 在△AOE 和△COF 中, , ∴△AOE≌△COF. (2)解:结论:四边形 BEDF 是菱形, ∵△AOE≌△COF, ∴AE=CF, ∵AD=BC, ∴DE=BF,∵DE∥BF, ∴四边形 BEDF 是平行四边形, ∵OB=OD,EF⊥BD, ∴EB=ED, ∴四边形 BEDF 是菱形. 36.(2018•桂林)如图,点 A、D、C、F 在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF. (1)求证:△ABC≌DEF; (2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F 的度数. 【分析】(1)求出 AC=DF,根据 SSS 推出△ABC≌△DEF. (2)由(1)中全等三角形的性质得到:∠A=∠EDF,进而得出结论即可. 【解答】证明:(1)∵AC=AD+DC,DF=DC+CF,且 AD=CF ∴AC=DF 在△ABC 和△DEF 中, ∴△ABC≌△DEF(SSS) (2)由(1)可知,∠F=∠ACB ∵∠A=55°,∠B=88° ∴∠ACB=180°﹣(∠A+∠B)=180°﹣(55°+88°)=37° ∴∠F=∠ACB=37°